學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE11-學必求其心得，業必貴于專精§1同角三角函數的基本關系學習目標核心素養1。理解同角三角函數的基本關系式：sin2α＋cos2α＝1,eq\f(sinα，cosα）＝tanα。(重點）2。會利用這兩個公式求三角函數式的值，化簡三角函數式或證明三角恒等式．（難點)1。通過學習同角三角函數基本關系式提升數學抽象素養．2.通過運用同角三角函數基本關系化簡或證明三角恒等式，培養邏輯推理素養。同角三角函數基本關系式（1）關系式①平方關系:sin2α＋cos2α＝__1__；②商數關系：eq\f（sinα，cosα）＝tan__α。(2)文字敘述同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．(3）變形形式①1＝sin2α＋cos2α；②sin2α＝1－cos2α;cos2α＝1－sin2α;③sinα＝±eq\r（1－cos2α);cosα＝±eq\r(1－sin2α)；④sinα＝cosαtanα;⑤（sinα±cosα)2＝1±2sin_αcos__α。思考:sin230°＋cos245°等于1嗎？eq\f（sin90°,cos90°)有意義嗎?[提示]不等于1，eq\f(sin90°,cos90°)分母為0，無意義．1．已知sinα＝－eq\f（4，5），α是第三象限角，則tanα等于（）A．eq\f（3，4)B．－eq\f(3，4）C．eq\f(4,3）D．－eq\f（4,3）C[因為sinα＝－eq\f（4，5)，且α是第三象限角．所以cosα＝－eq\r（1－sin2α）＝－eq\f(3,5）。所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f（4，3）.]2．已知3sinα＋cosα＝0，則tanα＝________。－eq\f（1，3)[因為3sinα＋cosα＝0，所以cosα＝－3sinα，所以tanα＝eq\f（sinα,cosα)＝eq\f（sinα,－3sinα）＝－eq\f（1,3)。］3．已知sinθ＝eq\f（m－3，m＋5)，cosθ＝eq\f(4－2m,m＋5),則m＝________.0或8[由sin2θ＋cos2θ＝1得，m＝0或8.］4。eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(tanx＋\f（cosx,sinx)）)cos2x＝()A．tanx B．sinxC．cosx D．eq\f（cosx，sinx）D[原式＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（sinx,cosx)＋\f（cosx，sinx）)）cos2x＝eq\f(sin2x＋cos2x，sinxcosx)·cos2x＝eq\f（cosx，sinx）.]利用同角基本關系式求值【例1】已知cosα＝－eq\f（8，17)，求sinα，tanα的值．[解］∵cosα＝－eq\f(8，17)<0，∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sinα＝eq\r（1－cos2α)＝eq\r（1－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（8,17))）2）＝eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(15,17）,－\f(8，17)）＝－eq\f(15,8）。如果α是第三象限角,同理可得sinα＝－eq\r（1－cos2α）＝－eq\f(15，17),tanα＝eq\f（15,8)。已知角α的某一種三角函數值,求角α的其余三角函數值時,要注意公式的合理選擇，一般是先選用平方關系,再用商數關系.另外也要注意“1”的代換，如“1＝sin2α＋cos2α”.本題沒有指出α是第幾象限的角，則必須由cosα的值推斷出α所在的象限，再分類求解。1．已知tanα＝eq\f（4，3）且α為第三象限角,求sinα,cosα的值．[解］由tanα＝eq\f（sinα,cosα)＝eq\f（4,3），得sinα＝eq\f（4，3）cosα.①又sin2α＋cos2α＝1,②由①②得eq\f（16，9）cos2α＋cos2α＝1,即cos2α＝eq\f(9，25)，又α是第三象限角，∴cosα＝－eq\f(3，5）,sinα＝－eq\f(4,5).利用sinα±cosα，sinα,cosα之間的關系求值【例2】已知0<α<π，sinα＋cosα＝eq\f（1,5)，求tanα的值．[解］由sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，①得sinα·cosα＝－eq\f（12，25)〈0，又0〈α<π，∴sinα>0，cosα〈0,則sinα－cosα>0，∴sinα－cosα＝eq\r(sinα－cosα2)＝eq\r（1－2sinαcosα）＝eq\r(1－2×\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(12,25）))）＝eq\f(7,5)，②由①②解得sinα＝eq\f(4，5），cosα＝－eq\f(3,5），∴tanα＝eq\f(sinα，cosα）＝－eq\f(4,3）。sinα＋cosα,sinα－cosα，sinαcosα三個式子中，已知其中一個，可以求其他兩個，即“知一求二”，它們之間的關系是:(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，利用此關系求sinα＋cosα或sinα－cosα的值時，要注意判斷它們的符號．2．sinαcosα＝eq\f(1，8)，且eq\f(π，4）<α<eq\f（π,2)，則cosα－sinα的值為()A．eq\f（\r(3）,2） B．－eq\f(\r(3),2)C．eq\f（3,4） D．－eq\f(3，4)B[∵(cosα－sinα)2＝sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝1－2×eq\f(1，8)＝eq\f（3,4），∴cosα－sinα＝±eq\f（\r(3），2）.又eq\f(π,4)〈α<eq\f（π，2），sinα〉cosα，∴cosα－sinα＝－eq\f(\r（3),2）。]利用同角三角函數關系化簡、證明[探究問題]1．平方關系對任意α∈R均成立,對嗎？商數關系呢？［提示］平方關系中對任意α∈R均成立，而商數關系中α≠kπ＋eq\f(π，2)(k∈Z）．2．證明三角恒等式常用哪些技巧？［提示］切弦互化，整體代換，“1”的代換．3．證明三角恒等式應遵循什么樣的原則？[提示］由繁到簡．【例3】（1)化簡tanα·eq\r（\f（1，sin2α）－1），其中α是第二象限角；（2）求證：eq\f(1＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)＝eq\f(tanα＋1，tanα－1)。[思路探究](1)先確定sinα，cosα的符號,結合平方關系和商數關系化簡．(2）逆用平方關系結合tanα＝eq\f（sinα,cosα)化簡．［解］（1)因為α是第二象限角，所以sinα>0，cosα〈0。故tanα·eq\r（\f(1,sin2α）－1）＝tanα·eq\r（\f（1－sin2α，sin2α））＝tanαeq\r(\f（cos2α,sin2α)）＝eq\f(sinα,cosα）·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（\f（cosα，sinα）））＝eq\f(sinα,cosα）·eq\f（－cosα，sinα)＝－1.(2)證明：左邊＝eq\f（sin2α＋cos2α＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)＝eq\f(sinα＋cosα2，sin2α－cos2α)＝eq\f（sinα＋cosα，sinα－cosα）＝eq\f（tanα＋1,tanα－1）＝右邊．所以原式成立．1．將例3(1)變為“eq\f（cos36°－\r(1－cos236°），\r(1－2sin36°cos36°)）"，試對該式進行化簡．［解]原式＝eq\f(cos36°－\r(sin236°），\r（sin236°＋cos236°－2sin36°cos36°））＝eq\f(cos36°－sin36°,\r（cos36°－sin36°2)）＝eq\f(cos36°－sin36°，｜cos36°－sin36°|）＝eq\f（cos36°－sin36°,cos36°－sin36°)＝1。2．將例3(2)變為試證“eq\f（tanαsinα,tanα－sinα）＝eq\f(1＋cosα,sinα）”．［證明］左邊＝eq\f（\f（sin2α，cosα），\f（sinα，cosα）－sinα）＝eq\f(sin2α，sinα－sinαcosα)＝eq\f（1－cos2α,sinα1－cosα）＝eq\f(1＋cosα，sinα）＝右邊，所以等式成立．1．化簡過程中常用的方法有：(1）化切為弦，即把非正弦、余弦函數都化為正弦、余弦函數．從而減少函數名稱，達到化簡的目的．(2）對于含有根號的,常把根號下化成完全平方式，然后去根號達到化簡的目的．（3)對于化簡含高次的三角函數式，往往借助于因式分解，或構造sin2α＋cos2α＝1，以降低函數次數,達到化簡的目的．2．證明三角恒等式常用的方法有：（1）從一邊開始，證得它等于另一邊；（2)證明左右兩邊都等于同一個式子；（3）變更論證，即通過化除為乘、左右相減等，轉化成證明與其等價的等式．1．“同角”有兩層含義：一是“角相同”;二是“任意性”,即關系式恒成立，與角的表達形式無關．如:sin23α＋cos23α＝1等．2．已知角α的一個三角函數值，求α的其他兩個三角函數值時，要特別注意角所在的象限，以確定三角函數值的符號．3．計算、化簡或證明三角函數式時常用的技巧：（1)“1"的代換．為了解題的需要,有時可以將1用“sin2α＋cos2α”代替．(2)切化弦．利用商數關系把切函數化為弦函數．(3)整體代換．將計算式適當變形使條件可以整體代入，或將條件適當變形找出與算式之間的關系。1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)（1)sin2α＋cos2β＝1。（）（2)對任意角α，eq\f(sin\f(α，2),cos\f（α,2)）＝taneq\f(α,2)。()(3)利用平方關系求sinα或cosα時，會得到正負兩個值．(）（4）若sinα＝eq\f（1，2)，則cosα＝eq\f（\r（3）,2）.()［答案］（1）×（2）×（3)×（4)×2．若sinα＝eq\f(4,5),且α是第二象限角，則tanα的值等于(）A．－eq\f(4，3） B．eq\f(3,4)C．±eq\f(3,4) D．±eq\f（4,3）A[α為第二象限角，sinα＝eq\f(4,5），cosα＝－eq\f(3,5)，tanα＝－eq\f（4，3).］3．已知角A是三角形的一個內角,sinA＋cosA＝eq\f（2，3），則這個三角形是（)A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形B[∵sinA＋cosA＝eq\f(2,3)，∴1＋2sinAcosA＝eq\f(4,9），∴sinAcosA＝－eq\f（5，18)〈0，又∵A∈(0，π)，sinA>0，∴cosA<0,A為鈍角．故選B。］4．已知eq\f(4sinθ－2cosθ,3sinθ＋5cosθ）＝eq\f（6,11）,求下列各式的值．(1）eq\f(5cos2θ,sin2θ＋2sinθcosθ－3cos2θ）;（2）1－4sinθcosθ＋