1.學(xué)會用圖解法、解析法等解決動態(tài)平衡問題.2.會分析平衡中的臨界與極值問題.【目標(biāo)要求】第二章相互作用專題強化四

動態(tài)平衡問題平衡中的臨界、極值問題題型一動態(tài)平衡問題1.動態(tài)平衡是指物體的受力狀態(tài)緩慢發(fā)生變化，但在變化過程中，每一個狀態(tài)均可視為平衡狀態(tài).2.常用方法(1)解析法對研究對象進行受力分析，畫出受力示意圖，根據(jù)物體的平衡條件列方程，得到因變量與自變量的函數(shù)表達式(通常為三角函數(shù)關(guān)系)，最后根據(jù)自變量的變化確定因變量的變化.F2F1F3ɑβF2cosβF1cosɑ=（函數(shù)解析法）1.動態(tài)平衡是指物體的受力狀態(tài)緩慢發(fā)生變化，但在變化過程中，每一個狀態(tài)均可視為平衡狀態(tài).2.常用方法(1)解析法對研究對象進行受力分析，畫出受力示意圖，根據(jù)物體的平衡條件列方程，得到因變量與自變量的函數(shù)表達式(通常為三角函數(shù)關(guān)系)，最后根據(jù)自變量的變化確定因變量的變化.F2F1F3ɑ

β

拉密定理

F2F1123題型一動態(tài)平衡問題(2)圖解法此法常用于求解三力平衡問題中，已知一個力是恒力、另一個力方向不變的情況.一般按照以下流程分析：受力分析畫不同狀態(tài)下的平衡圖確定力的變化(3)相似三角形法在三力平衡問題中，如果有一個力是恒力，另外兩個力方向都變化，且題目給出了空間幾何關(guān)系，多數(shù)情況下力的矢量三角形與空間幾何三角形相似，可利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求解(構(gòu)建三角形時可能需要畫輔助線).例1

(多選)如圖1所示，在傾角為α的斜面上，放一質(zhì)量為m的小球，小球和斜面及擋板間均無摩擦，當(dāng)擋板繞O點逆時針緩慢地轉(zhuǎn)向水平位置的過程中A.斜面對球的支持力逐漸增大B.斜面對球的支持力逐漸減小C.擋板對小球的彈力先減小后增大D.擋板對小球的彈力先增大后減小√考向1圖解法圖1√解析對小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力FN1和擋板的彈力FN2，如圖，當(dāng)擋板繞O點逆時針緩慢地轉(zhuǎn)向水平位置的過程中，小球所受的合力為零，根據(jù)平衡條件得知，F(xiàn)N1和FN2的合力與重力mg大小相等、方向相反，作出小球在三個不同位置力的受力分析圖，由圖看出，斜面對小球的支持力FN1逐漸減小，擋板對小球的彈力FN2先減小后增大，當(dāng)FN1和FN2垂直時，彈力FN2最小，故選項B、C正確，A、D錯誤.例2

(2021·廣東中山市月考)如圖2，一小球放置在木板與豎直墻面之間.設(shè)墻面對球的壓力大小為FN1，木板對球的壓力大小為FN2.以木板與墻連接點所形成的水平直線為軸，將木板從圖示位置開始緩慢地轉(zhuǎn)到水平位置.不計一切摩擦，在此過程中A.FN1先增大后減小，F(xiàn)N2始終減小B.FN1先增大后減小，F(xiàn)N2先減小后增大C.FN1始終減小，F(xiàn)N2始終減小D.FN1始終減小，F(xiàn)N2始終增大√考向2解析法圖2解析以小球為研究對象，分析受力情況，受重力G、墻面的支持力FN1和木板的支持力FN2.將木板從圖示位置開始緩慢地轉(zhuǎn)到水平位置的過程中，θ增大，tanθ增大，sinθ增大，則FN1和FN2都始終減小，選項C正確.變式.(2020·廣東高三模擬)如圖5所示，豎直墻上連有細繩AB，輕彈簧的一端與B相連，另一端固定在墻上的C點.細繩BD與彈簧拴接在B點，現(xiàn)給BD一水平向左的拉力F，使彈簧處于伸長狀態(tài)，且AB、CB與墻的夾角均為45°.若保持B點不動，將BD繩繞B點沿順時針方向緩慢轉(zhuǎn)動，則在轉(zhuǎn)動過程中BD繩的拉力F的變化情況是A.變小

B.變大C.先變小后變大 D.先變大后變小√123456789101112圖5解析要保持B點的位置不變，BD繩順時針轉(zhuǎn)動的角度最大為45°，由于B點的位置不變，因此彈簧的彈力不變，由圖解可知，AB繩的拉力減小，BD繩的拉力也減小，故A正確，B、C、D錯誤.123456789101112變式(多選)(2017·全國卷Ⅰ·21)如圖8，柔軟輕繩ON的一端O固定，其中間某點M拴一重物，用手拉住繩的另一端N，初始時，OM豎直且MN被拉直，OM與MN之間的夾角為α(α＞

).現(xiàn)將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角α不變.在OM由豎直被拉到水平的過程中A.MN上的張力逐漸增大B.MN上的張力先增大后減小C.OM上的張力逐漸增大D.OM上的張力先增大后減小√√變式.(多選)如圖10所示裝置，兩根細繩拴住一小球，保持兩細繩間的夾角θ＝120°不變，若把整個裝置順時針緩慢轉(zhuǎn)過90°，則在轉(zhuǎn)動過程中，CA繩的拉力F1、CB繩的拉力F2的大小變化情況是A.F1先變小后變大

B.F1先變大后變小C.F2一直變小

D.F2最終變?yōu)榱恪?23456789101112圖10√√解析如圖所示，畫出小球的受力分析圖，構(gòu)建力的矢量三角形，由于這個三角形中重力不變，另兩個力間的夾角(180°－θ)保持不變，這類似于圓周角與對應(yīng)弦長的關(guān)系，作初始三角形的外接圓(任意兩邊的中垂線交點123456789101112即外接圓圓心)，然后讓另兩個力的交點在圓周上按F1、F2的方向變化規(guī)律滑動，力的矢量三角形的外接圓正好是以初態(tài)時的F2為直徑的圓周，知F1先變大后變小，F(xiàn)2一直變小，最終CA沿豎直方向，此時F1＝mg，F(xiàn)2變?yōu)榱悖蔬xB、C、D.例3

(2020·山西大同市開學(xué)考試)如圖3所示，AC是上端帶光滑輕質(zhì)定滑輪的固定豎直桿，質(zhì)量不計的輕桿BC一端通過鉸鏈固定在C點，另一端B懸掛一重力為G的物體，且B端系有一根輕繩并繞過定滑輪，用力F拉繩，開始時∠BCA>90°，現(xiàn)使∠BCA緩慢變小，直到∠BCA＝30°.此過程中，輕桿BC所受的力A.逐漸減小

B.逐漸增大C.大小不變

D.先減小后增大√考向3相似三角形法圖3解析以結(jié)點B為研究對象，分析受力情況，如圖所示，根據(jù)平衡條件可知，F(xiàn)、FN的合力F合與G大小相等、方向相反.根據(jù)相似三角形得

，且F合＝G，則有FN＝

G，現(xiàn)使∠BCA緩慢變小的過程中，AC、BC不變，即FN不變，則輕桿BC所受的力大小不變，C正確，A、B、D錯誤.7.(活結(jié)與動桿組合)(多選)如圖13所示，輕桿BC一端用鉸鏈固定于墻上，另一端有一小滑輪C，重物系一繩經(jīng)C固定在墻上的A點，滑輪與繩的質(zhì)量及摩擦力均不計，若將繩一端從A點沿墻稍向上移，系統(tǒng)再次平衡后，則A.繩的拉力增大B.輕桿受到的壓力減小，且桿與AB的夾角變大C.繩的拉力大小不變D.輕桿受的壓力不變√67圖13√挑戰(zhàn)題.(八省聯(lián)考·重慶·7)如圖9所示，垂直墻角有一個截面為半圓的光滑柱體，用細線拉住的小球靜止靠在接近半圓底端的M點.通過細線將小球從M點緩慢向上拉至半圓最高點的過程中，細線始終保持在小球處與半圓相切.下列說法正確的是A.細線對小球的拉力先增大后減小B.小球?qū)χw的壓力先減小后增大C.柱體受到水平地面的支持力逐漸減小D.柱體對豎直墻面的壓力先增大后減小123456789101112圖9√解析以小球為對象，設(shè)小球所在位置沿切線方向與豎直方向夾角為θ，沿切線方向有FT＝mgcosθ，沿半徑方向有FN＝mgsinθ，通過細線將小球從M點緩慢向上拉至半圓最高點的過程中θ增大，所以123456789101112細線對小球的拉力減小，小球?qū)χw的壓力增大，故A、B錯誤；以柱體為對象，豎直方向有F地＝Mg＋FNsinθ＝Mg＋mgsin2θ，水平方向有F墻＝FNcosθ＝mgsinθcosθ＝

mgsin2θ，θ增大，柱體受到水平地面的支持力逐漸增大；柱體對豎直墻面的壓力先增大后減小，當(dāng)θ＝45°時柱體對豎直墻面的壓力最大，故D正確，C錯誤.1.(單個物體的動態(tài)平衡問題)(多選)(2020·廣東惠州一中質(zhì)檢)如圖4所示，在粗糙水平地面上放著一個截面為四分之一圓弧的柱狀物體A，A的左端緊靠豎直墻，A與豎直墻之間放一光滑圓球B，已知A的圓半徑為球B的半徑的3倍，球B所受的重力為G，整個裝置處于靜止?fàn)顟B(tài).設(shè)墻壁對B的支持力為F1，A對B的支持力為F2，若把A向右移動少許后，它們?nèi)蕴幱陟o止?fàn)顟B(tài)，則F1、F2的變化情況分別是A.F1減小

B.F1增大C.F2增大

D.F2減小√跟進訓(xùn)練12圖4√解析法一：解析法以球B為研究對象，受力分析如圖甲所示，可得出F1＝Gtanθ，F(xiàn)2＝

，當(dāng)A向右移動少許后，θ減小，則F1減小，F(xiàn)2減小，故A、D正確.12法二：圖解法先根據(jù)平衡條件和平行四邊形定則畫出如圖乙所示的矢量三角形，在θ角減小的過程中，從圖中可直觀地看出，F(xiàn)1、F2都減小，故A、D正確.2.(多個物體的動態(tài)平衡問題)(多選)(2019·全國卷Ⅰ·19)如圖5所示，一粗糙斜面固定在地面上，斜面頂端裝有一光滑定滑輪.一細繩跨過滑輪，其一端懸掛物塊N，另一端與斜面上的物塊M相連，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài).現(xiàn)用水平向左的拉力緩慢拉動N，直至懸掛N的細繩與豎直方向成45°.已知M始終保持靜止，則在此過程中A.水平拉力的大小可能保持不變B.M所受細繩的拉力大小一定一直增加C.M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加D.M所受斜面的摩擦力大小可能先減小后增加√12圖5√解析對N進行受力分析如圖所示，因為N的重力與水平拉力F的合力和細繩的拉力FT是一對平衡力，從圖中可以看出水平拉力的大小逐漸增大，細繩的拉力也一直增大，選項A錯誤，B正確；12M的質(zhì)量與N的質(zhì)量的大小關(guān)系不確定，設(shè)斜面傾角為θ，若mNg≥mMgsinθ，則M所受斜面的摩擦力大小會一直增大，若mNg<mMgsinθ，則M所受斜面的摩擦力大小可能先減小后反向增大，選項C錯誤，D正確.1.臨界問題當(dāng)某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”，在問題的描述中常用“剛好”“恰能”“恰好”等.臨界問題常見的種類：(1)由靜止到運動，摩擦力達到最大靜摩擦力.(2)繩子恰好繃緊，拉力F＝0.(3)剛好離開接觸面，支持力FN＝0.2.極值問題平衡中的極值問題，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題.題型二平衡中的臨界、極值問題3.解題方法(1)極限法：首先要正確地進行受力分析和變化過程分析，找出平衡的臨界點和極值點；臨界條件必須在變化中去尋找，不能停留在一個狀態(tài)來研究臨界問題，而要把某個物理量推向極端，即極大和極小.(2)數(shù)學(xué)分析法：通過對問題的分析，根據(jù)物體的平衡條件寫出物理量之間的函數(shù)關(guān)系(或畫出函數(shù)圖象)，用數(shù)學(xué)方法求極值(如求二次函數(shù)極值、公式極值、三角函數(shù)極值).(3)物理分析方法：根據(jù)物體的平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定則進行動態(tài)分析，確定最大值與最小值.例4

(2020·廣東茂名市測試)如圖6所示，質(zhì)量分別為3m和m的兩個可視為質(zhì)點的小球a、b，中間用一細線連接，并通過另一細線將小球a與天花板上的O點相連，為使小球a和小球b均處于靜止?fàn)顟B(tài)，且Oa細線向右偏離豎直方向的夾角恒為37°，需要對小球b朝某一方向施加一拉力F.若已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.重力加速度為g，則當(dāng)F的大小達到最小時，Oa細線對小球a的拉力大小為A.2.4mg

B.3mgC.3.2mg

D.4mg圖6√解析以兩個小球組成的整體為研究對象，作出F在三個方向時整體的受力圖.根據(jù)平衡條件得知F與FT的合力與總重力總是大小相等、方向相反的，由力的合成圖可以知道當(dāng)F與繩子Oa垂直時F有最小值，即圖中2位置，此時Oa細線對小球a的拉力大小為FT＝4mgcos37°＝3.2mg，故C正確，A、B、D錯誤.例5

如圖7所示，質(zhì)量為m的物體放在一固定斜面上，當(dāng)斜面傾角為30°時恰能沿斜面勻速下滑.對物體施加一大小為F、方向水平向右的恒力，物體可沿斜面勻速向上滑行.設(shè)最大