數列的概念與簡單表示法數列的概念與簡單表示法數列的概念與簡單表示法數列的概念與簡單表示法編制僅供參考審核批準生效日期地址：電話：傳真:郵編:數列的概念與簡單表示法目標認知

學習目標：

1.了解數列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項公式）；通過對一列數的觀察、歸納，寫出符合條件的一個通項公式，培養學生的觀察能力和抽象概括能力．

2.了解數列是自變量為正整數的一類函數.了解數列的通項公式，并會用通項公式寫出數列的任意一項；對于比較簡單的數列，會根據其前幾項寫出它的個通項公式。

3.了解數列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同；會根據數列的遞推公式寫出數列的前幾項；理解數列的前n項和與的關系.

重點、難點：數列及其有關概念，通項公式及其應用

知識要點梳理

知識點一：數列的概念

⒈數列的定義：按一定順序排列的一列數叫做數列.\注意：⑴數列的數是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數列的數相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數列；⑵定義中并沒有規定數列中的數必須不同，因此，同一個數在數列中可以重復出現.

⒉數列的項：數列中的每一個數都叫做這個數列的項.各項依次叫做這個數列的第1項，第2項，…，第項，….其中數列的第1項也叫作首項。

3.數列的一般形式：，或簡記為，其中是數列的第項

知識點二：數列的分類

1.根據數列項數的多少分：

有窮數列：項數有限的數列.例如數列1，2，3，4，5，6是有窮數列

無窮數列：項數無限的數列.例如數列1，2，3，4，5，6，…是無窮數列

2.根據數列項的大小分：

遞增數列：從第2項起，每一項都大于它的前一項的數列。

遞減數列：從第2項起，每一項都小于它的前一項的數列。

常數數列：各項相等的數列。

擺動數列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列

知識點三：數列的通項公式與前項和

1.數列的通項公式

如果數列的第項與之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的通項公式.

如數列：的通項公式為（）；

的通項公式為（）；

的通項公式為（）；

注意：（1）并不是所有數列都能寫出其通項公式；

（2）一個數列的通項公式有時是不唯一的，如數列：1，0，1，0，1，0，…；

它的通項公式可以是，也可以是.

（3）數列通項公式的作用：①求數列中任意一項；②檢驗某數是否是該數列中的一項.

（4）數列的通項公式具有雙重身份，它表示了數列的第項，又是這個數列中所有各項的一般表示．

2.數列的前項和

數列的前項逐個相加之和：；

當時；當時，，.

故.

知識點四：數列與函數的關系

數列可以看成以正整數集（或它的有限子集）為定義域的函數，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數值。

反過來，對于函數,如果（）有意義，那么我們可以得到一個數列，，，…，，…；通項公式反映了一個數列項與項數的函數關系，給了數列的通項公式，這個數列便確定了，代入項數就可求出數列的每一項．

關于數列的一些問題常通過函數的相關知識方法解決，如：單調性，最值等.

知識點五：數列的表示方法

數列可看作特殊的函數，其表示也應與函數的表示法（解析式法、圖象法、列表法）有聯系.

1.通項公式法（解析式法）：

如果數列的第項與序號之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的通項公式。

2.圖象法：

數列是一種特殊的函數，可以用函數圖象的畫法畫數列的圖形．具體方法是以項數為橫坐標，相應的項為縱坐標，即以為坐標在平面直角坐標系中做出點。所得的數列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標為正整數，所以這些點都在軸的右側，而點的個數取決于數列的項數．從圖象中可以直觀地看到數列的項隨項數由小到大變化而變化的趨勢．

3.列表法

相對于列表法表示一個函數，數列有這樣的表示法：用表示第一項，用表示第二項，……，用表示第項，依次寫出成為，，…，，…，簡記為．

4.遞推公式法

遞推公式：如果已知數列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式。遞推公式也是給出數列的一種方法。

如數列：3，5，8，13，21，34，55，89，…的遞推公式為：

.

規律方法指導

1.與集合中元素的性質相比較，數列中的項也有相應的三個性質：

（1）確定性：一個數是否數列中的項是確定的；

（2）可重復性：數列中的數可以重復；

（3）有序性：數列中的數的排列是有次序的.

2.數列是一個特殊的函數，其特殊性主要體現在定義域上，根據此特殊性可以判定一個數是否數列中的項；數列的通項公式實際上就是相應函數的解析式；跟不是所有的函數都有解析式一樣，不是所有的數列都有通項公式.

3.遞推公式也是給出數列的一種方法.

經典例題考點1數列的通項公式類型一：根據數列的前幾項寫出數列的一個通項公式

例1．寫出下列各數列的一個通項公式，使其前四項分別是:

(1)0,,,,…；(2)1,,,,…；(3)9,99,999,9999,…；(4)6,1,6,1,….

解析：

（1）將數列改寫為，，，，…，故.

（2）此數列奇數項為正，偶數項為負，可用來表示；

其絕對值中分子為奇數數列，分母是自然數的平方數列，故.

（3）將數列改寫為,,,，…，故.

（4）將數列每一項減去6與1的平均值得新數列,-,,-,…，

故或

總結升華：寫通項時注意以下常用思路：

①若數列中的項均為分數，則先觀察分母的規律再觀察分子的規律，如(1)；特別注意有時分數是約分后的結果，要根據觀察還原分數；

②注意(－1)n在系數中的作用是讓數列中的項正、負交替出現，如(2)；(-1)n作指數，讓數列中隔項出現倒數；

③（4）可視為周期數列，故想到找一個周期為2的函數為背景。

④歸納猜想的關鍵是從特殊中去尋找一般規律，很多情況下是將已寫出的項進行適當的變形，使規律明朗化.

舉一反三：

【變式】根據下面數列的前幾項的值，寫出數列的一個通項公式：

(1)3,5,9,17,33,…；（2）1，，，，…；

(3)0,1,0,1,0,1,…；（4）－，，－，，…；

【答案】

(1)；（2）；(3)；（4）an＝。變式訓練1某數列{an}的前四項為0，，0，，則以下各式：①an＝[1＋(－1)n]②an＝③an＝其中可作為{an}的通項公式的是（D）A．①B．①②C．②③D．①②③【反思歸納】⑴聯想和轉換是由已知認識未知的兩種有效的思維方法.⑵求數列的通項公式，應運用觀察、分析、歸納、驗證的方法.易錯之處在于每個數列由前幾項找規律不準確，以及觀察、分析、歸納、驗證這四個環節做的不夠多，應注意對每一數列認真找出規律和驗證.題型2已知數列的前項和，求通項公式【例2】已知下列數列的前項和，分別求它們的通項公式.⑴；⑵.【解題思路】利用，這是求數列通項的一個重要公式.【解析】⑴當時，，當時，.當時，，.⑵當時，，當時，.當時，，.例5．已知數列的前項和公式，求通項.

（1），(2).

思路點撥:先由時，，求出；再由當時，，求出，并驗證是否符合所求出的.

解析：

（1）當時，，

當時，，

∴

（2）當時，，

當時，，

∴()為所求.

總結升華：已知求出依據的是的定義：，分段求解，然后檢驗結果能否統一形式，能就寫成一個，否則只能寫成分段函數的形式.

舉一反三：

【變式1】已知數列的前項和，求通項.【答案】當時，，

當時，，

∴.

【變式2】已知數列的前項積，求通項

【答案】當時，，

當時，，

∴.

變式訓練2已知數列的前n項和Sn滿足log2(Sn+1)=n+1,求{an}的通項公式解:【反思歸納】任何一個數列，它的前項和與通項都存在關系：若適合，則把它們統一起來，否則就用分段函數表示.題型3已知數列的遞推式，求通項公式【例3】數列中，，求，并歸納出.【解題思路】已知的遞推公式求前幾項，可逐步計算.【解析】，，，，，由，可以歸納出.【變式2】已知數列滿足：，，寫出前5項，并猜想．

【答案】

法一：，，，觀察可得

法二：由，∴即

∴

∴

3、數列中，，求，并歸納出.【解析】，，，由，可以歸納出【反思歸納】由遞推公式求通項，可以考慮“歸納—猜想—證明”的方法，也可以構造新數列.考點2與數列的通項公式有關的綜合問題題型1已知數列通項公式，求項數及最大（最小）項【例4】數列中，.⑴是數列中的第幾項⑵為何值時，有最小值并求最小值.【解題思路】數列的通項與之間構成二次函數，可結合二次函數知識去探求.【解析】⑴由，解得，是數列中的第項.⑵，或時，.1、數列中，，求取最小值時的值.【解析】，時，取最小值.【反思歸納】利用二次函數知識解決數列問題時，必須注意其定義域為正整數.題型2已知數列通項公式，判斷數列單調性及有界性例6．已知數列中,判斷數列的單調性，并給以證明.

思路點撥:選擇數列中任意相鄰兩項作差比較即可.

解析：∵，

∴（）

∴數列是遞增數列.

總結升華：數列也是函數，可以用證明函數的單調性的方法來證明.【舉一反三：

【變式1】數列中：,（）

（1）寫出它的前五項，并歸納出通項公式；

（2）判斷它的單調性.

【答案】

（1）,,,,,∴；

（2）方法一：∵，∴數列是遞減數列.

方法二：∵函數在上單調遞減，∴數列是遞減數列.【反思歸納】數列是特殊的函數，判斷函數的單調性、有界性的方法同樣適用于數列.強化鞏固練習一、選擇題1．若數列{an}的前n項和Sn＝n2－1，則a4等于 ()A．7 B．8C．9 D．17解析：∵Sn＝n2－1，∴a4＝S4－S3＝16－1－(9－1)＝7.答案：A2．數列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，則此數列最大項的值是 ()A．107 B．108C．108eq\f(1,8) D．109解析：an＝－2n2＋29n＋3＝－2(n2－eq\f(29,2)n)＋3＝－2(n－eq\f(29,4))2＋3＋eq\f(292,8).當n＝7時，an最大且等于108.答案：B3．在數列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，對所有n∈N*都有a1a2…an＝n2，則a3＋a5等于 ()\f(31,15) \f(25,9)\f(25,16) \f(61,16)解析：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1a2…an＝n2a1a2…an＋1＝(n＋1)2))?an＋1＝(eq\f(n＋1,n))2?a3＝eq\f(9,4)，a5＝eq\f(25,16)，∴a3＋a5＝eq\f(61,16).答案：D4．(2010·湖北黃岡質檢)已知數列{an}的通項公式an＝n2＋kn＋2，若對于n∈N*，都有an＋1>an成立，則實數k的取值范圍是 ()A．k>0 B．k>－1C．k>－2 D．k>－3解析：∵an＋1>an，∴an＋1－an>0.又an＝n2＋kn＋2，∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋2－(n2＋kn＋2)>0.∴k>－2n－1.又－2n－1(n∈N*)的最大值為－3，∴k>－3.答案：D5．(2009·江西中學一模)數列{an}中，a1＝1，a2＝2，當n∈N*時，an＋2等于anan＋1的個位數，若數列{an}的前k項和為243，則k等于 ()A．61 B．62C．63 D．64解析：∵a1＝1，a2＝2，∴a3＝2，a4＝4，a5＝8，a6＝2，a7＝6，a8＝2，a9＝2，….∴數列{an}是從第2項起周期為6的數列，并且a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝24.又Sk＝243，∴k＝62.答案：B二、填空題(每小題5分，共20分)6．已知數列{an}的前n項和為Sn＝eq\f(n＋1,n＋2)，則a5＋a6＝__________.解析：∵Sn＝eq\f(n＋1,n＋2)，∴a5＋a6＝S6－S4＝eq\f(6＋1,6＋2)－eq\f(4＋1,4＋2)＝eq\f(1,24).答案：eq\f(1,24)7．(2010·青島模擬)數列{an}滿足：a1＝2，an＝1－eq\f(1,an－1)(n＝2,3,4，…)，則a4＝________；解析：∵數列{an}滿足a1＝2，an＝1－eq\f(1,an－1)，∴a2＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，a3＝1－2＝－1，a4＝1＋1＝2；8下面各數列的前n項和Sn的公式,求{an}的通項公式.(1)Sn=2n2-3n(2)Sn=3n-2解:(1)當n≥2時,由于a1也適合此等式,所以(2)當n≥2時,1．下列解析式中不是數列，的通項公式的是（）A.B.C.D.2．數列的