第3章

空間點(diǎn)、直線和平面的投影分析

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教學(xué)提示：空間點(diǎn)、直線和平面是組成一個(gè)三維立體的最基本的三個(gè)幾何要素。本章將重點(diǎn)介紹點(diǎn)、直線和平面在三投影面體系中的投影及其投影特性，兩兩幾何要素之間的相對(duì)位置關(guān)系及其投影特性；本章還將闡述常用的幾種空間幾何問題的圖解方法及其應(yīng)用，如用直角三角形法求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)投影面的傾角、一邊平行于投影面的直角的投影原理，等等。主要是學(xué)習(xí)如何將點(diǎn)、直線和平面等空間幾何要素用投影表達(dá)，并反過來又如何用其投影來分析和解決空間幾何問題。

教學(xué)要求：本章是工程制圖最為基礎(chǔ)的部分，學(xué)生必須熟練掌握各種位置點(diǎn)、直線和平面的投影及特性，進(jìn)一步建立投影法的基本概念和思維方法。在此基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)應(yīng)用點(diǎn)、直線和平面的相對(duì)位置關(guān)系的投影特性，與直角三角形法、直角投影定理配合解決簡(jiǎn)單的空間幾何問題，為立體的投影分析和表達(dá)打下基礎(chǔ)?！?.1空間點(diǎn)的投影分析●3.2空間直線的投影分析

●3.3空間平面的投影分析本章內(nèi)容3.1空間點(diǎn)的投影分析

由初等幾何可知，空間兩點(diǎn)可確定一條直線，空間不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可確定一個(gè)平面。因此，要研究空間基本幾何要素及其投影關(guān)系，首先要建立空間點(diǎn)的投影概念。3.1.1點(diǎn)的三面投影及其投影特征點(diǎn)的投影仍為一個(gè)點(diǎn)，且空間點(diǎn)在一個(gè)投影面上只有唯一的投影。但當(dāng)已知點(diǎn)在一個(gè)投影面上的一個(gè)投影時(shí)，都不能確定點(diǎn)在空間的唯一位置。將點(diǎn)A放在三投影面體系中分別向三個(gè)投影面V面、H面、W面作正投影，得到點(diǎn)A的水平投影a、正面投影、側(cè)面投影。(關(guān)于空間點(diǎn)及其投影的標(biāo)記規(guī)定為：空間點(diǎn)用大寫字母A、B、C…表示，水平投影相應(yīng)用小寫字母a、b、c…表示，正面投影相應(yīng)用小寫字母、、…表示，側(cè)面投影相應(yīng)用小寫字母、、…表示。)將投影面體系展開，去掉投影面的邊框，保留投影軸，便得到點(diǎn)A的三面投影圖，如圖3.1所示。3.1空間點(diǎn)的投影分析由此可以得出點(diǎn)在三投影面體系的投影特性是：

(1)點(diǎn)A的V面投影和H面投影的連線垂直于OX軸，即a′a⊥OX(長(zhǎng)對(duì)正)。

(2)點(diǎn)A的V面投影和W面投影的連線垂直于OZ軸，即a′a″⊥OZ(高平齊)。

(3)點(diǎn)A的H面投影到OX軸的距離等于點(diǎn)A的W面投影到OZ軸的距離，即aax=a″az(寬相等)，作圖時(shí)可以用圓弧或45°線來反映該關(guān)系。

在三面體系中引入笛卡兒坐標(biāo)體系，以H、V、W三個(gè)投影面為坐標(biāo)面，以三根投影軸OX、OY、OZ為坐標(biāo)軸，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)。于是空間點(diǎn)A便可用三個(gè)坐標(biāo)值，即點(diǎn)分別到W、V、H三個(gè)投影面的距離x、y、z來確定，由此：

點(diǎn)到W面的距離Aa″=a′az=aay=oax=x；

點(diǎn)到V面的距離Aa′=aax=a″az=oay=y；

點(diǎn)到H面的距離Aa=a′ax=a″ay=oaz=z。

3.1空間點(diǎn)的投影分析水平投影由X與Y坐標(biāo)確定(Z=0)；正面投影由X與Z坐標(biāo)確定(Y=0)；側(cè)面投影由Y與Z坐標(biāo)確定(X=0)。點(diǎn)的任何兩個(gè)投影可反映點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)，即確定該點(diǎn)的空間位置。空間點(diǎn)在三面投影體系中有唯一確定的一組投影。(a)(b)(c)圖3.1點(diǎn)的投影及其投影規(guī)律

3.1空間點(diǎn)的投影分析設(shè)空間點(diǎn)A、B、D分別位于V、H面和OX軸上，如圖3.2(a)所示，則它們的三面投影如圖3.2(b)所示。由此可知，投影面和投影軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)和投影有如下特性：(1)投影面上的點(diǎn)有一個(gè)坐標(biāo)值為0；在該投影面上投影與該點(diǎn)重合，在相鄰?fù)队懊嫔系耐队胺謩e在相應(yīng)的投影軸上。(2)投影軸上的點(diǎn)有兩個(gè)坐標(biāo)值為0；在包含這條軸的兩個(gè)投影面上的投影都與該點(diǎn)重合，在另一投影面上的投影則與原點(diǎn)O重合。3.1.2投影面上的點(diǎn)與投影軸上的點(diǎn)3.1空間點(diǎn)的投影分析(a)(b)圖3.2投影面上的點(diǎn)與投影軸上的點(diǎn)3.1空間點(diǎn)的投影分析3.1.3兩點(diǎn)的相對(duì)位置及重影點(diǎn)的投影分析

1.空間兩點(diǎn)相對(duì)位置的投影分析在投影圖上判斷空間兩個(gè)點(diǎn)的相對(duì)位置，就是分析兩點(diǎn)之間上、下、左、右、前、后的關(guān)系，如圖3.3(a)所示。由正面投影或側(cè)面投影可判斷兩點(diǎn)間的上、下關(guān)系(Z坐標(biāo)差)；由正面投影或水平投影可判斷兩點(diǎn)間的左、右關(guān)系(X坐標(biāo)差)；由水平投影或側(cè)面投影可判斷兩點(diǎn)間的前、后關(guān)系(Y坐標(biāo)差)，如圖3.3(b)所示。3.1空間點(diǎn)的投影分析(a)(b)圖3.3兩點(diǎn)的的相對(duì)對(duì)位置置3.1空間點(diǎn)點(diǎn)的投投影分分析2.重影點(diǎn)點(diǎn)的投投影分分析當(dāng)空間間兩點(diǎn)點(diǎn)位于于對(duì)某某一投投影面面的同同一條條投射射線上上時(shí)，，則此此兩點(diǎn)點(diǎn)在該該投影影面上上的投投影重重合為為一點(diǎn)點(diǎn)，此此兩點(diǎn)點(diǎn)稱為為對(duì)該該投影影面的的重影影點(diǎn)。。為區(qū)區(qū)分重重影點(diǎn)點(diǎn)的可可見性性，規(guī)規(guī)定觀觀察方方向與與投影影面的的投射射方向向一致致，即即對(duì)V面由前前向后后，對(duì)對(duì)H面由上上向下下，對(duì)對(duì)W面由左左向右右。因因此，，距觀觀察者者近之之點(diǎn)的的投影影為可可見，，反之之為不不可見見。從空間間幾何何關(guān)系系分析析，重重影點(diǎn)點(diǎn)在空空間直直角坐坐標(biāo)系系中有有兩對(duì)對(duì)坐標(biāo)標(biāo)值分分別相相等，，其可可見性性則由由它們們的另另一對(duì)對(duì)不等等的坐坐標(biāo)值值來確確定，，坐標(biāo)標(biāo)值大大者為為可見見，值值小者者為不不可見見。畫畫投影影圖時(shí)時(shí)應(yīng)在在不可可見點(diǎn)點(diǎn)的投投影標(biāo)標(biāo)記兩兩側(cè)注注寫括括號(hào)，，如圖圖3.4所示。。3.1空間點(diǎn)點(diǎn)的投投影分分析(a)(b)圖3.4重影點(diǎn)投影分分析3.1空間點(diǎn)的投影影分析3.2空間直線的投投影分析由幾何學(xué)知識(shí)識(shí)可知，空間間兩點(diǎn)可確定定一直線。因因此要用投影影來表達(dá)空間間直線，只需需作出直線上上任意兩點(diǎn)的的投影，再連連接該兩點(diǎn)在在同一投影面面上的投影即即可。3.2.1直線的表示法法如已知兩點(diǎn)A(xA，yA，zA)和B(xB，yB，zB)的空間位置，，可首先繪出出該兩點(diǎn)的三三面投影，如如圖3.5(a)所示，然后將將兩點(diǎn)的同面面投影相連，，即可得直線線的三面投影影，如圖3.5(b)所示。由此也也可得出結(jié)論論：在一般情情況下，直線線的投影仍是是直線(不變性)。而當(dāng)直線上上兩點(diǎn)為某一一投影面上的的重影點(diǎn)時(shí)，，直線即垂直直于該投影面面，直線在該該投影面上會(huì)會(huì)積聚為一點(diǎn)點(diǎn)(積聚性)。3.2空間直線的投投影分析(a)(b)圖3.5直線的投影3.2空間直線的投投影分析直線與投影面面的相對(duì)位置置有3種：投影面平平行線、投影影面垂直線和和一般位置直直線。前兩種種直線又統(tǒng)稱稱為特殊位置置直線。直線和它在投投影平面上的的正投影之間間所成的銳角角稱為此直線線對(duì)該平面的的傾角。本書書約定：直線線與H、V、W三投影面所成成的角分別用用，，表示，，如圖3.6(a)所示。當(dāng)直線線平行于投影影面時(shí)，傾角角為0°；垂直于投影影面時(shí)為90°；傾斜于投影影面時(shí)，則傾傾角在0°和90°之間。1.一般位置直線線一般位置直線線對(duì)投影面V、H、W均為傾斜，兩兩端點(diǎn)的坐標(biāo)標(biāo)差都不等于于零。如圖3.6(a)所示的直線AB，由此可得一一般位置直線線的投影特性性。3.2.2直線相對(duì)于投投影面的位置置及其投影特特性3.2空間直線的投投影分析1)一般位置直線線的三個(gè)投影影與其實(shí)際長(zhǎng)長(zhǎng)度的關(guān)系為為：ab=ABcos；a′b′=ABcos；a″b″=ABcos由于，，均不不為0，故一般位置置直線的3個(gè)投影之長(zhǎng)均均小于其實(shí)際際長(zhǎng)度。(2)三面投影均傾傾斜于投影軸軸，且它們與與投影軸的夾夾角不反映該該直線與投影影面的傾角。。(a)(b)圖3.6一般位置直線線3.2空間直線的投投影分析2.投影面平行線線在三面體系中中，平行于一一個(gè)投影面且且與其他兩投投影面傾斜的的直線稱為投投影面平行線線。根據(jù)該直直線平行于哪哪一個(gè)投影面面又分為3種：正平線：直線線平行于V面(=0)，對(duì)H、W面傾斜。水平線：直線線平行于H面(=0)，對(duì)V、W面傾斜。側(cè)平線：直線線平行于W面(=0)，對(duì)H、V面傾斜。投影面平行線線的三線投影影及投影特性性如表3-1所示。且由表表3-1可得出投影平平行線的投影影特性為：投投影面平行線線在所平行的的平面上為一一條傾斜于軸軸線的直線并并反映實(shí)長(zhǎng)，，與相應(yīng)投影影軸的夾角反反映直線對(duì)另另外兩個(gè)投影影面的傾角的的真實(shí)大??；；直線的另外外兩個(gè)投影面面的投影平行行線平行于該該投影面，并并傾斜于相應(yīng)應(yīng)的投影軸。。3.2空間直線的投投影分析表3-1投影面平行線線的投影及其其投影特性3.2空間直線的投投影分析3.投影面垂直線線在三面體系中中，垂直于一一個(gè)投影面且且必平行于另另兩個(gè)投影面面的直線稱為為投影面垂直直線。根據(jù)該該直線垂直于于不同的投影影面又分為3種：正垂線：直線線垂直于V面，=90°，==0。鉛垂線：直線線垂直于H面，=90°，==0。側(cè)垂線：直線線垂直于W面，=90°，==0。3.2空間直線的投投影分析投影面平行面面的三面投影影及投影特性性見表3-2。且由表3-2可得出投影垂垂直線的投影影特性為：投投影面垂直線線在所垂直的的平面上積聚聚為一點(diǎn)，直直線的另外兩兩個(gè)投影分別別為垂直于相相應(yīng)的投影軸軸并反映實(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)；直線對(duì)投投影面的傾角角均為已知，，即為0°或90°3.2空間直線的投投影分析3.2空間直線的投投影分析表3-2投影面垂直線線的投影及其其投影特性由此，我們可可得出這樣的的結(jié)論：從特特殊位置直線線的三個(gè)投影影，可直接獲獲得直線的實(shí)實(shí)長(zhǎng)和對(duì)投影影面的傾角的的真實(shí)大小，，而對(duì)于一般般位置直線，，則要通過一一定的圖解方方法來求解其其實(shí)長(zhǎng)和傾角角。3.2空間直線的投投影分析特殊位置直線線在三面投影影圖中可直接接顯示實(shí)長(zhǎng)及及對(duì)投影面的的傾角，有著著良好的投影影特性。而一一般位置直線線的3個(gè)投影均不能能直接反映直直線的實(shí)長(zhǎng)和和對(duì)投影面的的傾角，必須須通過一定的的圖解方法來來求解。首先，分析如如圖3.7所示的空間直直線AB與其投影之間間的幾何關(guān)系系：在投射線組成成的平面ABba內(nèi)，過點(diǎn)A作AK//ab，交Bb于點(diǎn)K，得RtΔABK。其中：直角角邊AK=ab(水平投影的長(zhǎng)長(zhǎng)度)，BK=Bb―Kb=ZB―ZA=ΔZ(A、B兩點(diǎn)間的Z坐標(biāo)差)，斜邊AB即為實(shí)長(zhǎng)，，而AB與AK的夾角(即斜邊與水水平投影的的夾角)為該直線對(duì)對(duì)H面的傾角α。顯然，在在這個(gè)直角角三角形的的三條邊和和一個(gè)夾角角中3.2.3直角三角形形法求解一一般位置直直線的實(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)和對(duì)投影影面的傾角角3.2空間直線的的投影分析析只要知道其其中兩個(gè)要要素，就可可畫出該直直角三角形形，其他兩兩個(gè)要素也也就隨即獲獲得。如圖圖3.7(b)所示，線段段AB的水平投影影ab和兩端點(diǎn)的的Z坐標(biāo)差均為為已知，故故可畫出此此直角三角角形，問題題便獲解決決。這種方方法稱為直直角三角形形法。直角三角形形法中所用用的直角三三角形是從從上述空間間幾何分析析中推理而而抽象出來來的，圖解解時(shí)可直接接作在投影影圖中，也也可作在投投影圖形之之外，如圖圖3.7(c)所示。在如如圖3.7(b)所示的作圖圖過程中，，就分別用用了兩個(gè)位位置來畫直直角三角形形：一是畫畫在水平投投影中，直直接利用水水平投影ab為一直角邊邊，而另一一直角邊Ab為坐標(biāo)差ΔZ；二是畫在在正面投影影中，利用用反映Z坐標(biāo)差的正正面投影b′a1′為一直角邊邊，而另一一直角邊a1′B就等于其水水平投影ab。注意兩種種作法都有有同一結(jié)果果，即斜邊邊為實(shí)長(zhǎng)，，斜邊與水水平投影的的夾角為直直線對(duì)水平平投影面的的傾角。3.2空間直線的的投影分析析圖3.7求線段的實(shí)實(shí)長(zhǎng)及對(duì)投投影面的傾傾角(a)(b)(c)3.2空間直線的的投影分析析同理，利用用線段的正正面投影a′b′或側(cè)面投影影a″b″，可與線段段AB的實(shí)長(zhǎng)及和和角分別組組成另外兩兩個(gè)直角三三角形，如如圖3.8所示。這3個(gè)直角三角角形的組成成情況如下下：(1)兩直角邊分分別為直線線的水平投投影和Z坐標(biāo)差，斜斜邊為實(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)，水平投投影和實(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)的夾角為為，如圖3.8(a)所示。(2)兩直角邊分分別為直線線的正面投投影和Y坐標(biāo)差，斜斜邊為實(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)，正面投投影和實(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)的夾角為為，如圖3.8(b)所示。(3)兩直角邊分分別為直線線的側(cè)面投投影和X坐標(biāo)差，斜斜邊為實(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)，側(cè)面投投影和實(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)夾角為，，如圖3.8(c)所示。用直角三角角形法解題題時(shí)要注意意以下幾點(diǎn)點(diǎn)：3.2空間直線的的投影分析析(1)對(duì)照?qǐng)D3.8所示的3個(gè)直角三角角形可知，，對(duì)于同一一段直線，，用其中任任意一個(gè)直直角三角形形，都可求求得該直線線的實(shí)長(zhǎng)。。但對(duì)投影影面的傾角角的問題，，則要用不不同的直角角三角形來來求解。如如一定是實(shí)實(shí)長(zhǎng)與水平平投影的夾夾角，一定定是實(shí)長(zhǎng)與與正面投影影的夾角，，而一定則則是實(shí)長(zhǎng)與與側(cè)面投影影的夾角。。(2)獲得直角三三角形的投投影體系一一般是兩投投影面體系系，不同的的投影體系系所對(duì)應(yīng)的的直角三角角形也不同同。求解的的直角三角角形從V/H體系中獲得得，求解的的直角三角角形從V/H或V/W體系中獲得得，求解的的直角三角角形從V/W體系中獲得得。(3)從圖中得知知，每個(gè)直直角三角形形含有4個(gè)要素，若若知其中任任意兩個(gè)，，則此直角角三角形便便完全確定定，由此可可求出另2個(gè)要素。凡凡遇到此4要素的問題題均可用此此法來求解解。3.2空間直線的的投影分析析(a)(b)(c)圖3.8直角三角形形法中的邊邊和角與投投影的關(guān)系系3.2空間直線的的投影分析析【例3.1】已知線段AB的實(shí)長(zhǎng)為60mm，求出AB的水平投影影ab，如圖3.9(a)所示。分析：要求求解直線的的水平投影影ab，則應(yīng)利用用含有水平平投影的那那個(gè)直角三三角形來作作圖。而在在該直角三三角形的3條邊和一個(gè)個(gè)角中，已已知AB的Z坐標(biāo)差(從正面投影影而知)和實(shí)長(zhǎng)兩個(gè)個(gè)要素，因因此AB的水平投影影ab由此可求(可得兩解)。作圖步驟：：(1)過b′作a′a的垂線b′B0，以a′為圓心60mm為半徑畫弧弧與b′B0交于B0，則得出水水平投影ab的長(zhǎng)度，如如圖3.9(b)所示。3.2空間直線的的投影分析析(a)(b)圖3.9作AB的水平投影影3.2空間直線的的投影分析析(2)過b′作投影連線線b′b垂直于OX軸。(3)以a為圓心、ab為半徑畫弧弧交b′b于b。(4)連ab即為所求(兩解)。3.2空間直線的的投影分析析空間點(diǎn)與直直線的相對(duì)對(duì)位置有兩兩種情況：：點(diǎn)在直線線上、點(diǎn)不不在直線上上。根據(jù)平行投投影法中從從屬性和等等比性的基基本性質(zhì)可可知：點(diǎn)在在直線上，，其投影必必在該直線線的同面投投影上；且且點(diǎn)分線段段之比，其其投影后保保持不變。。如圖3.10所示，已知知點(diǎn)C在AB上，則點(diǎn)C的3個(gè)投影必在在AB相應(yīng)的同面面投影上，，且有：AC∶CB=ac∶cb=a′c′∶c′b′=a″c″∶c″b″。而如圖3.10(b)所示點(diǎn)D的水平投影影雖然在直直線AB的水平投影影上，但其其正面投影影和側(cè)面投投影都不在在直線AB的同面投影影上，故點(diǎn)點(diǎn)D不在直線AB上，如圖3.10(a)所示。3.2.4點(diǎn)與直線的的相對(duì)位置置3.2空間直線的的投影分析析(a)(b)圖3.10點(diǎn)與直線的的相對(duì)位置置3.2空間直線的的投影分析析根據(jù)上述性性質(zhì)即可判判別點(diǎn)是否否在直線上上以及解決決在直線上上取點(diǎn)的作作圖問題。。要從投影上上判斷點(diǎn)是是否在直線線上，對(duì)于于一般位置置直線而言言，只需從從其中兩組組投影就可可加以判斷斷。如在圖圖3.10中，點(diǎn)C的兩個(gè)投影影在AB的同面投影影上，點(diǎn)D只有一個(gè)投投影在直線線AB的同面投影影上。因此此點(diǎn)C在直線AB上，點(diǎn)D不在直線AB上。而對(duì)于特殊殊位置直線線而言，則則必須從其其三組投影影或利用點(diǎn)點(diǎn)分線段之之等比性來來進(jìn)行判斷斷。如圖3.11(a)所示，因?yàn)闉樗o直線線AB及點(diǎn)D位于平行于于側(cè)面的同同一平面內(nèi)內(nèi)，不管點(diǎn)點(diǎn)D是否在AB上，都有d∈ab，d′∈a′b′的關(guān)系。為為此，必須須根據(jù)第3投影或利用用點(diǎn)分線段段之等比性性質(zhì)來判別別。圖3.11(b)、圖3.11(c)列出了這兩兩種判別方方法。由作作圖可知，，點(diǎn)D不在AB上。3.2空間直線的的投影分析析(a)(b)(c)圖3.11點(diǎn)與直線相相對(duì)位置的的判別3.2空間直線的的投影分析析空間兩直線線的相對(duì)位位置有3種情況，即即平行、相相交和交叉叉(即異面直線線)1.平行兩直線線空間兩直線線平行，則則其3組同面投影影必平行。。反之，若若有兩直線線的三組同同面投影都都平行，則則該兩直線線在空間相相互平行。。如圖3.12所示，已知知空間兩直直線AB∥EF。過AB、EF上的各點(diǎn)向向投影面作作投射線，，所形成的的兩個(gè)平行行平面與投投影面的交交線也相互互平行。即即ab∥ef，a′b′∥e′f′，a″b″∥e″f″。其投影圖圖如圖3.12(b)所示。從而而不難得出出AB/EF=ab/ef=a′b′/e′f′=a″b″/e″f″。由此可得得其同面投投影必平行行，且兩平平行線段長(zhǎng)長(zhǎng)度之比等等于其投影影長(zhǎng)度之比比。3.2.5兩直線的相相對(duì)位置3.2空間直線的的投影分析析(a)(b)圖3.12平行兩直線線3.2空間直線的的投影分析析表2-6(要判別兩條條一般位置置直線是否否平行，只只需看它們們的任意兩兩面投影即即可。但對(duì)對(duì)于特殊位位置直線而而言，則必必須同時(shí)檢檢查它們的的3組同面投影影。如圖3.13所示的兩直直線AB和CD均為側(cè)平線線，雖然它它們的H、V面投影：ab∥cd，a′b′∥c′d′，但a′b′∶c′d′ab∶cd，其側(cè)面投投影a″b″不平行于c″d″，故直線AB不平行于CD。3.2空間直線的的投影分析析圖3.13兩直線是否否平行的判判斷3.2空間直線的的投影分析析2.相交兩直線線空間兩直線線相交，其其各組同面面投影必相相交，且交交點(diǎn)的投影影符合點(diǎn)的的投影規(guī)律律。反之亦亦然。如圖圖3.14(a)所示，空間間兩直線AB與CD相交于點(diǎn)K，則交點(diǎn)K為兩條直線線所共有，，根據(jù)從屬屬性不變的的性質(zhì)，兩兩直線的同同面投影必必定相交，，且交點(diǎn)符符合點(diǎn)的投投影規(guī)律，，即kk′⊥OX(k′k″⊥OZ)，如圖3.14(b)所示。因此此，對(duì)于一一對(duì)一般位位置直線，，要判別它它們是否相相交，只需需檢查任意意兩面投影影的交點(diǎn)的的投影連線線是否垂直直于投影軸軸即可。否否則，要同同時(shí)從3組同面投影影、或者從從交點(diǎn)的從從屬性及交交點(diǎn)分割線線段的等比比性來判斷斷。3.2空間直線的的投影分析析(a)(b)圖3.14相交兩直線線3.2空間直線的的投影分析析如圖3.15(a)所示的兩直直線AB和EF，雖然其兩兩面投影均均相交，其其實(shí)在空間間并不相交交。因?yàn)閺膹膱D3.15(b)的判別可看看出：e′k′∶k′f′ek∶kf，所以點(diǎn)K不在EF上，即兩直直線不相交交。同樣，，還可通過過作出其側(cè)側(cè)面投影來來判斷。(a)(b)圖3.15兩直線是否否相交的判判斷3.2空間直線的的投影分析析3.交叉兩直線線在空間既不不平行又不不相交的兩兩直線稱為為交叉兩直直線。如圖圖3.13和圖3.15所示的兩直直線均為交交叉兩直線線。交叉兩兩直線的3組同面投影影不一定都都相交，即即使都相交交，其交點(diǎn)點(diǎn)也不符合合點(diǎn)的投影影規(guī)律。我我們?cè)诮徊娌鎯芍本€的的同面投影影上看到的的交點(diǎn)，實(shí)實(shí)際上是分分別在兩直直線上的兩兩點(diǎn)在該投投影面上的的重影點(diǎn)。。利用重影影點(diǎn)的投影影特性，可可判斷兩直直線的相對(duì)對(duì)位置。如圖3.16所示，交交叉兩直直線AB，CD上分別有有兩個(gè)點(diǎn)點(diǎn)Ⅲ、Ⅳ(點(diǎn)Ⅲ∈AB，點(diǎn)Ⅳ∈CD)，它們?cè)谠贖面的重影影點(diǎn)為(3)4，由3.16(b)中的投影影可知ZⅣ>ZⅢ，故Ⅳ點(diǎn)在Ⅲ點(diǎn)的正上上方，Ⅲ點(diǎn)的水平平投影3為不可見見，用(3)表示。同同理，在在V面上另一一對(duì)重影影點(diǎn)I、II中，點(diǎn)II的正面投投影2′不可見，，用(2′)表示。3.2空間直線線的投影影分析(a)(b)圖3.16交叉兩直直線的重重影點(diǎn)3.2空間直線線的投影影分析【例3.2】】試判別已已知直線線AB，CD，AE兩兩之間間的相對(duì)對(duì)位置，，如圖3.17(a)所示。分析：從圖中直直接觀察察可得出出：AB與AE相交，因因?yàn)樗鼈儌冇泄补颤c(diǎn)A。對(duì)于AB與CD兩直線，，由于它它們均為為側(cè)平線線，雖然然其正面面投影和和水平投投影均分分別平行行，但不不能憑觀觀察直接接定出。。判別方方法有兩兩種，一一種方法法是作出出它們的的側(cè)面投投影，另另一種方方法是通通過檢查查A，B，C，D4點(diǎn)是否共共面。即即分別連連接AC與BD的正面投投影和水水平投影影，使它它們形成成AC與BD兩條直線線。由AC與BD兩直線的的不共面面，即可可推斷出出A，B，C，D4點(diǎn)不共面面。所以以AB與CD為兩交叉叉直線，，如圖3.17(b)所示。而而AE與CD是一對(duì)交交叉直線線，其判判別方法法可用圖圖3.17(c)所示的等等比性定定理，讀讀者可自自行分析析判斷。。3.2空間直線線的投影影分析(a)(b)圖3.17判別兩直直線間的的相對(duì)位位置3.2空間直線線的投影影分析【例3.3】】求作直線線ST，使其與與已知直直線AB，CD相交且平平行于已已知直線線EF，如圖3.18(a)所示。分析與作作圖：從從圖3.18(a)可知，直直線CD的水平投投影積聚聚為一點(diǎn)點(diǎn)c(d)，故CD為鉛垂線線。由于于所求直直線ST與CD相交，故故其交點(diǎn)點(diǎn)T的水平投投影也必必積聚于于點(diǎn)c(d)。又由于于所求直直線ST∥EF，且與AB相交。故故可過點(diǎn)點(diǎn)c(d)作st∥ef交ab于s，由s找到s′，過s′作s′t′′∥e′f′′交于t′，則st和s′t′′為所求直直線ST的兩面投投影。作作圖步驟驟如圖3.18(b)所示。3.2空間直線線的投影影分析(a)(b)圖3.18直線平行行與相交交的綜合合題舉例例3.2空間直線線的投影影分析空間垂直直的兩直直線(相交或交交叉)，若其中的一一直線平行于于某投影面時(shí)時(shí)，則兩直線線在該投影面面上的投影仍仍為直角。直直角的這一投投影特性稱為為直角投影定定理。反之，，若兩直線在在某投影面上上的投影為直直角，且其中中有一直線平平行于該投影影面時(shí)，則該該兩直線在空空間必互相垂垂直。證明如下：如如圖3.19(a)所示，設(shè)相交交兩直線AB⊥BC，且AB∥H面?！逜B⊥BC，AB⊥Bb∴AB⊥平面BCcb。又∵AB∥H面∴ab∥AB。因此：ab⊥平面BCcb，得ab⊥bc，即∠abc=90°，如圖3.19(b)所示。3.2.6一邊平行于投投影面的直角角的投影(a)(b)圖3.19直角的投影3.2空間直線的投投影分析應(yīng)用直角投影影定理可以解解決許多空間間定形和定位位的幾何問題題，如求作直直角三角形、、等腰三角形形、長(zhǎng)方形、、正方形、菱菱形等的投影影作圖問題，，以及求解點(diǎn)點(diǎn)與直線間、、兩直線間及及直線與平面面間的距離問問題等等。直角投影定理理同樣適合于于兩直線交叉叉垂直的情況況。讀者可自自行證明。如如圖3.20所示的兩直線線就是交叉垂垂直的情況。。因?yàn)橹本€AB是一條水平線線，且AB與CD的水平投影又又相互垂直，，因此由上述述直角定理可可知，這兩條條直線在空間間垂直。又3.2空間直直線的的投影影分析析【例3.4】試求點(diǎn)點(diǎn)A到直線線BC的距離離，如如圖3.21(a)所示。。分析：：求空間間一點(diǎn)點(diǎn)到直直線的的距離離的問問題，，也是是過點(diǎn)點(diǎn)向直直線作作垂線線、并并求出出該垂垂線的的實(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)的問問題。。在本本例中中，應(yīng)應(yīng)從已已知點(diǎn)點(diǎn)A向直線線BC圖3.20兩直線線交叉叉垂直直3.2空間直直線的的投影影分析析作垂線線AK，得垂垂足為為K。由于于所給給直線線BC為正平平線，，故由由直角角投影影定理理，應(yīng)應(yīng)使其其正面面投影影a′k′⊥b′c′；然后后利用用直角角三角角形法法求出出AK的實(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)，即即為所所求的的距離離。作圖步步驟：(1)過a′作a′k′⊥b′c′，交b′c′于k′，由k′找出k，連接接ak，得AK的投影影(ak，a′k′)；(2)用直角角三角角形法法求出出AK的實(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)，即即a′k0為所求求，如如圖3.21(b)所示。。(a)(b)圖3.21求點(diǎn)到到直線線的距距離3.2空間直直線的的投影影分析析【例3.5】試作出出交叉叉兩直直線AB、MN的公垂垂線EF，并求求AB與MN之間的的最短短距離離，如如圖3.22(a)所示。。分析：：如圖圖3.22(b)所示，，公垂垂線EF是與AB，MN都垂直直相交交的直直線，，EF的實(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)就是是所求求交叉叉兩直直線的的距離離。由由于AB⊥H面(AB為鉛垂垂線)，又EF⊥AB，所所以以應(yīng)應(yīng)有有EF∥H面，，其其垂垂足足E的水水平平投投影影e必積積聚聚在在AB的水水平平投投影影ab處。。又又由由于于EF∥H，同同時(shí)時(shí)EF⊥MN，根根據(jù)據(jù)直直角角投投影影定定理理必必有有ef⊥mn。顯顯然然，，因因?yàn)闉镋F為水水平平線線，，其其水水平平投投影影ef反映映公公垂垂線線EF的實(shí)實(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)，，這這就就是是所所求求AB與MN之間間的的距距離離。。作圖圖步步驟驟：：［［如如圖圖3.22(c)所示示］］。。(1)在水水平平投投影影面面上上過過a(b)點(diǎn)作作ef⊥mn。(2)由ef及水水平平線線EF的投投影影特特性性，，定定出出其其正正面面投投影影e′′f′′。則則e′′f′′和ef即為為所所求求公公垂垂線線EF的兩兩面面投投影影，，同同時(shí)時(shí)，，ef也是是所所給給交交叉叉兩兩直直線線的的最最短短距距離離。。3.2空間間直直線線的的投投影影分分析析圖3.22作交交叉叉兩兩直直線線的的公公垂垂線線并并求求其其距距離離3.2空間間直直線線的的投投影影分分析析平面面的的投投影影概概念念可可建建立立在在點(diǎn)點(diǎn)和和直直線線投投影影分分析析的的概概念念之之上上。。3.3空間間平平面面的的投投影影分分析析1.用幾幾何何元元素素表表示示平平面面由幾幾何何學(xué)學(xué)可可知知，，空空間間平平面面可可由由下下列列幾幾何何元元素素確確定定：：①①不不在在同同一一條條直直線線上上的的3點(diǎn)；；②②一一直直線線及及直直線線外外一一點(diǎn)點(diǎn)；；③③兩兩相相交交直直線線；；④④兩兩平平行行直直線線；；⑤⑤任任意意的的平平面面圖圖形形，，如如圖圖3.23所示示。。從圖圖中中可可以以看看出出，，以以上上各各組組元元素素可可以以互互相相轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化。。同同一一平平面面無無論論采采用用何何種種形形式式表表示示，，其其空空間間位位置置始始終終不不變變。。(a)不在在同同一一直直線線上上的的三三點(diǎn)點(diǎn)(b)直線線及及直直線線外外的的一一點(diǎn)點(diǎn)(c)相交交兩兩直直線線3.3.1平面面的的表表示示法法3.3空間間平平面面的的投投影影分分析析(d)平行行兩兩直直線線(e)平面面圖圖形形圖3.23用幾幾何何元元素素表表示示平平面面2.用平平面面的的跡跡線線表表示示平平面面在畫畫法法幾幾何何中中，，空空間間平平面面還還可可用用跡跡線線來來表表示示。。空空間間平平面面與與投投影影面面的的交交線線稱稱為為投投影影面面的的跡跡線線。。如如圖圖3.24(a)所示示。。平平面面P與H、V、W面的的交交線線分分別別稱稱為為水水平平跡跡線線(用PH表示示)、正正面面跡跡線線(用PV表示示)和側(cè)側(cè)面面跡跡線線(用PW表示示)。PH、PV、PW與投投影影軸軸X、Y、Z的交交點(diǎn)點(diǎn)PX、PY、PZ稱為為跡跡線線集集合合點(diǎn)點(diǎn)。。3.3空間間平平面面的的投投影影分分析析由于于跡跡線線是是投投影影面面上上的的直直線線，，所所以以它它的的一一個(gè)個(gè)投投影影與與跡跡線線本本身身重重合合，，另另一一個(gè)個(gè)投投影影則則落落在在投投影影軸軸上上。。在在投投影影圖圖中中，，PH、PV、PW直接接表表示示跡跡線線本本身身在在空空間間的的位位置置，，而而處處在在投投影影軸軸上上的的那那個(gè)個(gè)投投影影則則省省略略不不畫畫，，如如圖圖3.24(b)所示示。。(a)(b)圖3.24用跡跡線線表表示示平平面面3.3空間間平平面面的的投投影影分分析析顯然然，，用用跡跡線線表表示示的的平平面面，，其其直直觀觀性性強(qiáng)強(qiáng)，，它它形形象象地地表表明明了了平平面面在在空空間間的的位位置置。。用用跡跡線線表表示示的的平平面面稱稱為為跡跡線線平平面面。。3.3空間間平平面面的的投投影影分分析析3.3.2平面面相相對(duì)對(duì)于于投投影影面面的的位位置置及及其其投投影影特特性性在3面體體系系中中,平面面對(duì)對(duì)投投影影面面的的位位置置有有3種：：一一般般位位置置平平面面、、投投影影面面垂垂直直面面和和投投影影面面平平行行面面。。后后兩兩種種稱稱為為特特殊殊位位置置平平面面。。平面面分分別別與與H、V、W面所所構(gòu)構(gòu)成成的的兩兩面面角角稱稱為為該該平平面面對(duì)對(duì)H、V、W面的的傾傾角角，，，，。。顯顯然然，，當(dāng)當(dāng)平平面面平平行行于于投投影影面面時(shí)時(shí)，，其其傾傾角角為為0°°；垂垂直直于于投投影影面面時(shí)時(shí)，，其其傾傾角角為為90°；傾斜于于投影面面時(shí)，其其傾角在在0°<，，<90°。1.一般位置置平面既不平行行也不垂垂直于投投影面的的平面稱稱為一般般位置平平面。如如圖3.25所示可直直接觀察察分析得得到一般般位置平平面的投投影特性性：由于于平面傾傾斜于投投影面，，所以它它的三面面投影的的形狀均均為空間間平面的的類似形形線框，，其面積積均小于于空間平平面的實(shí)實(shí)形面積積，不反反映實(shí)形形的真實(shí)實(shí)大??；；3個(gè)投影均均不能反反映平面面與3個(gè)投影面面的傾角角的真實(shí)實(shí)大小。。3.3空間平面面的投影影分析(a)(b)圖3.25一般位置置平面的的投影3.3空間平面面的投影影分析2.投影面垂垂直面在三面體體系中垂垂直于任任意投影影面，而而與另兩兩投影面面傾斜的的平面，，稱為投投影面的的垂直面面。投影面垂垂直面可可分為3種：(1)垂直于V面、且傾傾斜于另另兩投影影面的平平面稱為為正垂面面。(2)垂直于H面、且傾傾斜于另另兩投影影面的平平面稱為為鉛垂面面。(3)垂直于W面、且傾傾斜于另另兩投影影面的平平面稱為為側(cè)垂面面。3種投影面面垂直面面的投影影及投影影特性見見表3-3。由此可可得出投投影面垂垂直面的的投影特特性：在在所垂直直的投影影面上的的投影積積聚為一一條斜線線，該斜斜線與相相應(yīng)投影影軸的夾夾角反映映出該平平面與其其他兩個(gè)個(gè)投影面面的傾角角的真實(shí)實(shí)大小；；其他兩兩個(gè)投影影面互為為類似形形線框。。3.3空間平面面的投影影分析表3-3投影面垂垂直面的的三面投投影及其其投影特特性3.3空間平面面的投影影分析3.投影面平平行面平行于一一個(gè)投影影面且必必垂直于于另兩個(gè)個(gè)投影面面的平面面稱為投投影面平平行面。。投影面平平行面又又可分為為3種：(1)平行于H面的平面面稱為水水平面。。(2)平行于V面的平面面稱為正正平面。。(3)平行于W面的平面面稱為側(cè)側(cè)平面。。投影面平平行面的的投影及及投影特特性見表表3-4。由此可可得出投投影面平平行面的的投影特特性為：：在所平平行的投投影面上上的投影影反映實(shí)實(shí)形，其其他兩個(gè)個(gè)投影都都積聚為為直線且且平行于于相應(yīng)的的投影軸軸。三個(gè)個(gè)傾角分分別為0°或90°。3.3空間平面面的投影影分析表3-4投影面平平行面的的三面投投影及其其投影特特性3.3空間平面面的投影影分析由此，我我們可以以得出這這樣的結(jié)結(jié)論：從從投影面面垂直面面的3個(gè)投影，，可直接接獲得該該平面對(duì)對(duì)投影面面的傾角角的真實(shí)實(shí)大小(其中一個(gè)個(gè)傾角為為已知，，即90°)，但不能能直接得得到其實(shí)實(shí)形；而而從投影影面平行行面的投投影，則則可直接接獲得平平面的實(shí)實(shí)形(對(duì)投影面面的傾角角為已知知)。對(duì)于一一般位置置平面，，則要通通過圖解解方法求求解其實(shí)實(shí)形和對(duì)對(duì)投影面面傾角的的真實(shí)大大小。3.3空間平面面的投影影分析由初等幾幾何可知知：①點(diǎn)在在平面上上，則該該點(diǎn)必在在此平面面的一條條直線上上。②直線線在平面面上，則則該直線線必通過過平面上上的兩點(diǎn)點(diǎn)、或通通過平面面內(nèi)的一一點(diǎn)且平平行于平平面上的的另一直直線。將上述兩兩個(gè)條件件應(yīng)用于于投影法法，即可可解決在在平面上上的取點(diǎn)點(diǎn)、取直直線的問問題。如圖3.26所示，點(diǎn)點(diǎn)K、直線KT和KM均位于由由相交兩兩直線AB、BC所確定的的平面上上。3.3.3平面上的的點(diǎn)和直直線3.3空間平面面的投影影分析【例3.6】】(1)在△ABC平面上過過點(diǎn)C作正平線線CD；(2)并在此面面上取一一點(diǎn)S，使之在在H面之上15mm，在V面之前25mm，如圖3.27(a)所示。分析：(1)由正平線線CD的投影特特性可知知：其水水平投影影cd平行于OX軸，正面面投影傾傾斜于X軸。利用用這一投投影特性性，應(yīng)用用平面上上取直線線的幾何何原理即即可求解解出所求求的正平平線CD。(2)在平面上上取定點(diǎn)點(diǎn)S：平面上上的投影影面平行行線是一一條與所所平行的的投影面面等距的的直線。。據(jù)題意意，所求求點(diǎn)S應(yīng)位于平平面上距距H面為15mm的一條水水平線EF上，同時(shí)時(shí)，它也也應(yīng)位于于距V面25mm的一條正正平線MN上，因此此，所求求點(diǎn)S應(yīng)為平面面上這兩兩條直線線的交點(diǎn)點(diǎn)。作圖步驟驟：3.3空間平面面的投影影分析(a)點(diǎn)k在平面abc上(點(diǎn)k過平面上一直線)(b)直線kf在平面abc上(直線過平面上兩已知點(diǎn))(c)直線km在平面abc上(直線過平面上一點(diǎn)且平行平面上另一直線)圖3.26在平面上上取點(diǎn)取取線3.3空間平面面的投影影分析(1)作正平線線CD：在水平平投影面面上，過過c作cd∥OX，交ab于d，由d找出d′，連接c′d′′,則CD(cd,c′d′′)為所求，，如圖3.27(b)所示。(2)確定S點(diǎn)：首先先作一條條平面△△ABC內(nèi)的水平平線EF的正面投投影e′f′′，使其與與X軸相距15mm，然后再再作出其其水平投投影ef，以及平平面內(nèi)的的正平線線MN的水平投投影mn，使其與與X軸相距25mm，mn與ef的交點(diǎn)即即為點(diǎn)S的水平投投影s，由此再再定出S點(diǎn)的正面面投影s′，即為所所求，如如圖3.27(c)所示。3.3空間平面面的投影影分析(a)(b)(c)圖3.27在平面上上作投影影面平行行線和取取定點(diǎn)3.3空間平面面的投影影分析3.3.4直線與平平面、平平面與平平面的相相對(duì)位置置直線與平平面、平平面與平平面之間間的相對(duì)對(duì)位置有有兩種情情況，即即平行和和相交。。包括直直線與平平面、平平面與平平面的平平行和相相交，相相交又有有垂直相相交和傾傾斜相交交兩種情情況。1.平行幾何條件件：①如果果一直線線平行于于平面上上的一條條直線，，則直線線與該平平面平行行，如圖圖3.28所示。②如果果一平面面上的兩兩相交直直線平行行于另一一平面上上的兩相相交直線線，則該該兩平面面平行，，如圖3.29所示。據(jù)據(jù)此，即即可解決決其投影影作圖及及其相對(duì)對(duì)位置的的判斷等等問題。。3.3空間平面面的投影影分析圖3.28直線與平平面平行行圖圖3.29兩平面面平行行3.3空間平平面的的投影影分析析【例3.7】試判斷斷直線線MN與平面面△ABC是否平平行，，如圖圖3.30(a)所示。。分析及及作圖圖：根根據(jù)上上述幾幾何條條件，，如果果能在在△ABC平面內(nèi)內(nèi)作出出一條條平行行于MN的直線線，則則直線線MN就與平平面△△ABC平行，，否則則就不不平行行。為為此，，在平平面上上先作作一條條輔助助線DB，使其其正面面投影影d′b′∥m′n′，再由由d′b′′找出DB的水平平投影影db。因?yàn)闉樗狡酵队坝癲b不平行行于mn，不符符合直直線與與平面面平行行的幾幾何條條件，，故知知MN不平行行于△△ABC，如圖圖3.30(b)所示。。3.3空間平平面的的投影影分析析(a)(b)圖3.30判斷直直線與與平面面是否否平行行3.3空間平平面的的投影影分析析【例3.8】試過點(diǎn)S作一平面平行行于已知平面面△ABC，如圖3.31(a)所示。分析與求解：：根據(jù)其幾何何條件，應(yīng)過過點(diǎn)S作一對(duì)相交直直線，使其分分別平行于已已知平面△ABC內(nèi)的任意兩條條直線。為此此，過點(diǎn)S作一條直線SL1∥AB，按同法過點(diǎn)點(diǎn)S再作SL2∥BC，則SL1與SL2所組成的平面面即為所求平平面，如圖3.31(b)所示。(a)(b)圖3.31作平面平行于于已知平面3.3空間平面的投投影分析2.相交直線與平面或或平面與平面面相交，就會(huì)會(huì)產(chǎn)生交點(diǎn)或或交線。直線線與平面相交交，其交點(diǎn)為為直線與平面面所共有，它它既在直線上上又在平面上上，是直線與與平面的共有有點(diǎn)，如圖3.32所示；同理，，兩平面P和S相交，其交線線為一條直線線，它既在平平面P上又在平面S上，是兩平面面的公有線，，如圖3.33所示。圖3.32直線與平面相相交3.3空間平面的投投影分析為討論問題的的方便和清楚楚起見，本章章只討論特殊殊情況下求交交點(diǎn)或交線的的問題。有興興趣的讀者，，可從中找出出規(guī)律，以引引伸到一般位位置的線面相相交及面面相相交問題的求求解。圖3.33平面與平面相相交3.3空間平面的投投影分析所謂特殊情況況主要指以下下3種：(1)特殊位位置直直線與與一般般位置置平面面相交交；(2)一般位位置直直線與與特殊殊位置置平面面相交交；(3)一般位位置平平面與與特殊殊位置置平面面相交交。在以上上每一一組相相交的的幾何何要素素中，，至少少有一一個(gè)要要素的的某一一投影影具有有積聚聚性，，故可可利用用其積積聚性性直接接求交交點(diǎn)和和交線線。1)特殊位位置直直線與與一般般位置置平面面相交交如圖3.34(a)所示，，鉛垂垂線MN與△ABC平面相相交。。由圖圖中可可以看看出，，由于于直線線垂直直于H面，其其水平平投影影積聚聚為一一點(diǎn)，，因此此它們們的交交點(diǎn)S的水平平投影影s必與之之重合合。又又因?yàn)闉榻稽c(diǎn)點(diǎn)S屬于△△ABC，故可可利用用面上上取點(diǎn)點(diǎn)的方方法，，即在在ΔABC上過點(diǎn)點(diǎn)S作輔助助線AD求出s′。直線與與平面面相交交，存存在著著投影影重疊疊部分分的可可見性性判別別問題題。即即判斷斷某一一同面面投影影中直直線被被平面面擋住住的一一段，，并用用虛線線表示示。顯顯然，，其交交點(diǎn)為為線段段投影影可見見與不不可見見的分分界點(diǎn)點(diǎn)，若若在一一側(cè)為為可見見，則則另一一側(cè)必必不可可見。。可見性性的判判別可可利用用重影影點(diǎn)的的投影影特性性。如如圖3.34(b)所示，，為判判別直直線MN的正面面投影影的可可見性性，可可通過過正面面投影影中a′c′、m′n′的交點(diǎn)點(diǎn)［即即重影影點(diǎn)1′(2′)］引投投射線線，3.3空間平平面的的投影影分析析分別交交水平平投影影中mn和ac于點(diǎn)1和2，由于于點(diǎn)1在2的前面面，故故正面面投影影中2′為不可可見，，即點(diǎn)點(diǎn)Ⅱ所在直直線MN的2′s′′一段為為可見見，用用粗實(shí)實(shí)線表表示；；而其其余為為不可可見，，畫成成虛線線。(a)(b)圖3.34特殊位位置直直線與與平面面相交交3.3空間平平面的的投影影分析析2)一般位位置直直線與與特殊殊位置置平面面相交交［如如圖3.35(a)所示］］如求圖圖3.35(a)所示直直線EF與鉛垂垂面△△ABC的交點(diǎn)點(diǎn)。由由于△△ABC⊥H面，所所以其其水平平投影影積聚聚成一一條直直線abc，如圖圖3.35(b)所示。。交點(diǎn)點(diǎn)K是平面面上的的點(diǎn)，，其水水平投投影必必積聚聚在此此直線線上。。但交交點(diǎn)K同時(shí)又又是直直線EF上的點(diǎn)點(diǎn)，因因此根根據(jù)平平行投投影的的從屬屬性，，該點(diǎn)點(diǎn)的投投影必必在直直線的的同面面投影影之上上。于于是水水平投投影中中兩直直線投投影的的交點(diǎn)點(diǎn)k就是所所給直直線和和平面面的交交點(diǎn)K的水平平投影影。