2016-2017學年北京市東城區八年級（下）期末數學試卷一、選擇題（本題共30分，每小題3分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的．1．（3分）下列關于x的函數中，是正比例函數的為（）A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝2．（3分）下列四組線段中，不能作為直角三角形三條邊的是（）A．3cm，4cm，5cm B．2cm，2cm，2cm C．2cm，5cm，6cm D．5cm，12cm，13cm3．（3分）圖中，不是函數圖象的是（）A． B． C． D．4．（3分）平行四邊形所具有的性質是（）A．對角線相等 B．鄰邊互相垂直 C．每條對角線平分一組對角 D．兩組對邊分別相等5．（3分）下表記錄了甲、乙、丙、丁四名同學最近幾次數學考試成績的平均數與方差：甲乙丙丁平均數（分）92959592方差3.63.67.48.1要選擇一名成績好且發揮穩定的同學參加數學比賽，應該選擇（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．（3分）若x＝﹣2是關于x的一元二次方程x2+ax﹣a2＝0的一個根，則a的值為（）A．1或﹣4 B．﹣1或﹣4 C．﹣1或4 D．1或47．（3分）將正比例函數y＝2x的圖象向下平移2個單位長度，所得圖象對應的函數解析式是（）A．y＝2x﹣1 B．y＝2x+2 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x+18．（3分）在一次為某位身患重病的小朋友募捐過程中，某年級有50師生通過微信平臺奉獻了愛心．小東對他們的捐款金額進行統計，并繪制了如下統計圖．師生捐款金額的平均數和眾數分別是（）A．20，20 B．32.4，30 C．32.4，20 D．20，309．（3分）若關于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有實數根，則k的取值范圍是（）A．k≤5 B．k≤5，且k≠1 C．k＜5，且k≠1 D．k＜510．（3分）點P（x，y）在第一象限內，且x+y＝6，點A的坐標為（4，0）．設△OPA的面積為S，則下列圖象中，能正確反映S與x之間的函數關系式的是（）A． B． C． D．二、填空題（本題共24分，每小題3分）11．（3分）請寫出一個過點（0，1），且y隨著x的增大而減小的一次函數解析式．12．（3分）在湖的兩側有A，B兩個消防栓，為測定它們之間的距離，小明在岸上任選一點C，并量取了AC中點D和BC中點E之間的距離為16米，則A，B之間的距離應為米．13．（3分）如圖，直線y＝x+b與直線y＝kx+6交于點P（3，5），則關于x的不等式kx+6＞x+b的解集是．14．（3分）在菱形ABCD中，∠A＝60°，其所對的對角線長為4，則菱形ABCD的面積是．15．（3分）《九章算術》是中國傳統數學最重要的著作，奠定了中國傳統數學的基本框架，書中的算法體系至今仍在推動著計算機的發展和應用．《九章算術》中記載：今有戶不知高、廣，竿不知長、短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問戶高、廣、邪各幾何？譯文是：今有門，不知其高、寬，有竿，不知其長、短．橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬、對角線長分別是多少？若設門對角線長為x尺，則可列方程為．16．（3分）方程x2﹣8x+15＝0的兩個根分別是一個直角三角形的兩條邊長，則直角三角形的第三條邊長是．17．（3分）已知直線y＝2x+2與x軸、y軸分別交于點A，B．若將直線y＝x向上平移n個單位長度與線段AB有公共點，則n的取值范圍是．18．（3分）在一節數學課上，老師布置了一個任務：已知，如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，用尺規作圖作矩形ABCD．同學們開動腦筋，想出了很多辦法，其中小亮作了圖2，他向同學們分享了作法：①分別以點A，C為圓心，大于AC長為半徑畫弧，兩弧分別交于點E，F，連接EF交AC于點O；②作射線BO，在BO上取點D，使OD＝OB；③連接AD，CD．則四邊形ABCD就是所求作的矩形．老師說：“小亮的作法正確．”小亮的作圖依據是．三、解答題（本題共46分，第19-21，24題，每小題4分，第22，23，25-28題，每小題4分）19．（4分）用配方法解方程：x2﹣6x＝1．20．（4分）如圖，正方形ABCD的邊長為9，將正方形折疊，使頂點D落在BC邊上的點E處，折痕為GH．若BE：EC＝2：1，求線段EC，CH的長．21．（4分）已知關于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（m+1）x+2＝0，其中m≠1．（1）求證：此方程總有實根；（2）若此方程的兩根均為正整數，求整數m的值．22．（5分）2017年5月5日，國產大飛機C919首飛圓滿成功．C919大型客機是我國首次按照國際適航標準研制的150座級干線客機，首飛成功標志著我國大型客機項目取得重大突破，是我國民用航空工業發展的重要里程碑．目前，C919大型客機已有國內外多家客戶預訂六百架表1是其中20家客戶的訂單情況．表1客戶訂單（架）客戶訂單（架）中國國際航空20工銀金融租賃有限公司45中國東方航空20平安國際融資租賃公司50中國南方航空20交銀金融租賃有限公司30海南航空20中國飛機租賃有限公司20四川航空15中銀航空租賃私人有限公司20河北航空20農銀金融租賃有限公司45幸福航空20建信金融租賃股份有限公司50國銀金融租賃有限公司15招銀金融租賃公司30美國通用租賃公司GECAS20興業金融租賃公司20泰國都市航空10德國普仁航空公司7根據表1所提供的數據補全表2，并求出這組數據的中位數和眾數．表2訂單（架）71015203050客戶（家）1122223．（5分）如圖1，在△ABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交CE的延長線于F，且AF＝BD，連接BF．（1）求證：點D是線段BC的中點；（2）如圖2，若AB＝AC＝13，AF＝BD＝5，求四邊形AFBD的面積．24．（4分）有這樣一個問題：探究函數y＝+1的圖象與性質．小明根據學習一次函數的經驗，對函數y＝+1的圖象與性質進行了探究．下面是小明的探究過程，請補充完整：（1）函數y＝+1的自變量x的取值范圍是；（2）下表是y與x的幾組對應值．x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣mm1234…y…0﹣132…求出m的值；（3）如圖，在平面直角坐標系xOy中，描出了以表中各對對應值為坐標的點．根據描出的點，畫出該函數的圖象；（4）寫出該函數的一條性質．25．（5分）已知：如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點E在邊BC的延長線上，且OE＝OB，連接DE．（1）求證：DE⊥BE；（2）設CD與OE交于點F，若OF2+FD2＝OE2，CE＝3，DE＝4，求線段CF的長．26．（5分）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1）三點．（1）求線段BC的長度；（2）若點D在直線AC上，且DB＝DC，求點D的坐標；（3）在（2）的條件下，直線BD上應該存在點P，使以A，B，P三點為頂點的三角形是等腰三角形．請利用尺規作圖作出所有的點P，并直接寫出其中任意一個點P的坐標．（保留作圖痕跡）27．（5分）如圖，在△ABD中，AB＝AD，將△ABD沿BD翻折，使點A翻折到點C．E是BD上一點，且BE＞DE，連接CE并延長交AD于F，連接AE．（1）依題意補全圖形；（2）判斷∠DFC與∠BAE的大小關系并加以證明；（3）若∠BAD＝120°，AB＝2，取AD的中點G，連接EG，求EA+EG的最小值．28．（5分）在平面直角坐標系xOy中，已知點M（a，b）及兩個圖形W1和W2，若對于圖形W1上任意一點P（x，y），在圖形W2上總存在點P'（x'，y'），使得點P'是線段PM的中點，則稱點P'是點P關于點M的關聯點，圖形W2是圖形W1關于點M的關聯圖形，此時三個點的坐標滿足x'＝，y'＝．（1）點P'（﹣2，2）是點P關于原點O的關聯點，則點P的坐標是；（2）已知，點A（﹣4，1），B（﹣2，1），C（﹣2，﹣1），D（﹣4，﹣1）以及點M（3，0）①畫出正方形ABCD關于點M的關聯圖形；②在y軸上是否存在點N，使得正方形ABCD關于點N的關聯圖形恰好被直線y＝﹣x分成面積相等的兩部分？若存在，求出點N的坐標；若不存在，說明理由．

2016-2017學年北京市東城區八年級（下）期末數學試卷一、選擇題（本題共30分，每小題3分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的．1．（3分）下列關于x的函數中，是正比例函數的為（）A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝【分析】根據形如y＝kx（k是常數，k≠0）的函數叫做正比例函數，其中k叫做比例系數進行分析即可．【解答】解：A、是二次函數，故此選項錯誤；B、是反比例函數，故此選項錯誤；C、是正比例函數，故此選項正確；D、是一次函數，故此選項錯誤；故選：C．【點評】此題主要考查了正比例函數的定義，關鍵是掌握正比例函數的形式：形如y＝kx（k是常數，k≠0）．2．（3分）下列四組線段中，不能作為直角三角形三條邊的是（）A．3cm，4cm，5cm B．2cm，2cm，2cm C．2cm，5cm，6cm D．5cm，12cm，13cm【分析】欲判斷是否為直角三角形，需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．【解答】解：A、32+42＝52，能構成直角三角形，不符合題意；B、22+22＝（2）2，能構成直角三角形，不符合題意；C、22+52≠62，不能構成直角三角形，符合題意；D、52+122＝132，能構成直角三角形，不符合題意．故選：C．【點評】此題主要考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a2+b2＝c2，則△ABC是直角三角形．3．（3分）圖中，不是函數圖象的是（）A． B． C． D．【分析】根據函數的定義和函數圖象可以判斷哪個選項中的圖象不是函數圖象，本題得以解決．【解答】解：由函數的定義可知，對于每一個自變量的x的取值，都有唯一的y值與其對應，選項A中當x＝1時，有兩個y值與其對應，故選項A中的圖象不是函數圖象，故選：A．【點評】本題考查函數圖象，解答本題的關鍵是明確函數的定義，利用數形結合的思想解答．4．（3分）平行四邊形所具有的性質是（）A．對角線相等 B．鄰邊互相垂直 C．每條對角線平分一組對角 D．兩組對邊分別相等【分析】根據平行四邊形的性質：平行四邊形的對角相等，對角線互相平分，對邊平行且相等，繼而即可得出答案．【解答】解：平行四邊形的對角相等，對角線互相平分，對邊平行且相等．故選：D．【點評】此題考查了平行四邊形的性質：平行四邊形的對角相等，對角線互相平分，對邊平行且相等；熟記平行四邊形的性質是關鍵．5．（3分）下表記錄了甲、乙、丙、丁四名同學最近幾次數學考試成績的平均數與方差：甲乙丙丁平均數（分）92959592方差3.63.67.48.1要選擇一名成績好且發揮穩定的同學參加數學比賽，應該選擇（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】方差是反映一組數據的波動大小的一個量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩定性也越小；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩定性越好，選出方差最小，而且平均數較大的同學參加數學比賽．【解答】解：∵3.6＜7.4＜8.1，∴甲和乙的最近幾次數學考試成績的方差最小，發揮穩定，∵95＞92，∴乙同學最近幾次數學考試成績的平均數高，∴要選擇一名成績好且發揮穩定的同學參加數學比賽，應該選擇乙．故選：B．【點評】此題主要考查了方差的含義和求法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：方差是反映一組數據的波動大小的一個量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩定性也越小；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩定性越好．6．（3分）若x＝﹣2是關于x的一元二次方程x2+ax﹣a2＝0的一個根，則a的值為（）A．1或﹣4 B．﹣1或﹣4 C．﹣1或4 D．1或4【分析】把x＝﹣2代入已知方程，列出關于a的新方程，通過解新方程可以求得a的值．【解答】解：∵x＝﹣2是關于x的一元二次方程x2+ax﹣a2＝0的一個根，∴（﹣2）2+a×（﹣2）﹣a2＝0，即a2+3a﹣4＝0，整理，得（a+4）（a﹣1）＝0，解得a1＝﹣4，a2＝1．即a的值是1或﹣4．故選：A．【點評】本題考查了一元二次方程的解的定義．能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．7．（3分）將正比例函數y＝2x的圖象向下平移2個單位長度，所得圖象對應的函數解析式是（）A．y＝2x﹣1 B．y＝2x+2 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x+1【分析】根據“上加下減”的原則求解即可．【解答】解：將正比例函數y＝2x的圖象向下平移2個單位長度，所得圖象對應的函數解析式是y＝2x﹣2．故選：C．【點評】本題考查的是一次函數的圖象與幾何變換，熟知函數圖象變換的法則是解答此題的關鍵．8．（3分）在一次為某位身患重病的小朋友募捐過程中，某年級有50師生通過微信平臺奉獻了愛心．小東對他們的捐款金額進行統計，并繪制了如下統計圖．師生捐款金額的平均數和眾數分別是（）A．20，20 B．32.4，30 C．32.4，20 D．20，30【分析】由統計圖提供的信息，利用加權平均數的計算公式求出平均數，眾數是這組數中出現次數最多的數，據此求解即可．【解答】解：由圖可知，平均數是（6×10+13×20+20×30+8×50+3×100）÷50＝32.4（元）．捐款30元的有20人，人數最多，故眾數是30元．故選：B．【點評】本題考查的是條形統計圖的綜合運用．讀懂統計圖，從統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據．除此之外，本題也考查了平均數與眾數．9．（3分）若關于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有實數根，則k的取值范圍是（）A．k≤5 B．k≤5，且k≠1 C．k＜5，且k≠1 D．k＜5【分析】根據一元二次方程的定義結合根的判別式，即可得出關于k的一元一次不等式組，解之即可得出結論．【解答】解：∵關于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有實數根，∴，解得：k≤5且k≠1．故選：B．【點評】本題考查了一元二次方程的定義以及根的判別式，根據一元二次方程的定義結合根的判別式，找出關于k的一元一次不等式組是解題的關鍵．10．（3分）點P（x，y）在第一象限內，且x+y＝6，點A的坐標為（4，0）．設△OPA的面積為S，則下列圖象中，能正確反映S與x之間的函數關系式的是（）A． B． C． D．【分析】根據點P（x，y）在第一象限內，且x+y＝6，點A的坐標為（4，0），從而可以得到S關于x的函數關系式，從而可以解答本題．【解答】解：∵點P（x，y）在第一象限內，且x+y＝6，點A的坐標為（4，0），∴S＝＝2y＝2（6﹣x）＝﹣2x+12，0＜x＜6，∴0＜S＜12，故選：B．【點評】本題考查函數圖象、三角形的面積，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的函數關系，利用數形結合的思想解答．二、填空題（本題共24分，每小題3分）11．（3分）請寫出一個過點（0，1），且y隨著x的增大而減小的一次函數解析式y＝﹣x+1．【分析】由y隨著x的增大而減小可得出k＜0，取k＝﹣1，再根據一次函數圖象上點的坐標特征可得出b＝1，此題得解．【解答】解：設該一次函數的解析式為y＝kx+b．∵y隨著x的增大而減小，∴k＜0，取k＝﹣1．∵點（0，1）在一次函數圖象上，∴b＝1．故答案為：y＝﹣x+1．【點評】本題考查了一次函數的性質以及一次函數圖象上點的坐標特征，牢記“k＞0，y隨x的增大而增大；k＜0，y隨x的增大而減小”是解題的關鍵．12．（3分）在湖的兩側有A，B兩個消防栓，為測定它們之間的距離，小明在岸上任選一點C，并量取了AC中點D和BC中點E之間的距離為16米，則A，B之間的距離應為32米．【分析】可得DE是△ABC的中位線，然后根據三角形的中位線定理，可得DE∥AB，且AB＝2DE，再根據DE的長度為16米，即可求出A、B兩地之間的距離．【解答】解：∵D、E分別是CA，CB的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥AB，且AB＝2DE，∵DE＝16米，∴AB＝32米．故答案為：32．【點評】此題主要考查了三角形中位線定理的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．13．（3分）如圖，直線y＝x+b與直線y＝kx+6交于點P（3，5），則關于x的不等式kx+6＞x+b的解集是x＜3．【分析】觀察函數圖象得到當x＜3時，函數y＝kx+6的圖象都在y＝x+b的圖象上方，所以關于x的不等式kx+6＞x+b的解集為x＜3．【解答】解：當x＜3時，kx+6＞x+b，即不等式kx+6＞x+b的解集為x＜3．故答案為：x＜3．【點評】本題考查了一次函數與一元一次不等式：從函數的角度看，就是尋求使一次函數y＝ax+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構成的集合．14．（3分）在菱形ABCD中，∠A＝60°，其所對的對角線長為4，則菱形ABCD的面積是8．【分析】直接利用菱形的性質結合勾股定理得出菱形的另一條對角線的長，進而利用菱形面積求法得出答案．【解答】解：如圖所示：∵在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，其所對的對角線長為4，∴可得AD＝AB，故△ABD是等邊三角形，則AB＝AD＝4，故BO＝DO＝2，則AO＝＝2，故AC＝4，則菱形ABCD的面積是：×4×4＝8．故答案為：8．【點評】此題主要考查了菱形的性質以及勾股定理，正確得出菱形的另一條對角線的長是解題關鍵．15．（3分）《九章算術》是中國傳統數學最重要的著作，奠定了中國傳統數學的基本框架，書中的算法體系至今仍在推動著計算機的發展和應用．《九章算術》中記載：今有戶不知高、廣，竿不知長、短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問戶高、廣、邪各幾何？譯文是：今有門，不知其高、寬，有竿，不知其長、短．橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬、對角線長分別是多少？若設門對角線長為x尺，則可列方程為x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2．【分析】根據題中所給的條件可知，竿斜放就恰好等于門的對角線長，可與門的寬和高構成直角三角形，運用勾股定理可求出門高、寬、對角線長．【解答】解：根據勾股定理可得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，即x2＝x2﹣8x+16+x2﹣4x+4，解得：x1＝2（不合題意舍去），x2＝10，10﹣2＝8（尺），10﹣4＝6（尺）．答：門高8尺，門寬6尺，對角線長10尺．故答案為：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2．【點評】本題考查勾股定理的運用，正確運用勾股定理，將數學思想運用到實際問題中是解答本題的關鍵，難度一般．16．（3分）方程x2﹣8x+15＝0的兩個根分別是一個直角三角形的兩條邊長，則直角三角形的第三條邊長是4或．【分析】先求出方程的解，再分為兩種情況，根據勾股定理求出第三邊即可．【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝0得：x＝3或5，即直角三角形的兩邊為3或5，當5為直角邊時，第三邊為：＝；當5為斜邊時，第三邊為：＝4；故答案為：4或．【點評】本題考查了解一元二次方程和勾股定理，能求出符合的所有情況是解此題的關鍵．17．（3分）已知直線y＝2x+2與x軸、y軸分別交于點A，B．若將直線y＝x向上平移n個單位長度與線段AB有公共點，則n的取值范圍是．【分析】先根據直線y＝2x+2與x軸、y軸分別交于點A，B，求得A（﹣1，0），B（0，2），再根據當直線y＝x+n經過點A時，0＝﹣+n，即n＝；當直線y＝x+n經過點B時，2＝0+n，即n＝2，即可得到n的取值范圍．【解答】解：∵直線y＝2x+2與x軸、y軸分別交于點A，B，∴A（﹣1，0），B（0，2），將直線y＝x向上平移n個單位長度后得到：直線y＝x+n，當直線y＝x+n經過點A時，0＝﹣+n，即n＝，當直線y＝x+n經過點B時，2＝0+n，即n＝2，又∵直線y＝x+n與線段AB有公共點，∴n的取值范圍是．故答案為：．【點評】本題主要考查了一次函數圖象與幾何變換，解題時注意：直線y＝kx+b向上平移m（m＞0）個單位所得直線解析式為y＝kx+b+m，直線y＝kx+b向下平移m（m＞0）個單位所得直線解析式為y＝kx+b﹣m．18．（3分）在一節數學課上，老師布置了一個任務：已知，如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，用尺規作圖作矩形ABCD．同學們開動腦筋，想出了很多辦法，其中小亮作了圖2，他向同學們分享了作法：①分別以點A，C為圓心，大于AC長為半徑畫弧，兩弧分別交于點E，F，連接EF交AC于點O；②作射線BO，在BO上取點D，使OD＝OB；③連接AD，CD．則四邊形ABCD就是所求作的矩形．老師說：“小亮的作法正確．”小亮的作圖依據是到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形．【分析】直擊雷雨線段垂直平分線的性質以及平行四邊形和矩形的判定方法分別分析得出答案．【解答】解：作①的理由：到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上，作②的理由：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，作③的理由：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．故答案為：到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形【點評】此題主要考查了復雜作圖，正確掌握矩形的判定方法是解題關鍵．三、解答題（本題共46分，第19-21，24題，每小題4分，第22，23，25-28題，每小題4分）19．（4分）用配方法解方程：x2﹣6x＝1．【分析】根據配方法，可得方程的解．【解答】解：配方，得x2﹣6x+9＝1+9整理，得（x﹣3）2＝10，解得x1＝3﹣，x2＝3+．【點評】本題考查了配方法界一元二次方程，配方法的一般步驟：把常數項移到等號的右邊；把二次項的系數化為1；等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數．20．（4分）如圖，正方形ABCD的邊長為9，將正方形折疊，使頂點D落在BC邊上的點E處，折痕為GH．若BE：EC＝2：1，求線段EC，CH的長．【分析】根據比例求出EC，設CH＝x，表示出DH，根據折疊可得EH＝DH，在Rt△ECH中，利用勾股定理列方程求解即可得到CH．【解答】解：∵BC＝9，BE：EC＝2：1，∴EC＝3，設CH＝x，則DH＝9﹣x，由折疊可知EH＝DH＝9﹣x，在Rt△ECH中，∠C＝90°，∴EC2+CH2＝EH2．即32+x2＝（9﹣x）2，解得x＝4，∴CH＝4．【點評】本題考查了翻折變換，正方形的性質，翻折前后對應邊相等，對應角相等，此類題目，利用勾股定理列出方程是解題的關鍵．21．（4分）已知關于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（m+1）x+2＝0，其中m≠1．（1）求證：此方程總有實根；（2）若此方程的兩根均為正整數，求整數m的值．【分析】（1）根據方程的系數結合根的判別式，可得出△＝（m﹣3）2≥0恒成立，由此即可證出此方程總有實根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，再根據方程的兩根均為正整數且m為整數，即可得出m﹣1＝1或m﹣1＝2，解之即可得出整數m的值．【解答】（1）證明：在方程（m﹣1）x2﹣（m+1）x+2＝0中，△＝[﹣（m+1）]2﹣4×2（m﹣1）＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2，∵（m﹣3）2≥0恒成立，∴方程（m﹣1）x2﹣（m+1）x+2＝0總有實根；…（2分）（2）解：（m﹣1）x2﹣（m+1）x+2＝（x﹣1）[（m﹣1）x﹣2]＝0，解得：x1＝1，x2＝．∵方程（m﹣1）x2﹣（m+1）x+2＝0的兩根均為正整數，且m是整數，∴m﹣1＝1或m﹣1＝2，∴m＝2或m＝3．【點評】本題考查了根的判別式以及因式分解法解一元二次方程，解題的關鍵是：（1）牢記“當△≥0時，方程有實數根”；（2）利用分解因式法解方程，求出x1＝1，x2＝．22．（5分）2017年5月5日，國產大飛機C919首飛圓滿成功．C919大型客機是我國首次按照國際適航標準研制的150座級干線客機，首飛成功標志著我國大型客機項目取得重大突破，是我國民用航空工業發展的重要里程碑．目前，C919大型客機已有國內外多家客戶預訂六百架表1是其中20家客戶的訂單情況．表1客戶訂單（架）客戶訂單（架）中國國際航空20工銀金融租賃有限公司45中國東方航空20平安國際融資租賃公司50中國南方航空20交銀金融租賃有限公司30海南航空20中國飛機租賃有限公司20四川航空15中銀航空租賃私人有限公司20河北航空20農銀金融租賃有限公司45幸福航空20建信金融租賃股份有限公司50國銀金融租賃有限公司15招銀金融租賃公司30美國通用租賃公司GECAS20興業金融租賃公司20泰國都市航空10德國普仁航空公司7根據表1所提供的數據補全表2，并求出這組數據的中位數和眾數．表2訂單（架）71015203050客戶（家）11222【分析】先根據表1所提供的數據補全表2，再根據中位數和眾數的定義即可求解．【解答】解：表2補充如下：訂單（架）7101520304550客戶（家）1121022220個數據從小到大排列后，第10、11個數據都是20，所以中位數是（20+20）÷2＝20，數據20出現了10次，次數最多，所以眾數是20．【點評】本題屬于基礎題，考查了確定一組數據的中位數和眾數的能力．一組數據中出現次數最多的數據叫做眾數．注意找中位數的時候一定要先排好順序，然后再根據奇數和偶數個來確定中位數，如果數據有奇數個，則正中間的數字即為所求，如果是偶數個則找中間兩位數的平均數．23．（5分）如圖1，在△ABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交CE的延長線于F，且AF＝BD，連接BF．（1）求證：點D是線段BC的中點；（2）如圖2，若AB＝AC＝13，AF＝BD＝5，求四邊形AFBD的面積．【分析】（1）利用“AAS”可證明△EAF≌△EDC，則AF＝DC，從而得到BD＝DC；（2）先證明四邊形AFBD是平行四邊形，再利用等腰三角形的性質證明AD⊥BC，則四邊形AFBD為矩形，然后計算出AD后計算四邊形AFBD的面積．【解答】（1）證明：如圖1，∵點E是AD的中點，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE．在△EAF和△EDC，∴△EAF≌△EDC，∴AF＝DC，∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中點；（2）解：如圖2，∵AF∥BD，AF＝BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形，∵AB＝AC，又由（1）可知D是BC的中點，∴AD⊥BC，在Rt△ABD中，AD＝＝12，∴矩形AFBD的面積＝BD?AD＝60．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質：在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．24．（4分）有這樣一個問題：探究函數y＝+1的圖象與性質．小明根據學習一次函數的經驗，對函數y＝+1的圖象與性質進行了探究．下面是小明的探究過程，請補充完整：（1）函數y＝+1的自變量x的取值范圍是x≠0；（2）下表是y與x的幾組對應值．x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣mm1234…y…0﹣132…求出m的值；（3）如圖，在平面直角坐標系xOy中，描出了以表中各對對應值為坐標的點．根據描出的點，畫出該函數的圖象；（4）寫出該函數的一條性質該函數沒有最大值或該函數沒有最小值．【分析】（1）由圖表可知x≠0；（2）根據圖表可知當y＝3時x＝m，把y＝3代入解析式即可求得；（3）根據坐標系中的點，用平滑的直線連接即可；（4）觀察圖象即可得出該函數的其他性質【解答】解：（1）x≠0；故答案是：x≠0．（2）令，∴；（3）如圖；（4）答案不唯一，可參考以下的角度：①該函數沒有最大值或該函數沒有最小值；②該函數在值不等于1；③增減性．【點評】本題考查了反比例函數的圖象和性質，根據圖表畫出函數的圖象是解題的關鍵．25．（5分）已知：如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點E在邊BC的延長線上，且OE＝OB，連接DE．（1）求證：DE⊥BE；（2）設CD與OE交于點F，若OF2+FD2＝OE2，CE＝3，DE＝4，求線段CF的長．【分析】（1）先根據平行四邊形的性質，得出OD＝OB，再根據OE＝OB，得出OE＝OB＝OD，最后根據三角形內角和定理，求得∠OEB+∠OED＝90°，即可得出結論．（2）證明△OFD為直角三角形，得出∠OFD＝90°．在Rt△CED中，由勾股定理求出CD＝5．由三角形面積求出．在Rt△CEF中，根據勾股定理求出CF即可．【解答】（1）證明：∵平行四邊形ABCD，∴OB＝OD．∵OB＝OE，∴OE＝OD．∴∠OED＝∠ODE．∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB．∵∠OBE+∠OEB+∠ODE+∠OED＝180°，∴∠OEB+∠OED＝90°．∴DE⊥BE；（2）解：∵OE＝OD，OF2+FD2＝OE2，∴OF2+FD2＝OD2．∴△OFD為直角三角形，且∠OFD＝90°．在Rt△CED中，∠CED＝90°，CE＝3，DE＝4，∴CD2＝CE2+DE2．∴CD＝5．又∵，∴．在Rt△CEF中，∠CFE＝90°，CE＝3，，根據勾股定理得：．【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質、等腰三角形的性質、勾股定理和勾股定理的逆定理，熟練掌握平行四邊形的性質以及勾股定理的逆定理是關鍵．26．（5分）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1）三點．（1）求線段BC的長度；（2）若點D在直線AC上，且DB＝DC，求點D的坐標；（3）在（2）的條件下，直線BD上應該存在點P，使以A，B，P三點為頂點的三角形是等腰三角形．請利用尺規作圖作出所有的點P，并直接寫出其中任意一個點P的坐標．（保留作圖痕跡）【分析】（1）根據B，C的坐標即可得到結論；（2）由DB＝D可知點D的在線段BC的垂直平分線上，可求得D點的縱坐標，再由直線AC的解析式可求得D點坐標；（3）由B、D的坐標可求得直線BD的解析式，則可設出P點坐標，從而可表示出BP、AP和AB的長，分BP＝AP、BP＝AB和AP＝AB三種情況分別得到關于P點坐標的方程，可求得P點坐標．【解答】解：（1）∵B（0，3），C（0，﹣1）．∴BC＝4；（2）∵DB＝DC，∴點D在線段BC的垂直平分線上，∵B（0，3），C（0，﹣1），∴線段BC的中點為（0，1），∴D點縱坐標為1，∵點D在直線AC上，∴1＝﹣x﹣1，解得x＝﹣2，∴D點坐標為（﹣2，1）；（3）∵B（0，3），D（﹣2，1），∴可設直線BD解析式為y＝mx+3，∴1＝﹣2m+3，解得m＝，∴直線BD解析式為y＝x+3，∴可設P點坐標為（t，t+3），∵A（﹣，0），B（0，3），∴BP＝＝|t|，AP＝＝2，AB＝2，當以A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形時，有BP＝AP、BP＝AB和AP＝AB三種情況，①當BP＝AP時，則有|t|＝2，解得t＝﹣，此時P點坐標為（﹣，2）；②當BP＝AB時，則有|t|＝2，解得t＝3或t＝﹣3，此時P點坐標為（3，+3）或（﹣3，3﹣）；③當AP＝AB時，則有2＝2，解得t＝0（此時與B點重合，舍去）或t＝﹣3，此時P點坐標為（﹣3，0）；綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（﹣，2）或（3，+3）或（﹣3，3﹣）或（﹣3，0）．【點評】本題為一次函數的綜合應用，涉及待定系數法、三角函數的定義、等腰三角形的性質、勾股定理、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中利用三角函數求AO的長是解題的關鍵，在（2）中確定出D點的位置是解題的關鍵，在（3）中用P點的坐標分別表示出PA、PB及AB的長是解題的關鍵，注意分三種情況．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．27．（5分）如圖，在△ABD中，AB＝AD，將△ABD沿BD翻折，使點A翻折到點C．E是BD上一點，且BE＞DE，連接CE并延長交AD于F，連接AE．（1）依題意補全圖形；（2）判斷∠DFC與∠BAE的大小關系并加以證明；（