第三章扭轉(zhuǎn)3–1概述一、扭轉(zhuǎn)的力學(xué)模型受力特征外力偶矩的作用面與桿件的軸線相垂直。變形特征受力后桿件表面的縱向線變形成螺旋線，即桿件任意兩橫截面繞桿件軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。TTOBAABO扭轉(zhuǎn)角（）：任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生的相對(duì)轉(zhuǎn)角稱(chēng)為該兩截面間桿段的扭轉(zhuǎn)角。剪應(yīng)變（）：直角的改變量。二、工程實(shí)例3–2外力偶矩的計(jì)算，扭矩和扭轉(zhuǎn)圖一、外力偶矩的計(jì)算1.由力系的簡(jiǎn)化求得2.傳動(dòng)軸的傳遞功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩間的關(guān)系當(dāng)傳動(dòng)軸穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)，且不計(jì)其它能量損耗時(shí)，其傳遞功率P、轉(zhuǎn)速n與外力偶矩T之間的關(guān)系為式中，傳遞功率P的單位為：千瓦（kW）轉(zhuǎn)速n的單位為:轉(zhuǎn)每分鐘(rpm或r/min)二、扭矩及扭矩圖扭矩受扭桿件橫截面上的內(nèi)力偶矩，其作用面即為與扦軸垂直的橫截面。習(xí)慣上用記號(hào)Mt表示，其值用截面法求得。扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。三、用直接法求扭矩

任一橫截面上的扭矩等于其一側(cè)桿段上作用的所有外力對(duì)桿軸線的力矩的代數(shù)和。式中，按右手螺旋法則，拇指離開(kāi)桿端截面者取正；反之取負(fù)。例已知：一傳動(dòng)軸，n=300r/min，主動(dòng)輪輸入P1=500kW，從動(dòng)輪輸出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試?yán)L制扭矩圖。nABCDT2

T3

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T4解：①計(jì)算外力偶矩3-3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒：壁厚（r0：為平均半徑）一、實(shí)驗(yàn)觀察及推論：1.實(shí)驗(yàn)前：1）繪縱向線，圓周線；2）施加一對(duì)外力偶T。2.實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象1）圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。

2）各縱向線均傾斜了同一微小角度。

3）所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。2.推論：1）橫截面上無(wú)正應(yīng)力；2）橫截面上各點(diǎn)處，只產(chǎn)生垂直于半徑且可認(rèn)為均勻分布的剪應(yīng)力，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)一致。二、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力大小：A0：平均半徑所作圓的面積。三、剪應(yīng)力互等定理：剪應(yīng)力互等定理：在單元體相互垂直的兩個(gè)平面上，垂直于公共棱邊的剪應(yīng)力必然成對(duì)出現(xiàn)，且數(shù)值相等，方向則共同指向或共同背離該公共棱邊。acddxbdy′′tz純剪切應(yīng)力狀態(tài)：?jiǎn)卧w上只有剪應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力的情況。

四、剪切胡克定律：Op實(shí)驗(yàn)表明:當(dāng)剪應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極限時(shí)（τ≤τp)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比。（τ≤τp)剪切彈性模量G——是材料的一個(gè)彈性常數(shù)，因無(wú)量綱，故G的量綱與相同，不同材料的G值可通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定，鋼材的G值約為80GPa。剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個(gè)常數(shù)。對(duì)各向同性材料，這三個(gè)彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系在三個(gè)彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個(gè)，第三個(gè)量就可以推算出來(lái)。3-4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力圓軸橫截面應(yīng)力①變形幾何方面②物理關(guān)系方面③靜力學(xué)方面1.橫截面變形后仍為平面；2.軸向無(wú)伸縮；3.縱向線變形后仍為平行。一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)觀察：二、、等等直直圓圓桿桿扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)時(shí)時(shí)橫橫截截面面上上的的應(yīng)應(yīng)力力1.變形形幾幾何何關(guān)關(guān)系系：：距圓圓心心為為任一一點(diǎn)點(diǎn)處處的的與到到圓圓心心的的距距離離成正正比比。。——單位長(zhǎng)長(zhǎng)度上上的扭扭轉(zhuǎn)角角。根據(jù)平平面假假設(shè)，，同一一截面面上各各點(diǎn)為為一一常數(shù)數(shù)。2.物理關(guān)關(guān)系：：胡克定律：由于發(fā)發(fā)生生在垂垂直于于半徑徑的平平面內(nèi)內(nèi)，所所以方方向向垂直直于半半徑方方向。。tmaxtmaxMt應(yīng)力分分布圖圖Mttmaxtmax3.靜力學(xué)學(xué)關(guān)系系：令OdAMttmax故：4.剪應(yīng)力力計(jì)算算公式式1）公式式適用用于均均勻連連續(xù)、、各向向同性性材料，，在線線彈性性范圍圍、小小變形形條件下的的等圓圓截面面（實(shí)實(shí)或空空）直直稈。。2）Mt—所求橫橫截面面上的的扭矩矩。3）—欲求剪剪應(yīng)力力點(diǎn)到到圓心心的距距離。。4）—極慣性矩，純幾何量，無(wú)物理意義。橫截面上的最最大剪應(yīng)力發(fā)發(fā)生在橫截面面周邊各點(diǎn)處處。5.橫截面上的最最大剪應(yīng)力Wt—抗扭截面系數(shù)數(shù)（抗扭截面面模量），幾何何量，單位：：mm3或m3。3-5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的的強(qiáng)度計(jì)算一、扭轉(zhuǎn)破壞壞試驗(yàn)低碳鋼試件：：沿橫截面斷開(kāi)開(kāi)。鑄鐵試件：沿與軸線約成成45的螺旋線斷開(kāi)開(kāi)。先發(fā)生屈服，，試件表面橫橫向和縱向出出現(xiàn)滑移。二、圓軸扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)計(jì)算強(qiáng)度條件：[]——稱(chēng)為許用剪應(yīng)應(yīng)力。強(qiáng)度計(jì)算三方方面：①校核強(qiáng)強(qiáng)度：②設(shè)計(jì)截截面尺寸：③計(jì)算許許可載荷：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫橫截面上的最最大剪應(yīng)力不不得超過(guò)材料料的許用剪應(yīng)應(yīng)力。由Mt計(jì)算外力偶偶矩3-6圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)時(shí)的變形·剛度條件一、扭轉(zhuǎn)時(shí)時(shí)的變形1.單位長(zhǎng)度的的扭轉(zhuǎn)角2.長(zhǎng)為l一段桿兩截截面間相對(duì)對(duì)扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角Mt為常常量量的的等等截截面面圓圓軸軸GIp反映映了了截截面面抵抵抗抗扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)彈彈性性變變形形的的能能力力，，稱(chēng)稱(chēng)為為截面面的的抗抗扭扭剛剛度度。二、、圓圓軸軸扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)時(shí)時(shí)的的剛剛度度計(jì)計(jì)算算圓軸軸扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)時(shí)時(shí)的的單單位位長(zhǎng)長(zhǎng)度度扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角不不得得超超過(guò)過(guò)規(guī)規(guī)定定的的許許可可值值。。1.剛度度條條件件或[]稱(chēng)為為許許用用單單位位扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角。。2.剛度度計(jì)計(jì)算算的的三三方方面面：：①校校核核剛剛度度：：②設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)截截面面尺尺寸寸：：③計(jì)計(jì)算算許許可可載載荷荷：：例3-7圓軸軸的的扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)超超靜靜定定問(wèn)問(wèn)題題解決決扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)超超靜靜定定問(wèn)問(wèn)題題的的方方法法步步驟驟：：平衡衡方方程程；；幾何何方方程程———變形形協(xié)協(xié)調(diào)調(diào)方方程程；；補(bǔ)充充方方程程：：由由幾幾何何方方程程和和物物理理方方程程得得；；物理理方方程程；；解由由平平衡衡方方程程和和補(bǔ)補(bǔ)充充方方程程組組成成的的方方程程組組。。①②③④⑤例[例5]長(zhǎng)為為L(zhǎng)=2m的圓圓桿桿受受均均布布力力偶偶m=20Nm/m的作作用用，，如如圖圖，，若若桿桿的的內(nèi)內(nèi)外外徑徑之之比比為為=0.8，外外徑徑D=0.0226m，G=80GPa，試求求固固端端反反力力偶偶。。3-8非圓圓截截面面等等直直桿桿在在自自由由扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)時(shí)時(shí)的的應(yīng)應(yīng)力力和和變變形形非圓圓截截面面等等直直桿桿：：平面面假假設(shè)設(shè)不不成成立立。。即即各各截截面面發(fā)發(fā)生生翹翹曲曲不不保保持持平平面面。。因因此此，，由由等等直直圓圓桿桿扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)時(shí)時(shí)推推出出的的應(yīng)應(yīng)力力、、變變形形公公式式不不適適用用，，須須由由彈彈性性力力學(xué)學(xué)方方法法求求解解。。一、自自由由扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)：：桿件件扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)時(shí)時(shí)，，橫橫截截面面的的翹翹曲曲不不受受限限制制，，任任意意兩兩相相鄰截面的的翹曲程程度完全全相同。。二、約束扭扭轉(zhuǎn)：桿件扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)時(shí)，橫橫截面的的翹曲受受到限制制，相鄰鄰截面的翹曲程程度不同同。三、矩形桿桿橫截面面上的剪剪應(yīng)力:h3bht1T

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max注意！b1.剪應(yīng)力分分布如圖圖：（角點(diǎn)、、形心、、長(zhǎng)短邊邊中點(diǎn)））2.最大剪應(yīng)應(yīng)力及單單位扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角2.最大剪應(yīng)應(yīng)力及單單位扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角h3bht1T

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max注意！b其中：其中：It—相當(dāng)極慣慣性矩。。注意！對(duì)于Wt和It，多數(shù)教材材與手冊(cè)冊(cè)上有如如下定義義：查表求求和時(shí)一定定要注意，，表中中和與那套套公式式對(duì)應(yīng)應(yīng)。h3bht1T

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max注意！b例3-9開(kāi)口和和閉合合薄壁壁截面面在自自由扭扭轉(zhuǎn)時(shí)時(shí)的應(yīng)