第六章一次函數1函數第一頁，共31頁。第六章一次函數第一頁，共31頁。一、函數概念的構建探究：一輛汽車以60km/h的速度(sùdù)勻速行駛，行駛里程為skm，行駛時間為th.請同學們根據題意填寫下表：t/h12345s/km第二頁，共31頁。一、函數概念的構建t/h12345s/km第二頁，共31頁。試用含t的式子表示s.______【歸納】從計算結果完全可以看出，每給出一個t的值，都有_____的一個s的值與其對應，所以在這兩個變量中，__是自變量，__是因變量.【點撥(diǎnbo)】對于兩個變量s與t，實際上滿足s=60t，每給出一個t的值，就相應地有一個s的值與它對應.s=60t惟一(wéiyī)ts第三頁，共31頁。試用含t的式子表示s.______s=60t惟一(wéiy二、函數(hánshù)的概念1.一般地，在某個變化過程中，有兩個變量x和y.如果給定一個x值，相應地就______________，那么我們稱y是x的函數(hánshù).其中__是自變量，__是因變量.2.對于兩個變量之間的函數(hánshù)關系，可以采用不同的表示方法，從本節課的例題、課堂練習中可以大致地歸納出三種，分別是：_______、_______、_________.確定(quèdìng)了一個y值xy圖象(túxiànɡ)法列表法關系式法第四頁，共31頁。二、函數(hánshù)的概念確定(quèdìng)了一個y【點撥】函數不是數，函數的本質是對應，函數關系就是變量之間的對應關系，且是一種特殊(tèshū)的對應關系，必須是“對于x的每一個值，y都有惟一的值與之對應”.第五頁，共31頁。【點撥】函數不是數，函數的本質是對應，函數關系就是變量之間的【預習思考】每上6個臺階就升高1m，上升高度h(m)與上臺階數m(個)之間的函數關系是什么(shénme)？提示：h=.理由：因為每上6個臺階就升高1m，那么上m個臺階，就上升m，所以上升高度h(m)與上臺階數m(個)之間的函數關系是h=.第六頁，共31頁。【預習思考】第六頁，共31頁。知識點1函數的概念【例1】下列問題中的兩個變量是否是函數關系？(1)平行四邊形的面積S和它的一邊長x的關系.(2)等腰三角形頂角(dǐnɡjiǎo)的度數y與一個底角的度數x的關系.第七頁，共31頁。知識點1函數的概念第七頁，共31頁。【解題探究】(1)設邊長為x的邊上的高為h，則該平行四邊形的面積(miànjī)可表示為_____.由上可知其存在___個變量，所以S與x之間_____函數關系.(2)①等腰三角形的底角為x，那么它的頂角為_________.②則頂角y與底角x之間的關系可表示為___________.由上可知其存在___個變量，所以y與x之間___函數關系.S=hx不是(bùshi)180°-2xy=180°-2x兩三是第八頁，共31頁。【解題探究】(1)設邊長為x的邊上的高為h，則該平行四邊形S【規律總結】理解函數概念的“三二一”1.三個部分：函數的概念由三部分組成：“兩個變量”“給定一個x值”“相應地確定一個y值”.2.兩個變量：判斷(pànduàn)兩個變量是否有函數關系不僅是看它們之間是否有關系式存在，更重要地看對于x的每一個確定的值，y是否有惟一確定的值與它對應.3.一一對應：函數不是數，它是指某一個變化過程中兩個變量之間的關系.第九頁，共31頁。【規律總結】第九頁，共31頁。【跟蹤訓練】1.下列各表達式不是表示y與x的函數關系的是()(A)y=3x2 (B)y=10x(C)y=±x(x>0) (D)y=3x+1【解析(jiěxī)】選C.選項A，B，D對于x的每一個取值，y都有惟一確定的值與之對應，符合函數的定義；選項C中，y=±x(x>0)對于x的每一個取值，y有兩個值與之對應，不符合函數的定義，故不是函數.第十頁，共31頁。【跟蹤訓練】第十頁，共31頁。2.周長為10cm的長方形的一邊長為acm，則這個長方形的面積S(cm2)與a(cm)之間的函數關系式是________，其中自變量是________，________是________的函數.【解析(jiěxī)】由題意可得該長方形的另一邊長為(5-a)cm，所以長方形的面積S=a(5-a)，則S隨a的變化而變化，所以a是自變量，S是a的函數.答案：S=a(5-a)aSa第十一頁，共31頁。2.周長為10cm的長方形的一邊長為acm，則這個長方形的面3.如表是某報紙公布的世界人口總數統計及預測情況：(1)表中有幾個(jǐɡè)變量？(2)你能將其中某個變量看作是另一個變量的函數嗎？(3)如果用x表示年份，y表示世界人口總數，那么隨著x的變化，y的變化趨勢是怎樣的？年份195719741987199920102025世界人口總數30億40億50億60億70億80億第十二頁，共31頁。3.如表是某報紙公布的世界人口總數統計及預測情況：年份195【解析】(1)表中有兩個變量，一個是年份，另一個是世界人口總數.(2)世界人口總數是年份的函數(hánshù).(3)隨著x的增加，y所對應的值在增大.第十三頁，共31頁。【解析】(1)表中有兩個變量，一個是年份，另一個是世界人口總知識點2慧眼識圖【例2】(8分)小明同學騎自行車去郊外春游，如圖表示(biǎoshì)他離家的距離y(km)與所用的時間x(h)之間關系的函數圖象.(1)根據圖象回答：小明到達離家最遠的地方需幾小時？此時離家多遠？(2)小明出發兩個半小時離家多遠？(3)小明出發多長時間離家12km？第十四頁，共31頁。知識點2慧眼識圖第十四頁，共31頁。【規范解答】(1)由圖象可知小明到達離家最遠的地方需3小時，此時(cǐshí)離家___km.…………………2分(2)小明出發2h時，離家___km.由于在CD段小明走的路程為___km，時間為__h，故小明這一段的速度為___÷__=15(km/h)，所以15×0.5=7.5(km)，所以7.5+15=22.5(km).所以小明出發兩個半小時離家22.5km.…4分3015151151第十五頁，共31頁。【規范解答】(1)由圖象可知小明到達離家最遠的地方需3301(3)由圖象(túxiànɡ)可以看出小明從出發到距離家___km有兩個時刻，一是在AB段，二是在___段，故分兩種情況：①因為小明從出發到出發1h時，勻速前行，其速度為___÷__=15(km/h)，所以12÷15=0.8(h)，0.8h=48min.………6分②因為小明出發4h后返回，所以返回時速度為___÷__=15(km/h)，所以(30-12)÷15=1.2(h)，1.2h=1h12min.所以4h+1h12min=5h12min.故小明出發48min和出發5h12min時離家都為12km.……8分12EF151302第十六頁，共31頁。(3)由圖象(túxiànɡ)可以看出小明從出發到距離家_【互動探究】例2中兩坐標軸所代表的量的含義是什么？提示(tíshì)：橫軸代表的是時間，單位是小時；縱軸代表的是小明離家的距離，單位是千米.第十七頁，共31頁。【互動探究】例2中兩坐標軸所代表的量的含義是什么？第十七頁，【規律總結】解決函數圖象問題三要點1.弄清坐標軸分別表示的具體數量.2.確定圖象上起止點所表示的意義(yìyì).3.弄清圖象的變化趨勢與傾斜程度.第十八頁，共31頁。【規律總結】第十八頁，共31頁。【跟蹤訓練(xùnliàn)】4.(2012·日照中考)某洗衣機在洗滌衣服時經歷了注水、清洗、排水三個連續過程(工作前洗衣機內無水)，在這三個過程中洗衣機內水量y(L)與時間x(min)之間的函數關系對應的圖象大致為()【解析】選D.注水、清洗、排水三個連續過程中，洗衣機內水量注水時是逐漸增多，洗衣時水量保持不變，排水時水量漸漸減少，所以只有選項D中圖象符合要求.第十九頁，共31頁。【跟蹤訓練(xùnliàn)】第十九頁，共31頁。【高手支招】從實際問題抽象出數學模型，再利用數學知識解決實際問題，這種思想叫做數學建模思想.通過建模，利用各種平面圖形(túxíng)的面積公式、立體圖形(túxíng)的體積公式、利用各種不變的量及等量關系，抽象成數學問題，是解決此類問題的關鍵.第二十頁，共31頁。【高手支招】從實際問題抽象出數學模型，再利用數學知識解決實際5.(2012·黑河中考)一天晚飯后，小明陪媽媽從家里出去散步(sànbù)，如圖描述了他們散步過程中離家的距離s(m)與散步(sànbù)時間t(min)之間的函數關系，下面的描述符合他們散步情景的是()(A)從家出發，到了一家書店，看了一會兒書就回家了(B)從家出發，到了一家書店，看了一會兒書，繼續向前走了一段，然后回家了第二十一頁，共31頁。5.(2012·黑河中考)一天晚飯后，小明陪第二十一頁，共3(C)從家出發，一直散步(沒有停留)，然后回家了(D)從家出發，散了一會兒步，到了一家書店，看了一會兒書，繼續向前走了一段，18min后開始返回【解析】選D.A的圖象應為梯形，錯誤；B描述不準確，錯誤；C圖形(túxíng)為上升和下降的兩條折線，錯誤；D符合圖象的特點，正確.第二十二頁，共31頁。(C)從家出發，一直散步(沒有停留)，然后回家了第二十二頁，6.如圖所示的各曲線中表示(biǎoshì)y是x的函數的是________(寫出所有滿足條件的序號).第二十三頁，共31頁。6.如圖所示的各曲線中表示(biǎoshì)y是x的函數的是【解析】根據“在某個變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定一個x值，相應地就確定了一個y值，那么y是x的函數”，圖(1)(2)(3)滿足上述條件，圖(4)不滿足，圖(4)中x每取一個值有兩個y值與其對應(duìyìng).答案：(1)(2)(3)第二十四頁，共31頁。【解析】根據“在某個變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定一1.駱駝被稱為“沙漠之舟”，它的體溫隨時間的變化而變化.在這一問題(wèntí)中，自變量是()(A)沙漠(B)體溫(C)時間(D)駱駝【解析】選C.駱駝的體溫隨時間的變化而變化，所以自變量是時間.第二十五頁，共31頁。1.駱駝被稱為“沙漠之舟”，它的體溫隨時間的變化而變化.在這2.(2012·武漢中考)甲、乙兩人在直線跑道上同起點、同終點、同方向勻速跑步500m，先到終點的人原地休息.已知甲先出發2s.在跑步過程中，甲、乙兩人的距離s(m)與乙出發的時間t(s)之間的關系如圖所示，給出以下結論(jiélùn)：①a=8；②b=92；③c=123.其中正確的是()(A)①②③ (B)僅有①②(C)僅有①③ (D)僅有②③第二十六頁，共31頁。2.(2012·武漢中考)甲、乙兩人在直線第二十六頁，共31【解析】選A.因為乙出發時甲行了2s，相距8m，所以甲的速度為8÷2=4(m/s)，因為100s后乙開始休息，所以乙的速度是500÷100=5m/s，因為as后甲乙相遇，所以a=8÷(5-4)=8(s)，即①正確，100s后乙到達終點(zhōngdiǎn)，甲跑了4×(100+2)=408(m)，所以b=500-408=92(m)，即②正確，甲跑到終點(zhōngdiǎn)一共需耗時500÷4=125s，所以c=125-2=123s，即③正確.第二十七頁，共31頁。【解析】選A.因為乙出發時甲行了2s，相距8m，第二十七頁，3.一石激起千層浪，一枚石頭投入水中，會在水面上激起一圈圈圓形波紋(這些波紋都是圓且圓的圓心相同).(1)如果圓的半徑(bànjìng)為r，面積為S，則S與r之間的關系式是________.(2)當圓的半徑(bànjìng)由1cm增加到5cm時，面積增加了________cm2.【解析】(1)根據圓的面積公式，如果圓的半徑(bànjìng)為r，面積為S，則S與r之間的關系式是S=πr2.(2)當圓的半徑(bànjìng)由1cm增加到5cm時，面積增加了24πcm2.答案：(1)S=πr2(2)24π第二十八頁，共31頁。3.一石激起千層浪，一枚石頭投入水中，會在水面上激起一圈圈圓4.某水果(shuǐguǒ)批發市場香蕉的價格如下表：若小強購買香蕉xkg(x大于40kg)付了y元，則y關于x的函數關系式為________.【解析】因為x>40，此時每千克香蕉6元，所以y=6x(x>40).答案：y=6x(x>40)購買數(kg)不超過20kg20kg以上但不超過40kg40kg以上每千克價格8元7元6元第二十九頁，共31頁。4.某水果(shuǐguǒ)批發市場香蕉的價格如下表：購買數5.某學校進行往返跑比賽，張佳同學去時以每秒6m的平均速度跑完，回來時以每秒5m的速度跑回起點，時間與速度的變化如圖.(1)張佳共跑了多長時間？(2)哪些時段保持勻速？速度分別是多少？(3)試寫出她在跑步過程(guòchéng)中和起點之間的距離s(m)與時間t(s)之間的關系式.第三十頁，共31頁。5.某學校進行往返跑比賽，張佳第三十頁，共31頁。【解析(jiěxī)】(1)從圖中可以看出張佳共跑了22s.(2)在0s～10s和10s～22s間保持勻速，速度分別為6m/s和5m/s.(3)在0s～10s之間s=6t；在10s～22s之間s=60-5(t-10)=110-5t.第三十一頁，共31頁。【解析(jiěxī)】(1)從圖中可以看出張佳共跑了22s第六章一次函數1函數第一頁，共31頁。第六章一次函數第一頁，共31頁。一、函數概念的構建探究：一輛汽車以60km/h的速度(sùdù)勻速行駛，行駛里程為skm，行駛時間為th.請同學們根據題意填寫下表：t/h12345s/km第二頁，共31頁。一、函數概念的構建t/h12345s/km第二頁，共31頁。試用含t的式子表示s.______【歸納】從計算結果完全可以看出，每給出一個t的值，都有_____的一個s的值與其對應，所以在這兩個變量中，__是自變量，__是因變量.【點撥(diǎnbo)】對于兩個變量s與t，實際上滿足s=60t，每給出一個t的值，就相應地有一個s的值與它對應.s=60t惟一(wéiyī)ts第三頁，共31頁。試用含t的式子表示s.______s=60t惟一(wéiy二、函數(hánshù)的概念1.一般地，在某個變化過程中，有兩個變量x和y.如果給定一個x值，相應地就______________，那么我們稱y是x的函數(hánshù).其中__是自變量，__是因變量.2.對于兩個變量之間的函數(hánshù)關系，可以采用不同的表示方法，從本節課的例題、課堂練習中可以大致地歸納出三種，分別是：_______、_______、_________.確定(quèdìng)了一個y值xy圖象(túxiànɡ)法列表法關系式法第四頁，共31頁。二、函數(hánshù)的概念確定(quèdìng)了一個y【點撥】函數不是數，函數的本質是對應，函數關系就是變量之間的對應關系，且是一種特殊(tèshū)的對應關系，必須是“對于x的每一個值，y都有惟一的值與之對應”.第五頁，共31頁。【點撥】函數不是數，函數的本質是對應，函數關系就是變量之間的【預習思考】每上6個臺階就升高1m，上升高度h(m)與上臺階數m(個)之間的函數關系是什么(shénme)？提示：h=.理由：因為每上6個臺階就升高1m，那么上m個臺階，就上升m，所以上升高度h(m)與上臺階數m(個)之間的函數關系是h=.第六頁，共31頁。【預習思考】第六頁，共31頁。知識點1函數的概念【例1】下列問題中的兩個變量是否是函數關系？(1)平行四邊形的面積S和它的一邊長x的關系.(2)等腰三角形頂角(dǐnɡjiǎo)的度數y與一個底角的度數x的關系.第七頁，共31頁。知識點1函數的概念第七頁，共31頁。【解題探究】(1)設邊長為x的邊上的高為h，則該平行四邊形的面積(miànjī)可表示為_____.由上可知其存在___個變量，所以S與x之間_____函數關系.(2)①等腰三角形的底角為x，那么它的頂角為_________.②則頂角y與底角x之間的關系可表示為___________.由上可知其存在___個變量，所以y與x之間___函數關系.S=hx不是(bùshi)180°-2xy=180°-2x兩三是第八頁，共31頁。【解題探究】(1)設邊長為x的邊上的高為h，則該平行四邊形S【規律總結】理解函數概念的“三二一”1.三個部分：函數的概念由三部分組成：“兩個變量”“給定一個x值”“相應地確定一個y值”.2.兩個變量：判斷(pànduàn)兩個變量是否有函數關系不僅是看它們之間是否有關系式存在，更重要地看對于x的每一個確定的值，y是否有惟一確定的值與它對應.3.一一對應：函數不是數，它是指某一個變化過程中兩個變量之間的關系.第九頁，共31頁。【規律總結】第九頁，共31頁。【跟蹤訓練】1.下列各表達式不是表示y與x的函數關系的是()(A)y=3x2 (B)y=10x(C)y=±x(x>0) (D)y=3x+1【解析(jiěxī)】選C.選項A，B，D對于x的每一個取值，y都有惟一確定的值與之對應，符合函數的定義；選項C中，y=±x(x>0)對于x的每一個取值，y有兩個值與之對應，不符合函數的定義，故不是函數.第十頁，共31頁。【跟蹤訓練】第十頁，共31頁。2.周長為10cm的長方形的一邊長為acm，則這個長方形的面積S(cm2)與a(cm)之間的函數關系式是________，其中自變量是________，________是________的函數.【解析(jiěxī)】由題意可得該長方形的另一邊長為(5-a)cm，所以長方形的面積S=a(5-a)，則S隨a的變化而變化，所以a是自變量，S是a的函數.答案：S=a(5-a)aSa第十一頁，共31頁。2.周長為10cm的長方形的一邊長為acm，則這個長方形的面3.如表是某報紙公布的世界人口總數統計及預測情況：(1)表中有幾個(jǐɡè)變量？(2)你能將其中某個變量看作是另一個變量的函數嗎？(3)如果用x表示年份，y表示世界人口總數，那么隨著x的變化，y的變化趨勢是怎樣的？年份195719741987199920102025世界人口總數30億40億50億60億70億80億第十二頁，共31頁。3.如表是某報紙公布的世界人口總數統計及預測情況：年份195【解析】(1)表中有兩個變量，一個是年份，另一個是世界人口總數.(2)世界人口總數是年份的函數(hánshù).(3)隨著x的增加，y所對應的值在增大.第十三頁，共31頁。【解析】(1)表中有兩個變量，一個是年份，另一個是世界人口總知識點2慧眼識圖【例2】(8分)小明同學騎自行車去郊外春游，如圖表示(biǎoshì)他離家的距離y(km)與所用的時間x(h)之間關系的函數圖象.(1)根據圖象回答：小明到達離家最遠的地方需幾小時？此時離家多遠？(2)小明出發兩個半小時離家多遠？(3)小明出發多長時間離家12km？第十四頁，共31頁。知識點2慧眼識圖第十四頁，共31頁。【規范解答】(1)由圖象可知小明到達離家最遠的地方需3小時，此時(cǐshí)離家___km.…………………2分(2)小明出發2h時，離家___km.由于在CD段小明走的路程為___km，時間為__h，故小明這一段的速度為___÷__=15(km/h)，所以15×0.5=7.5(km)，所以7.5+15=22.5(km).所以小明出發兩個半小時離家22.5km.…4分3015151151第十五頁，共31頁。【規范解答】(1)由圖象可知小明到達離家最遠的地方需3301(3)由圖象(túxiànɡ)可以看出小明從出發到距離家___km有兩個時刻，一是在AB段，二是在___段，故分兩種情況：①因為小明從出發到出發1h時，勻速前行，其速度為___÷__=15(km/h)，所以12÷15=0.8(h)，0.8h=48min.………6分②因為小明出發4h后返回，所以返回時速度為___÷__=15(km/h)，所以(30-12)÷15=1.2(h)，1.2h=1h12min.所以4h+1h12min=5h12min.故小明出發48min和出發5h12min時離家都為12km.……8分12EF151302第十六頁，共31頁。(3)由圖象(túxiànɡ)可以看出小明從出發到距離家_【互動探究】例2中兩坐標軸所代表的量的含義是什么？提示(tíshì)：橫軸代表的是時間，單位是小時；縱軸代表的是小明離家的距離，單位是千米.第十七頁，共31頁。【互動探究】例2中兩坐標軸所代表的量的含義是什么？第十七頁，【規律總結】解決函數圖象問題三要點1.弄清坐標軸分別表示的具體數量.2.確定圖象上起止點所表示的意義(yìyì).3.弄清圖象的變化趨勢與傾斜程度.第十八頁，共31頁。【規律總結】第十八頁，共31頁。【跟蹤訓練(xùnliàn)】4.(2012·日照中考)某洗衣機在洗滌衣服時經歷了注水、清洗、排水三個連續過程(工作前洗衣機內無水)，在這三個過程中洗衣機內水量y(L)與時間x(min)之間的函數關系對應的圖象大致為()【解析】選D.注水、清洗、排水三個連續過程中，洗衣機內水量注水時是逐漸增多，洗衣時水量保持不變，排水時水量漸漸減少，所以只有選項D中圖象符合要求.第十九頁，共31頁。【跟蹤訓練(xùnliàn)】第十九頁，共31頁。【高手支招】從實際問題抽象出數學模型，再利用數學知識解決實際問題，這種思想叫做數學建模思想.通過建模，利用各種平面圖形(túxíng)的面積公式、立體圖形(túxíng)的體積公式、利用各種不變的量及等量關系，抽象成數學問題，是解決此類問題的關鍵.第二十頁，共31頁。【高手支招】從實際問題抽象出數學模型，再利用數學知識解決實際5.(2012·黑河中考)一天晚飯后，小明陪媽媽從家里出去散步(sànbù)，如圖描述了他們散步過程中離家的距離s(m)與散步(sànbù)時間t(min)之間的函數關系，下面的描述符合他們散步情景的是()(A)從家出發，到了一家書店，看了一會兒書就回家了(B)從家出發，到了一家書店，看了一會兒書，繼續向前走了一段，然后回家了第二十一頁，共31頁。5.(2012·黑河中考)一天晚飯后，小明陪第二十一頁，共3(C)從家出發，一直散步(沒有停留)，然后回家了(D)從家出發，散了一會兒步，到了一家書店，看了一會兒書，繼續向前走了一段，18min后開始返回【解析】選D.A的圖象應為梯形，錯誤；B描述不準確，錯誤；C圖形(túxíng)為上升和下降的兩條折線，錯誤；D符合圖象的特點，正確.第二十二頁，共31頁。(C)從家出發，一直散步(沒有停留)，然后回家了第二十二頁，6.如圖所示的各曲線中表示(biǎoshì)y是x的函數的是________(寫出所有滿足條件的序號).第二十三頁，共31頁。6.如圖所示的各曲線中表示(biǎoshì)y是x的函數的是【解析】根據“在某個變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定一個x值，相應地就確定了一個y值，那么y是x的函數”，圖(1)(2)(3)滿足上述條件，圖(4)不滿足，圖(4)中x每取一個值有兩個y值與其對應(duìyìng).答案：(1)(2)(3)第二十四頁，共31頁。【解析】根據“在某個變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定一1.駱駝被稱為“沙漠之舟”，它的體溫隨時間的變化而變化.在這一問題(wèntí)中，自變量是()(A)沙漠(B)體溫(C)時間(D)駱駝【解析】選C.駱駝的體溫隨時間的變化而變化，所以自變量是時間.第二十五頁，共31頁。1.駱駝被稱為“沙漠之舟”，它的體溫隨時間的變化而變化.在這2.(2012·武漢中考)甲、乙兩人在直線跑道上同起點、同終點、同方向勻速跑步500m，先到終點的人原地休息.已知甲先出發2s.在跑步過程中，甲、乙兩人的距離s(m)與乙出發的時間t(s)之間的關系如圖所示，給出以下結論(jiélùn)：①a=8；②b=92；③c=123.其中正確的是()(A)①②③ (B)僅有①②(C)僅有①③ (D)僅有②③第二十六頁，共31