向量的數(shù)量積第1課時(shí)數(shù)量積的定義1.了解向量的夾角、向量垂直、向量投影等概念.(易錯(cuò)點(diǎn))2.理解平面向量數(shù)量積的含義及其幾何意義.(重點(diǎn))3.能運(yùn)用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算律解決涉及長(zhǎng)度、夾角、平行、垂直的幾何問(wèn)題.(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1向量的數(shù)量積閱讀教材P83的有關(guān)內(nèi)容，完成下列問(wèn)題.已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角是θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.已知|a|＝3，|b|＝6，則(1)若a與b夾角為0°，則a·b＝________；(2)若a與b的夾角為60°，則a·b＝________；(3)若a與b的夾角為90°，則a·b＝________.【解析】(1)若a∥b，則a與b的夾角為0°，∴a·b＝|a||b|cos0°＝|a||b|＝18.(2)a·b＝|a||b|cos60°＝3×6×eq\f(1,2)＝eq\f(18,2)＝9.(3)a·b＝|a||b|cos90°＝3×6×0＝0.【答案】(1)18(2)9(3)0教材整理2兩個(gè)向量的夾角閱讀教材P83的有關(guān)內(nèi)容，完成下列問(wèn)題.1.定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，如圖2-4-1所示.作eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b，則∠AOB稱為向量a與b的夾角.圖2-4-12.范圍：0°≤θ≤180°.3.當(dāng)θ＝0°時(shí)，a與b同向；當(dāng)θ＝180°時(shí)，a與b反向.4.當(dāng)θ＝90°時(shí)，則稱向量a與b垂直，記作a⊥b.試指出圖2-4-2中向量的夾角，圖①中向量eq\o(OA,\s\up15(→))與eq\o(OB,\s\up15(→))的夾角________；圖②中向量eq\o(OA,\s\up15(→))與eq\o(OB,\s\up15(→))的夾角________；圖③中向量eq\o(OA,\s\up15(→))與eq\o(OB,\s\up15(→))的夾角________；圖④中向量eq\o(OA,\s\up15(→))與eq\o(OB,\s\up15(→))的夾角________.圖2-4-2【答案】θ0°180°θ教材整理3向量的數(shù)量積的運(yùn)算律及性質(zhì)閱讀教材P84及P85鏈接完成下列問(wèn)題.1.向量數(shù)量積的運(yùn)算律：已知向量a，b，c和實(shí)數(shù)λ.(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.2.數(shù)量積的性質(zhì)：(1)a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a2)；(2)|a·b|≤|a||b|；(3)a⊥b?a·b＝0.3.數(shù)量積的幾何意義：a·b的幾何意義是數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積.已知|a|＝3，|b|＝5，a與b的夾角為45°，則a在b上的投影為_(kāi)_______；b與a上的投影為_(kāi)_______.【解析】a在b上的投影為|a|cos45°＝3×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3\r(2),2)；b在a上的投影為|b|cos45°＝5×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(5\r(2),2).【答案】eq\f(3\r(2),2)eq\f(5\r(2),2)[小組合作型]向量數(shù)量積的運(yùn)算及幾何意義已知|a|＝2，|b|＝3，a與b的夾角為120°，求：(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b【精彩點(diǎn)撥】借助數(shù)量積的定義及運(yùn)算律求解(1)(2)(3).【自主解答】(1)a·b＝|a||b|cos120°＝2×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－3.(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b＝2|a|2＋5|a||b|cos120°－3|b|2＝8－15－27＝－34.1.求平面向量數(shù)量積的步驟：①求a與b的夾角θ，θ∈[0，π]；②分別求|a|和|b|；③求數(shù)量積，即a·b＝|a||b|cosθ.要特別注意書(shū)寫(xiě)時(shí)，a與b之間用實(shí)心圓點(diǎn)“·”連接，而不能用“×”連接，也不能省去.2.較復(fù)雜的數(shù)量積的運(yùn)算，需先利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn).[再練一題]1.已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，求：(1)eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(AC,\s\up15(→))；(2)eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))；(3)eq\o(BC,\s\up15(→))·eq\o(AC,\s\up15(→)).【解】(1)∵eq\o(AB,\s\up15(→))與eq\o(AC,\s\up15(→))的夾角為60°，∴eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(AC,\s\up15(→))＝|eq\o(AB,\s\up15(→))||eq\o(AC,\s\up15(→))|cos60°＝1×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).(2)∵eq\o(AB,\s\up15(→))與eq\o(BC,\s\up15(→))的夾角為120°，∴eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))＝|eq\o(AB,\s\up15(→))||eq\o(BC,\s\up15(→))|cos120°＝1×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(1,2).(3)∵eq\o(BC,\s\up15(→))與eq\o(AC,\s\up15(→))的夾角為60°，∴eq\o(BC,\s\up15(→))·eq\o(AC,\s\up15(→))＝|eq\o(BC,\s\up15(→))||eq\o(AC,\s\up15(→))|cos60°＝1×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).求向量的模已知向量eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b，∠AOB＝60°，且|a|＝|b|＝4.求|a＋b|，|a－b|，|3a＋b|.【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)已知條件將向量的模利用|a|＝eq\r(a·a)轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算求解.【自主解答】∵a·b＝|a|·|b|cos∠AOB＝4×4×eq\f(1,2)＝8，∴|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(16＋16＋16)＝4eq\r(3)，|a－b|＝eq\r(a－b2)＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(16－16＋16)＝4，|3a＋b|＝eq\r(3a＋b2)＝eq\r(9a2＋6a·b＋b2)＝eq\r(9×16＋48＋16)＝4eq\r(13).1.求模問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，要靈活應(yīng)用a2＝|a|2，勿忘記開(kāi)方.2.一些常見(jiàn)的等式應(yīng)熟記，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2[再練一題]2.已知向量a與b夾角為45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝eq\r(10)，則|b|＝________.【解析】因?yàn)閨2a＋b|＝eq\r(10)，所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10，又因?yàn)橄蛄縜與b的夾角為45°，且|a|＝1，所以4|a|2＋4|a||b|cos45°＋|b|2＝10，故4×12＋4×1×|b|×eq\f(\r(2),2)＋|b|2＝10，整理得|b|2＋2eq\r(2)|b|－6＝0，解得|b|＝eq\r(2)或|b|＝－3eq\r(2)(舍去)，故|b|＝eq\r(2).【答案】eq\r(2)求向量的夾角已知a，b都是非零向量，且a＋3b與7a－5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，求a與【精彩點(diǎn)撥】解答本題可由已知中兩個(gè)條件的垂直得到兩個(gè)等式，從而得到a，b之間的關(guān)系，再由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求得夾角.【自主解答】由已知，得(a＋3b)·(7a－5b)＝0，即7a2＋16a·b－15b2＝0，①(a－4b)·(7a－2b)＝0即7a2－30a·b＋8b2＝0，②①②兩式相減，得2a·b＝b2，∴a·b＝eq\f(1,2)b2，代入①②中任一式，得a2＝b2，設(shè)a，b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2)b2,|b|2)＝eq\f(1,2)，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.1.求向量a，b夾角的流程圖：eq\x(求|a|，|b|)→eq\x(計(jì)算a·b)→eq\x(計(jì)算cosθ＝\f(a·b,|a||b|))→eq\x(結(jié)合θ∈[0，π]，求解θ)2.若兩非零向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且a·b≠|(zhì)a||b|；兩非零向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且a·b≠－|a||b|.[再練一題]3.已知單位向量e1，e2的夾角為60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夾角θ.【解】∵e1，e2為單位向量且?jiàn)A角為60°，∴e1·e2＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2).∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝－2－e1·e2＋1＝－2－eq\f(1,2)＋1＝－eq\f(3,2)，|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(e1＋e22)＝eq\r(1＋2×\f(1,2)＋1)＝eq\r(3)，|b|＝eq\r(b2)＝eq\r(e2－2e12)＝eq\r(1＋4－4×\f(1,2))＝eq\r(3)，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(3,2)×eq\f(1,\r(3)×\r(3))＝－eq\f(1,2).又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.[探究共研型]數(shù)量積的幾何意義探究1設(shè)非零向量a，b，試用數(shù)量積“a·b”及|a|，|b|表示a在b上的投影.【提示】a在b上的投影為|a|cosθ，又cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，∴|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|).探究2數(shù)量積a·b＝|a||b|cosθ的幾何意義是什么？【提示】數(shù)量積a·b等于a的模與b在a方向上的投影|b|cosθ的乘積，或等于b的模與a在b方向上的投影|a|cosθ的乘積.已知a·b＝－9，a在b方向上的投影為－3，b在a方向上的投影為－eq\f(3,2)，求a與b的夾角θ.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48582106】【精彩點(diǎn)撥】分別列出a在b方向上的投影和b在a方向上的投影，解方程組便可.【自主解答】由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a·b,|b|)＝－3，,\f(a·b,|a|)＝－\f(3,2)，,a·b＝－9，))∴|a|＝6，|b|＝3，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－9,6×3)＝－eq\f(1,2)，又0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(2π,3).1.投影是個(gè)數(shù)量，可正、可負(fù)、可為零.2.計(jì)算投影時(shí)要分清“誰(shuí)是投影線”，即a在b上的投影為|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)；b在a上的投影為|b|cosθ＝eq\f(a·b,|a|).[再練一題]4.在△ABC中，已知|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝5，|eq\o(BC,\s\up15(→))|＝4，|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝3，求：(1)eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))；(2)eq\o(AC,\s\up15(→))在eq\o(AB,\s\up15(→))方向上的投影；(3)eq\o(AB,\s\up15(→))在eq\o(BC,\s\up15(→))方向上的投影.【解】∵|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝5，|eq\o(BC,\s\up15(→))|＝4，|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝3，∴△ABC為直角三角形，且C＝90°，∴cosA＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(4,5).(1)eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))＝－eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))＝－5×4×eq\f(4,5)＝－16；1.若|m|＝4，|n|＝6，m與n的夾角為135°，則m·n＝________.【解析】m·n＝|m||n|cos135°＝4×6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝－12eq\r(2).【答案】－12eq\r(2)2.已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，則向量a在b方向上的投影為_(kāi)_______.【解析】|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)＝eq\