第

35

卷

第

10

期2016年10月巖石力學與工程學報Chinese

Journal

of

Rock

Mechanics

and

EngineeringVol.35

No.10Oct.，2016地鐵列車振動環境影響預測的薄片有限元–無限元耦合模型1，233馬龍祥

，劉維寧

，劉衛豐

，晏啟祥1，2(1.

西南交通大學

土木工程學院，四川

成都

610031；2.

西南交通大學

交通隧道工程教育部重點實驗室，四川

成都

610031；3.

北京交通大學

土木建筑工程學院，北京

100044)摘要：為了對地鐵列車運營引起的環境振動進行高效、高精度的預測，全面考慮列車真實行進過程對環境產生的效應，并假想隧道–地層系統為線路縱向無限個完全相同的薄片結構兩兩相接所組成的周期結構，其中各薄片結構均由圍繞隧道近場的有限單元及可提供良好邊界條件的遠場無限單元構成。在將環境振動激勵力分解為各激勵頻率輪軌力對應的成分基礎上，利用疊加原理及線路縱向任意一薄片結構在單一頻率輪軌力激勵下存有的周期性邊界條件，在頻域內將列車引起三維隧道–地層系統振動響應問題的求解轉化到在線路縱向一個薄片范圍內進行。研究結果表明，提出的模型能有效地對列車運營引起隧道–地層系統在任意方向上的任意振動物理量進行預測，其不僅預測精度高，而且計算速度快、計算能力強；地鐵列車運營引起地表在橫向、垂向及縱向

3

個方向上的振動速度及加速度響應具有相似的頻率成分及同一量級的時域最大振幅。關鍵詞：隧道工程；地鐵運營；環境振動；預測；周期性方法；薄片有限元–無限元耦合模型中圖分類號：U45文獻標識碼：A文章編號：1000–6915(2016)10–2131–11Slicedfiniteelement-infiniteelementcouplingmodelfor

predictingenvironmentalvibrationinducedbymetrotrainMA

Longxiang1，2，LIU

Weining

，LIU

Weifeng

，YAN

Qixiang331，2(1.Schoolof

CivilEngineering，SouthwestJiaotongUniversity，Chengdu，Sichuan610031，China；2.

KeyLaboratoryofTransportationTunnelEngineering，MinistryofEducation，SouthwestJiaotongUniversity，Chengdu，Sichuan610031，China；3.Schoolof

Civiland

ArchitecturalEngineering，BeijingJiaotongUniversity，Beijing100044，China)Abstract：In

order

to

carry

out

the

all-round

prediction

with

high

efficiency

and

high

precision

for

the

metrotrain-induced

environmental

vibration，the

effect

of

the

actual

moving

award

process

of

train

on

the

environmentwas

taken

into

full

consideration，and

the

tunnel-soil

system

was

supposed

as

a

longitudinal

periodic

structure，which

consists

of

a

series

of

the

identical

sliced

structures

successively

arrayed

in

the

longitudinal

direction

oftunnel.

Each

sliced

structure

was

supposed

to

be

composed

ofthe

finite

elements

inthe

near

fieldof

tunneland

theinfinite

elements

in

the

far

field

away

from

the

tunnel

which

can

provide

good

boundary

conditions.

Based

on

thedecompositions

of

the

environmental

vibration

excitation

forces

into

the

components

corresponding

to

thewheel-rail

forces

with

various

excitation

frequencies，utilizing

the

principle

of

superposition

and

the

periodic收稿日期：2015–11–27；修回日期：2016–05–03基金項目：國家自然科學基金資助項目(51278043，51278425)；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目(2682015BR019)Supported

by

the

National

Natural

Science

Foundation

of

China(Grant

Nos.

51278043

and

51278425)

and

the

Fundamental

Research

Funds

for

the

CentralUniversities(GrantNo.2682015BR019)作者簡介：馬龍祥(1988–)，男，博士，2009年畢業于北京交通大學土木工程(鐵道工程)專業，現任講師，主要從事地鐵列車振動環境影響及其控制、列車運營振動對隧道結構長期安全性影響等方面的研究工作。E-mail：malongxiang_swjtu@163.comDOI：10.13722/ki.jrme.2015.1634?2132?巖石力學與工程學報2016

年boundary

conditions

existed

in

each

longitudinal

sliced

structure

under

the

wheel-rail

forces

with

a

singleexcitation

frequency，the

solution

of

the

vibration

response

of

the

actual

three-dimensional

tunnel-soil

systeminduced

by

the

moving

train

was

transformed

to

be

solved

within

a

longitudinal

sliced

range

in

the

frequencydomain.

Computation

results

show

that

the

proposed

model

can

effectively

predict

any

train-induced

vibrationphysical

quantity

oftunnel-soil

systemin

any

direction.the

model

notonlyhashighprediction

precision，butalsohas

fast

calculation

speed

and

strong

calculation

ability.

The

ground

surface

vibration

velocity

and

accelerationresponses

in

the

transverse，vertical

and

longitudinal

directions

induced

by

metro

train

have

the

similar

frequencycomponents，andtheirtime-domainmaximum

amplitudesareinthesameorderofmagnitude.Keywords：tunnellingengineering；metrooperation；environmentalvibration；prediction；periodicapproach；slicedfiniteelement-infiniteelementcouplingmodel(SFEIECM)向變換到波數域，進而分別使用有限元及邊界元、1

引

言有限元及無限元或有限元及人工邊界對系統橫斷面進行離散模擬，最終建立了

2.5

維數值模型，將三維問題的求解歸結于研究系統的一個橫斷面。然而，這些波數方法都必須通過對系統縱向進行波數變換，才能使問題的計算工作量得以有效減少。而這樣的波數變換卻致使這些模型仍然較難全面考慮列車真實行進過程(具有多頻率成分輪軌力的行進過程)對環境產生的效應。因此，這些波數模型在考慮運行列車引起的環境振動響應時，往往會或多或少地進行一些簡化處理。快速發展的城市軌道交通在緩解交通壓力的同時也引起了越來越嚴重的環境振動問題[1-2]。與此同時，由于具有重要的現實意義，如何對地鐵列車運營引起的環境振動響應進行有效預測，也已成為社會廣泛關注的問題[3]。劉維寧等[4]在時域內建立了地鐵列車–軌道相互作用動力模型及隧道–地層系統的三維有限元模型，對地鐵列車振動的環境響應進行了分析。和振興等[5]建立軌道及隧道的三維有限元動力分析模型，研究了地鐵列車準靜態移動軸荷載引起的地面振動。孫曉靜等[6-7]分別在實測鋼軌振動響應反推得到的數定列車荷載及實測列車荷載基礎上，將荷載按一定方式沿線路縱向均布，建立二維有限元模型對地鐵列車運營引起的地表振動進行了研究。但是，在預測地鐵列車振動環境影響問題時，以上這些方法要么會產生巨大的計算工作量，要么就會因為對問題進行了一定簡化，致使無法真實模擬列車行進過程或實際多頻率成分輪軌力行進過程對環境產生的效應。綜上所述，可以看到，如何高效、高精度地預測隧道–地層結構在列車真實行進效應或實際多頻率成分輪軌力行進效應下的振動響應，仍是目前有待進一步研究的問題。鑒于此，為了克服既有地鐵環境振動預測模型中存在的不足，本文在將隧道–地層系統視為沿線路縱向以扣件間距為周期的周期結構基礎上，提出了地鐵列車振動環境影響預測的薄片有限元–無限元耦合模型(簡寫為SFEIECM)。該模型與特定車軌動力耦合模型進行了良好銜接，借助于頻域內的環境振動激勵力及一個無需進行線路縱向波數變換的新思路，實現了列車真實行進效應的高效、準確模擬，并最終在頻域內將列車引起三維隧道–地層系統振動響應問題的求解，轉化到在線路縱向一個由有限單元及無限單元構成的薄片范圍內進行。該模型大大減少了環境振動預測建模所需的自由度，并對問題進行了全面考慮，因此具有較高的預測效率及預測精度。為了提高問題的計算效率，一些學者將軌道–隧道–地層或隧道–地層系統近似視為一個沿線路縱向具有一致性或周期性的結構，又建立了預測隧道–地層系統由地鐵列車作用或移動力作用所引起振動響應的波數方法。G.Degrand等[8-9]視系統為沿線路縱向的周期結構，使用

Floquet

變換將系統縱向變換到波數域，進而建立了周期性有限元–邊界元耦合模型，將三維動力問題的求解歸結于研究系統的一個周期范圍。X.

Sheng等[10-12]視系統為沿線路縱向具有一致性的結構，運用

Fourier

變換將系統縱2

環境振動激勵力及其模擬考慮地鐵列車的真實行進效應對環境產生的影第35卷

第10期馬龍祥等：地鐵列車振動環境影響預測的薄片有限元–無限元耦合模型?2133?響，將車軌系統與隧道–地層系統解耦處理(由于隧道基底提供給軌道的剛度遠遠大于軌道自身的支撐剛度，采用解耦的方法求解環境振動激勵力，是合理可行的[4，9])，使用基于無限–周期結構理論的車軌動力耦合模型[13-15]，來模擬運營在具有不平順軌道上的列車經由軌道結構傳遞給隧道基底的環境振動激勵力(見圖

1)，并以此對隧道–地層系統進行動力加載。3

薄片有限元–無限元耦合模型的建立3.1

基本假定由于軌道交通運行引起土體及隧道結構等的動應變量值很小，土體及隧道結構等的變形均在完全線彈性變形范圍內[4-13]，因此，將隧道–地層系統的介質考慮為各向同性的完全線彈性連續介質，并做如下假定：vMcJcφczc(1)

地層為水平成層狀介質；…kt

ctMt

Jt…φt(2)

忽略隧道結構沿線路縱向的坡度，認為其為水平布置的直線結構；kwkHcwMwztRough(x)zw(3)

隧道結構與周圍土體緊密接觸，在交接面上變形協調；……L??Fk+1Fk(4)

隧道–地層系統阻尼滿足線性滯回阻尼理論[16](又稱復阻尼理論)。模型計算時，取相應介質的彈性模量及剪切模量如下：環境振動激勵力圖1

環境振動激勵力Fig.1

EnvironmentalvibrationexcitationforcesE*=E(1

2iβ)??+?(3)基于無限–周期結構理論的車軌動力耦合模型G*=

G(1+

2iβ)??視軌道為以扣件間距為周期的周期性離散支撐無限長結構，其在頻域內將列車與軌道進行耦合，并將輪軌力表述成一系列簡諧荷載的疊加。而實際的車軌動力響應可由各頻率成分輪軌力激擾下的響應結果進行疊加求得。運用該模型，能夠對列車準靜態輪軌力及由軌道不平順引發的動態輪軌力共同作用下的環境振動激勵力進行高精度的模擬。具體地，由該模型計算得到的軌道系統任意扣件下的環境振式中：β

為介質阻尼比；

E

，G

分別為介質實彈性模量及實剪切模量；

E

，

G

分別為考慮介質阻尼**的彈性模量及剪切模量。3.2

模型建立的基本原理將由基于無限–周期結構理論的車軌動力耦合模型求得的、沿線路縱向等間距分布的環境振動激勵力施加于隧道–地層結構上，經過特定處理及運算，可在頻域內建立地鐵列車振動環境影響預測的薄片有限元–無限元耦合模型。下面分別針對地鐵實際運營中的幾種常見情況，對建立相應薄片有限元–無限元耦合模型進行問題處理的基本原理進行說明。動頻域激勵力[13]可表示為NR??∑F

(ω)

=

F

(ω，ω

)(1)kkll=0?式中：F

(ω)

為第

k

個扣件下的頻域振動激勵力；NkR為軌道不平順的采樣點數，亦為考慮動態輪軌力激3.2.1

單洞隧道情況?振頻率的個數；ω

為輪軌力激勵頻率；F

(ω，ω

)

為lkl先考慮縱向無限長的隧道–地層結構在左右軌的相應位置，各自受單一頻率輪軌力引發的系列振車軌動力耦合系統特定激振頻率

ωl

的輪軌力作用在鋼軌上，由軌道第

k

個扣件下部結構傳遞給固定基礎對應頻率為ω

的力，其滿足如下關系：?動激勵力

F

(ω，ω

)

(

k

=

?∞～+∞

)作用。利用問題kl的對稱性，取一半(對應單股鋼軌)的隧道–地層空?ω

?ωl?F

(ω，ω

)

=

ei()L/v

F

(ω，ω

)(2)間進行研究，并將線路對稱面設置為

x

0

m面，見圖

2(a)。圖

2

中兩相鄰振動激勵力之間的間距即為扣件間距

L。=k+1lkl式中：L為扣件間距，v為列車運行速度。即，在單一激振頻率輪軌力作用下，線路縱向任意兩相鄰(對應第

k

和

k+1

個扣件的)頻域振動激勵力都存在僅具有相位差的周期性關系。值得一提的是，該周期性關系在時域內表現為相應時程僅在波形上具有一個時間延遲(或超前)

Δt

=

L

/

v

。在滿足上述基本假定的前提下，借鑒離散網格化的模擬思路，圖

2(a)所示的空間模型可以視為由線路縱向(z方向)上無限個厚度為

L的、在各自相同?側的端面承受激勵力

F

(ω，ω

作用的、具有相同)lk?2134?巖石力學與工程學報2016

年好邊界條件的無限單元所組成，且它們在線路縱向(z

方向)均只使用一個單元進行實體模型的描述(由于各薄片厚度

L

對應于扣件間距，一般僅為

0.6

m左右，在厚度方向上使用一個單元進行實體模型的描述已能得到較好的模擬結果)。即，隧道–地層模型可被視為一個具有單元劃分的縱向無限的周期性結構。在該周期結構中，構成每一基本薄片的所有單元沿線路縱向(圖2(b)中

z方向)都是柱狀的，因此各薄片縱向上的2個橫端面單元結點一一對應。yxzAk∶z=

zkAk+∶1

z=

zk+1)?ωωl?Fk+3F

(，k??…FF…k?2k+2??k+1(ωωlFF，)k?1?將力

F

(ω，ω

)

作用的第

k

個基本薄片

B

單獨klk(a)取出進行研究，見圖

2(c)。其中，面

A∶z

=

z

及面kkA

∶z=

z

為基本薄片

Bk

縱向上的

2

個橫端面，+1k+1y…k它們在最初縱向無限長空間模型中的位置可見圖2(a)。令基本薄片

Bk

的單元結點編號規則為：先編完

A∶z=

z

面上的結點，而后再編

A

∶z=

zzx?Fk?1?Fk?Fkkk+1k+1k+1面上的結點，并使

Ak+1

面上結點的編號等于

Ak

面上相同位置(x

及

y

坐標相同)處的結點編號加上

Ak

面上的總結點數。…Bk－1Bk通過力學分析可知，在上述結點編號規則下，Bk+1=基本薄片

Bk

頻域內未引入

x

0

m

面對稱邊界條件的動力控制方程可以寫為(b)??′?[K(ω)

?ω2M(ω)]d(ω，ω

)

=

P

(ω，ω

)

+

P(ω，ω

)yl0llAk∶z

=

zkzxAk+∶1

z=

zk+1(4)式中：

K(ω)

和

M(ω)

分別為基本薄片

Bk

頻域內對?Fkω(應于頻率

的剛度矩陣及質量矩陣

由于本文模型中無限單元的形函數是關于頻率ω

的函數，因此質量與剛度矩陣均與頻率ω

有關)，其中

K(ω)

采用線有限單元性滯回阻尼理論計算得到，其也包含了結構系統的無限單元?阻尼矩陣；P(ω，ω

)

為基本薄片

B

及

Bk+1

作用于lk?1?′基本薄片

B

上的力向量；

P

(ω，ω

)

為環境振動激k0l無限單元勵力向量，大部分元素為

0

元素，唯一非

0

元素為Bk車軌耦合動力模型計算得到的第

個扣件下的振動k(c)?

ω

?

ω，ωωl激勵力

F

(

)

，其位置由

F

(

，

)

作用的結klk圖2

薄片有限元–無限元耦合模型及其建立(單洞隧道情況)點號及方向確定。記

KM(ω)

=

K(ω)

?ω

M(ω)

，并按縱向上的

22Fig.2

Slicedfiniteelement-infiniteelementcouplingmodelanditsestablishment(singletunnelcase)個橫端面將式(4)寫成分塊矩陣形式，則有?KM

ω

，KM

ω

???

?

ωω

)??l(

)

(

)

d

(，1112k=????單元網格劃分的基本薄片

Bk

(

k

=

?∞～+∞

)兩兩相?KM

(

)，KM

(

)

?d

(ω，ω

)???ωω?2122l?k+1接、排列而成，見圖

2(b)(圖中

Bk

?1，Bk

及

Bk+1

以外?

??

?

??

P

(ω，ω

)

?，(ω

ω

)?0P0更多的基本薄片以虛線框進行示意)。其中，基本薄?kl?

+

?l?(5)??P

(ω，ω

)?

??k+1l??片具有相同單元網格劃分是指各薄片在單元構成及單元劃分上完全相同。具體地，各基本薄片均由圍繞隧道結構的有限單元及遠離振源近場、可提供良??式中：d

ω，ω

，d

(ω，ω

)

分別為面

A∶z=

z()lkk+1lkk與面

Ak+1

zk+1∶

=

上所有結點

3

個方向位移響應所z第35卷

第10期馬龍祥等：地鐵列車振動環境影響預測的薄片有限元–無限元耦合模型?2135??組成的位移向量；P

(ω，ω

)

為基本薄片

B

作用于klk?1基本薄片

B

的面

A∶z=

z

上所有結點

3

個方向的kkky?x力所組成的力向量，

P

(ω，ω

)

為基本薄片

B作zk+1lk+1用于基本薄片

B

的面

A

∶z=

z

上所有結點

3

個kk+1k+1Ak∶z

=

zkA

∶z=

zk+1

k+1?方向的力所組成的力向量。顯然，

d

(ω，ω

)

與kl?k+1(ω，ω

)lF??

?(ω，ω

)

以及

P

(ω，ω

)

與

P

(ω，ω

)

中相同l

k

l

k+1

ldk+1F?k?1F?k+3……位置處的元素分別對應于

Ak

及

Ak+1

面上相同位置處的結點及結點自由度。??

?F

(ω

ω

)

F，k+2

l

k+4Fk將式(5)展開可得??KM

(ω)d

(ω，ω

)

+

KM

(ω)dk+1(ω，ωl

)

=11kl12??P

(ω，ω

)

+

P

(ω，ω

)(6)(7)kl0l(b)

新狀態??KM

(ω)d

(ω，ω

)

+

KM

(ω)dk+1(ω，ωl

)

=圖3

2種受力狀態Fig.3

Two

loadedstates21kl22?P

(ω，ω

)k+1l由于在單一頻率輪軌力激勵下，振動激勵力F

(ω，ω

)

滿足式(2)所示的周期性關系。故想象將將式(8)，(9)代入式(6)及(7)，并消去未知力向??

ωωl量

P

(

，

)

，有klk?系列振動激勵力

F

(ω，ω

)

(

k

=

?∞～+∞

)均乘以系ω

?

ω

ω

=

?

ωC(

，

)d

(

，klω)P

(

，ω

)(10)lkl0lω

?ωl)L/v

(

F

(

，

)

乘

以

系

數

e將

變

成F

(ω，ω

)

)，得到隧道–地層系統受力的一種新?

ωkωli(ωl

?ω)L/v數

ei(其中，?C

ω，ω

=

KM

(ω)

+

ei(ω

?ω

KM

ω

+())L/v(

)12k

+1ll的狀態，顯然新狀態下面

A∶z=

z

與原狀態下面l11kke?i(ωl

?ω)L/v

KM

(ω)

+

KM

(

)ω22Ak+∶1

z=

zk+1

受力情況完全相同(見圖

3)。因此可得，在原始系列力

F

(ω，ω

)

(

k

=

?∞～+∞

)作用下21KM

(ω)

=

KM(ω)12T?21kl(原狀態)，基本薄片

B

的兩個橫端面

A∶z=

z

與對式(10)引入

x

0

m面上的對稱邊界條件：面=kkkAk+∶1

z=

zk+1

上任意對應結點(x，y

坐標相同，僅

z坐標分別位于兩個橫端面上)頻域內的位移與受力也存在與式(2)相同或類似的關系，即有上所有結點

x

方向位移為

0，采用對角元素改

1

法[17]，得′(ω

ω

)

(ω

ω

)

P

(ω

ω

)?=

?C，d，，(11)C′(ω

ω

)，

為引入對稱邊界條件后的系數矩llkl

0l?ω

?ω?dk+1(ω，ωl

)

=

ei()L/vd

(ω，ω

)(8)(9)式中：陣。lkl?ω

?ωl?ωP

(ω，ω

)

=

?ei()L/v

P

(ω，ω

)解式(11)可得單一激振頻率

的列車移動輪軌k+1lkll力作用下基本薄片

Bk

的位移響應：?′?d

(ω，ω

)

=

C

(ω，ω

)?1

P

(ω，ω

)(12)kll0ly對于實際由多頻率成分輪軌力引起的基本薄片xzBk

的位移響應，可由疊加原理按下式進行計算：Ak∶z

=

zkAk+∶1

z

=

zk+1NNR?∑R?∑C′(ω，ωl)?1

(ω，ωl)?P0d(ω)=d(ω，ωl)=?ω，ω

)lkkF

(kl=0l=0??…FF…(13)依據式(13)所示的頻域位移響應，容易求得基k?2k+2??ωωl?FFk+1(，)Fk+3k?1本薄片

Bk

中隧道及地層的速度及加速度頻域響應，進而由逆傅里葉變換，可求得相應響應的時程。更進一步地，運用式(12)，(8)及疊加原理，也可容易由基本薄片

Bk

的振動響應擴展求得縱向無限長隧道–地層系統中任意一縱向位置處的振動響(a)

原狀態?2136?巖石力學與工程學報2016

年應。至此可見，在環境振動響應求解的全過程中，本文模型實際只需對一個薄片范圍內的隧道–地層結構進行建模及分析。需要特別說明的是，由于在列車的勻速行進過程中，線路縱向不同位置處橫斷面上響應的量值及頻率成分是相類似的，在運用本文模型預測環境振動時，可不用過多關注預測點在線路縱向的位置，而可直接將具體研究基本薄片中的某些對應點響應取為振動關注點的預測響應。3.2.2

雙洞隧道單車運行情況元–無限元耦合模型研究左、右線列車各自單獨運行引起的環境振動時，可通過具體輸入薄片結構的、帶有特定相位信息的環境振動激勵力，來控制

2

種情況疊加后所得響應具體對應于線路縱向上何處橫斷面的響應。具體地，在建立相應薄片有限元–無限元耦合模型時，設針對

2

種情況建立的薄片分別受相應(左線或右線)車軌系統產生的第

p

個??(ω，ω

)

或

F

(ω，

)

(上標kω或第

k

個振動激勵力

FLpRll“L”和“R”分別表示左右線)作用，即可通過設置

p，k的相應取值，對輸入薄片結構的環境振動激勵力進行設置(由基于無限–周期結構理論的車軌耦合模型計算得到的特定位置處的環境振動激勵力將具有特定的相位信息)，從而對

2種情況疊加后研究的具體線路橫斷面進行控制。如：若兩輛對向運行列車車型及速度相同，取

p=k，則研究橫斷面就是兩車初始交匯斷面，該斷面由兩車各自引起的振動響應在時間上將具有最長的疊合，也將具有時域內最大的環境振動響應量值，為一些特定情況(如一些需以振動時域物理量評價環境振動對敏感目標影采取與單洞隧道情況相類似的處理方法，將整個隧道–地層空間分割為具有網格的薄片。但對于雙洞隧道單車運行情況(雙洞距離較近，否則可視為單洞隧道情況)，在線路橫斷面上，有限單元區域應擴大至一個包含

2

個隧洞及周圍土體的長方形范圍(長方形范圍外的土體使用無限單元模擬)，如圖

4所示。在這樣的網格劃分下，使用與單洞隧道情況相同的計算方法，可預測得到雙洞隧道單車通過情況下相應的環境振動響應。有限元區域(需足夠大)響的情況)的最不利工況。無限元區域無限元區域3.3

有限元及無限元模式??FkFk由前所述，隧道結構及近場土體采用有限元方法模擬，具體地，采用三維八結點等參單元來模擬。三維八結點等參單元插值函數與形函數表達式相同，可統一表達為……無限元區域圖4

雙洞隧道單車運行情況對應模型的有限及無限單元分布1M

=

N

=

(1+ξξ

)(1+ηη

)(1+ζζ

)(14)ii8iiiFig.4

Distributionoffiniteandinfiniteelementsinthemodelcorrespondingtothecasethatasingletrainmovesinoneofthedoubletunnels式中：ξ

，η

和ζ

分別為

x，y和

z方向的局部坐標；η

=

±1，ζ

=

±1(i

=1，2

，3，4，5，6，7，8

)為相應結ii點在相應方向的局部坐標。3.2.3

雙洞隧道雙車相向運行情況遠場土體采用三維八結點無限元(見圖6)模擬，其插值函數

M

和形函數

N

可分別取為雙洞隧道雙車相向運行的情況可以分解為左右線列車各自單獨運行情況的疊加，見圖

5。因此，按照雙洞隧道單車運行情況，對左右線列車各自單獨運行引起環境振動響應進行計算并疊加(同一點的響應直接相加)，即可得到雙洞隧道雙車相向運行引起的環境振動響應。此情況下，在建立薄片有限ii?1?2ξ1?ξ1+ξ1?ξ(1+ηη

)(1+ζζ

)(i

=1，2，3，4)?ii?4M

=

?(15)i1?(1+ηη

)(1+ζζ)(i

=

5，6，7，8)??4ii?

L

?

LF

F?

R

?

R?

R

?

RF

Fk

k?

L

?

LF

FFFppkk=+pp列車垂直于紙面向里行駛列車垂直于紙面向外行駛圖5

雙洞隧道雙車相向通過情況及其分解Fig.5

Thecasethattwotrainsmovetowardseachotherindoubletunnelsanditsdecomposition第35卷

第10期馬龍祥等：地鐵列車振動環境影響預測的薄片有限元–無限元耦合模型?2137?y7(為①，②及③區，見圖

圖中僅以單洞隧道情況進行x示意，雙洞情況與此類似)，進而針對各區域分別在不z4(MATLAB)。具體同軟件中進行建模

但最終均需導入8思路如下：153y7zx26①區圖6

無限單元示意Fig.6

Infiniteelement②區1N

=

(1+ηη

)(1+ζζ

)

f

(ξ)

(i

=1，2，3，4)

(16)iii4式中：ξ

對應于無限方向；

f

(ξ)

為傳播函數，也稱衰減函數，表示無限元在ξ

方向的位移模式，其可表示為

f

(ξ)

=

e?αl(1+ξ

)/(1?ξ)e?ikl(1+ξ

)/(1?ξ

)

(具體推導可參見馬③區龍祥[13])；l為無限元結點

i(5，6，7，8)與結點

i－4之間

x

方向的坐標差(即距離)，α

為位移幅值衰減①，②區：有限單元區域；

③區：無限單元區域因子，

e?αl(1+ξ

)/(1?ξ)代表了由于波的散射造成的位移代表了波在整體坐標中傳遞的相位損失。α

及

k的取值方法可參見馬龍祥[13]圖7

程序處理的分區幅值的衰減；

k

為波數，

e?ikl(1+ξ

)/(1?ξ)Fig.7

Subregionsintheprogramprocessing(1)

借助

ANSYS

有限元軟件建立①區的有限元模型，提取出區域的相應結點、剛度矩陣及質量矩陣信息，存儲至

MATLAB

軟件。而后，在MATLAB

軟件里對①區結點按模型編號規則進行重新編號，并對原有剛度矩陣及質量矩陣進行相應調整，生成新編號規則下的①區有限元模型的剛度及質量矩陣。。而有限單元及無限單元的剛度矩陣及質量矩陣均可由以下兩式進行計算：11

1∫

∫

∫K

=BTDB

|

J

|

dξdηdζ(17)(18)?1?1?111

1∫

∫

∫M

=ρN

N

|

J

|

dξdηdζT?1?1?1(2)

在MATLAB軟件里生成采樣頻率序列

a1

，a

，…，

a

(M

為采樣點數，

a

取為

0

Hz，

a

依式中：相關符號含義可參見王勖成和邵

敏[17]的研究。2M1M據最高分析頻率進行取值)，進而對各采樣頻率ω

=

ai做如下循環計算，得到目標點位移振動響應的頻域解：①

依據模型結點編號規則，編程建立②區有限元及③區無限元區域的模型，并生成與采樣頻率ω

相對應的區域剛度、質量矩陣；②

根據“按結點編號對號入座的法則”，進行①，②區及③區的

耦

合

，

生

成

整

個

模

型

區

域

的

初

始

剛

度

矩

陣K(ω)

(含阻尼矩陣)及質量矩陣

M(ω)

；③

根據模型的計算原理，計算運行列車引起目標點對應于采樣頻率ω

=

ai

的頻域振動位移響應。4

模型的計算程序依據上述理論，在借助

ANSYS

有限元軟件的部分建模及計算功能基礎上，運用

MATALB

軟件編制了薄片有限元–無限元耦合模型的計算程序。考慮到運用

MATALB

軟件編制并計算不規則有限元區域的剛度及質量矩陣較為繁瑣，且從

ANSYS中提取過大范圍有限元區域模型的信息存儲至MATLAB也較為困難，該計算程序將模型區域劃分為

3

個區域：近激勵源具有不規整結點信息的隧道及周邊土體所組成的有限元區域、距激勵源較遠的土體有限元區域及最外圍的土體無限元區域，分別(3)

根據目標點的頻域振動位移響應，求解其頻域振動速度及加速度響應，進而再由逆傅里葉變換求得各振動物理量的相應時程，從而完成地鐵列車運行引起目標點環境振動的預測。?2138?巖石力學與工程學報2016

年圖

9

給出了由上述薄片有限元–無限元耦合模型(SFEIECM)計算得到的隧道–地層系統橫斷面對應于某一特定頻率的頻域振動位移響應。具體地，圖中給出了橫斷面上對應于

5

Hz

的垂向振動位移響應及對應于40Hz的水平向振動位移響應。從圖

9

中可以看到：列車通過引起隧道–地層系統的振動最大值出現在隧道附近區域；振動隨距隧道距離的增加，整體上將出現衰減，且較高頻段的振動衰減得快，而低頻段振動衰減得慢，一些特5

算

例運用該程序對北京地鐵

1

號線東單站至建國門站區間隧道段的地鐵列車振動環境影響問題進行分析。東單站至建國門站區間是暗挖馬蹄形隧道，其拱頂埋深為11.5m，凈空寬

4.9m，高

5.05m，襯

砌型式為復合式襯砌，初襯厚

0.25m，二襯厚0.3m。初襯混凝土的彈性模量為28500MPa，泊松比

0.2，

定頻率的低頻振動甚至在距隧道中線200

m

處的地密度2450kg/m3，材料阻尼比為0.02。二襯混凝土的彈性模量為30000MPa，泊松比

0.2，密度

2500kg/m3，材料阻尼比為

0.02。根據地質鉆孔資料，該區間地層可近似劃分為

3

層：第一層為雜填土，平均厚度為2.5m；第二層土主要為粉質黏土，平均厚度為18m；第三層土為卵石和圓礫，其厚度在計算中可取無窮大。各層土的物理性質見表

1。地層及隧道橫斷面如圖

8(a)所示。該地鐵區間軌道為普通表仍然具有較大的量值，如圖9(a)所示的頻率5

Hz的垂向振動(實際上，在

5

Hz

的振動頻率下，土體振動以表層的瑞利波為主)。值得注意的是，圖

9也展示了本文提出的模型在預測地鐵列車振動環境影響時的超強計算能力，即能對距線路中線足夠遠(200

m

以上)的區域進行有效分析。這對一些涉及在地表附近傳播較遠的低頻環境振動的分析，如低頻振動對精密儀器的影響分析，將具有重要意義，因DTVI2

扣件軌道，運營列車為6

節編組地鐵

B型車，

為傳統數值方法由于建模自由度過大的緣故，難以設計運營速度為

60

km/h。鑒于該區間地鐵上下行線路間距較大，以單洞隧道模型來研究該區間的地鐵振動環境影響問題。具體地，根據上述工程條件及對稱性，取一半結構建立薄片有限元–無限元耦合模型。模型縱向(線路延伸方向)長度按扣件間距取為0.6

m，橫斷面上有限元區域大小取深×寬為

100

m×230m，建模時使計算區域內有限單元尺寸均不大于1

m。其中，隧道近場(隧道及其周邊)由ANSYS軟件建立的有限元網格如圖

8(b)所示。認為該區間的軌道不平順為隨機不平順，并采用美國軌道五級譜來對其進行描述。在此基礎上，應用基于無限–周期結構理論的車軌動力耦合模型計算隧道–地層結構所受振動激勵力，并將其施加到建立的薄片有限元–無限元耦合模型上，以進行環境振動的分析。在該算例的分析中，提出的模型展現出了明顯高于普通三維動力有限元模型的計算效率，因此其實現了高效進行列車振動環境影響預測這一初衷。下面對上述工程實例由其計算得到的環境振動響應進行討論。有效地對遠場地層振動進行分析。圖

10

給出了由

SFEIECM

模擬得到的列車通過引起隧道結構不同位置的位移響應時程。各位移時程曲線發生的具體位置在圖中也進行了示意。從圖10中的部分位移時程上，可以清晰辨識出列車各輪軸依次通過拾振點斷面的過程，這直接證明了模型對列車行進過程進行了充分模擬。此外，從圖10中還可以看到：(1)

在列車駛近–到達–駛離拾振斷面的過程中，橫向位移及垂向位移時程在整體趨勢上呈正對稱形態分布，而縱向位移時程在整體趨勢上則呈反對稱形態分布；(2)

列車通過引起隧道結構的垂向位移響應幅值顯著大于橫向及縱向位移響應幅值；(3)

列車通過引起隧道結構的橫向位移響應在拱腰和拱腳之間(點

D

附近)具有最大振幅，引起隧道結構的垂向位移響應在隧道基底及拱底(點

A

和B)附近具有最大振幅，而引起隧道結構的縱向位移響應則在拱頂具有最大振幅。表1

東單站至建國門站區間地層參數Table

1

Soilparametersofthesubway

sectionbetweenDongdanstationandJianguomenstation層數類型厚度/m2.5剪切波速/(m·s－1)壓縮波速/(m·s－1)動彈性模量/(MPa)動泊松比0.350密度/(kg·m－3)1650阻尼比0.05123雜填土173.3235.0332.0356.5472.6620.0138.8308.0670.0粉質黏土卵石和圓礫18.0–0.32720100.040.28620500.03第35卷

第10期馬龍祥等：地鐵列車振動環境影響預測的薄片有限元–無限元耦合模型?2139?Y3.0×10－60.0XZC－3.0×10－6－6.0×10－6－9.0×10－6－1.2×10－5－1.5×10－5－1.8×10－5EFAEDDCB0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1112

13

14

15

16

17時間/s(a)

橫斷面(單位：m)(b)

隧道近場有限元網格圖8

區間橫斷面及隧道近場有限元網格Fig.8

Cross-sectionaldrawingofthesubwaysectionandfiniteelementgridofthenearfieldregionoftunnel(a)

橫向位移響應2.0×10－50.0FE－2.0×10－5－4.0×10－5－6.0×10－5－8.0×10－5－1.0×10－4－1.2×10－4DCAEBFDACB0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1112

13

14

15

16

17時間/s(b)

垂向位移響應(a)

頻率5Hz的垂向振動位移1.2×10－5F9.0×10－66.0×10－6EDCA3.0×10－60.0BB－3.0×10－6－6.0×10－6－9.0×10－6－1.2×10－5CDAEF0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1415

16

17時間/s(c)

縱向位移響應(b)

頻率40Hz的水平向振動位移圖10

列車通過引起隧道結構不同位置的位移響應時程Fig.10

Displacementtimehistoriesofdifferentpartsofthetunnelinducedbythemovingtrain圖9

隧道–地層系統橫斷面特定頻率的振動位移響應(單位：m·Hz－1)Fig.9

Vibration

displacementofcrosssectionoftunnel-soilsystemsataparticularfrequency(unit：m·Hz－1)度響應集中在80

Hz以下頻段，而引起的地表加速度響應集中在30～80Hz頻段；圖

11

給出了由提出模型模擬得到的地表距隧道中線40m

處在橫向、垂向及縱向3

個方向上的速度及加速度振動響應。從圖11中可以看到：(1)

地鐵列車在

DTVI2

扣件軌道段運營引起的地表振動速度及加速度響應在橫向、垂向及縱向三個方向上具有相似的頻率成分，其中引起的地表速(2)

單趟地鐵列車對該測振點的振動影響持時約為11s；(3)

在該測振點，由地鐵列車通過引起的垂向振動響應最大，橫向振動響應次之，而縱向振動響應最小，但它們的時域最大振幅處于同一數量級水?2140?巖石力學與工程學報2016

年654321065432106543210020406080

100

120020406080

100

120020406080

100

120頻率/Hz頻率/Hz頻率/Hz(a)

速度響應頻譜2015105201510520151050005551015201015201015200246810

12

14

16

180246810

12

14

16

18時間/s(b)

速度響應時程02468

10

12

14

16

18時間/s時間/s0.0200.0150.0100.0050.0000.0200.0150.0100.0050.0000.0200.0150.0100.0050.000020406080

100

120020406080

100

120020406080

100

120頻率/Hz頻率/Hz頻率/Hz(c)

加速度響應頻譜0.060.040.060.040.060.040.020.020.020.000.000.00－0.02－0.04－0.06－0.02－0.04－0.06－0.02－0.04－0.060246810

12

14

16

180246810

12

14

16

18時間/s(d)

加速度響應時程0246810

12

14

16

18時間/s時間/s圖

11

地表距隧道中線40m處的振動響應Fig.11

Vibration

responsesofgroundsurfacepointwithadistance40mfromcentrelineoftunnel平(針對速度及加速度響應而言)。特別地，本工況下，地鐵列車運行引起地表距隧道中線

40m

處的垂向速度及加速度響應時程峰值分別為

0.174mm/s

及0.063m/s2。807060504030實測值20圖12給出了地表距隧道中線40

m處由SFEIECM模擬、普通動力有限元模型模擬以及現場實測的垂向加速度響應

1/3

倍頻程譜的對比圖。其中，普通動力有限元模型模擬采用孫曉靜[6]給出的方法進行。本文SFEIECM

模擬值普通動力有限元模擬值100－10110頻率/Hz100圖12

模擬及實測的地表加速度響應1/3倍頻程譜的比較Fig.12

Comparisonofthesimulatedandmeasuredone-thirdoctave

band

RMS

spectrasof

ground

surface

acceleration比較圖

12

中振動加速度響應的

2

種模擬值及第35卷

第10期馬龍祥等：地鐵列車振動環境影響預測的薄片有限元–無限元耦合模型?2141?Wenbin.

Prediction

method

for

subway

train-induced

environmentalvibration

responses[J].

Journal

of

China

Railway

Science，2013，34(4)：110–117.(inChinese))實測值，可以發現本文模型的模擬值與實測值吻合得較好，且相對于孫曉靜[6]提出的普通有限元模擬方法具有更高的精度。這充分表明，應用本文提出的薄片有限元–無限元耦合模型，可較高精度地對地鐵列車振動環境影響問題進行預測。[4]

劉維寧，夏

禾，郭文軍.

地鐵列車振動的環境響應[J].

巖石力學與工程學報，1996，15(增1)：586–593.(LIU

Weining，XIAHe，GUO

Wenjun.

Study

of

vibration

effects

of

underground

trains

onsurrounding

environments[J].

Chinese

Journal

of

Rock

Mechanics

andEngineering，1996，15(Supp.1)：586–593.(inChinese))[5]

和振興，翟婉明，羅

震.

地鐵列車引起的地面振動[J].

西南交通大學學報，2008，43(2)：218–221.(HEZhenxing，ZHAIWanming，LUO

Zhen.

Ground

vibration

caused

by

moving

metro

trains[J].JournalofSouthwestJiaotongUniversity，2008，43(2)：218–221.(inChinese))6

結

論本文針對地鐵列車振動環境影響問題，在頻域內提出了一種有效的半解析半數值預測模型——薄片有限元–無限元耦合模型(SFEIECM)。該模型全面考慮列車真實行進過程對環境產生的效應，并假想隧道–地層系統為線路縱向無限個完全相同的薄片結構兩兩相接所組成的周期結構，其中各薄片結構均由圍繞隧道近場的有限單元及可提供良好邊界條件的遠場無限單元構成。在將環境振動激勵力分解為各激勵頻率輪軌力對應的成分基礎上，利用疊加原理及線路縱向任意一薄片結構在單一頻率輪軌力激勵下存有的周期性邊界條件，該模型在頻域內將列車引起三維隧道–地層系統振動響應問題的求解轉化到在線路縱向一個薄片范圍內進行。運用該模型對地鐵列車振動環境影響問題進行了算例分析，得到以下主要結論：[6]

孫曉靜.

地鐵列車振動對環境影響的預測研究及減振措施分析[博士學位論文][D].

北京：北京交通大學，2008.(SUN

Xiaojing.Prediction

of

environment

vibrations

induced

by

metro

trains

andmitigation

measures

analysis[Ph.

D.

Thesis][D].

Beijing：BeijingJiaotongUniversity，2008.(inChinese))[7]

栗潤德.

地鐵列車引起的地面振動及隔振措施研究[博士學位論文][D].

北京：北京交通大學，2008.(LI

Runde.

Study

on

the

Metroinduced

ground

vibrations

and

isolation

measures[Ph.

D.

Thesis][D].Beijing：BeijingJiaotongUniversity，2008.(inChinese))[8]

DEGRANDE

G，CLOUTEAU

D，OTHMAN

R，et

al.

A

numericalmodel

for

ground-borne

vibrations

from

underground

railway

trafficbased

on

a

periodic

finite

element-boundary

element

formulation[J].JournalofSoundandVibration，2006，293(3/5)：645–666.[9]

GUPTA

S，LIU

WF，DEGRANDEG，etal.Predictionofvibrationsinduced

by

underground

railway

traffic

in

Beijing[J].

Journal

of

SoundandVibration，2008，310(3)：608–630.[10]

SHENG

X

JONES

C

J

C

THOMPSON

D

J.

Prediction

of

ground，，vibration

from

trains

using

the

wave

number

finite

and

boundaryelementmethods[J].JournalofSoundandVibration，2006，293(3/5)：575–586.[11]

HUNGHH，CHENGH，YANGYB.Effectofrailwayroughnessonsoil

vibrations

due

to

moving

trains

by

2.5

D

fin