3.4空間直線及其方四、直線與直線的位置關系線與平面的位置關系一、點向式方一、點向式方

一條直線可以有許多方向向 如果一非0向量平行于一條已 直線,這個向量稱為這條直線的方向向量的特征：

M0 平行于直線上任意兩點連接的向已知直線上點M0x0

y0,z0

s(m,

M(

y,z)

M0M//M0M

(x

x0,y

y0,z

z0M0M(xx0,y

y0,z

z0

M0(x0,y0,z0M0M

s(m,

x y z

直線的點向式

(對稱式、標準式m,

p不能同時為零，但允許一個或兩x當m

直線的方程

y z xyy

直線的方程為

二、參數式方x二、參數式方

yy0z

直線的點向式 令xx0yy0zz0 x故yz

x0mty0ntz0pt

直線的參數式xx0yy0z 例求過兩點M1(1,2,3),M2(2,6,5)的直線方解sM1M2

·所求直線方程

·x11

y4

z2過空間兩點A(x1y1z1B(x2y2z2)的直線方程s=AB=(x2－x1,y2－y1,z2－l:

yy1y2

z z2直線的兩點式求其方程 解

.As

(2,0,

所求直線方

x21

y30

z4 2yx

z2三、三、12定義空間直線可看成過該直線的兩平面121

C1zD12

C2zD2Ax

y

zD L:

空間直線的一般式方

B2yC2zD2注注直線L的一般式方程形式不是直線的點向式方程化為一般式方如點向式方程

xx0yy0z x ymnmn則其一般式方x z x

y1

OzO

x y1可寫成一般式方程y1 直線的一般式方程化為點向式方有兩種方用代數的消元法化為比例 3x例

2y

z1

化為點向式2x

yz2解13x2y

z1

2xyz2

(2)

可消去

5x

y1

x

y5

7x

3

x

zx0

y15

z 7此直線上一定點為(0,此直線上一定點為(0,1,3)方向向量為s3x2yz1將2xyz2

化為點向式方程解 先求直線上一定點:以

03x2y

1

x3,y2x

yz2

于是得直線上的一

,0,因所求直線與兩平面的法向量都垂直s

n1

(3,2,1)

sx y s點向式方

7 7 L直線的參數式方設x y z xy故 y

x0 y0nt

mt為參m

直線的參數方zzpzzp 直線的方向

s(m,n,直線上一

(x0

y0

z0上式何時有

求直線與平例

x22x2xyz

y31

z2

令x1

y31

z42xx2y3z42(2

t)(3

t)(4

2t)6

0

1得x

y

z求過點求過點M(2,1,3)x1y132z垂直相交的直解1求直線的對稱先求過點M且與已知直線垂直的平3(x2)2(y1)1(z3)再求已知直線與該平面的交點Nx1y132zty2tx3tt將將y2tx3tzt代入3x22y1(z3t7得N(2,13, 取所求直線的方向向NMN(22,131,33)(12,6,24)777 直線方程x2y1z24求過點求過點M(2,1,3)x1y132z垂直相交的直解2求直線的一般過點M且與已知直線垂直的平面13(x2)2(y1)1(z3)過點M和已知直線的平面2M0(1,1,0)在已知直線MNMinMMs03j20ks1(6,12,6)3求直求直線的一般過點M且與已知直線垂直的平面13(x2)2(y1)1(z3)過點M和已知直線的平面2MNMsM0(1,1,0)在已知直線n所求直線的一般方程為x2yz32:1(x1)2(y1)1(z0)3x2yz5用直線的點向式方程 用直線的一般方程四、四、定義兩直線的方向向量的夾角稱為直線的夾角(銳角直線L1

xx1m

yy1

zz1p

s1 L2

xx2

y

zz2 s1(m1,n1

m2n2p2m2n2p2111m2n2p222

cosL1,L2

|

n1n2p1p2兩直線的夾角余弦公直線L1

xx1m

yy1

zz1p

M1

s1(m1,n1

直線

:xx2yy2zz2

(x,y,z

兩直線的位置

s2

(m2,n2

L1

s2

s1//

M1M2L1 但不重

s1// M1M2L與L相交

，M

]

L與L

，M

] 例

x2

y

直線L2

xyy 判定兩直線的位置關直線

:x

y3

z

s1

M1

直線L2

x1y5z

s2

M2(1,5,

0,s1 ,

L2 [s，sM1

120

兩直線

:x1

y5

z81x

y

1L,

與

:2y

的夾

解

i(1,1,0)(0,2,1)i

0

兩直線的夾

cos

L1,L2

|

n1n2

p1p214111m2n2p2114111m2n2p2111m2n2p2222五、五、直線與平面的位置關定義直線和它在平面上的投影直線的夾角稱為直線與平銳角）L

m

yy0

zz0p

s(m,

n, Axn,

ByCz

D

n(A,B,Ccossincos

|Am

BnCpA2B2CA2B2C2m2n2p2A2A2B2C2m2n2p2

|Am

直線與平面的位置關

直線與平面的夾角公L x y zz0

M0(x0,y0

z0

s(m,

Ax

ByCz

D

n(A,B,C L s//

//

s

DL x y zz0

M0(x0,y0

z0

s(m,

Ax

ByCz

D

n(A,B,C

//

s

DL在

s

D

L與相交

s例判定直線L:x1 y

z與平2π:x

y

3的位置關相交求交點并求直線與平面的夾角解s

(2,1,

ns

21

7

s

所以L與π相交L:

2tt

代入π

t47z 2tz所以L與π的交點

(15,

4,1

n(1,1,2),sin

A2BA2B2C2m2n2p2

s(2,1,|12

(1)(1)6969

22| 636

為所求夾角解s

(2m,n,6

p),

sss

6

p

p

mss

2mss

n故當

n

p6時結論成平面束的方 設有兩塊不平行的平12

B2

C1zC2z

D1D2

交成一條直線

B1

C1zD1AxByCzD

C1z

B2

C2z

D2)

是平面方過直線L

(除2)平稱為過直線L的平面束 xyzxx平面方程

y

z1

0解過已知直線的平面束方程 xyz(x

yz1) ·將點(1,1,1)代入(1·111(1111)02 將 代入(1)中,2

5x

yz3 還有別求求通過直線Lxyz2xy的兩個互設平面束方程xyxyz2(1)x(1yz2n(1,1,21(1(10s(1,1,n(13(1203平面24x2yz2點到直線的距設P(x1y1z1)是直L外一L

m

yy0

zz0 pM0

(x0

y0

z0

s

n, M0M0P

s求點

(1,2,1)

L:

xy

xyz20 xyz20解z

得x=1,y M1(1,-1,0) 1111s

1

M1M0=(0,3,d

sM1M0

ijk10ijk103166111

兩直線間的距定義兩直線間的距離等于兩直線上的點間的最短距當兩直線平行時為一條直線上任意一點到另一條直線的距離當兩直線為異面直線定義兩異面直線的公垂線是指與兩直線都垂直相交的直（2）

xx1m

zz1 M M1

s1

2

xx2m2

yy2

zz2

M2L2

s2

[s1,s2,M1M2

d s1例證明直

L:x7y4z

L:

21

y5

z

異面，并求它們之間的距

M1

s2