課題:§5.1.2瞬時變化率——導數目標要求1、通過實例分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程．2、理解導數的概念，導數的幾何意義．3、準確理解函數在某點處與過某點的切線方程．學科素養目標通過具體背景與實例的抽象，經歷導數模型的建構和利用導數解決實際問題的過程，使學生對變量數學的思想方法（無窮小算法數學）有新的感悟．進一步發展學生的數學思維能力，感受和體會數學產生和發展的規律以及人類智慧和文明的傳承，促進學生全面認識數學的價值．也為后繼進一步學習微積分等課程打好基礎．導數與函數、方程、不等式及解析幾何等相關內容密切相聯．具有“集成”的特點，進而，學習本章節有助于學生從整體上理解和把握數學的結構，靈活運用數學的思想和方法，提高分析問題、解決問題的能力．重點難點重點：導數的概念，導數的幾何意義；難點：理解函數在某點處與過某點的切線方程．教學過程基礎知識積累1.曲線上某點處的割線與切線名稱割線切線定義設點Q為曲線C上不同于P的一點，則_______稱為曲線的割線當點Q無限逼近點P時，直線PQ最終就成為在點P處_________的直線l，這條直線l稱為曲線在點P處的切線斜率設曲線C上一點P(x，f(x))，另一點Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，則割線PQ的斜率為_____________當點Q沿曲線C向點P運動，并無限靠近點P時，割線PQ逼近點P的切線l，從而割線的斜率逼近切線l的斜率，即當Δx無限趨近于0時，____________________無限趨近于點P(x，f(x))處的切線的斜率【友情提醒注意】經歷割線逼近切線的過程，體會“局部以直代曲”和“無限逼近”的數學思想．2．瞬時速度和瞬時加速度(1)瞬時速度如果當Δt無限趨近于0時，運動物體位移S(t)的平均變化率eq\f(S（t0＋Δt）－S（t0）,Δt)無限趨近于_______，那么這個常數稱為物體在t＝t0時的瞬時速度；(2)瞬時加速度：如果當Δt無限趨近于0時，運動物體速度v(t)的平均變化率eq\f(v（t0＋Δt）－v（t0）,Δt)無限趨近于一個常數，那么這個常數稱為物體在t＝t0時的瞬時加速度．【友情提醒注意】瞬時速度就是位移對于時間的瞬時變化率；瞬時加速度就是速度對于時間的瞬時變化率．3．導數某點處的導數定義設函數y＝f(x)在區間(a，b)上有定義，x0∈(a，b)，當_______________時，比值eq\f(Δy,Δx)＝___________無限趨近于一個_______，則稱f(x)在x＝x0處可導，并稱該常數A為函數f(x)在x＝x0處的導數，記作_______．可用符號“→”表示“__________”幾何意義導數f′(x0)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點___________處的__________【友情提醒注意】(1)f′(x0)是一種新的記號，表示函數f(x)在x＝x0處的導數．(2)瞬時速度：運動物體的位移S(t)對于時間t的導數，即v(t)＝S′(t).(3)瞬時加速度：運動物體的速度v(t)對于時間t的導數，即a(t)＝v′(t).4．導函數(1)導函數的定義若f(x)對于區間(a，b)內________都可導，則f(x)在各點的導數也隨著自變量x的變化而變化，因而也是__________的函數，該函數稱為f(x)的導函數，記作______．在不引起混淆時，導函數f′(x)也簡稱為f(x)的導數．(2)f′(x0)的意義f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)就是導函數f′(x)在x＝x0處的________．【友情提醒注意】f′(x)也是一個函數，稱為f(x)的導函數．【課前預習思考】(1)曲線在某一點處的切線與曲線只能有一個公共點嗎？(2)求f(x)在x＝x0處的導數的一般步驟是什么？(3)如何理解f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)?【課前小題演練】題1．某廠家生產的新能源汽車的緊急剎車裝置在遇到特別情況時需在2s內完成剎車，其位移h(單位：m)關于時間：(單位：s)的函數關系式為h(t)＝－t3－2t＋eq\f(40,3)，則h′(1)的實際意義是()A．汽車剎車后1s內的位移B．汽車剎車后1s內的平均速度C．汽車剎車后1s時的瞬時速度D．汽車剎車后1s時的瞬時加速度題2．一質點沿直線運動，運動的距離（單位：與時間（單位：之間的函數關系為，則當時，該質點的瞬時速度為A． B． C． D．題3．函數y＝f(x)在x＝x0處的導數可表示為，即()A．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)B．f′(x0)＝[f(x0＋Δx)－f(x0)]C．f′(x0)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)D．f′(x0)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)題4．一質點按規律s＝2t3運動，則其在t＝2時的瞬時速度等于()A．2B．8C．16D．24題5.某物體做自由落體運動的位移，，若，則是該物體A．從到△這段時間的平均速度 B．從到這段時間的平均速度 C．在這一時刻的瞬時速度 D．在△這一時刻的瞬時速度題6．（多選）下列說法錯誤的是()A.函數y＝f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)的幾何意義是函數y＝f(x)在點x＝x0處的函數值．B.函數y＝f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)的幾何意義是函數y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線與x軸所夾銳角的正切值．C.函數y＝f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率．D.函數y＝f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)的幾何意義是點(x0，f(x0))與點(0，0)連線的斜率．題7．函數y＝x2＋1在x＝2處的導數為________．題8．已知球的體積V是關于半徑r的函數，V(r)＝eq\f(4πr3,3)，則r＝2時，球的體積的瞬時變化率為________.題9.一個小球作簡諧振動，其運動方程為，其中（單位：是小球相對于平衡點的位移，（單位：為運動時間，則小球在時的瞬時速度為_________．題10．求曲線y＝f(x)＝x2＋1在點P(1，2)處的切線方程．題11.一物體做直線運動，運動的路程（單位：與運動的時間（單位：滿足：．（1）求該物體在第內的平均速度；（2）求（2），并解釋它的實際意義；（3）經過多長時間物體的運動速度達到．【當堂鞏固訓練】題12．函數f(x)的圖象如圖所示，則下列數值排序正確的是()A．f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))<f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))B．f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))<f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))C．f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))<f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))<f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))<f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))題13．一個小球作簡諧振動，其運動方程為，其中（單位：是小球相對于平衡點的位移，（單位：為運動時間，則小球的瞬時速度首次達到最大時，A．1 B． C． D．題14．如圖，函數y＝f(x)的圖象在點P處的切線方程是y＝－x＋6，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))＋f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))＝()A．eq\f(1,2)B．1C．2D．0題15．已知曲線y＝2x3上一點A(1，2)，則點A處的切線斜率等于()A．2 B．4C．6＋6Δx＋2(Δx)2 D．6題16．已知曲線y＝f(x)在x＝5處的切線方程是y＝－x＋8，則f′(5)等于()A．5B．3C．0D．－1題17．已知函數f(x)＝ax2＋b，若f′(1)＝2，則a＝()A．4B．2C．1D．0題18（多選題）．若函數f(x)在x＝x0處存在導數，則eq\f(f（x0＋h）－f（x0）,h)的值()A．與x0有關 B．與h有關C．與x0無關 D．與h無關題19．(多選題)對于函數f(x)，若f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0))＝2，則當h無限趨近于0時，在下列式子中無限趨近于2的式子有()A．eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋h))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0)),h)B．eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋h))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0)),2h)C．eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋2h))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0)),h)D．eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋2h))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0)),2h)題20．已知函數f(x)＝eq\f(1,x＋1)，則f′(2)＝________．題21．如圖，煤場的煤堆形如圓錐，設圓錐母線與底面所成角為，傳輸帶以的速度送煤，則關于時間的函數是________________，當半徑為時，對時間的變化率為________．【分析】由題意可得，從而可得，利用圓錐的體積公式即可求解關于時間的函數，對求導，由可得對應的時刻，代入導函數中即可求解變化率．題22．若直線y＝－x＋b為函數y＝eq\f(1,x)圖象的切線，求b及切點坐標．題23.水以20米分的速度流入一圓錐形容器，設容器深30米，上底直徑12米，試求當水深10米時，水面上升的速度．【課堂跟蹤拔高】題24．若函數f(x)在x＝a處的導數為A，則當Δx→0時，eq\f(f（a＋Δx）－f（a－Δx）,2Δx)→()A．0B．AC．2AD．A2題25．一物體做加速直線運動，假設ts時的速度為v(t)＝t2＋3，則t＝2時物體的加速度為()A．4B．3C．2D．1題26．一物體做直線運動，其位移（單位：與時間（單位：的關系是，則該物體在時的瞬時速度為A． B． C． D．題27．(多選題)設P0為曲線f(x)＝x3＋x－2上的點，且曲線在P0處的切線平行于直線y＝4x－1，則P0點的坐標為()A．(1，0) B．(2，8)C．(－1，－4) D．(－2，－12)題28．設某質點的位移（單位：與時間（單位：的關系是，則質點在第時的瞬時速度等于__________．題29．已知曲線y＝f(x)＝2x2＋4x在點P處的切線斜率為16，則點P的坐標為________，點P處的切線方程為________．題30．已知f(x)＝x2，利用f(1)＝12＝1，f′(1)＝2，Δx＝0.03，求f(1.03)的近似值．題31．一質點做直線運動，在（單位：時離出發點的距離（單位：為．（1）求質點在第內的平均速度；（2）求質點在第末的瞬時速度；（3）經過多長時間質點的運動速度達到？題32.已知某物體的位移（米與時間（秒的關系是．（Ⅰ）求秒到秒的平均速度；（Ⅱ）求此物體在秒的瞬時速度．編號：033課題:§5.1.2瞬時變化率——導數目標要求1、通過實例分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程．2、理解導數的概念，導數的幾何意義．3、準確理解函數在某點處與過某點的切線方程．學科素養目標通過具體背景與實例的抽象，經歷導數模型的建構和利用導數解決實際問題的過程，使學生對變量數學的思想方法（無窮小算法數學）有新的感悟．進一步發展學生的數學思維能力，感受和體會數學產生和發展的規律以及人類智慧和文明的傳承，促進學生全面認識數學的價值．也為后繼進一步學習微積分等課程打好基礎．導數與函數、方程、不等式及解析幾何等相關內容密切相聯．具有“集成”的特點，進而，學習本章節有助于學生從整體上理解和把握數學的結構，靈活運用數學的思想和方法，提高分析問題、解決問題的能力．重點難點重點：導數的概念，導數的幾何意義；難點：理解函數在某點處與過某點的切線方程．教學過程基礎知識積累1.曲線上某點處的割線與切線名稱割線切線定義設點Q為曲線C上不同于P的一點，則直線PQ稱為曲線的割線當點Q無限逼近點P時，直線PQ最終就成為在點P處最逼近曲線的直線l，這條直線l稱為曲線在點P處的切線斜率設曲線C上一點P(x，f(x))，另一點Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，則割線PQ的斜率為kPQ＝eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)當點Q沿曲線C向點P運動，并無限靠近點P時，割線PQ逼近點P的切線l，從而割線的斜率逼近切線l的斜率，即當Δx無限趨近于0時，eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)無限趨近于點P(x，f(x))處的切線的斜率【友情提醒注意】經歷割線逼近切線的過程，體會“局部以直代曲”和“無限逼近”的數學思想．2．瞬時速度和瞬時加速度(1)瞬時速度如果當Δt無限趨近于0時，運動物體位移S(t)的平均變化率eq\f(S（t0＋Δt）－S（t0）,Δt)無限趨近于一個常數，那么這個常數稱為物體在t＝t0時的瞬時速度；(2)瞬時加速度：如果當Δt無限趨近于0時，運動物體速度v(t)的平均變化率eq\f(v（t0＋Δt）－v（t0）,Δt)無限趨近于一個常數，那么這個常數稱為物體在t＝t0時的瞬時加速度．【友情提醒注意】瞬時速度就是位移對于時間的瞬時變化率；瞬時加速度就是速度對于時間的瞬時變化率．3．導數某點處的導數定義設函數y＝f(x)在區間(a，b)上有定義，x0∈(a，b)，當Δx無限趨近于0時，比值eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)無限趨近于一個常數A，則稱f(x)在x＝x0處可導，并稱該常數A為函數f(x)在x＝x0處的導數，記作f′(x0)．可用符號“→”表示“無限趨近于”幾何意義導數f′(x0)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率【友情提醒注意】(1)f′(x0)是一種新的記號，表示函數f(x)在x＝x0處的導數．(2)瞬時速度：運動物體的位移S(t)對于時間t的導數，即v(t)＝S′(t).(3)瞬時加速度：運動物體的速度v(t)對于時間t的導數，即a(t)＝v′(t).4．導函數(1)導函數的定義若f(x)對于區間(a，b)內任一點都可導，則f(x)在各點的導數也隨著自變量x的變化而變化，因而也是自變量x的函數，該函數稱為f(x)的導函數，記作f′(x)．在不引起混淆時，導函數f′(x)也簡稱為f(x)的導數．(2)f′(x0)的意義f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)就是導函數f′(x)在x＝x0處的函數值．【友情提醒注意】f′(x)也是一個函數，稱為f(x)的導函數．【課前預習思考】(1)曲線在某一點處的切線與曲線只能有一個公共點嗎？提示：不是．如y＝x3在點(1，1)處的切線與曲線有2個公共點．(2)求f(x)在x＝x0處的導數的一般步驟是什么？提示：①求Δy；②求eq\f(Δy,Δx)；③當Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)→A(常數)，則常數A即為f(x)在x＝x0處的導數．(3)如何理解f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)?提示：f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)是函數f′(x)在x＝x0處的函數值，而不是f(x0)的導數．【課前小題演練】題1．某廠家生產的新能源汽車的緊急剎車裝置在遇到特別情況時需在2s內完成剎車，其位移h(單位：m)關于時間：(單位：s)的函數關系式為h(t)＝－t3－2t＋eq\f(40,3)，則h′(1)的實際意義是()A．汽車剎車后1s內的位移B．汽車剎車后1s內的平均速度C．汽車剎車后1s時的瞬時速度D．汽車剎車后1s時的瞬時加速度【解析】選C.由導數的實際意義知，位移關于時間的瞬時變化率為該時刻的瞬時速度．題2．一質點沿直線運動，運動的距離（單位：與時間（單位：之間的函數關系為，則當時，該質點的瞬時速度為A． B． C． D．【分析】利用導數的計算公式和幾何意義求解即可．【解答】解：，，當時，，即當時，該質點的瞬時速度為，故選：．【點評】本題主要考查導數的計算公式和幾何意義，屬于基礎題．題3．函數y＝f(x)在x＝x0處的導數可表示為，即()A．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)B．f′(x0)＝[f(x0＋Δx)－f(x0)]C．f′(x0)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)D．f′(x0)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)【解析】選C.是f′(x0)的另一種記法，根據導數的定義可知C正確．題4．一質點按規律s＝2t3運動，則其在t＝2時的瞬時速度等于()A．2B．8C．16D．24【解析】選D.Δs＝2×(2＋Δt)3－2×23＝24Δt＋12(Δt)2＋2(Δt)3，所以eq\f(Δs,Δt)＝24＋12Δt＋2(Δt)2，當Δt→0時，eq\f(Δs,Δt)→24.題5.某物體做自由落體運動的位移，，若，則是該物體A．從到△這段時間的平均速度 B．從到這段時間的平均速度 C．在這一時刻的瞬時速度 D．在△這一時刻的瞬時速度【分析】根據題意，由平均變化率公式分析可得答案．【解答】解：根據題意，對于，，即從到△這段時間的平均速度為；故選：．【點評】本題考查平均變化率的計算，注意變化率的計算公式，屬于基礎題．題6．（多選）下列說法錯誤的是()A.函數y＝f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)的幾何意義是函數y＝f(x)在點x＝x0處的函數值．B.函數y＝f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)的幾何意義是函數y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線與x軸所夾銳角的正切值．C.函數y＝f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率．D.函數y＝f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)的幾何意義是點(x0，f(x0))與點(0，0)連線的斜率．【答案】ABD【解析】A.×.函數y＝f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)的幾何意義是函數y＝f(x)在點x＝x0處的導數值．B.×.函數y＝f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)的幾何意義是函數y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線傾斜角的正切值．C.√.函數y＝f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率．D.×.函數y＝f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率，不是點(x0，f(x0))與點(0，0)連線的斜率．題7．函數y＝x2＋1在x＝2處的導數為________．【解析】eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(（2＋Δx）2＋1－（22＋1）,Δx)＝eq\f(4＋（Δx）2＋4Δx＋1－5,Δx)＝Δx＋4，當Δx→0時，Δx＋4→4，所以y＝x2＋1在x＝2處的導數為4.答案：4題8．已知球的體積V是關于半徑r的函數，V(r)＝eq\f(4πr3,3)，則r＝2時，球的體積的瞬時變化率為________.【解析】ΔV＝V(2＋Δr)－V(2)＝eq\f(4π（2＋Δr）3,3)－eq\f(4π23,3)＝eq\f(4π·Δr[12＋6Δr＋（Δr）2],3)，所以eq\f(ΔV,Δr)＝eq\f(4π,3)[12＋6Δr＋(Δr)2]，當Δr趨于0時eq\f(ΔV,Δr)趨于16π.答案：16π.題9.一個小球作簡諧振動，其運動方程為，其中（單位：是小球相對于平衡點的位移，（單位：為運動時間，則小球在時的瞬時速度為_________．【分析】利用導數的實際意義求解．【解答】解：，，小球在時的瞬時速度為，故答案為：．【點評】本題主要考查了導數的實際意義，屬于基礎題．題10．求曲線y＝f(x)＝x2＋1在點P(1，2)處的切線方程．【解析】因為Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2Δx＋(Δx)2，所以eq\f(Δy,Δx)＝2＋Δx，當Δx→0時，f′(1)＝2.所以，所求切線的斜率為2，因此，所求的切線方程為y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.題11.一物體做直線運動，運動的路程（單位：與運動的時間（單位：滿足：．（1）求該物體在第內的平均速度；（2）求（2），并解釋它的實際意義；（3）經過多長時間物體的運動速度達到．【分析】（1）根據平均速度的公式進行計算即可；（2）求函數的導數，利用導數的幾何意義為瞬時速度即可；（3）解導數方程，即可．【解答】解：（1）內的平均速度為（2），則（2），即該物體在末的瞬時速度為，（3）由，得，即，得（舍或，即經過物體的運動速度達到．【點評】本題主要考查導數的定義以及導數的幾何意義，根據平均變化率和瞬時變化率的公式是解決本題的關鍵．【當堂鞏固訓練】題12．函數f(x)的圖象如圖所示，則下列數值排序正確的是()A．f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))<f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))B．f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))<f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))C．f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))<f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))<f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))<f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))【解析】選B.設A(2，f(2))，B(3，f(3))，所以kAB＝eq\f(f（3）－f（2）,3－2)＝f(3)－f(2)，設點A處的切線為AC，點B處的切線為BD，得kAC<kAB<kBD，所以f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))<f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3)).題13．一個小球作簡諧振動，其運動方程為，其中（單位：是小球相對于平衡點的位移，（單位：為運動時間，則小球的瞬時速度首次達到最大時，A．1 B． C． D．【分析】由題意可知瞬時速度為，當瞬時速度最大時，再結合余弦函數進行求解．【解答】解：運動方程為，瞬時速度為，當瞬時速度最大時，，，，當時，為小球瞬時速度首次達到最大值，此時，故選：．【點評】本題主要考查了導數的實際意義，屬于基礎題．題14．如圖，函數y＝f(x)的圖象在點P處的切線方程是y＝－x＋6，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))＋f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))＝()A．eq\f(1,2)B．1C．2D．0【解析】選C.當x＝3時，y＝－3＋6＝3，所以f(3)＝3，因為函數y＝f(x)的圖像在點P處的切線方程是y＝－x＋6，所以f′(3)＝－1，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))＋f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))＝3＋(－1)＝2.題15．已知曲線y＝2x3上一點A(1，2)，則點A處的切線斜率等于()A．2 B．4C．6＋6Δx＋2(Δx)2 D．6【解析】選D.因為y＝2x3，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2（1＋Δx）3－2×13,Δx)＝eq\f(2（Δx）3＋6（Δx）2＋6Δx,Δx)＝[2(Δx)2＋6Δx＋6].當Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)＝6.即點A(1，2)處切線的斜率為6.題16．已知曲線y＝f(x)在x＝5處的切線方程是y＝－x＋8，則f′(5)等于()A．5B．3C．0D．－1【解析】選D.由y＝f(x)在x＝5處的切線方程是y＝－x＋8，可知切線的斜率為－1，易得f′(5)＝－1.題17．已知函數f(x)＝ax2＋b，若f′(1)＝2，則a＝()A．4B．2C．1D．0【解析】選C.因為eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)＝eq\f(a（x＋Δx）2＋b－（ax2＋b）,Δx)＝2ax＋a·Δx，當Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)→2ax，所以f′(x)＝2ax，因為f′(1)＝2a＝2，所以a＝1.題18（多選題）．若函數f(x)在x＝x0處存在導數，則eq\f(f（x0＋h）－f（x0）,h)的值()A．與x0有關 B．與h有關C．與x0無關 D．與h無關【解析】選AD.由導數的定義，得eq\f(f（x0＋h）－f（x0）,h)＝f′(x0)，即函數f(x)在x＝x0處的導數與x0有關，與h無關．題19．(多選題)對于函數f(x)，若f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0))＝2，則當h無限趨近于0時，在下列式子中無限趨近于2的式子有()A．eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋h))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0)),h)B．eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋h))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0)),2h)C．eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋2h))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0)),h)D．eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋2h))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0)),2h)【解析】選AD.因為eq\f(f（x0＋h）－f（x0）,h)，當h→0時，eq\f(f（x0＋h）－f（x0）,h)＝2＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0))，故選項A正確；因為eq\f(f（x0＋h）－f（x0）,2h)，當h→0時，eq\f(f（x0＋h）－f（x0）,2h)＝eq\f(1,2)f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0))＝1，故選項B錯誤；因為eq\f(f（x0＋2h）－f（x0）,h)，當h→0時，eq\f(f（x0＋2h）－f（x0）,h)＝2f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0))＝4，故選項C錯誤；因為eq\f(f（x0＋2h）－f（x0）,2h)，當h→0時，eq\f(f（x0＋2h）－f（x0）,2h)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0))＝2，故選項D正確．題20．已知函數f(x)＝eq\f(1,x＋1)，則f′(2)＝________．【解析】eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)＝eq\f(\f(1,x＋Δx＋1)－\f(1,x＋1),Δx)＝eq\f(－1,（x＋Δx＋1）（x＋1）)，當Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)→eq\f(－1,（x＋1）2)，所以f′(x)＝eq\f(－1,（x＋1）2)，故f′(2)＝eq\f(－1,32)＝－eq\f(1,9).答案：－eq\f(1,9)題21．如圖，煤場的煤堆形如圓錐，設圓錐母線與底面所成角為，傳輸帶以的速度送煤，則關于時間的函數是________________，當半徑為時，對時間的變化率為________．【分析】由題意可得，從而可得，利用圓錐的體積公式即可求解關于時間的函數，對求導，由可得對應的時刻，代入導函數中即可求解變化率．【解答】解：由題意值，，所以，設時煤堆的體積為，則，①所以，②對求導可得，③當時，對應的時刻為，由①得，代入③式可得．故答案為：；．【點評】本題主要考查圓錐體積公式，變化率，導數的應用，考查運算求解能力，屬于中檔題．題22．若直線y＝－x＋b為函數y＝eq\f(1,x)圖象的切線，求b及切點坐標．【解析】eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(1,x＋Δx)－\f(1,x),Δx)＝eq\f(－1,x（x＋Δx）)，當Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)→－eq\f(1,x2)，設切點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,x0)))，則k＝－eq\f(1,xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)))＝－1，得x0＝±1，當x0＝1時，切點(1，1)，代入y＝－x＋b得b＝2，當x0＝－1時，切點(－1，－1)，代入y＝－x＋b得b＝－2，綜上b＝2，切點為(1，1)或b＝－2，切點為(－1，－1).題23.水以20米分的速度流入一圓錐形容器，設容器深30米，上底直徑12米，試求當水深10米時，水面上升的速度．【分析】利用平行線分線段成比例定理得到水面的半徑與水高的關系；利用圓錐的體積公式求出水深與時間的函數關系；對水深求導數即為水上升的速度．【解答】解：設容器中水的體積在分鐘時為，水深為則，又由圖知，，，，于是．當時，，此時．當米時，水面上升速度為米分．【點評】本題考查圓錐的體積公式、平行線分線段成比例定理、對水深求導即為水上升的速度．【課堂跟蹤拔高】題24．若函數f(x)在x＝a處的導數為A，則當Δx→0時，eq\f(f（a＋Δx）－f（a－Δx）,2Δx)→()A．0B．AC．2AD．A2【解析】選B.因為當Δx→0時，eq\f(f（a＋Δx）－f（a）,Δx)→A，所以eq\f(f（a－Δx）－f（a）,－Δx)→A(用－Δx替換Δx)，所以當Δx→0時，eq\f(f（a＋Δx）－f（a－Δx）,2·Δx)＝eq\f(1,2)×eq\f(f（a＋Δx）－f（a）,Δx)＋eq\f(1,2)×eq\f(f（a）－f（a－Δx）,Δx)→eq\f(1,2)[A＋eq\f(f（a－Δx）－f（a）,－Δx)](當Δx→0時，－Δx→0)→eq\f(1,2)(A＋A)＝A.題25．一物體做加速直線運動，假設ts時的速度為v(t)＝t2＋3，則t＝2時物體的加速度為()A．4B．3C．2D．1【解析】選A.因為eq\f(