第八節：多元函數的極值一元函數

y=f(x)

的極值概念：總有第八節：多元函數的極值一元函數y=f(x)的極值（1）極值是一個局部概念，它只是對極值點鄰近范圍的所有點的函數值進行比較。（2）（極值存在的必要條件）若f(x)在極值點處可導，則導數一定為0，反之不成立。（3）（駐點為極值點的充分條件）設存在，則有（1）如果（3）如果，則為f(x)

的極小值；（2）如果，則為f(x)

的極大值；，定理失效。（1）極值是一個局部概念，它只是對極值點鄰（2）（極值存在的（一）多元函數的極值定義：設z=f(x,y)

的定義域為D，總有總有是D

的一個內點，則稱是f(x,y)的極大值；則稱是f(x,y)的極小值。若存在點的一個去心鄰域

極大值和極小值統稱為極值；第八節：多元函數的極值（一）多元函數的極值定義：設z=f(x,y

使函數取得極值的點稱為極值點；

同一元函數一樣，二元函數極值也是一個局部概念

利用點函數的概念，上述二元函數極值的概念可以推廣到n

元函數的情形使函數取得極值的點稱為極值點；同一元函數一樣，二元因為在點(0,0)處，函數值為0，而在點(0,0)的任何鄰域內，即有使函數值大于0的點，也有使函數值小于0的點。因為在點(0,0)處，函數值為0，而在點(0提示:

由題設例1.已知函數(D)根據條件無法判斷點(0,0)是否為f(x,y)的極值點.則()的某個鄰域內連續,且A(2003考研)P121，1提示:由題設例1.已知函數(D)根據條件無法判斷點(定理1:

（極值存在的必要條件）如果在點處有極值，且兩個一階偏導數存在，則有問題：什么點可能成為極值點？什么點必定是極值點？證明：就極大值的情形給予證明，極小值情形類似因為f(x,y)在點有極大值定理1:（極值存在的必要條件）如果定理1:

（極值存在的必要條件）如果在點處有極值，且兩個一階偏導數存在，則有問題：什么點可能成為極值點？什么點必定是極值點？證明：就極大值的情形給予證明，極小值情形類似這表明一元函數在點處取得極大值，因此同理可證定理1:（極值存在的必要條件）如果

凡是能使

具有偏導數的函數的極值點必定是駐點，但駐點不一定是極值點。同時成立的點稱為函數的駐點。原點是駐點但不是極值點凡是能使具有偏導數的函數的極值點必定是駐點，同時成立

極值點也可能是使偏導數不存在的點。

極值點只可能在駐點或使偏導數不存在的點中產生。

凡是能使

具有偏導數的函數的極值點必定是駐點，

但駐點不一定是極值點。同時成立的點稱為函數的駐點。(0,0)是駐點不是極值點(0,0)點偏導數不存在極值點也可能是使偏導數不存在的點。極值點只可能在駐點定理2:

（極值存在的充分條件）如果（1）（2）在點的某一鄰域內有連續的二階偏導數，且時具有極值，且當A<0時，有則f(x,y)在處是否取得極值的條件如下極大值，當A>0時，有極小值；時沒有極值；（3）時可能有極值，也可能沒有極值，還需另作討論。定理2:（極值存在的充分條件）如果具有二階連續偏導數的函數f(x,y)

的極值的求法：第一步：解方程組求出所有實數解，即求得函數的所有駐點。第二步：對于每一個駐點第三步：定出計算二階偏導數值A、B

、C。的符號，按定理2判定是否是極值，是極大值還是極小值具有二階連續偏導數的函數f(x,y)的極值的例2：求的極值解：（1）得到四個駐點：（2）計算二階偏導數A、B、C

。（3）對每一個駐點，判斷的符號所以(1,0)為極小值點，為極小值。例2：求所以點(1,2)和(3,0)不是函數的極值點。例2：求的極值解：（1）得到四個駐點：（3）對每一個駐點，判斷的符號（2）計算二階偏導數A、B、C

。所以點(1,2)和(3,0)不是函所以(3,2)是極大值點。為極大值。例2：求的極值解：（1）得到四個駐點：（3）對每一個駐點，判斷的符號（2）計算二階偏導數A、B、C

。課練:P121,2所以(3,2)是極大值點。為極大值。例2：求例3.討論函數及是否取得極值.解:

顯然(0,0)都是它們的駐點,在(0,0)點鄰域內的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負0在點(0,0)并且在(0,0)都有可能為例3.討論函數及是否取得極值.解:顯然(0,0)都是它又在駐點處必有所以將上述方程組兩邊分別再對x,y

求偏導數，得解又在駐點處必有所以將上述方程組兩邊解解在駐點處必有所以駐點(1,1)為極值點解在駐點處必有所以駐點(1,1)為極值點解在駐點處必有所以駐點(1,1)為極值點解在駐點處必有所以駐點(1,1)(二)、最值應用問題函數f在閉域上連續函數f在閉域上可達到最值

最值可疑點駐點邊界上的最值點特別,當區域內部最值存在,且只有一個極值點P時,f(P)為極小值f(P)為最小值(大)(大)依據(二)、最值應用問題函數f在閉域上連續函數f在閉域上可達到例1：要造一個容量一定的長方體箱子，問選擇怎樣的尺寸，才能使所用的材料最省？解：設箱子的長、寬、高分別為x,y,z,容積為V,

表面積為S，則例1：要造一個容量一定的長方體箱子，問選擇解：設箱子的長、解上述方程組得唯一駐點

根據實際問題可知S

一定存在最小值，并且一定在D

的內部取得，所以駐點即當表面積S

取得最小值，此時用料最省.是使

S

取得最小值的點解上述方程組得唯一駐點根據實際問題可知S一例2：有一寬為24cm的長方形鐵板，把它兩邊折起來，做成一斷面為等腰梯形的水槽，問怎樣折法才能使斷面的面積最大？解：24cm梯形的上底長為高為其中例2：有一寬為24cm的長方形鐵板，把它兩邊折起來，解：例2：有一寬為24cm的長方形鐵板，把它兩邊折起來，做成一斷面為等腰梯形的水槽，問怎樣折法才能使斷面的面積最大？解：問題轉化為求面積函數A=A(x,)在區域D上的最大值（1）求A=A(x,)在D內的駐點例2：有一寬為24cm的長方形鐵板，把它兩邊折起來，解：例2：有一寬為24cm的長方形鐵板，把它兩邊折起來，做成一斷面為等腰梯形的水槽，問怎樣折法才能使斷面的面積最大？解：D注意到得唯一駐點由方程組(1)得代入方程組(2)例2：有一寬為24cm的長方形鐵板，把它兩邊折起來，解：例2：有一寬為24cm的長方形鐵板，把它兩邊折起來，做成一斷面為等腰梯形的水槽，問怎樣折法才能使斷面的面積最大？解：得唯一駐點（2）在D的邊界上D例2：有一寬為24cm的長方形鐵板，把它兩邊折起來，解：例2：有一寬為24cm的長方形鐵板，把它兩邊折起來，做成一斷面為等腰梯形的水槽，問怎樣折法才能使斷面的面積最大？解：得唯一駐點（2）在D的邊界上D所以當斷面的面積最大。例2：有一寬為24cm的長方形鐵板，把它兩邊折起來，解：解如圖,解如圖,分別求偏導分別求偏導第八節：多元函數的極值及其求法課件解:由解:由第八節：多元函數的極值及其求法課件無條件極值：對自變量除了限制在定義域內外，并無其他條件.習題98B:2,4,5,8,9無條件極值作業無條件極值：對自變量除了限制在定義域內外，并無其他條件.習題課堂練習：P1181，2，8,7無條件極值：對自變量除了限制在定義域內外，并無其他條件.作業：P1214,

7,8，9，10,11，12習題98B:2,4,5,8,9課堂練習：P1181，2，8,7無條件極（三）條件極值與拉格朗日乘數法例：求表面積為解：設長方體的長、寬、高分別為x,y,z,體積為V,

則問題可描述為：求體積在約束條件下的最大值轉化為無條件極值問題。而體積為最大的長方體體積（三）條件極值與拉格朗日乘數法例：求表面積為解：設長方體的

下面介紹求條件極值的拉格朗日乘數法.

問題1：求函數u=f(x,y,z)在約束條件

G(x,y,z)=0下的條件極值.若從G的方程解出z，則條件極值問題可轉化為求函數

u=f[x,y,z(x,y)]的無條件極值問題.但有時候很難解出z，

由極值的必要條件，知設f和G具有連續的偏導數，且設為u=f[x,y,z(x,y)]的極值點，方程G(x,y,z)=0確定了一個隱函數z=z(x,y),且

問題1：求函數u=f(x,y,z)在約束條件

G(x,y,z)=0下的條件極值.由極值的必要條件，知設f和G具有連續的偏導數，且設為u=f[x,y,z(x,y)]的極值點，由復合函數求導法，問題1：求函數u=f(x,y,

問題1：求函數u=f(x,y,z)在約束條件

G(x,y,z)=0下的條件極值.所求問題的解必須滿足關系式由復合函數求導法，問題1：求函數u=f(x,y,

問題1：求函數u=f(x,y,z)在約束條件

G(x,y,z)=0下的條件極值.所求問題的解必須滿足關系式

除滿足上面的方程組外，還應滿足約束條件G(x,y,z)=0問題1：求函數u=f(x,y,

問題1：求函數u=f(x,y,z)在約束條件

G(x,y,z)=0下的條件極值.即所求問題的解必須滿足關系式引進函數L,使它分別對其自變量的偏導等于如上方程.此即為問題1在取極值的必要條件拉格朗日函數拉格朗日乘子問題1：求函數u=f(x,y,拉格朗日乘數法：（1）構造拉格朗日函數：其中，為參數，稱為拉格朗日乘子.（2）聯解方程組，求出問題1

所有可能的極值點.（3）進一步確定所求點是否為極值點，在實際問題中往往可根據問題本身的性質來判斷.

問題1：求函數u=f(x,y,z)在約束條件

G(x,y,z)=0下的條件極值.拉格朗日乘數法：（1）構造拉格朗日函數：其中，為參數，稱

問題2：求函數u=f(x,y,z)在約束條件

(x,y,z)=0,h(x,y,z)=0下的條件極值.（1）作拉格朗日函數其中，稱為拉格朗日乘數.（2）聯解方程組，求出問題2

的所有可能的極值點.（3）進一步確定所求點是否為極值點，在實際問題中往往可根據問題本身的性質來判斷.（P：134，17）問題2：求函數u=f(x,y,例1：求表面積為而體積為最大的長方體體積解：設長方體的長、寬、高分別為x,y,z,體積為V,

則問題可描述為在約束條件下，求體積函數的最大值。（1）構造拉格朗日函數（2）聯解方程組(書例題)例1：求表面積為而體積為最大的長方體體積解：例1：求表面積為而體積為最大的長方體體積（1）構造拉格朗日函數（2）聯解方程組解：由對稱性知，x=y=z

，代入最后一個方程解得這是唯一可能的極值點（3）判斷：因為由問題本身可知最大值一定存在，所以最大值就在這個唯一可能的極值點處取得。例1：求表面積為而體積為最大的長方體體積（1）例1：求表面積為而體積為最大的長方體體積解：這是唯一可能的極值點（3）判斷：因為由問題本身可知最大值一定存在，所以最大值就在這個唯一可能的極值點處取得。結論：表面積為的長方體中，以棱長為的正方體的體積最大，且最大體積為例1：求表面積為而體積為最大的長方體體積解：這例2：在橢球面上，求距離平面的最近點和最遠點。解：設(x,y,z)

為橢球面上任意一點則該點到平面的距離為問題1：在約束條件下，求距離d

的最大最小值。

由于d

中含有絕對值，為便于計算，考慮將問題1轉化為下面的等價問題例2：在橢球面上，求距離平面的最近點和最遠點。解：設(x問題2：在條件下，求函數的最大最小值。問題1：在約束條件下，求距離d

的最大最小值。（1）作拉格朗日函數（2）聯解方程組問題2：在條件下，求函數的最大最小值。問題1：在約束條件下，（1）作拉格朗日函數（2）聯解方程組求得兩個駐點：對應的距離為（1）作拉格朗日函數（2）聯解方程組求得兩個駐點：對應的距離例2：在橢球面上，求距離平面的最近點和最遠點。解：問題1：在約束條件下，求距離d

的最大最小值。求得兩個駐點：對應的距離為（3）判斷：由于駐點只有兩個，且由題意知最近距離和最遠距離均存在。所以最近距離為最遠距離為例2：在橢球面上，求距離平面的最近點和最遠點。解：問題1：在例2：在橢球面上，求距離平面的最近點和最遠點。解：設(x0,y0,z0

)

為橢球面上平行于已知平面的

的切平面的切點代入橢球面方程，得法二例2：在橢球面上，求距離平面的最近點和最遠點。解：設(x例3：求在條件解：下的極值，其中，x>0,y>0,z>0,a>0。（1）作拉格朗日函數（2）聯解方程組由對稱性知，x=y=z

，代入最后一個方程解得這是唯一可能的極值點例3：求在條件解：下的極值，其中，x>0,y>例3：求在條件解：下的極值，其中，x>0,y>0,z>0,a>0。這是唯一可能的極值點（3）判斷：設條件所確定的隱函數為代入目標函數中得它有唯一駐點(3a,3a),經計算可得例3：求在條件解：下的極值，其中，x>0,y>例3：求在條件解：下的極值，其中，x>0,y>0,z>0,a>0。這是唯一可能的極值點（3）判斷：例3：求在條件解：下的極值，其中，x>0,y>例3：求在條件解：下的極值，其中，x>0,y>0,z>0,a>0。這是唯一可能的極值點（3）判斷：同理得:例3：求在條件解：下的極值，其中，x>0,y>例3：求在條件解：下的極值，其中，x>0,y>0,z>0,a>0。這是唯一可能的極值點（3）判斷：它有唯一駐點(3a,3a),所以，(3a,3a)是函數u=xy(x,y)的極小值點從而原條件極值問題有極小值點(3a,3a,3a)對應的極小值為例3：求在條件解：下的極值，其中，x>0,y>習題98:2，4,5,7,8，9，10，11

作業第九章第八節:多元函數的極值練習同濟備用題習題98:2，4,5,7,8，9，10，11多元函數的極值拉格朗日乘數法（取得極值的必要條件、充分條件）多元函數的最值四、小結總習題:P132;1,2,3,4,5,6,8,9,11,13,14;15,16,17,18,20,多元函數的極值拉格朗日乘數法（取得極值的必要條件、充分條件）第八節：多元函數的極值及其求法課件第八節：多元函數的極值及其求法課件第八節：多元函數的極值及其求法課件第八節：多元函數的極值及其求法課件第八節：多元函數的極值及其求法課件第八節：多元函數的極值及其求法課件第八節：多元函數的極值及其求法課件第八節：多元函數的極值及其求法課件第八節：多元函數的極值及其求法課件第八節：多元函數的極值及其求法課件第八節：多元函數的極值及其求法課件第八節：多元函數的極值一元函數

y=f(x)

的極值概念：總有第八節：多元函數的極值一元函數y=f(x)的極值（1）極值是一個局部概念，它只是對極值點鄰近范圍的所有點的函數值進行比較。（2）（極值存在的必要條件）若f(x)在極值點處可導，則導數一定為0，反之不成立。（3）（駐點為極值點的充分條件）設存在，則有（1）如果（3）如果，則為f(x)

的極小值；（2）如果，則為f(x)

的極大值；，定理失效。（1）極值是一個局部概念，它只是對極值點鄰（2）（極值存在的（一）多元函數的極值定義：設z=f(x,y)

的定義域為D，總有總有是D

的一個內點，則稱是f(x,y)的極大值；則稱是f(x,y)的極小值。若存在點的一個去心鄰域

極大值和極小值統稱為極值；第八節：多元函數的極值（一）多元函數的極值定義：設z=f(x,y

使函數取得極值的點稱為極值點；

同一元函數一樣，二元函數極值也是一個局部概念

利用點函數的概念，上述二元函數極值的概念可以推廣到n

元函數的情形使函數取得極值的點稱為極值點；同一元函數一樣，二元因為在點(0,0)處，函數值為0，而在點(0,0)的任何鄰域內，即有使函數值大于0的點，也有使函數值小于0的點。因為在點(0,0)處，函數值為0，而在點(0提示:

由題設例1.已知函數(D)根據條件無法判斷點(0,0)是否為f(x,y)的極值點.則()的某個鄰域內連續,且A(2003考研)P121，1提示:由題設例1.已知函數(D)根據條件無法判斷點(定理1:

（極值存在的必要條件）如果在點處有極值，且兩個一階偏導數存在，則有問題：什么點可能成為極值點？什么點必定是極值點？證明：就極大值的情形給予證明，極小值情形類似因為f(x,y)在點有極大值定理1:（極值存在的必要條件）如果定理1:

（極值存在的必要條件）如果在點處有極值，且兩個一階偏導數存在，則有問題：什么點可能成為極值點？什么點必定是極值點？證明：就極大值的情形給予證明，極小值情形類似這表明一元函數在點處取得極大值，因此同理可證定理1:（極值存在的必要條件）如果

凡是能使

具有偏導數的函數的極值點必定是駐點，但駐點不一定是極值點。同時成立的點稱為函數的駐點。原點是駐點但不是極值點凡是能使具有偏導數的函數的極值點必定是駐點，同時成立

極值點也可能是使偏導數不存在的點。

極值點只可能在駐點或使偏導數不存在的點中產生。

凡是能使

具有偏導數的函數的極值點必定是駐點，

但駐點不一定是極值點。同時成立的點稱為函數的駐點。(0,0)是駐點不是極值點(0,0)點偏導數不存在極值點也可能是使偏導數不存在的點。極值點只可能在駐點定理2:

（極值存在的充分條件）如果（1）（2）在點的某一鄰域內有連續的二階偏導數，且時具有極值，且當A<0時，有則f(x,y)在處是否取得極值的條件如下極大值，當A>0時，有極小值；時沒有極值；（3）時可能有極值，也可能沒有極值，還需另作討論。定理2:（極值存在的充分條件）如果具有二階連續偏導數的函數f(x,y)

的極值的求法：第一步：解方程組求出所有實數解，即求得函數的所有駐點。第二步：對于每一個駐點第三步：定出計算二階偏導數值A、B

、C。的符號，按定理2判定是否是極值，是極大值還是極小值具有二階連續偏導數的函數f(x,y)的極值的例2：求的極值解：（1）得到四個駐點：（2）計算二階偏導數A、B、C

。（3）對每一個駐點，判斷的符號所以(1,0)為極小值點，為極小值。例2：求所以點(1,2)和(3,0)不是函數的極值點。例2：求的極值解：（1）得到四個駐點：（3）對每一個駐點，判斷的符號（2）計算二階偏導數A、B、C

。所以點(1,2)和(3,0)不是函所以(3,2)是極大值點。為極大值。例2：求的極值解：（1）得到四個駐點：（3）對每一個駐點，判斷的符號（2）計算二階偏導數A、B、C

。課練:P121,2所以(3,2)是極大值點。為極大值。例2：求例3.討論函數及是否取得極值.解:

顯然(0,0)都是它們的駐點,在(0,0)點鄰域內的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負0在點(0,0)并且在(0,0)都有可能為例3.討論函數及是否取得極值.解:顯然(0,0)都是它又在駐點處必有所以將上述方程組兩邊分別再對x,y

求偏導數，得解又在駐點處必有所以將上述方程組兩邊解解在駐點處必有所以駐點(1,1)為極值點解在駐點處必有所以駐點(1,1)為極值點解在駐點處必有所以駐點(1,1)為極值點解在駐點處必有所以駐點(1,1)(二)、最值應用問題函數f在閉域上連續函數f在閉域上可達到最值

最值可疑點駐點邊界上的最值點特別,當區域內部最值存在,且只有一個極值點P時,f(P)為極小值f(P)為最小值(大)(大)依據(二)、最值應用問題函數f在閉域上連續函數f在閉域上可達到例1：要造一個容量一定的長方體箱子，問選擇怎樣的尺寸，才能使所用的材料最省？解：設箱子的長、寬、高分別為x,y,z,容積為V,

表面積為S，則例1：要造一個容量一定的長方體箱子，問選擇解：設箱子的長、解上述方程組得唯一駐點

根據實際問題可知S

一定存在最小值，并且一定在D

的內部取得，所以駐點即當表面積S

取得最小值，此時用料最省.是使

S

取得最小值的點解上述方程組得唯一駐點根據實際問題可知S一例2：有一寬為24cm的長方形鐵板，把它兩邊折起來，做成一斷面為等腰梯形的水槽，問怎樣折法才能使斷面的面積最大？解：24cm梯形的上底長為高為其中例2：有一寬為24cm的長方形鐵板，把它兩邊折起來，解：例2：有一寬為24cm的長方形鐵板，把它兩邊折起來，做成一斷面為等腰梯形的水槽，問怎樣折法才能使斷面的面積最大？解：問題轉化為求面積函數A=A(x,)在區域D上的最大值（1）求A=A(x,)在D內的駐點例2：有一寬為24cm的長方形鐵板，把它兩邊折起來，解：例2：有一寬為24cm的長方形鐵板，把它兩邊折起來，做成一斷面為等腰梯形的水槽，問怎樣折法才能使斷面的面積最大？解：D注意到得唯一駐點由方程組(1)得代入方程組(2)例2：有一寬為24cm的長方形鐵板，把它兩邊折起來，解：例2：有一寬為24cm的長方形鐵板，把它兩邊折起來，做成一斷面為等腰梯形的水槽，問怎樣折法才能使斷面的面積最大？解：得唯一駐點（2）在D的邊界上D例2：有一寬為24cm的長方形鐵板，把它兩邊折起來，解：例2：有一寬為24cm的長方形鐵板，把它兩邊折起來，做成一斷面為等腰梯形的水槽，問怎樣折法才能使斷面的面積最大？解：得唯一駐點（2）在D的邊界上D所以當斷面的面積最大。例2：有一寬為24cm的長方形鐵板，把它兩邊折起來，解：解如圖,解如圖,分別求偏導分別求偏導第八節：多元函數的極值及其求法課件解:由解:由第八節：多元函數的極值及其求法課件無條件極值：對自變量除了限制在定義域內外，并無其他條件.習題98B:2,4,5,8,9無條件極值作業無條件極值：對自變量除了限制在定義域內外，并無其他條件.習題課堂練習：P1181，2，8,7無條件極值：對自變量除了限制在定義域內外，并無其他條件.作業：P1214,

7,8，9，10,11，12習題98B:2,4,5,8,9課堂練習：P1181，2，8,7無條件極（三）條件極值與拉格朗日乘數法例：求表面積為解：設長方體的長、寬、高分別為x,y,z,體積為V,

則問題可描述為：求體積在約束條件下的最大值轉化為無條件極值問題。而體積為最大的長方體體積（三）條件極值與拉格朗日乘數法例：求表面積為解：設長方體的

下面介紹求條件極值的拉格朗日乘數法.

問題1：求函數u=f(x,y,z)在約束條件

G(x,y,z)=0下的條件極值.若從G的方程解出z，則條件極值問題可轉化為求函數

u=f[x,y,z(x,y)]的無條件極值問題.但有時候很難解出z，

由極值的必要條件，知設f和G具有連續的偏導數，且設為u=f[x,y,z(x,y)]的極值點，方程G(x,y,z)=0確定了一個隱函數z=z(x,y),且

問題1：求函數u=f(x,y,z)在約束條件

G(x,y,z)=0下的條件極值.由極值的必要條件，知設f和G具有連續的偏導數，且設為u=f[x,y,z(x,y)]的極值點，由復合函數求導法，問題1：求函數u=f(x,y,

問題1：求函數u=f(x,y,z)在約束條件

G(x,y,z)=0下的條件極值.所求問題的解必須滿足關系式由復合函數求導法，問題1：求函數u=f(x,y,

問題1：求函數u=f(x,y,z)在約束條件

G(x,y,z)=0下的條件極值.所求問題的解必須滿足關系式

除滿足上面的方程組外，還應滿足約束條件G(x,y,z)=0問題1：求函數u=f(x,y,

問題1：求函數u=f(x,y,z)在約束條件

G(x,y,z)=0下的條件極值.即所求問題的解必須滿足關系式引進函數L,使它分別對其自變量的偏導等于如上方程.此即為問題1在取極值的必要條件拉格朗日函數拉格朗日乘子問題1：求函數u=f(x,y,拉格朗日乘數法：（1）構造拉格朗日函數：其中，為參數，稱為拉格朗日乘子.（2）聯解方程組，求出問題1

所有可能的極值點.（3）進一步確定所求點是否為極值點，在實際問題中往往可根據問題本身的性質來判斷.

問題1：求函數u=f(x,y,z)在約束條件

G(x,y,z)=0下的條件極值.拉格朗日乘數法：（1）構造拉格朗日函數：其中，為參數，稱

問題2：求函數u=f(x,y,z)在約束條件

(x,y,z)=0,h(x,y,z)=0下的條件極值.（1）作拉格朗日函數其中，稱為拉格朗日乘數.（2）聯解方程組，求出問題2

的所有可能的極值點.（3）進一步確定所求點是否為極值點，在實際問題中往往可根據問題本身的性質來判斷.（P：134，17）問題2：求函數u=f(x,y,例1：求表面積為而體積為最大的長方體體積解：設長方體的長、寬、高分別為x,y,z,體積為V,

則問題可描述為在約束條件下，求體積函數的最大值。（1）構造拉格朗日函數（2）聯解方程組(書例題)例1：求表面積為而體積為最大的長方體體積解：例1：求表面積為而體積為最大的長方體體積（1）構造拉格朗日函數（2）聯解方程組解：由對稱性知，x=y=z

，代入最后一個方程解得這是唯一可能的極值點（3）判斷：因為由問題本身可知最大值一定存在，所以最大值就在這個唯一可能的極值點處取得。例1：求表面積為而體積為最大的長方體體積（1）例1：求表面積為而體積為最大的長方體體積解：這是唯一可能的極值點（3）判斷：因為由問題本身可知最大值一定存在，所以最大值就在這個唯一可能的極值點處取得。結論：表面積為的長方體中，以棱長為的正方體的體積最大，且最大體積為例1：求表面積為而體積為最大的長方體體積解：這例2：在橢球面上，求距離平面的最近點和最遠點。解：設(x,y,z)

為橢球面上任意一點則該點到平面的距離為問題1：在約束條件下，求距離d

的最大最小值。

由于d

中含有絕對值，為便于計算，考慮將問題1轉化為下面的等價問題例2：在橢球面上，求距離平