5.2方陣的特征值與特征向量首頁上頁下頁返回結束化等問題也都要用到特征值的理論.工程技術中的一些問題，如振動問題、穩定性問題和彈性力學問題等，常歸結為求矩陣的特征值和特征向量.在數學上，解微分方程組及方陣的對角5.2方陣的特征值與特征向量首頁上頁下頁返回首頁上頁下頁返回結束零列向量

x使關系式定義5.7

設A

是

n

階矩陣，如果數

λ

和n

維非成立，那么，這樣的數

λ稱為矩陣A的特征值，非零Ax=λx（5-1）向量x

稱為A的對應于特征值

λ的特征向量.例如首頁上頁下頁返回結束零列向量x使關系式定

首頁上頁下頁返回結束∴2是A的一個特征值，一個特征向量.顯然，若則

A(kx)

=λ(kx)（k≠0），可見屬于特征值

λ的特征向量是不唯一的.如何求矩陣A的特征值與特征向量？下面討論這一問題.Ax=λx，x

是A的對應于特征值2的首頁上頁下頁返回結束∴2是A的一個特征

設

Aξ=λξ

（ξ≠0），是齊次線性方程組首頁上頁下頁返回結束非零解，上式是以λ為未知數的一元n次方程，的特征方程.改寫成λ的特征向量非零解為A對應稱為矩陣A設Aξ=λξ（ξ≠0），是齊次線性方程組首頁首頁上頁下頁返回結束其左端是λ的n次多項式，稱為矩陣A的特征多項式.記作它的根為A的特征值即

首頁上頁下頁返回結束其左端是λ的n次多項式，首頁上頁下頁返回結束（1）求出A的特征方程的全部根，（2）對于A的每一個特征值，它們即是A的對應于的一組線性無關的特征向量，

A的對應于的全部特征向量為◆特征值、特征向量的求法即是A的所有特征值；的一個基礎解系程組

（為不全為0的任意常數）.

求出齊次線性方首頁上頁下頁返回結束（1）求出A的特征方程首頁上頁下頁返回結束例5.5

求矩陣

的特征值和特征向量.∴A的特征值為解

A

的特征多項式為當

時，解方程組由基礎解系首頁上頁下頁返回結束例5.5求矩陣首頁上頁下頁返回結束∴對應于

的一特征向量可取為

當

時，解方程組由基礎解系∴對應于

的一特征向量可取為.首頁上頁下頁返回結束∴對應于首頁上頁下頁返回結束例5.6

求矩陣

特征值和特征向量.∴A的特征值為解

A

的特征多項式為當

時，解方程組由首頁上頁下頁返回結束例5.6求矩陣首頁上頁下頁返回結束當

時，解方程組由基礎解系∴

k1

p1（k1≠0）是對應于λ1=2

的全部特征向量.首頁上頁下頁返回結束當首頁上頁下頁返回結束基礎解系∴

k2

p2（k2≠0）是對應于λ2=λ3=1

的全部特征向量.例5.7

求矩陣

特征值和特征向量.解∴A的特征值為首頁上頁下頁返回結束基礎解系∴k2p2（首頁上頁下頁返回結束當

時，由基礎解系∴對應于λ1=-1

的全部特征向量是

k1

p1（k1≠0）.當

時，由解方程解方程首頁上頁下頁返回結束當首頁上頁下頁返回結束基礎解系∴

對應于

的全部特征向量

（不全為0）.首頁上頁下頁返回結束基礎解系∴對應于例5.8

設λ是方陣A的特征值，證明首頁上頁下頁返回結束.證

∵λ是方陣A的特征值（1）

是

的特征值；（2）當A可逆時，

是

的特征值.有p≠0,

使Ap=λp.于是（1）

是

的特征值；（2）當A可逆時，由

Ap=λp因

p≠0，知故的特征值.是例5.8設λ是方陣A的特征值，證明首頁上頁下頁不難證明：若λ是方陣A的特征值，則首頁上頁下頁返回結束.（其中（1）是

的特征值；是λ的多項式）（2）是

的特征值；（3）是

的特征值（4）是

的特征值；（5）當A可逆時，是

的特征值.不難證明：若λ是方陣A的特征值，則首頁上頁下頁返回首頁上頁下頁返回結束.則

p1,p2,…

,pm

線性無關.特征值，p1,p2,…

,pm

依次是與之對應的特征向量，則（1）（2）定理5.4

設

是方陣A的m個互不相等證明◆特征值、特征向量的性質定理5.3設n階方陣

的特征值為證明首頁上頁下頁返回結束.則p1,p2,首頁上頁下頁返回結束.|A|A12A1.知A可逆，解

因|A|例5.9設3階矩陣A的特征值為1

12

求12(1)20，故把上式記作

(A)，有

()2132.從而

(A)的特征值為

(1)1

(1)

3

(2)3

由定理5.3（2）

是A的特征值，則

()是

(A)的特征值

3A2E的特征值3A2E2A13A2E所以首頁上頁下頁返回結束.|A|A12A

5.2方陣的特征值與特征向量首頁上頁下頁返回結束化等問題也都要用到特征值的理論.工程技術中的一些問題，如振動問題、穩定性問題和彈性力學問題等，常歸結為求矩陣的特征值和特征向量.在數學上，解微分方程組及方陣的對角5.2方陣的特征值與特征向量首頁上頁下頁返回首頁上頁下頁返回結束零列向量

x使關系式定義5.7

設A

是

n

階矩陣，如果數

λ

和n

維非成立，那么，這樣的數

λ稱為矩陣A的特征值，非零Ax=λx（5-1）向量x

稱為A的對應于特征值

λ的特征向量.例如首頁上頁下頁返回結束零列向量x使關系式定

首頁上頁下頁返回結束∴2是A的一個特征值，一個特征向量.顯然，若則

A(kx)

=λ(kx)（k≠0），可見屬于特征值

λ的特征向量是不唯一的.如何求矩陣A的特征值與特征向量？下面討論這一問題.Ax=λx，x

是A的對應于特征值2的首頁上頁下頁返回結束∴2是A的一個特征

設

Aξ=λξ

（ξ≠0），是齊次線性方程組首頁上頁下頁返回結束非零解，上式是以λ為未知數的一元n次方程，的特征方程.改寫成λ的特征向量非零解為A對應稱為矩陣A設Aξ=λξ（ξ≠0），是齊次線性方程組首頁首頁上頁下頁返回結束其左端是λ的n次多項式，稱為矩陣A的特征多項式.記作它的根為A的特征值即

首頁上頁下頁返回結束其左端是λ的n次多項式，首頁上頁下頁返回結束（1）求出A的特征方程的全部根，（2）對于A的每一個特征值，它們即是A的對應于的一組線性無關的特征向量，

A的對應于的全部特征向量為◆特征值、特征向量的求法即是A的所有特征值；的一個基礎解系程組

（為不全為0的任意常數）.

求出齊次線性方首頁上頁下頁返回結束（1）求出A的特征方程首頁上頁下頁返回結束例5.5

求矩陣

的特征值和特征向量.∴A的特征值為解

A

的特征多項式為當

時，解方程組由基礎解系首頁上頁下頁返回結束例5.5求矩陣首頁上頁下頁返回結束∴對應于

的一特征向量可取為

當

時，解方程組由基礎解系∴對應于

的一特征向量可取為.首頁上頁下頁返回結束∴對應于首頁上頁下頁返回結束例5.6

求矩陣

特征值和特征向量.∴A的特征值為解

A

的特征多項式為當

時，解方程組由首頁上頁下頁返回結束例5.6求矩陣首頁上頁下頁返回結束當

時，解方程組由基礎解系∴

k1

p1（k1≠0）是對應于λ1=2

的全部特征向量.首頁上頁下頁返回結束當首頁上頁下頁返回結束基礎解系∴

k2

p2（k2≠0）是對應于λ2=λ3=1

的全部特征向量.例5.7

求矩陣

特征值和特征向量.解∴A的特征值為首頁上頁下頁返回結束基礎解系∴k2p2（首頁上頁下頁返回結束當

時，由基礎解系∴對應于λ1=-1

的全部特征向量是

k1

p1（k1≠0）.當

時，由解方程解方程首頁上頁下頁返回結束當首頁上頁下頁返回結束基礎解系∴

對應于

的全部特征向量

（不全為0）.首頁上頁下頁返回結束基礎解系∴對應于例5.8

設λ是方陣A的特征值，證明首頁上頁下頁返回結束.證

∵λ是方陣A的特征值（1）

是

的特征值；（2）當A可逆時，

是

的特征值.有p≠0,

使Ap=λp.于是（1）

是

的特征值；（2）當A可逆時，由

Ap=λp因

p≠0，知故的特征值.是例5.8設λ是方陣A的特征值，證明首頁上頁下頁不難證明：若λ是方陣A的特征值，則首頁上頁下頁返回結束.（其中（1）是

的特征值；是λ的多項式）（2）是

的特征值；（3）是

的特征值（4）是

的特征值；（5）當A可逆時，是

的特征值.不難證明：若λ是方陣A的特征值，則首頁上頁下頁返回首頁上頁下頁返回