學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGEPAGE9學必求其心得，業必貴于專精課時達標訓練（十六)一元二次不等式的應用（習題課）[即時達標對點練]題組1解簡單的分式不等式1．不等式eq\f（（x－2)2(x－3），x＋1）〈0的解集為()A．｛x|－1<x〈2或2〈x<3｝B．｛x｜1〈x〈3｝C．｛x|2〈x<3｝D．{x｜－1〈x〈3}解析：選A原不等式等價于eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(（x－3）（x＋1)〈0，，x＋1≠0，,（x－2）2≠0,）)解得－1<x〈3，且x≠2，故選A。2．解下列不等式：（1)eq\f(2x－1,3x＋1）≥0;(2）eq\f（2－x,x＋3）>1。解：（1)∵eq\f(2x－1,3x＋1)≥0?eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（（2x－1）（3x＋1)≥0，,3x＋1≠0）)?eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x≤－\f(1，3）或x≥\f(1，2)，，x≠－\f（1,3））)?x<－eq\f（1，3）或x≥eq\f(1,2)?！嘣坏仁降慕饧癁閑q\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜（\a\vs4\al\co1（x<－\f（1，3)或x≥\f(1,2））））)。（2）法一:原不等式可化為eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＋3〉0,,2－x〉x＋3））或eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＋3〈0,，2－x〈x＋3））?eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x>－3，,x〈－\f(1，2))）或eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x〈－3，，x>－\f（1，2））)?－3〈x<－eq\f（1,2).∴原不等式的解集為eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜（\a\vs4\al\co1(－3<x<－\f(1,2）)))）。法二：原不等式可化為eq\f(（2－x）－（x＋3），x＋3）>0?eq\f（－2x－1,x＋3)〉0?eq\f（2x＋1，x＋3)〈0?(2x＋1)(x＋3)〈0?－3〈x〈－eq\f（1,2).∴原不等式的解集為eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜（\a\vs4\al\co1（－3〈x<－\f(1，2))）））。題組2不等式的恒成立問題3．若不等式x2＋mx＋eq\f（m,2)〉0的解集為R，則實數m的取值范圍為（)A．（2，＋∞) B．（－∞，2)C．(－∞，0）∪（2，＋∞) D．（0，2)解析：選D由Δ＝m2－4×eq\f（m，2)＝m2－2m<0,可得0<m<2.4．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集為空集，則a的取值范圍是（）A．［－4，4]B．（－4,4）C．（－∞，－4］∪[4，＋∞）D．(－∞,－4）∪（4，＋∞）解析：選A由Δ＝a2－4×4≤0,得a2≤16，即－4≤a≤4。5．若方程x2＋(m－3）x＋m＝0的實數解，則m的取值范圍為________．解析：若方程x2＋（m－3)x＋m＝0有實數解,則Δ＝(m－3）2－4m≥0，解得m≤1或m答案：{m|m≤1或m≥9}6．若集合A＝{x｜ax2－ax＋1<0｝＝?,則實數a的值的集合為________．解析:（1）當a＝0時，滿足題意;(2）當a≠0時，應滿足eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(a〉0，，Δ≤0,))解得0〈a≤4.綜上可知,a值的集合為{a|0≤a≤4｝．答案:[0，4］7．函數f(x)＝eq\f（1，\r(ax2＋3ax＋1））的定義域是R，則實數a的取值范圍是________．解析：由已知f(x）的定義域是R.所以不等式ax2＋3ax＋1>0恒成立．(1）當a＝0時，不等式等價于1〉0，顯然恒成立；（2）當a≠0時,則有eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（a>0,,Δ〈0))?eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(a〉0，,（3a）2－4a〈0))?eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(a〉0,,a（9a－4）<0))?0〈a<eq\f(4,9）。由(1)，(2）知，0≤a〈eq\f(4，9）。答案：eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1（a\b\lc\|（\a\vs4\al\co1(0≤a〈\f(4，9)）)))8．關于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋m<x2＋1對x∈R恒成立，求實數m的取值范圍．解:原不等式等價于mx2＋mx＋m－1<0,對x∈R恒成立．當m＝0時，0·x2＋0·x－1〈0對x∈R恒成立．當m≠0時，由題意，得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(m〈0，，Δ＝m2－4m（m－1）〈0）)?eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（m<0，,3m2－4m>0）)?eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（m〈0，,m〈0或m〉\f（4,3)））?m〈0。綜上，m的取值范圍為(－∞，0]．題組3一元二次不等式的實際應用9．在一個限速40km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發現情況不對，同時剎車,但還是相碰了．事發后現場測得甲車的剎車距離略超過12m，乙車的剎車距離略超過10m．又知甲、乙兩種車型的剎車距離sm與車速xkm/h之間分別有如下關系：s甲＝0.1x＋0。01x2，s乙＝0。05x＋0.005x2。這次事故的主要責任方為________．解析：由題意列出不等式s甲＝0。1x＋0。01x2>12，s乙＝0.05x＋0。005x2〉10。分別求解，得x甲〈－40或x甲>30，x乙<－50或x乙>40。由于x>0，從而得x甲>30km/h,x乙>40km/h。經比較知乙車超過限速，應負主要責任．答案：乙車10．有一桶純農藥液,倒出8升后用水補滿，然后又倒出4升后再用水補滿,此時桶中的農藥不超過容積的28％，則桶的容積的取值范圍是________．解析：設桶的容積為x升，那么第一次倒出8升純農藥液后,桶內還有（x－8）(x>8)升，用水補滿后，桶內純農藥液的濃度為eq\f(x－8,x）.第二次又倒出4升藥液，則倒出的純農藥液為eq\f（4(x－8），x)升，此時桶內有純農藥液eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（（x－8）－\f（4（x－8），x）))升．依題意，得（x－8)－eq\f（4（x－8）,x）≤28%·x。由于x〉0，因而原不等式化簡為9x2－150x＋400≤0,即(3x－10）（3x－40)≤0.解得eq\f（10，3)≤x≤eq\f(40,3)。又∵x>8，∴8<x≤eq\f（40,3）。答案:eq\b\lc\（\rc\］(\a\vs4\al\co1(8，\f(40，3)））[能力提升綜合練］1．若不等式x2＋ax＋1≥0對一切x∈eq\b\lc\（\rc\］（\a\vs4\al\co1（0,\f(1，2)））成立，則a的最小值為()A．0B．－2C．－eq\f（5，2）D．－3解析：選Cax≥－（x2＋1)?a≥－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f（1,x）))，∵x∈eq\b\lc\（\rc\］（\a\vs4\al\co1（0，\f（1，2)))，∴由x＋eq\f(1,x）的單調性可知，x＋eq\f（1,x)的最小值為eq\f(1,2)＋2＝eq\f（5，2）?！郺≥－eq\f（5,2）.2．已知關于x的不等式ax＋b〉0的解集是(1，＋∞)，則關于x的不等式eq\f（ax－b，x－2）>0的解集是(）A．{x｜x〈－1或x>2｝B．{x｜－1〈x<2}C．｛x｜1〈x<2}D．{x|x>2}解析：選A依題意,a〉0且－eq\f(b，a)＝1.eq\f(ax－b,x－2)>0?（ax－b)（x－2）>0?eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x－\f(b，a）)）（x－2)〉0，即(x＋1）（x－2）>0?x>2或x<－1。3．對于任意實數x，不等式(a－2）x2－2（a－2)x－4〈0恒成立，則實數a的取值范圍是()A．（－∞，2)B．（－∞,2]C．(－2，2)D．（－2，2］解析：選D當a－2≠0時，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（a－2<0，,4（a－2）2－4（a－2）·（－4）<0））?eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(a<2，，a2<4)）?－2<a〈2。當a－2＝0時,－4<0恒成立．綜上所述，－2〈a≤2.4．(2018·全國卷Ⅰ）已知集合A＝｛x|x2－x－2〉0}，則?RA＝（）A．｛x｜－1<x<2｝B．｛x|－1≤x≤2}C．{x|x〈－1｝∪{x|x〉2}D．｛x|x≤－1｝∪{x|x≥2}解析:選B∵x2－x－2〉0，∴（x－2)（x＋1）〉0，∴x>2或x〈－1，即A＝{x|x〉2或x<－1｝．則?RA＝{x｜－1≤x≤2｝．故選B。5．不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是?，則實數a解析：∵x2－2x－（a2－2a－4）≤0的解集為?，∴Δ＝4＋4(a2－2a－4）<0,即a2－2a－3〈0,答案：(－1，3）6．已知不等式x2＋px＋1>2x＋p，如果不等式當｜p|≤2時恒成立,求x的取值范圍．解:不等式化為：(x－1）p＋x2－2x＋1>0，令f（p)＝(x－1）p＋x2－2x＋1，則f(p)的圖象是一條直線．又因為|p|≤2,所以－2≤p≤2，于是得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(f（－2）〉0，,f(2）>0，））即eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（(x－1)·（－2）＋x2－2x＋1>0，,(x－1）·2＋x2－2x＋1〉0，）)即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3>0，,x2－1>0，））所以x>3或x<－1.故x的取值范圍是｛x｜x>3或x〈－1｝．7．某企業生產一種機器的固定成本為0。5萬元，但每年生產100臺時又需可變成本0.25萬元,市場對此商品的年需求量為500臺,銷售收入函數為R（x)＝5x－eq\f（1,2）x2（0≤x≤5），其中x是產品售出的數量(單位：百臺)．（1）把利潤表示為年產量的函數；(2）年產量為多少時，企業所得的利潤最大？(3)年產量為多少時，企業才不虧本？解：(1)當x≤5時，產品能全部售出．當x>5時,只能銷售5百臺．于是利潤L（x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（5x－\f（1,2）x2））－0.5＋0。25x0≤x≤5，，\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(5×5－\f（1,2)×52))－0。5＋0.25xx〉5,））即L（x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－0。5x2＋4.75x－0.50≤x≤5,，－0.25x＋12x>5.））（2)當0≤x≤5時，L（x)＝－eq\f（1，2）(x－4.75)2＋10。78125。故當x＝