第10章矩陣§1矩陣概念的一些背景§2矩陣的運算§3矩陣乘積的行列式§4矩陣的逆§5矩陣的初等變換和逆矩陣的求法§6

解線性方程組第10章矩陣§1矩陣概念的一些背景§主要內容第一節矩陣概念舉例矩陣的表示和相等向量基礎知識主要內容第一節矩陣概念舉例矩陣的表示和相等向量基礎知向量基本知識二維向量和三維向量二維向量（平面向量）三維向量（空間向量）返回向量基本知識二維向量和三維向量返回二維向量定義1

在平面直角坐標系中，取一個固定點O為始點（一般稱為原點），取另一點A為終點作一線段OA，該線段既有大小又有方向，這樣的線段稱為平面向量，記作或.若向量的終點A與始點O重合，則該向量稱為零向量，記作θ，其大小為零，方向任意.1.二維向量和三維向量與向量大小相等，方向相反的向量稱為

的負向量，即-=-.

二維向量若向量的終點A與始點O重合，則該向量稱為零向量，記作二維向量與三維向量示意平面向量aaMNAB空間向量A二維向量與三維向量示意平面向量aaMNAB空間向量A二維(平面)向量的線性運算

規定：當兩個同起點向量的終點重合時，稱這兩個向量相等.

平面向量的加法和數乘運算統稱線性運算.定義(1)向量加法

設，為兩個平面向量，稱+為這兩個向量的和，-為兩個向量的差.

(2)數乘向量

稱k為數k與向量的數乘.k是大小為的k倍的向量，當k>0時方向與相同；當k<0時方向與相反;當k=0時為零向量,其方向任意.

二維(平面)向量的線性運算規定：當兩個同起點向量的終點重合二維(平面)向量線性運算示意向量的加減法向量與數的乘法aka(k>0)-ka(k>0)二維(平面)向量線性運算示意向量的加減法向量與數的乘法aka二維（平面）向量及線性運算的坐標表示平面解析幾何中，引進了坐標（或分量）的概念.即在平面直角坐標系中，一個平面向量唯一對應著一個二維有序數組（a1，a2），稱a1，a2為該向量的坐標。線性運算可以歸結為坐標之間的運算

二維（平面）向量及線性運算的坐標表示平面解析幾何中，引進了坐xyzo圖示三維（空間）向量三維向量定義4在空間直角坐標系中，取一個固定點O為始點（一般稱為原點），取另一點A為終點作一線段OA，該線段既有大小又有方向，這樣的線段稱為空間向量，記作或.xyzo圖示三維（空間）向量三維向量三維（空間）向量及線性運算三維（空間）向量及線性運算引例經濟中的矩陣在討論國民經濟的數學問題中也常常用到矩陣.例如，假設在某一地區，某一種物資，比如說煤，有s個產地A1,A2,…,As

和

n個銷地B1,B2,…,Bn,那么一個調運方案就可用一個矩陣來表示，其中aij

表示產地Ai

運到銷地Bj

的數量.引例經濟中的矩陣在討論國民經濟的數學問題中也常常用向量是特殊的矩陣n

維向量也可以看成是矩陣的特殊情形.n

維行向量就是1n

矩陣.n

維列向量就是n

1矩陣.矩陣的表示和相等以后我們用大寫的拉丁字母A，B，…，或者(aij),(bij),…來代表矩陣.有時候，為了指明所討論的矩陣的級數，可以向量是特殊的矩陣n維向量也可以看成是矩陣的特殊情形把s

n

矩陣寫成Asn,Bsn,…,或者(aij)sn,(bij)sn,…(注意矩陣的符號與行列式的符號的區別).設A=(aij)mn,B=(bij)lk,如果m=l,n=k,且aij=bij

，對i=1,2,…,m;j=1,2…,n

都成立,則稱矩陣A

與矩陣B

相等，記為A=B.只有兩個完全一樣的才叫相等.把sn矩陣寫成Asn,Bsn,…,或主要內容加法第二節矩陣的運算乘法數量乘法轉置主要內容加法第二節矩陣的運算乘法數量乘法轉現在我們來定義矩陣的運算，它們可以認為是矩陣之間一些最基本的關系.下面要定義的運算是矩陣的加法、乘法、矩陣與數的乘法以及矩陣的轉置.現在我們來定義矩陣的運算，它們可以認為是矩陣之間一些最基本的一、加法1.定義定義1

設一、加法1.定義定義1設是兩個

s

n

矩陣，則矩陣是兩個sn矩陣，則矩陣稱為矩陣A

與矩陣B

的和，記為C=A+B.注意1)

相加的矩陣必須有相同的行數和列數；2)

矩陣的加法是兩個同型矩陣對應位置上的元素相加.稱為矩陣A與矩陣B的和，記為C=A+B.注2.零矩陣和負矩陣定義

元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記為Osn,在不引起含混的時候，可簡單地記為O.矩陣稱為矩陣A

的負矩陣，記為-A.2.零矩陣和負矩陣定義元素全為零的矩陣稱為零矩陣3.運算規律1)結合律

A+(B+C)=(A+B)+C;2)交換律

A+B=B+A；3)零矩陣的運算

A+O=A；

A+(-A)=O；4)減法

A-B=A+(-B).3.運算規律1)結合律A+(B+C定義

設有兩個矩陣A=(aik)sn,B=(bkj)nm,那么矩陣C=(cij)sm,其中稱為A

與B

的乘積，記為C=A

B

.二、乘法定義設有兩個矩陣A=(aik)sn,B注意1)

只有當第一個矩陣(左矩陣)的列數等于第二個矩陣(右矩陣)的行數時，兩個矩陣才能相乘.2)

三個矩陣的行列數之間關系為乘積矩陣的行數=左矩陣的行數；乘積矩陣的列數=右矩陣的列數；3)

乘積矩陣的第i行第j列的元素等于左矩陣的第i行與右矩陣的第j列的對應元素乘積的和.注意1)只有當第一個矩陣(左矩陣)的列數等于第二個矩陣(

例已知求AB.

解因為A

是2×4矩陣,B

是4×3矩陣,A

定義有其乘積AB=C

是一個2×3矩陣,由矩陣乘積的的列數等于B

的行數,所以矩陣A

與B

可以相乘,例已知求AB.解第一節-矩陣的概念和運算課件

例求矩陣的乘積AB

及BA.

解由定義有例求矩陣的乘積AB及BA.

例線性方程組的矩陣形式，設有方程組若令例線性方程組的矩陣形式，設有方程組若令則上述線性方程組可寫成如下矩陣形式:AX=B.AX=B.

3.運算規律

1)

Ok×mAm×p=Ok×p,Am×pOp×n=Om×n;

(B+C)A=BA+CA;2)結合律

(AB)C=A(BC);3)

分配律

A(B+C)=AB+AC,則上述線性方程組可寫成如下矩陣形式:AX=B.AX=4.單位矩陣定義

主對角線上的元素全是1，其余元素全是0的

n

n

矩陣稱為

n級單位矩陣，記為En或者In在不致引含混的時候簡單寫為E或者I.4.單位矩陣定義主對角線上的元素全是1，其余n

級單位矩陣E

在矩陣代數中占有很重要的地位,它的作用與“1”在初等代數中的作用相似.如EA=AE=A.n級單位矩陣E在矩陣代數中占有很重要的地位,它的作用

5.方冪如果A是nn

級矩陣,那么,AA有定義,也有意義,因此有下述定義:另外還規定，1)定義

Ａ0=E.個Ａ相乘稱為

Ａ的m

次冪，記為Ａm,即

定義5

設A

是nn

級矩陣,m是正整數,m5.方冪如果A是nn級矩

2)運算規律設A

為方陣,k,l

為正整數,則級矩陣A

與B,一般來說(AB)k

AkBk.又因矩陣乘法一般不滿足交換律,所以對于兩個n

AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl.2)運算規律級矩陣A與B,三、數量乘法1.定義定義6

矩陣稱為矩陣A=(aij

)sn

與數k

的數量乘積，記為kA.用數k

乘矩陣就是把矩陣的每個元素都乘以k.三、數量乘法1.定義定義6矩陣稱為矩陣A=2.運算規律(k+l)A=kA+lA,k(A+B)=kA+kB,k(lA)=(kl)A,1A=A,k(AB)=(kA)B=A(kB).2.運算規律(k+l)A=kA+lA3.數量矩陣定義7

矩陣稱為數量矩陣.3.數量矩陣定義7矩陣稱為數量矩陣.設A

是一n

n

矩陣，則有

kA=(kE)A=A(kE).這個式子說明，數量矩陣與所有的n

n

矩陣作乘法是可交換的.可以證明：如果一個n

級矩陣與所有n

級矩陣作乘法是可交換的，那么這個矩陣一定是數量矩陣.關于數量矩陣，還有以下運算性質：kE+lE=(k+l)E,(kE)(lE)=(kl)E,這就是說，數量矩陣的加法與乘法完全歸結為數的加法與乘法.設A是一nn矩陣，則有這個式子說明，數量矩陣與四、轉置1.定義定義8

設所謂A

的轉置就是指矩陣四、轉置1.定義定義8設所謂A的轉置就矩陣A

的轉置矩陣也可記為AT.矩陣A的轉置矩陣也可記為AT.2.運算規律(AT)T=A,(