8.1差錯控制編碼的基本概念8.2線性分組碼8.3循環碼第8章差錯控制編碼返回主目錄8.1差錯控制編碼的基本概念第8章差錯控制編1概述差錯控制編碼：信道編碼在數字通信中，根據不同的目的，編碼可分為信源編碼和信道編碼。信源編碼是為了提高數字信號的有效性以及為了使模擬信號數字化而采取的編碼。信道編碼是為了降低誤碼率，提高數字通信的可靠性而采取的編碼。數字信號在傳輸過程中，加性噪聲、碼間串擾等都會產生誤碼。為了提高系統的抗干擾性能，可以加大發射功率，降低接收設備本身的噪聲，以及合理選擇調制、解調方法等。此外，還必須采用信道編碼技術。概述差錯控制編碼：信道編碼28.1.1差錯控制方式圖8-1差錯控制方式8.1.1差錯控制方式圖8-1差錯控制方式31.前向糾錯方式前向糾錯方式記作FEC(ForwordErrorCorrection)。發端發送能夠糾正錯誤的碼，收端收到信碼后自動地糾正傳輸中的錯誤。其特點是單向傳輸，實時性好，但譯碼設備較復雜。

1.前向糾錯方式4

2.檢錯重發方式檢錯重發又稱自動請求重傳方式，記作ARQ(AutomaticRepeatRequest)。由發端送出能夠發現錯誤的碼，由收端判決傳輸中無錯誤產生，如果發現錯誤，則通過反向信道把這一判決結果反饋給發端，然后，發端把收端認為錯誤的信息再次重發，從而達到正確傳輸的目的。其特點是需要反饋信道，譯碼設備簡單，對突發錯誤和信道干擾較嚴重時有效，但實時性差，主要在計算機數據通信中得到應用。2.檢錯重發方式53.混合糾錯方式混合糾錯方式記作HEC(HybridErrorCorrection)是FEC和ARQ方式的結合。發端發送具有自動糾錯同時又具有檢錯能力的碼。收端收到碼后，檢查差錯情況，如果錯誤在碼的糾錯能力范圍以內，則自動糾錯，如果超過了碼的糾錯能力，但能檢測出來，則經過反饋信道請求發端重發。這種方式具有自動糾錯和檢錯重發的優點，可達到較低的誤碼率，因此，近年來得到廣泛應用。3.混合糾錯方式6另外，按照噪聲或干擾的變化規律，可把信道分為三類：隨機信道、突發信道和混合信道。恒參高斯白噪聲信道是典型的隨機信道，其中差錯的出現是隨機的，而且錯誤之間是統計獨立的。具有脈沖干擾的信道是典型的突發信道，錯誤是成串成群出現的，即在短時間內出現大量錯誤。短波信道和對流層散射信道是混合信道的典型例子，隨機錯誤和成串錯誤都占有相當比例。對于不同類型的信道，應采用不同的差錯控制方式。另外，按照噪聲或干擾的變化規律，可把信道分為78.1.2糾錯碼的分類(1)根據糾錯碼各碼組信息元和監督元的函數關系，可分為線性碼和非線性碼。如果函數關系是線性的，即滿足一組線性方程式，則稱為線性碼，否則為非線性碼。(2)根據上述關系涉及的范圍，可分為分組碼和卷積碼。分組碼的各碼元僅與本組的信息元有關；卷積碼中的碼元不僅與本組的信息元有關，而且還與前面若干組的信息元有關。(3)根據碼的用途，可分為檢錯碼和糾錯碼。檢錯碼以檢錯為目的，不一定能糾錯；而糾錯碼以糾錯為目的，一定能檢錯。8.1.2糾錯碼的分類88.1.3幾種簡單的檢測碼(1)奇偶監督碼。(2)二維奇偶監督碼。(3)重復碼。(4)恒比碼。(5)ISBN國際統一圖書編號。

8.1.3幾種簡單的檢測碼91奇偶監督碼奇偶監督碼是在原信息碼后面附加一個監督元，使得碼組中“1”的個數是奇數或偶數。奇偶監督碼分為奇監督（校驗）碼和偶監督（校驗）碼。1奇偶監督碼奇偶監督碼是在原信息碼后面附10設碼字A=［an-1,an-2,…,a1,a0］，對偶監督碼有奇監督碼情況相似，只是碼組中“1”的數目為奇數，即滿足條件而檢錯能力與偶監督碼相同。奇偶監督碼的編碼效率R為設碼字A=［an-1,an-2,…,a1,a0］，對偶監督碼112二維奇偶監督碼2二維奇偶監督碼12

碼字中1的數目與0的數目保持恒定比例的碼稱為恒比碼。由于恒比碼中，每個碼組均含有相同數目的1和0，因此恒比碼又稱等重碼，定1碼。這種碼在檢測時，只要計算接收碼元中1的數目是否正確，就知道有無錯誤。

目前我國電傳通信中普遍采用3∶2碼，又稱“5中取3”的恒比碼，即每個碼組的長度為5，其中3個“1”。這時可能編成的不同碼組數目等于從5中取3的組合數10，這10個許用碼組恰好可表示10個阿拉伯數字，如下表所示。而每個漢字又是以四位十進制數來代表的。實踐證明，采用這種碼后，我國漢字電報的差錯率大為降低。3重復碼4恒比碼（定比碼、等重碼、范德倫碼）

碼字中1的數目與0的數目保持恒定比例13七三定比碼（七單位碼）用于國際電報系統，碼長為7，其中1的個數為3。這種碼的許用碼字為：3∶2恒比碼五三定比碼（五單位碼）用于國內電報系統，碼長為5，其中1的個數為3。這種碼的許用碼字為：代表26個英文字母和一些符號。代表國內電報系統中的數字0~9。而每個漢字又是以四位十進制數來代表的。七三定比碼（七單位碼）用于國際電報系統，碼長為7，其中1的個148.1.4檢錯和糾錯的基本原理1.分組碼分組碼一般可用(n,k)表示。其中，k是每組二進制信息碼元的數目，n是編碼碼組的碼元總位數，又稱為碼組長度，簡稱碼長。n-k=r為每個碼組中的監督碼元數目。簡單地說，分組碼是對每段k位長的信息組以一定的規則增加r個監督元，組成長為n的碼字。在二進制情況下，共有2k個不同的信息組，相應地可得到2k個不同的碼字，稱為許用碼組。其余2n-2k個碼字未被選用，稱為禁用碼組。krn8.1.4檢錯和糾錯的基本原理1.分15在分組碼中，非零碼元的數目稱為碼字的漢明(Hamming)重量，簡稱碼重。例如，碼字10110，碼重w=3。兩個等長碼組之間相應位取值不同的數目稱為這兩個碼組的漢明(Hamming)距離，簡稱碼距。例如11000與10011之間的距離d=3。碼組集中任意兩個碼字之間距離的最小值稱為碼的最小距離，用dmin表示。最小碼距是碼的一個重要參數，它是衡量碼檢錯、糾錯能力的依據。在分組碼中，非零碼元的數目稱為碼字的漢明(H16如果線性分組碼(n,k)碼位信息位沒有變化，與信息碼元排列相同，并且與監督位分開，稱為系統碼，否則稱為非系統碼。信息元監督元如果線性分組碼(n,k)碼位信息位沒有變化，與信息碼元排列相172.檢錯和糾錯能力若分組碼碼字中的監督元在信息元之后，而且是信息元的簡單重復，則稱該分組碼為重復碼。它是一種簡單實用的檢錯碼，并有一定的糾錯能力。例如(2,1)重復碼，兩個許用碼組是00與11，d0=2，收端譯碼，出現01、10禁用碼組時，可以發現傳輸中的一位錯誤。如果是(3,1)重復碼，兩個許用碼組是000與111,d0=3;當收端出現兩個或三個1時，判為1，否則判為0。此時，可以糾正單個錯誤，或者該碼可以檢出兩個錯誤。2.檢錯和糾錯能力若分組碼碼字中的監督18碼的最小距離dmin直接關系著碼的檢錯和糾錯能力；對于任一(n,k)分組碼，若要在碼字內:若檢測e個錯誤，則要求dmin≥e+1;若糾正t個錯誤，則要求dmin≥2t+1;若糾正t個錯誤，同時發現e個錯誤，則要求dmin≥t+e+1;t<e;e+12t+1t+e+1C1C2C’1C2C1C’1eettC1C2etC’1碼的最小距離dmin直接關系著碼的檢錯和糾錯193.編碼效率

用差錯控制編碼提高通信系統的可靠性，是以降低有效性為代價換來的。我們定義編碼效率R來衡量有效性:R=k/n其中,k是信息元的個數，n為碼長。對糾錯碼的基本要求是:檢錯和糾錯能力盡量強；編碼效率盡量高；編碼規律盡量簡單。實際中要根據具體指標要求，保證有一定糾、檢錯能力和編碼效率，并且易于實現。3.編碼效率208.2線性分組碼現以(7,4)分組碼為例來說明線性分組碼的特點。設其碼字為A=［a6

a5

a4

a3

a2

a1

a0］，其中前4位是信息元，后3位是監督元，可用下列線性方程組來描述該分組碼，產生監督元。8.2線性分組碼現以(7,4)分組碼為21(7,4)碼的碼字表(7,4)碼的碼字表221監督矩陣H和生成矩陣G

線性方程組為：1監督矩陣H和生成矩陣G23其中,P為r×k階矩陣，Ir為r×r階單位矩陣?？梢詫懗蒆=［PIr］形式的矩陣稱為典型監督矩陣。

HCT=0T，說明H矩陣與碼字的轉置乘積必為零，可以用來作為判斷接收碼字C是否出錯的依據。并簡記為H稱為監督矩陣

其中,P為r×k階矩陣，Ir為r×r階單位矩24若把監督方程補充為下列方程若把監督方程補充為下列方程25可改寫為矩陣形式即：可改寫為矩陣形式即：26通信原理-CT8差錯控制編碼課件27[C]=[m][G]系統碼的生成矩陣也稱為典型生成矩陣[G]=[Ik,Q]，[G]為k×n矩陣，[Q]為k×r矩陣，[Ik]為k×k單位陣。

[H][C]T=[0]系統碼的監督矩陣也稱為基本監督矩陣[H]=[PIr]，[H]為r×n矩陣，[P]為r×k矩陣，[Ir]為r×r單位陣。[H][G]T=[0]，同時有：[G][H]T=[0]稱[H]與[G]為正交矩陣，由[PIr][IkQ]T=[0]

[P+QT]=[0]，即[P]=[Q]T[Q]=[P]T

P矩陣與Q矩陣互為轉置矩陣。[C]=[m][G]282伴隨式(校正子)S

設發送碼組C=［an-1,an-2,…,a1,a0］，在傳輸過程中可能發生誤碼。接收碼組R=［bn-1,bn-2,…,b1,b0］，則收發碼組之差定義為錯誤圖樣E，也稱為誤差矢量，即其中E=［en-1,en-2,…,e1,e0］，且當bi=ai

當bi≠ai

令S=RHT，稱為伴隨式或校正子。2伴隨式(校正子)S設發送碼組C=［an-29(7,4)分組碼S與E的對應關系(7,4)分組碼S與E的對應關系30[循環碼定義]：一個(n,k)線性分組碼C，如果碼組中的一個碼字的循環移位也是這個碼組中的一個碼字，則稱C為循環碼。稱為具有循環自閉性。C(0)={cn-1,cn-2,……c1,c0}∈CC(1)={cn-2,cn-3,……c0,cn-1}∈C[循環碼的多項式描述]：循環碼可以用監督矩陣和生成矩陣描述，但更多地用域上多項式來描述，一個(n,k)循環的碼字矢量C(0)用一個n-1次多項式描述，可以表示為：C(x)=cn-1xn-1+cn-2xn-2+……+c1x+c0這個多項式稱為碼字多項式。碼字矢量的循環移位可以用x乘上C(x)后的模(xn+1)來表示。xC(x)=x(cn-1xn-1+cn-2xn-2+……+c1x+c0)=cn-1xn+cn-2xn-1+……+c1x2+c0x=cn-2xn-1+……+c1x2+c0x+cn-1(模xn+1)模xn+1相當于xn+1=0；xn=18.3循環碼[循環碼定義]：8.3循環碼31(7,4)系統循環碼的編碼及碼字多項式如下表：g(x)=x3+x+1可以看出：每個碼字的循環移位仍然屬于這個碼組。并不是說碼組是由一個碼字的循環移位構成的，本例中是由四個碼字的循環移位構成的。8.3循環碼(7,4)系統循環碼的編碼及碼字多項式如下表：g(x)=x3328.3循環碼(7,3)循環碼8.3循環碼(7,3)循環碼33在一個(n,k)循環碼中，有且僅有一個次數為n-k=r的碼字多項式，記為：g(x)=xr+gr-1xr-1+……+g1x+1同時：每個碼字多項式都是g(x)的倍式；每個次數小于等于n-1的g(x)的倍式必為一個碼字多項式。這時稱g(x)的(n,k)碼的生成多項式。[生成多項式的性質]：是循環碼C中次數最低的非零碼字多項式，并且是唯一的，其次數為r=n-k。令g(x)=xr+gr-1xr-1+……+g1x+g0為一個(n,k)循環碼C中最低次數碼字多項式，則其常數項必為g0=1。(n,k)循環碼的生成多項式g(x)是xn+1的因式。在一個(n,k)循環碼中，有且僅有一個次數為n-k=r的碼字34在代數理論中，為了便于計算，常用碼多項式表示碼字。(n,k)循環碼的碼字，其碼多項式(以降冪順序排列)為[系統循環碼的編碼方法]：已知循環碼的生成矩陣,可以按以下步驟產生系統循環碼。首先定義以下多項式：m(x)=mk-1xk-1+mk-2xk-2+……+m1x+m0為信息碼字多項式；c(x)=cn-1xn-1+cn-2xn-2+……+c1x+c0為循環碼字多項式；g(x)=xr-1+gr-2xr-2+……+g1x+1為生成多項式；系統碼的編碼分為三步：用xn-k乘上m(x);用g(x)除以xn-km(x)，得到模g(x)的余式r(x)c(x)=xn-km(x)+r(x)為系統循環碼的碼字多項式。在代數理論中，為了便于計算，常用碼多項式表示碼字。(35[例]:(7,4)循環碼的生成多項式為g(x)=x3+x+1求m=[1010]的循環碼。解：m(x)=x3+x,xn-k=x3;xn-km(x)=x3(x3+x)=x6+x4r(x)=x+1C(x)=xn-km(x)+r(x)=x6+x4+x+1[C]=[1010011][例]:(7,4)循環碼的生成多項式為g(x)=x3+x+36[非系統循環碼的編碼方法]：已知循環碼的生成矩陣，可以方便的求出非系統循環碼，C(x)=m(x)g(x)。[例]:m=[1101]g(x)=x3+x+1C(x)=(x3+x2+1)(x3+x+1)=x6+x4+x3+x5+x3+x2+x3+x+1=x6+x5+x4+x3+x2+x+1[C]=[1111111]m=[0101];c(x)=(x2+1)(x3+x+1)=x5+x3+x2+x3+x+1=x5+x2+x+1[C]=[0100111][非系統循環碼的編碼方法]：37[循環碼的生成矩陣]：循環碼可以用域上多項式描述，也可以用生成矩陣描述。已知g(x)為循環碼C中的一個碼字多項式，由循環碼的循環特性可知，可以證明：在(n,k)循環碼的碼字多項式中，g(x),xg(x),……xk-1g(x)等k個碼字多項式必是線性無關（相互獨立的）的。根據線性空間的特性，可知，它們是一個k維子空間的基底，即由它們的線性組合可以生成這個k維子空間的2k個碼字。再根據線性分組碼生成矩陣的定義，它的行向量是由k個線性無關的碼字構成的，可以得到(n,k)循環碼的一個多項式矩陣為：[循環碼的生成矩陣]：38通信原理-CT8差錯控制編碼課件39例如(7,3)循環碼，n=7,k=3,r=4,其生成多項式及生成矩陣分別為例如(7,3)循環碼，n=7,k=3,r=4,其生成多40[非系統循環碼編碼電路]：非系統循環碼的產生為：C(x)=m(x)g(x),可知其編碼器為如下：D0D1D2m(x)C(x)x1x3x2[非系統循環碼編碼電路]：D0D1D2m(x)C(x)x1x41監督多項式及監督矩陣為了便于對循環碼編譯碼，通常還定義監督多項式，令

其中g(x)是常數項為1的r次多項式，是生成多項式；h(x)是常數項為1的k次多項式，稱為監督多項式。同理，可得監督矩陣H

監督多項式及監督矩陣其中g(x)是常數項為1的r次多項42是h(x)的逆多項式。例如(9，3)循環碼，g(x)=x4+x3+x2+1，則其中是h(x)的逆多項式。例如(9，3)循環碼，g(x)=x4+43通信原理-CT8差錯控制編碼課件44編碼方法和電路在編碼時，首先要根據給定的(n,k)值選定生成多項式g(x)，即應在xn+1的因式中選一r=n-k次多項式作為g(x)。設編碼前的信息多項式m(x)為循環碼的碼多項式可表示為編碼方法和電路在編碼時，首先要根據給定的(45圖(7,3)循環碼編碼電路圖(7,3)循環碼編碼電路46表(7,3)循環碼的編碼過程表(7,3)循環碼的編碼過程47[系統碼編碼器]：為了構成系統碼，可知C(x)=xn-km(x)+r(x)r(x)=xn-km(x)/g(x)[模g(x)]以(7,4)漢明碼為例：g(x)=x3+x+1編碼器電路如圖所示：它由r=n-k級移位寄存器構成。輸入m(x)門1D0D1D2門2或門1xx2x31xx3x3C(x)[系統碼編碼器]：輸入m(x)門1D0D1D2門2或門1xx48[系統循環碼的生成矩陣與監督矩陣]：[系統循環碼的生成矩陣與監督矩陣]：49通信原理-CT8差錯控制編碼課件50[大數邏輯譯碼器]：(門限譯碼器)S0S1S2S3大數門>2輸出7級緩存器A2A3A1C(x)C(x)R(x)[大數邏輯譯碼器]：(門限譯碼器)S0S1S2S3大數門>251其工作過程如下：由(7,3)循環碼生成多項式g(x)=x4+x3+x2+1的除法電路，計算R(x)的校驗子多項式S(x)。n=7次移位后得到校驗子(s0,s1,s2,s3)，存在校驗子移位寄存器中，此時，R(x)已全部進入7級緩存器中。停止譯碼器輸入，并開始對rn-1=r6進行檢查，也就是檢查A1=s3，A2=s1，A3=s2+s0中1的個數。如果1的個數為3，大數門輸出1。此時，緩存器移位一次，輸出r6，對它進行糾錯，如果1的個數小于3，大數門無輸出，r6直接輸出。除法電路循環移位一次，對r5進行檢查，此時校驗子寄存器中的內容是對r5的計算結果。如果大數門輸出1，則對r5進行糾錯，否則，r5直接輸出。重復上述步驟，直至n=7次為止；第n=7次移位完畢后，如果校驗子除法電路的狀態為全0，則說明R(x)中的錯誤是可以糾正的，否則說明是不可糾正的。若是不可糾正的，譯碼器送出一個信號至用戶，表示R(x)有誤。然后重新清洗譯碼器的初始狀態，準備接收第二各碼字。圖中的虛線是把大數門輸出的1反饋到除法電路的輸入端，以消除該錯誤碼元對除法電路的影響。其工作過程如下：52[捕錯譯碼

]8級緩存器7級緩存器門1門5門2門3門4W(Si(x))≤2檢測電路R(x)C(x)[捕錯譯碼]8級緩存器7級緩存器門1門5門2門3門4W(S53譯碼過程如下：譯碼前所有移位寄存器和緩存器都為全0狀態，門2，門3開，門1，門4，門5關。n=15次移位后，接收碼字的R(x)的15個碼元全部進入15級緩存器，信息元在前7級，監督元在后8級，同時進入除法電路，得到校驗子多項式S0(x)。如果S0(x)=0，說明無錯，打開門5，輸出接收碼字。如果S0(x)≠0，說明有錯，進行以下各步。此時門2關，門1開，如果W(S0(x))≤2，檢測電路輸出有效，把門4打開，把門3關閉，此時除法電路移位寄存器中的內容就是接收碼字的后8位的錯誤圖樣，只要接收碼字只錯2位或2位以下，后8位錯誤圖樣就等于全部錯誤圖樣。這時移位15次，除法電路的狀態S0(x)=EP(x)通過門4與接收碼字的后8位逐次相加，完成糾錯。然后門1關，門5開，再移位15次，輸出接收碼字。如果W(S0(x))>2，則15級緩存器和除法電路都循環移位一次，再次檢測，若仍大于2，則繼續移位，當移位I次后，檢測到W(S0(x))≤2，則說明已經檢測出錯誤圖樣已進入緩存器的后8位。這時門3關閉，門4打開，繼續移位n-I次，進行糾錯。最后門1關，門2，門5開，再移位15次輸出正確的接收碼字。從以上步驟中可以看出，譯碼器完成一個碼字的譯碼，共需要3n次移位。這里介紹的是捕錯譯碼器的基本原理，若要實現連續譯碼，還要進行一些改進，一方面力圖使譯碼器電路簡單化，另一方面提高譯碼速度，減少移位次數。譯碼過程如下：54[梅吉特(Meggit)譯碼器

]D0D1D2r07級移位寄存器r6門R(x)C(x)[梅吉特(Meggit)譯碼器]D0D1D2r07級55這個譯碼器上面是一個g(x)除法電路，下面是一個7級移位寄存器作為緩存器，中間的反相器和一個與門組成了(101)校驗子識別電路。譯碼過程如下：開始譯碼時門打開，移位寄存器內容位全0。收到的碼字多項式位R(x)=r6x6+…+r0由高次到低次分別輸入到7級緩存器和除法電路，7次移位后，緩存器存入整個碼字，除法電路[S(x)=E(x)/g(x),E(x)=x6]得到校驗子S0=[s2,s1,s0]。這時門關上進行譯碼。如果S0(x)=x6=x2+1[modg(x)]，這時[101]識別電路輸出為1，表明r6為有錯。這時譯碼器繼續移位，通過[101]識別電路可以將r6位的錯誤糾正。在糾錯的同時，[101]識別電路的輸出又反饋到除法電路的輸入端，以消除錯誤碼元對除法電路的下一個校驗子計算的影響。校驗子產生電路開始在無輸入的情況下移位，相當于開始產生xjS(x)。本電路中，輸入R(x)第7次移位后產生了校驗子S0，第8次移位時對r6進行糾正，同時將[101]識別電路的輸出的1輸入到除法電路的輸入端，結果使除法電路的寄存器狀態為[000]，消除了e6的影響。下面我們看一下，利用這個電路能否糾正其它錯誤圖樣的接收碼字。如果E(x)=x5,表明e5=1或E=[0100000]，這時經過前7次移位后得到的校驗子多項式為S0(x)=x5[modg(x)]=x2+x+1，這時除法電路的移位寄存器狀態為[111]，[101]識別電路的輸出為0，說明r6正確，不必糾正。第8次移位后，r5移位到緩存器的最右端。同時校驗子除法電路的結果根據定理可知：（通過電路分析也可以看出）S1(x)=xS0(x)=xE(x)=x6[modg(x)]=x2+1[modg(x)]產生[101]狀態；這時[101]識別電路輸出1，對r5進行糾正。可以看到，利用循環碼的循環特性，可以簡化譯碼器的復雜性。從上述譯碼過程中可以看到，(n,k)循環碼的譯碼器譯一個碼字共需要2n次移位，不能實現連續譯碼，為了實現連續譯碼，可以再加一套除法電路，這個譯碼器上面是一個g(x)除法電路，下面是一個7級移位寄存568.1差錯控制編碼的基本概念8.2線性分組碼8.3循環碼第8章差錯控制編碼返回主目錄8.1差錯控制編碼的基本概念第8章差錯控制編57概述差錯控制編碼：信道編碼在數字通信中，根據不同的目的，編碼可分為信源編碼和信道編碼。信源編碼是為了提高數字信號的有效性以及為了使模擬信號數字化而采取的編碼。信道編碼是為了降低誤碼率，提高數字通信的可靠性而采取的編碼。數字信號在傳輸過程中，加性噪聲、碼間串擾等都會產生誤碼。為了提高系統的抗干擾性能，可以加大發射功率，降低接收設備本身的噪聲，以及合理選擇調制、解調方法等。此外，還必須采用信道編碼技術。概述差錯控制編碼：信道編碼588.1.1差錯控制方式圖8-1差錯控制方式8.1.1差錯控制方式圖8-1差錯控制方式591.前向糾錯方式前向糾錯方式記作FEC(ForwordErrorCorrection)。發端發送能夠糾正錯誤的碼，收端收到信碼后自動地糾正傳輸中的錯誤。其特點是單向傳輸，實時性好，但譯碼設備較復雜。

1.前向糾錯方式60

2.檢錯重發方式檢錯重發又稱自動請求重傳方式，記作ARQ(AutomaticRepeatRequest)。由發端送出能夠發現錯誤的碼，由收端判決傳輸中無錯誤產生，如果發現錯誤，則通過反向信道把這一判決結果反饋給發端，然后，發端把收端認為錯誤的信息再次重發，從而達到正確傳輸的目的。其特點是需要反饋信道，譯碼設備簡單，對突發錯誤和信道干擾較嚴重時有效，但實時性差，主要在計算機數據通信中得到應用。2.檢錯重發方式613.混合糾錯方式混合糾錯方式記作HEC(HybridErrorCorrection)是FEC和ARQ方式的結合。發端發送具有自動糾錯同時又具有檢錯能力的碼。收端收到碼后，檢查差錯情況，如果錯誤在碼的糾錯能力范圍以內，則自動糾錯，如果超過了碼的糾錯能力，但能檢測出來，則經過反饋信道請求發端重發。這種方式具有自動糾錯和檢錯重發的優點，可達到較低的誤碼率，因此，近年來得到廣泛應用。3.混合糾錯方式62另外，按照噪聲或干擾的變化規律，可把信道分為三類：隨機信道、突發信道和混合信道。恒參高斯白噪聲信道是典型的隨機信道，其中差錯的出現是隨機的，而且錯誤之間是統計獨立的。具有脈沖干擾的信道是典型的突發信道，錯誤是成串成群出現的，即在短時間內出現大量錯誤。短波信道和對流層散射信道是混合信道的典型例子，隨機錯誤和成串錯誤都占有相當比例。對于不同類型的信道，應采用不同的差錯控制方式。另外，按照噪聲或干擾的變化規律，可把信道分為638.1.2糾錯碼的分類(1)根據糾錯碼各碼組信息元和監督元的函數關系，可分為線性碼和非線性碼。如果函數關系是線性的，即滿足一組線性方程式，則稱為線性碼，否則為非線性碼。(2)根據上述關系涉及的范圍，可分為分組碼和卷積碼。分組碼的各碼元僅與本組的信息元有關；卷積碼中的碼元不僅與本組的信息元有關，而且還與前面若干組的信息元有關。(3)根據碼的用途，可分為檢錯碼和糾錯碼。檢錯碼以檢錯為目的，不一定能糾錯；而糾錯碼以糾錯為目的，一定能檢錯。8.1.2糾錯碼的分類648.1.3幾種簡單的檢測碼(1)奇偶監督碼。(2)二維奇偶監督碼。(3)重復碼。(4)恒比碼。(5)ISBN國際統一圖書編號。

8.1.3幾種簡單的檢測碼651奇偶監督碼奇偶監督碼是在原信息碼后面附加一個監督元，使得碼組中“1”的個數是奇數或偶數。奇偶監督碼分為奇監督（校驗）碼和偶監督（校驗）碼。1奇偶監督碼奇偶監督碼是在原信息碼后面附66設碼字A=［an-1,an-2,…,a1,a0］，對偶監督碼有奇監督碼情況相似，只是碼組中“1”的數目為奇數，即滿足條件而檢錯能力與偶監督碼相同。奇偶監督碼的編碼效率R為設碼字A=［an-1,an-2,…,a1,a0］，對偶監督碼672二維奇偶監督碼2二維奇偶監督碼68

碼字中1的數目與0的數目保持恒定比例的碼稱為恒比碼。由于恒比碼中，每個碼組均含有相同數目的1和0，因此恒比碼又稱等重碼，定1碼。這種碼在檢測時，只要計算接收碼元中1的數目是否正確，就知道有無錯誤。

目前我國電傳通信中普遍采用3∶2碼，又稱“5中取3”的恒比碼，即每個碼組的長度為5，其中3個“1”。這時可能編成的不同碼組數目等于從5中取3的組合數10，這10個許用碼組恰好可表示10個阿拉伯數字，如下表所示。而每個漢字又是以四位十進制數來代表的。實踐證明，采用這種碼后，我國漢字電報的差錯率大為降低。3重復碼4恒比碼（定比碼、等重碼、范德倫碼）

碼字中1的數目與0的數目保持恒定比例69七三定比碼（七單位碼）用于國際電報系統，碼長為7，其中1的個數為3。這種碼的許用碼字為：3∶2恒比碼五三定比碼（五單位碼）用于國內電報系統，碼長為5，其中1的個數為3。這種碼的許用碼字為：代表26個英文字母和一些符號。代表國內電報系統中的數字0~9。而每個漢字又是以四位十進制數來代表的。七三定比碼（七單位碼）用于國際電報系統，碼長為7，其中1的個708.1.4檢錯和糾錯的基本原理1.分組碼分組碼一般可用(n,k)表示。其中，k是每組二進制信息碼元的數目，n是編碼碼組的碼元總位數，又稱為碼組長度，簡稱碼長。n-k=r為每個碼組中的監督碼元數目。簡單地說，分組碼是對每段k位長的信息組以一定的規則增加r個監督元，組成長為n的碼字。在二進制情況下，共有2k個不同的信息組，相應地可得到2k個不同的碼字，稱為許用碼組。其余2n-2k個碼字未被選用，稱為禁用碼組。krn8.1.4檢錯和糾錯的基本原理1.分71在分組碼中，非零碼元的數目稱為碼字的漢明(Hamming)重量，簡稱碼重。例如，碼字10110，碼重w=3。兩個等長碼組之間相應位取值不同的數目稱為這兩個碼組的漢明(Hamming)距離，簡稱碼距。例如11000與10011之間的距離d=3。碼組集中任意兩個碼字之間距離的最小值稱為碼的最小距離，用dmin表示。最小碼距是碼的一個重要參數，它是衡量碼檢錯、糾錯能力的依據。在分組碼中，非零碼元的數目稱為碼字的漢明(H72如果線性分組碼(n,k)碼位信息位沒有變化，與信息碼元排列相同，并且與監督位分開，稱為系統碼，否則稱為非系統碼。信息元監督元如果線性分組碼(n,k)碼位信息位沒有變化，與信息碼元排列相732.檢錯和糾錯能力若分組碼碼字中的監督元在信息元之后，而且是信息元的簡單重復，則稱該分組碼為重復碼。它是一種簡單實用的檢錯碼，并有一定的糾錯能力。例如(2,1)重復碼，兩個許用碼組是00與11，d0=2，收端譯碼，出現01、10禁用碼組時，可以發現傳輸中的一位錯誤。如果是(3,1)重復碼，兩個許用碼組是000與111,d0=3;當收端出現兩個或三個1時，判為1，否則判為0。此時，可以糾正單個錯誤，或者該碼可以檢出兩個錯誤。2.檢錯和糾錯能力若分組碼碼字中的監督74碼的最小距離dmin直接關系著碼的檢錯和糾錯能力；對于任一(n,k)分組碼，若要在碼字內:若檢測e個錯誤，則要求dmin≥e+1;若糾正t個錯誤，則要求dmin≥2t+1;若糾正t個錯誤，同時發現e個錯誤，則要求dmin≥t+e+1;t<e;e+12t+1t+e+1C1C2C’1C2C1C’1eettC1C2etC’1碼的最小距離dmin直接關系著碼的檢錯和糾錯753.編碼效率

用差錯控制編碼提高通信系統的可靠性，是以降低有效性為代價換來的。我們定義編碼效率R來衡量有效性:R=k/n其中,k是信息元的個數，n為碼長。對糾錯碼的基本要求是:檢錯和糾錯能力盡量強；編碼效率盡量高；編碼規律盡量簡單。實際中要根據具體指標要求，保證有一定糾、檢錯能力和編碼效率，并且易于實現。3.編碼效率768.2線性分組碼現以(7,4)分組碼為例來說明線性分組碼的特點。設其碼字為A=［a6

a5

a4

a3

a2

a1

a0］，其中前4位是信息元，后3位是監督元，可用下列線性方程組來描述該分組碼，產生監督元。8.2線性分組碼現以(7,4)分組碼為77(7,4)碼的碼字表(7,4)碼的碼字表781監督矩陣H和生成矩陣G

線性方程組為：1監督矩陣H和生成矩陣G79其中,P為r×k階矩陣，Ir為r×r階單位矩陣?？梢詫懗蒆=［PIr］形式的矩陣稱為典型監督矩陣。

HCT=0T，說明H矩陣與碼字的轉置乘積必為零，可以用來作為判斷接收碼字C是否出錯的依據。并簡記為H稱為監督矩陣

其中,P為r×k階矩陣，Ir為r×r階單位矩80若把監督方程補充為下列方程若把監督方程補充為下列方程81可改寫為矩陣形式即：可改寫為矩陣形式即：82通信原理-CT8差錯控制編碼課件83[C]=[m][G]系統碼的生成矩陣也稱為典型生成矩陣[G]=[Ik,Q]，[G]為k×n矩陣，[Q]為k×r矩陣，[Ik]為k×k單位陣。

[H][C]T=[0]系統碼的監督矩陣也稱為基本監督矩陣[H]=[PIr]，[H]為r×n矩陣，[P]為r×k矩陣，[Ir]為r×r單位陣。[H][G]T=[0]，同時有：[G][H]T=[0]稱[H]與[G]為正交矩陣，由[PIr][IkQ]T=[0]

[P+QT]=[0]，即[P]=[Q]T[Q]=[P]T

P矩陣與Q矩陣互為轉置矩陣。[C]=[m][G]842伴隨式(校正子)S

設發送碼組C=［an-1,an-2,…,a1,a0］，在傳輸過程中可能發生誤碼。接收碼組R=［bn-1,bn-2,…,b1,b0］，則收發碼組之差定義為錯誤圖樣E，也稱為誤差矢量，即其中E=［en-1,en-2,…,e1,e0］，且當bi=ai

當bi≠ai

令S=RHT，稱為伴隨式或校正子。2伴隨式(校正子)S設發送碼組C=［an-85(7,4)分組碼S與E的對應關系(7,4)分組碼S與E的對應關系86[循環碼定義]：一個(n,k)線性分組碼C，如果碼組中的一個碼字的循環移位也是這個碼組中的一個碼字，則稱C為循環碼。稱為具有循環自閉性。C(0)={cn-1,cn-2,……c1,c0}∈CC(1)={cn-2,cn-3,……c0,cn-1}∈C[循環碼的多項式描述]：循環碼可以用監督矩陣和生成矩陣描述，但更多地用域上多項式來描述，一個(n,k)循環的碼字矢量C(0)用一個n-1次多項式描述，可以表示為：C(x)=cn-1xn-1+cn-2xn-2+……+c1x+c0這個多項式稱為碼字多項式。碼字矢量的循環移位可以用x乘上C(x)后的模(xn+1)來表示。xC(x)=x(cn-1xn-1+cn-2xn-2+……+c1x+c0)=cn-1xn+cn-2xn-1+……+c1x2+c0x=cn-2xn-1+……+c1x2+c0x+cn-1(模xn+1)模xn+1相當于xn+1=0；xn=18.3循環碼[循環碼定義]：8.3循環碼87(7,4)系統循環碼的編碼及碼字多項式如下表：g(x)=x3+x+1可以看出：每個碼字的循環移位仍然屬于這個碼組。并不是說碼組是由一個碼字的循環移位構成的，本例中是由四個碼字的循環移位構成的。8.3循環碼(7,4)系統循環碼的編碼及碼字多項式如下表：g(x)=x3888.3循環碼(7,3)循環碼8.3循環碼(7,3)循環碼89在一個(n,k)循環碼中，有且僅有一個次數為n-k=r的碼字多項式，記為：g(x)=xr+gr-1xr-1+……+g1x+1同時：每個碼字多項式都是g(x)的倍式；每個次數小于等于n-1的g(x)的倍式必為一個碼字多項式。這時稱g(x)的(n,k)碼的生成多項式。[生成多項式的性質]：是循環碼C中次數最低的非零碼字多項式，并且是唯一的，其次數為r=n-k。令g(x)=xr+gr-1xr-1+……+g1x+g0為一個(n,k)循環碼C中最低次數碼字多項式，則其常數項必為g0=1。(n,k)循環碼的生成多項式g(x)是xn+1的因式。在一個(n,k)循環碼中，有且僅有一個次數為n-k=r的碼字90在代數理論中，為了便于計算，常用碼多項式表示碼字。(n,k)循環碼的碼字，其碼多項式(以降冪順序排列)為[系統循環碼的編碼方法]：已知循環碼的生成矩陣,可以按以下步驟產生系統循環碼。首先定義以下多項式：m(x)=mk-1xk-1+mk-2xk-2+……+m1x+m0為信息碼字多項式；c(x)=cn-1xn-1+cn-2xn-2+……+c1x+c0為循環碼字多項式；g(x)=xr-1+gr-2xr-2+……+g1x+1為生成多項式；系統碼的編碼分為三步：用xn-k乘上m(x);用g(x)除以xn-km(x)，得到模g(x)的余式r(x)c(x)=xn-km(x)+r(x)為系統循環碼的碼字多項式。在代數理論中，為了便于計算，常用碼多項式表示碼字。(91[例]:(7,4)循環碼的生成多項式為g(x)=x3+x+1求m=[1010]的循環碼。解：m(x)=x3+x,xn-k=x3;xn-km(x)=x3(x3+x)=x6+x4r(x)=x+1C(x)=xn-km(x)+r(x)=x6+x4+x+1[C]=[1010011][例]:(7,4)循環碼的生成多項式為g(x)=x3+x+92[非系統循環碼的編碼方法]：已知循環碼的生成矩陣，可以方便的求出非系統循環碼，C(x)=m(x)g(x)。[例]:m=[1101]g(x)=x3+x+1C(x)=(x3+x2+1)(x3+x+1)=x6+x4+x3+x5+x3+x2+x3+x+1=x6+x5+x4+x3+x2+x+1[C]=[1111111]m=[0101];c(x)=(x2+1)(x3+x+1)=x5+x3+x2+x3+x+1=x5+x2+x+1[C]=[0100111][非系統循環碼的編碼方法]：93[循環碼的生成矩陣]：循環碼可以用域上多項式描述，也可以用生成矩陣描述。已知g(x)為循環碼C中的一個碼字多項式，由循環碼的循環特性可知，可以證明：在(n,k)循環碼的碼字多項式中，g(x),xg(x),……xk-1g(x)等k個碼字多項式必是線性無關（相互獨立的）的。根據線性空間的特性，可知，它們是一個k維子空間的基底，即由它們的線性組合可以生成這個k維子空間的2k個碼字。再根據線性分組碼生成矩陣的定義，它的行向量是由k個線性無關的碼字構成的，可以得到(n,k)循環碼的一個多項式矩陣為：[循環碼的生成矩陣]：94通信原理-CT8差錯控制編碼課件95例如(7,3)循環碼，n=7,k=3,r=4,其生成多項式及生成矩陣分別為例如(7,3)循環碼，n=7,k=3,r=4,其生成多96[非系統循環碼編碼電路]：非系統循環碼的產生為：C(x)=m(x)g(x),可知其編碼器為如下：D0D1D2m(x)C(x)x1x3x2[非系統循環碼編碼電路]：D0D1D2m(x)C(x)x1x97監督多項式及監督矩陣為了便于對循環碼編譯碼，通常還定義監督多項式，令

其中g(x)是常數項為1的r次多項式，是生成多項式；h(x)是常數項為1的k次多項式，稱為監督多項式。同理，可得監督矩陣H

監督多項式及監督矩陣其中g(x)是常數項為1的r次多項98是h(x)的逆多項式。例如(9，3)循環碼，g(x)=x4+x3+x2+1，則其中是h(x)的逆多項式。例如(9，3)循環碼，g(x)=x4+99通信原理-CT8差錯控制編碼課件100編碼方法和電路在編碼時，首先要根據給定的(n,k)值選定生成多項式g(x)，即應在xn+1的因式中選一r=n-k次多項式作為g(x)。設編碼前的信息多項式m(x)為循環碼的碼多項式可表示為編碼方法和電路在編碼時，首先要根據給定的(101圖(7,3)循環碼編碼電路圖(7,3)循環碼編碼電路102表(7,3)循環碼的編碼過程表(7,3)循環碼的編碼過程103[系統碼編碼器]：為了構成系統碼，可知C(x)=xn-km(x)+r(x)r(x)=xn-km(x)/g(x)[模g(x)]以(7,4)漢明碼為例：g(x)=x3+x+1編碼器電路如圖所示：它由r=n-k級移位寄存器構成。輸入m(x)門1D0D1D2門2或門1xx2x31xx3x3C(x)[系統碼編碼器]：輸入m(x)門1D0D1D2門2或門1xx104[系統循環碼的生成矩陣與監督矩陣]：[系統循環碼的生成矩陣與監督矩陣]：105通信原理-CT8差錯控制編碼課件106[大數邏輯譯碼器]：(門限譯碼器)S0S1S2S3大數門>2輸出7級緩存器A2A3A1C(x)C(x)R(x)[大數邏輯譯碼器]：(門限譯碼器)S0S1S2S3大數門>2107其工作過程如下：由(7,3)循環碼生成多項式g(x)=x4+x3+x2+1的除法電路，計算R(x)的校驗子多項式S(x)。n=7次移位