應用數理統計復習題（2010）一填空題1設是總體服從的一個樣本，。當常數C=1/3時，分布。2設統計量3設，則F(1,n)，F(n,1)。是總體的一個樣本，當常數C=1/2（n-1）時，為的無偏估計。4設，為觀測數據。對于固定的，則~。5．設總體X服從參數為的泊松分布，1.9，2，2，2.1，2.5為樣本，則的矩估計值為＝2.1。6．設總體為樣本，μ、σ2未知，則σ2的置信度為1－α的置信區間為。7．設X服從二維正態分布，其中令Y＝，則Y的分布為。8．某試驗的極差分析結果如下表（設指標越大越好）：表1因素水平表因素水平ABCDE130020200甲80表2極差分析數據表列號試驗號A1B23C4D5E67數據yi(產率)83.484.087.384.887.388.092.390.412345678Ⅰj11112222339.511221122342.711222211350.112121212350.312122121348.412211221351.612212112348.5T=ⅡjRjSj358.018.5354.812.1347.42.7347.23.1349.10.7345.95.7349.00.5697.542.78118.3010.9111.2010.0614.0610.031ST=63.347則（1）較好工藝條件應為（2）方差分析中總離差平方和的自由度為7。（3）上表中的第三列表示交互作用。。9．為了估計山上積雪溶化后對河流下游灌溉的影響，在山上建立觀測站，測得連續10年的觀測數據如下表（見表3）。表3最大積雪深度與灌溉面積的10年觀測數據最大積雪深度灌溉面積y殘差di年份計算值x(米)15.210.421.218.626.423.413.516.724.019.1188.5(千畝)28.619.340.535.648.945.029.234.146.737.4365.31971197219731974197519761977197819791980Σ231.04108.16449.441640.25858.60345.961267.36662.16696.962391.211290.96547.562025.001053.00817.96434.72372.49200.7229.91321.21140.79036.07750.21844.77926.83132.63245.86736.983-1.313-1.911-0.290-0.477-1.3180.2212.3691.4680.8330.417182.25852.64394.20278.891162.81569.47576.002180.891120.80364.811398.76714.343781.0714109.377298.97則y關于x的線性回歸模型為10設總體為樣本，則θ的矩估計量為，極大似然估計量為max{X1,X2,…,Xn}。12設總體X在區間上服從均勻分布，則的矩估計；1/12n。13設是來自正態總體的樣本，均未知，.則的置信度為數，則檢驗假設的置信區間為；若為已知常。（已知），的拒絕域為14設X服從維正態分布，X的樣本，則的最小方差無偏估計量；服從分布。15設（X1，…，Xn）為來自正態總體的一個樣本,已知。對給定的檢驗水平為，檢驗假設，（已知）的統計量為，拒絕域為。二計算及證明題1設是來自總體，的一個樣本。（1）證明相互獨立（2）假設，求的分布即2設是總體的一個樣本，求統計量的抽樣分布。3設總體（指數分布），是總體的一個樣本，證明4設總體（泊淞分布），的聯合分布律是總體的一個樣本，為樣本均值和樣本方差，試求（1）（2）5設是總體的一個樣本，試求下列總體的矩估計量和極大似然估計量。（1）總體的分布律是，其中未知參數。（2）的密度函數為（為待估計參數）6設總體（方差已知），問需抽取容量多大時，才能使得總體均值的置信度為的置信區間的長度不大于L？解：7為了檢驗某種自來水消毒設備的效果，現從消毒后的水中隨機取50L，化驗每升水中大腸桿菌的個數（一升水中大腸桿菌的個數服從Poisson分布），化驗結果如下：試問平均每升水中大腸桿菌個數為多少時才能使得上述情況發生的概率最大？8某系中喜歡參加體育運動的60名男生平均身高為172.6cm，標準差為6.04cm，而對運動不感興趣的55名男生的平均身高為171.1cm，標準差為7.10cm。試檢驗該系中喜歡參加運動的男生平均身高是否比其他男生高些。（）9設有線性模型，其中且相互獨立，試求（1）的最小二乘估計（2）給出的分布并證明他們的獨立性（3）導出檢驗的檢驗統計量(1)根據線性最小二乘法定義：設函數只需要是此函數最小解（1）（2）得，估計值：10若總體服從正態分布，樣本來自總體，要使樣本均值滿足不等式，求樣本容量最少應取多少？11有一種新安眠劑，據說在一定劑量下能比某種舊安眠劑平均增加睡眠時間3小時，為了檢驗新安眠劑的這種說法是否正確，收集到一組使用新安眠劑的睡眠時間(單位：小時):26.7，22.0，24.1，21.0，27.2，25.0，23.4.根據資料用某種舊安眠劑時平均睡眠時間為20.8小時，假設用安眠劑后睡眠時間服從正態分布，試問這組數據能否說明新安眠劑的療效？11.設總體X的概率密度為，其中λ>0是未知參數，α>0是已知常數，為樣本，求λ的矩估計和極大似然估計。（1）矩估計：根據矩估計的定義E（X）=根據分部積分法：帶入（1）式，得：而代入（2）得以此類推，最后可得（2）極大似然估計：似然函數12.設總體X的概率密度為，其中θ>0是未知參數，為樣本，求1）θ極大似然估計，2）總體均值μ的極大似然估計。（1）已知密度函數：則構造似然函數取對數而則13.設總體X的概率密度為，其中θ>0是未知參數，為樣本。1）證明：都是θ的無偏估計。2）比較的有效性。14.設總體X服從參數為的泊松分布,對于假設，的拒絕域為，試求此檢驗問題犯第一類錯誤（棄真）及犯第二類錯誤（取偽）的概率。15.考慮一元線性回歸模型：，其中相互獨立且服從分布，求參數的極大似然估計，并證明它們是無偏估計。16.考慮一元線性回歸模型：，其中相互獨立且服從分布，記，求A中使得最小的17.某種產品在生產時產生的有害物質的重量（單位：克）Y與它的燃料消耗量（單位：千克）x之間存在某種相關關系.由以往的生產記錄得到如下數據.xiyi28929831632732932933125043.542.942.139.138.538.038.037.0①求經驗線性回歸方程；②試進行線性回歸的顯著性檢驗（③試求x0=340時Y0的預測區間（）；）.④若要求有害物質的重量在250～280um之間，問燃料消耗量應如何控制？（）18在某鋅礦的南北兩支礦脈中，各抽取樣本容量分別為10與9的樣本分析后，算得其樣本含鋅（%）平均值及方差如下：南支：北支：=0.252，=0.140，=0.281，=0.182，=10=9若南北兩支鋅含量均服從正態分布，且兩樣本相互獨立，在=0.05的條件下，問南北兩支礦脈含鋅量的平均值是否有顯著差異？已知：，，19X設總體的密度函數為，的先驗分布為，為來自總體X的樣本。在平方損失下求的貝葉斯估計。20設有三臺機器A、B、C制造同一種產品。對每臺機器觀察5天的日產量。記錄如下（單位：件）A：41，48，41，57，49B：65，57，54，72，64C：45，51，48，56，48試問：在日產量上各臺機器之間是否有顯著差異？（已知：），21設滿足線性模型，，，，諸相互獨立。的最小二乘估計的無偏估計。試求（1）參數；（2）的方差；（3）22單因素方差分析的數學模型為，。諸相互獨立。（1）試導出檢驗假設中至少由兩個不相等的統計量。（2）求的一個無偏估計量。（3）設計.，，求常數C使統計量為的無偏估23車間里有5名工人，3臺不同型號的機器生產同一種產品，現在讓每個工人輪流在3臺機器上操作，記錄其日產量結果如下：工人12345機器123161518131416151618211819182021試問這5位工人技術之間和不同型號機器之間對產量有無顯著影響？24設有線性模型其中相互獨立且同服從正態分布，（1）試求乘估計量；（2）試求的概率分布。25某數理統計教師隨機地選取18名學生把他們分為3組，每一組各采用一種特殊的教學方法，期末進行統考，各組成績如下：教學方法成績甲乙丙75，62，71，56，73，78，8581，85，62，92，94，9660，73，79，75，83假設學生成績服從正態分布，試問：在顯著水平異？哪種教學效果最好？下這三種教學方法的教學效果有無顯著差注：三、簡述題（14分）1.檢驗的顯著性水平及檢驗的p值。小概率事件的值記為，稱為顯著水平。它是檢驗犯第一次錯誤的概率（即棄真錯誤的概率）檢驗的P值是指統計量落入某個區域內的概率，這里某個區域是個拒絕域。2.參數的點估計的類型、方法、評價方法。（1）點估計（2）區間估計點估計法：a，矩估計法。基本思想：由于樣品來源于總體，樣品矩在一定程度上反映了總體矩，而且由于大數定律可知，樣品矩依概率收斂于總體矩。因此，只要總體x的k階原點矩存在，就可以用樣本矩作為相應總體矩的估計量，用樣本矩的函數作為總體矩的函數的估計量。b，極大似然估計法。基本思想：設總體分布的函數形式已知，但有未知參數,可以取很多值，有的一切可能取值中選一個使樣品觀測值出現概率最大的值作為的估計量，記作，并稱為的極大似然估計值，這叫極大似然估計法。3.假設檢驗的思想、推理依據及參數假設檢驗的步驟。先假設總體具有某種特征，然后再通過對樣品的加工，即構造統計量推斷出假設的結論是否合理。假設檢驗是帶有概率性質的反證法。推理依據：第一，假設檢驗采用的邏輯方法是反證法；第二，合理與否，依據是小概率事件實際不可能發生的原理。參數假設檢驗的步驟：（1）提出原假設和備擇假設；（2）選擇適當的統計量，并確定其分布形式。（3）選擇顯著性水平，確定其臨界值；（4）作出結論。4.方差分析的目的及思想（結合單因素）。目的：通過分析，判定某一因子是否顯著，當因子顯著時，我們可以繪出每一水平下指標均值的估計，以便找出最好的水平。方差分析是對多個總體均值是否相等這一假設進行檢驗。思想：檢驗==……是通過方差的比較來確定的，即要考慮均值之間的差異，差異產生來自兩個方面，一是由因數中不同水平造成的，稱為系統性差異；二是由隨機性產生的差異。兩方面的差異用兩個方差來計量，一個稱水平之間的方差（既包括系統因數，又包括隨機性因數）；一個稱為水平內部方差（僅包括隨機因數）。如果不同的水平對結果沒有影響，兩個方差的比值會接近于1；反之，則兩個方差的比值會顯著地大于1很多，認為HO不真，可作出判斷，說明不同水平之間存在著顯著性差異。如果方差分析只對一個因數進行單因數方差分析,單因數方差分析所討論的是在一個總體標準差皆相等的條件下，解決一個總體平均數是否相等的問題。5.簡述正交實驗設計中的數據分析方法方法：極差分析法和方差分析法。極差分析法步驟：（1）定指標，確定因數，選水平（2）選用適當的正交表，表頭設計，確定實驗方案；（3）嚴格按要求做實驗，并記錄實驗結果；（4）計算i個因數的每個水平的實驗結果和極差（同一因數不同水平的差異），其反映了該因數對實驗結果的影響大小；（5）按級差大小排列因數主次；（6）選取較優生產條件（7）進行實驗性試驗，做進一步分析。方差分析法：思想：將數據的總偏差平方和分解為因數的偏差平方和與隨機誤差的平方和之和，用各因數的偏差平方和與誤差平方和相比，做一下檢驗，即可判斷引述的作用是否顯著，這里用方差分析的思想來處理有正交表安排的多因數實驗的實驗結果，分析各因數是否存在顯著影響。6主成分分析的基本思想。主成分分析是從總體的多個指標中構造出很少幾個互不相關的綜合指標，且使這幾個綜合指標盡可能充分的反映原來各個指標的信息。即主成分分析是一種把原來多個指標化為少數幾個互不相關的綜合指標的一種統計方法。它的目的是力求數據信息丟失最少的原則下，對高維變量空間進行降維處理。即用原來變量的少數幾個線性組合（稱為綜合變量）來代替原變量，以達到簡化數據，揭示變量之間關系和進行統計解釋的目的。7、典型相關分析答：考慮X的綜合指標（X的線性函數）與y的綜合指標之間的相關性程度來刻畫X與Y的相關性，即把兩組變量的相關變為兩個新變量（線性函數）之間的相關來進行討論，同時又盡量保留原來變量的信息，或者說，找X的線性函數和Y的線性函數，使這兩個函數具有最大的相關性。稱這種相關為典型相關，稱形式的兩個線性函數即兩個新的變量為典型變量，繼而還可以分別找出X與Y的第二對線性函數，使其與第一對典型變量不相關，而這兩個線性函數之間又具有最大的相關性，如此繼續進行下去，直到兩組變量X與Y之間的相關性被提取完畢為止，這就是典型相關分析的基本思想。總之，典型相關分析是揭示兩個因素“集團”之間內部聯系的一種數學方法。8、貝葉斯判別法答：貝葉斯判別是根據先驗信息使得誤判所造成的平均損失達到最小的判別法。假定對研究對象已有一定的認識，常用先驗概率分布來描述這種認識，然后我們取得一個樣本，用樣本來修正已有的認識（先驗概率分布）得到后驗概率分布，各種統計推斷通過后驗概率分布來進行，將貝葉斯思想用于判別分析就得到貝葉斯分布。9、聚類，分類答：聚類分析是研究對樣品或指標進行分類的一種多元統計方法，分類是將一個觀測對象指定到某一類（組）。分類問題可分為兩種：一是將一些未知類別的個體正確地歸屬于另外一些已知類中的某一類，另一種是事先不知道研究的問題應該分為幾類，而是根據統計分析建立一種分類方法，并按接近程度對觀測對象給出合理的分類，這一類問題即是聚類分析所要解決的問題。聚類分析根據分類對象的不同分為R型和Q型兩大類。R型是對變量（指標）進行分類，Q型是對樣品進行分類；R型聚類分析的目的是（1）可以了解變量間及變量組合間的親疏關系。（2）對變量進行分類。（3）根據分類結果及它們之間的關系，在每一類中選擇有代表性的變量作為重要變量，利用少數幾個重要變量進一步作分析計算；Q型聚類分析的目的主要是對樣品進行分類。10、線性回歸分析的主要內容及應用中應注意的問題答：線性回歸分析根據預報變量的多少可分為一元線性回歸、多元線性回歸。主要研究內容包括