數學所講座,2016年9月7日從太陽系的穩定性問題談起

尚在久中科院數學與系統科學研究院數學研究所數學所講座,2016年9月7日從太陽系的穩定性問題談起報告摘要

本報告圍繞基于牛頓運動方程的太陽系的穩定性問題（簡稱“穩定性問題”），簡要介紹天體力學和動力系統的若干交叉發展歷史片段，特別側重于介紹在解決“穩定性問題”的過程中發展起來的某些動力系統基本概念、基本方法和基本結果，從中窺探一個好的科學問題如何持久地推動數學基礎理論發展，一個有生命力的數學基礎理論如何深刻地影響著科學的發展。

本報告在某種程度上是程崇慶2012年數學所講座“哈密爾頓系統的運動復雜性”的部分細節性補充。

報告摘要

牛頓（IsaacNewton，1643-1727）

Philosophi?NaturalisPrincipiaMathematica(1687)

自然哲學的數學原理牛頓運動方程（第二定律+萬有引力定律）：問題：給定N質點系的初始位置和初始速度，確定該質點系在任一時刻的位置和速度，使之滿足牛頓運動方程。

牛頓（IsaacNewN質點系統的狀態空間（6N維）：TM,其中

M=E×E×…×EΔ,Δ是碰撞流形10個首次積分：質心做勻速直線運動：6個首次積分；動量矩守恒：3個首次積分；能量守恒：一個首次積分N=2（Kepler二體問題）,6N-10=2(方程可解！）；N=3（三體問題），6N-10=8（方程不可解！）N=3,第三體質量為零，被稱為“限制性三體問題”,在一些特殊情形可求得一些重要的解析解（但求不出全部解！）。

N質點系統的狀態空間（6N維）：TM,其中太陽系：是以太陽為中心，和所有受到太陽引力約束的天體集合。八大行星：水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星；173顆已知的衛星；5顆已經辨認出來的矮行星；數以億計的太陽系小天體（包括人造衛星、航天飛行器等）。太陽系：是以太陽為中心，和所有受到太陽引力約束的天體集合。牛頓運動方程的數學推導（牛頓）伽利略時空

{

}伽利略變換：(1)保持時間間隔不變;(2)保持同一時刻兩事件間距離不變勻速直線運動時空參照系原點平移坐標系的旋轉一般的伽利略變換是上述三個基本變換的復合N質點系統的伽利略變換：每個質點做相同的上述伽利略變換相對性原理：在慣性參照系中運動方程在伽利略變換下不變牛頓運動方程的一般形式：一個封閉的力學系統，物體之間的作用力只依賴各個物體之間的距離及其相對速度；慣性系下加速度不變。萬有引力定律（牛頓，1687）:由Kepler三定律+力的疊加性質導出。牛頓運動方程的數學推導（牛頓）伽利略時空Kepler問題：N=2牛頓根據Kepler三定律推導出天體間作用力與距離的平方成反比"ThedirectKeplerproblem"("leproblemedirect"):givenacurve(e.g.anellipse)andthecenterofattraction(e.g.thefocus),whatisthelawofthisattractionifKepler'ssecondlawholds?Proposition(Newton):ifabodymovesonanellipseandthecenterofforceisatoneofthefoci,thentheforceisinverselyproportionaltothesquareofthedistancefromthecentertothebody.Kepler問題：N=2牛頓運動方程求解

（J.Hermann,J.Bernoulli,Euler,etc)Kepler問題求解（N=2)：“TheinverseKeplerproblem”：牛頓驗證了Kepler

三定律；J.Hermann,JohannBernoulli（1710）：

給出了Kepler問題的精確解；特別，J.Bernoulli的解法成為標準解法（利用了守恒律）牛頓運動方程求解

（J.Hermann,J.Berno

1571-1630，德國天文學家，丹麥天文臺臺長

Kepler問題

（軌線方程）

Trajectory(inpolarcoordinates)f=真近點角

，=半長軸e=離心率開普勒軌道根數：天體狀態坐標：

1571-1630，德國天文學家，丹麥天文臺臺長

數學所講座第54講課件N-體問題N-體問題：(無解析解！---Poincaré）在Poincaré以前，牛頓運動方程的求解一直是微分方程的主要研究課題，鮮有實質性進展。但是此問題刺激了常微分方程、變分學、拓撲學、動力系統和數學其它分支的發展，涌現了大批著名數學家。本報告涉及到的還有：Laplace,Lagrange,Poisson,Liouville,Hamilton,Poincaré,Kolmogorov和Arnold，Moser等，他們在數學和力學界都享有盛譽。N-體問題N-體問題：(無解析解！---

拉普拉斯（Pierre-SimonLaplace）：法國的牛頓

1749-1827

法國數學家、天體力學的主要奠基人MécaniqueCéleste(CelestialMechanics)5卷(1799–1825）牛頓雖然發明了微積分，但是并沒有用來求解他建立的運動方程，他研究天體力學問題還是運用繁瑣的幾何推理方法；經麥克勞林、伯努利兄弟、泰勒和歐拉等對微積分的發展，特別是伯努利兄弟和歐拉對微分方程的研究，開始了求解牛頓運動方程的漫長征程。關于太陽系穩定性問題，第一個提出并取得實質性進展的是拉普拉斯。“太陽系的穩定性問題”：在牛頓萬有引力作用下，在遙遠的未來，太陽系是否還保持現在的運動狀態？是否有行星會發生碰撞或者逃逸到太陽系以外？“證明”（1773）---經行星橢圓軌道離心率的一次冪級數逼近，平均系統各行星主半軸無長期變化。哲學：牛頓-拉普拉斯決定論。即目前的狀態決定過去和未來（常微分方程初值問題解的存在唯一性。但是無所不在的分叉和混沌現象顛覆了Laplace的決定論信條）。拉普拉斯（Pierre-SimLaplace攝動法---

求解數學物理方程的主要方法發展了攝動法，開創了天體力學研究新局面（19世紀中葉Adams和LeVerrier據此精確計算發現了海王星---太陽系最外層一顆行星）；解釋木星軌道為什么在不斷地收縮，而同時土星軌道又在不斷地膨脹。用數學方法證明行星的軌道大小只有周期性變化，為偏心率和傾角的3次冪。發現木星三衛星和土星四衛星的公度關系（頻率的有理相關性）；給出保守力的勢函數表示，提出拉普拉斯調和方程（1784-85）；攝動法：把方程未知量分成慢變量（如半長軸、離心率、傾角等）和快變量（如角變量等），平均系統是對天體繞行一周做平均得到的系統。

，Laplace攝動法---

求解數學物理方程的主要方法發展平均方法平均系統

（A）其中，

Laplace證明：系統（A）的給定初值的解

得第一個分量關于的冪級數展開的一次冪中無下列形式的項：

平均方法平均系統

拉格朗日（Lagrange,1736-1813)

生于意大利，先后供職于都靈、柏林普魯士科學院，定居巴黎《分析力學》----“力學成為分析學的一個分支”Lagrange對穩定性問題的貢獻（1774-76）：把Laplace的結果推廣到關于橢圓軌道離心率的所有階逼近，對軌道平面相互間傾角的所有階逼近以及對行星質量與太陽質量之比的一階逼近（仍然針對平均系統！）。Lagrange的更大貢獻是建立了Lagrange力學，發展了變分學。Lagrange函數：作用量變分：Euler_Lagrange方程：拉格朗日（Lagrange,1736-18Lagrange力學和變分原理針對帶約束的力學系統，發展了牛頓力學，建立了拉格朗日力學---牛頓力學的一種新的表述；特別引入作用量(Lagrange函數）、廣義坐標和廣義動量，使得Lagrange表述下的運動方程（Euler-Lagrange方程）具有形式不變性---這是一個非常重要的性質，使得力學問題有了統一系統的數學處理方法，更具有普適性，而且為之后更重要的Hamilton力學提供了條件；除了經典力學，場論和統計物理也都采用Lagrange和Hamilton表述，成為更具普適性的數學框架。由此也推動數學分析成為一個獨立的分支。Lagrange變分原理：作用量（Lagrange函數的路徑積分）取極小

普遍適用的原理（任何一種物理或力學平衡態都可認為是某種泛函取極值的態，如天體的周期運動以及各天體間穩定的位置關系都可解釋為某種量取極值的狀態，這個觀點仍有極大的應用和發展前景）。Lagrange力學和變分原理

泊松（SimoenDaniesPoisson，1781-1840）

法國數學家、物理學家、力學家《力學教程》（2卷）---發展了拉格朗日和拉普拉斯的思想，成為名著受到Laplace和Lagrange賞識，擅長應用數學方法研究各類力學和物理問題，并由此得到數學上的發現；他對積分理論、行星運動理論、熱物理、彈性理論、電磁理論、位勢理論和概率論都有重要貢獻；在天體力學方面，他研究了關于月球和行星的理論以及太陽系穩定性的某些問題，計算出由球體和橢球體引起的萬有引力；穩定性問題：推廣了Lagrange的結果，證明了行星的長軸關于質量比的二階擾動不含長期項（1809）；Poisson穩定性：質點系統的構型反復地回到初始位置附近，則系統被稱為Poisson穩定----引出后來的著名的Poincare回復定理（動力系統的基本定理之一）。泊松（SimoenDanies劉維爾(JosephLiouville，1809-1882)

法國數學家

創辦《純粹與應用數學雜志》(Journaldematématiquespuresetappli－quées)，并親自主持了前39卷的編輯出版工作，被后人稱為《劉維爾雜志》(Liouville’sJournal)。著名的伽羅瓦群論的文章是Liuville在伽羅瓦死后親自編輯發表的。橢圓函數、微分方程、數論等方面貢獻卓著；引進作用-角變量，提出Liouville可積性（Kepler問題是可積的）穩定性問題：Poisson之后近70年無進展，Liouville于1878年顯著簡化了Poisson很長的證明，引入了新的方法。年輕的Spiru

Haretu(羅馬尼亞，1851-1912)證明：行星軌道長軸關于與太陽質量比的三階冪級數展開項中出現長期項，從而明確得出與Laplace，Lagrange和Poisson相反的結論。證明中利用了牛頓運動方程的Hamilton表述和對稱約化的思想，將計算推進到三階逼近。這個證明也表明定量方法已經走向了死胡同，穩定性問題其離解決路途遙遠。Bruns(1887):除了冪級數展開法外，沒有其他定量方法能解決穩定性問題。劉維爾(JosephLiouville，1809-1882哈密爾頓(WilliamRowanHamilton，1805-1865)

愛爾蘭數學家、力學家和天文學家研究幾何光學時提出并發展了Hamilton典則方程，后應用于經典力學發展出Hamilton力學---牛頓力學的新的表述，更具普適性。哈密爾頓(WilliamRowanHamilton，1哈密爾頓力學相空間上的辛結構：非退化反對稱微分2-形式哈密爾頓系統在相空間上的演化是單參數辛變換群，即保持辛結構不變的變換；Hamilton函數在辛變換下不變,自治系統能量守恒；基于哈密爾頓方程，經Jacobi以及Lindstedt等人的發展，經典力學中基于Laplace擾動展開的冪級數解法已經發展的非常成熟。在作用-角變量下，哈密爾頓函數

其中是可積哈密爾頓函數（如Kepler二體問題），是小參數；哈密爾頓力學相空間上的辛結構：非退化反對稱微分2Hamilton-Jacobi方程：求滿足：冪級數解（Lindstedt)：若冪級數解存在且收斂，則在新的作用-角坐標下，運動方程為：解：在舊坐標下，問題：上述冪級數一般是發散的！（龐加萊，1890）（現在已知，求解H-J方程是一個極其困難的問題，一般來說，沒有光滑解。H-J方程在動力系統、最優傳輸、控制論和流體力學等方面有重要應用。）Hamilton-Jacobi方程：求滿足：龐加萊(JulesHenriPoincaré,1854-1912)

法國數學家研究涉及數論、代數學、幾何學、函數論和微分方程等許多領域，特別他開創了動力系統和組合拓撲學。他被公認是19世紀后四分之一和二十世紀初的領袖數學家，是對于數學和它的應用具有全面知識的最后一個人。他和Hilbert是對二十世紀的數學影響最大的兩個人。阿達瑪認為龐加萊“整個地改變了數學科學的狀況，在一切方向上打開了新的道路。”

龐加萊關于穩定性問題的工作起源于1885年瑞典國王奧斯卡二世所設的一項有獎問題(ActaMathematica,Vol.7,1885)：

一個只受牛頓引力作用的質點系統，假設沒有任何兩個質點發生碰撞，則各個質點的坐標作為時間的函數可表示為一個一致收斂的冪級數的和，其中冪級數的每一項由已知函數給出。這個問題由當時歐洲的數學權威Weierstrass受命給出（評獎委員會還有Hermite

和Mittag-Leffler).具上世紀70年代公布的Weistrass與Kowalevskaya的通信顯示，Dirichlet曾于1858年聲稱證明了這個問題，但是由于其很快去世，手稿遺失。但Weierstrass深信Dirichlet是對的，把此問題設獎目的是想找到Dirichlet的證明。龐加萊(JulesHenriPoincaré,1854-

狄利克雷（Dirichlet，PeterGustavLejeune，1805～1859）

德國數學家，高斯的繼任者，解析數論創始人1888年，龐加萊提交了關于這個問題的論文“關于三體問題的動態方程”(Surleproblemedestroiscorpsetlesequationsdeladynamique,ActaMath1890,270頁），但并不是證明這樣的級數一致收斂，相反，他證明了這樣的級數一般發散，想求得“N體問題”的通解是不可能的！發散的原因是冪級數的每一項的系數都包含所謂的“小分母”（分母是一個固定頻率映射和可任意取值的整數向量的內積----因此這個內積隨著級數項數的增大可任意小！而且在一個稠密但零測度集合上取值為零！）。這個結果對Weierstrass是個打擊。但是評獎委員會還是決定把獎頒給Poincare，因為他的工作深化了人們對“N體問題”的理解,深刻揭示了其動力學的復雜性。龐加萊之后在“N體問題”方面的工作，更開創了微分方程定性理論和動力系統新領域。動力系統的許多概念和問題來自Poincare(LesMethodsNouvellesdelaMecaniqueCeleste---天體力學新方法三卷）。經Birkhoff,Kolmogorov,Smale,Arnold,Moser等人的工作，動力系統逐步擺脫天體力學的局限，成為一門獨立的學科，特別幾何、拓撲和分析等強有力的方法的應用，使得動力系統獲得了巨大發展，也產生了重要的應用。狄利克雷（Dirichlet，PeterGustavWeierstrass的堅定信念和Kolmogorov的深刻洞察據公開的信件顯示，Weierstrass仔細審核了龐加萊的論文后，認為也不排除存在收斂的冪級數解。Weierstrass的這個信念被蘇聯數學家A.N.

Kolgmorov（1954）和V.I.Arnold(1963)證實了，即確實能夠驗證：從相空間的大多數初值出發的軌道其解是由關于時間一致收斂的冪級數表達的，更好的是，這些解是擬周期的，因此是穩定的。Poincare的結果已經表明：一般來說，可積系統經擾動后不再是可積的，因此Lindstedt的方法試圖把近可積哈密爾頓系統在典則坐標變換下變成可積系統是行不通的。Kolmogorov的思想：類似于函數求根，對微分方程在其解附近運用牛頓迭代，但是因為“小分母”問題，迭代的收斂性證明是主要難點，但利用牛頓迭代的二次收斂性以及系統的解析性質（解析函數Fourier展開的系數指數衰減），正好能夠補償丟番圖頻率向量帶來的包含小分母的系數的冪次增長，從而得以保證迭代過程收斂，而且由于丟番圖向量在頻率向量空間是全測集，這個過程在一個大測度集合上收斂，Kolmogorov最初給的條件是可積系統的頻率映射非退化，保證給定丟番圖頻率的不變環面的存在性。1998年H.Ruessmann把非退化條件大大減弱，只要頻率映射的像不落在過原點的超平面就行，不過此時不變環面雖然存在，但是不能保證是指定頻率的不變環面（頻率飄移）。KAM定理間接證明了Lindstedt級數在相空間的大部分收斂)。Weierstrass的堅定信念和Kolmogorov的深刻

柯爾莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov,1903-1987）

前蘇聯數學家

實分析、泛函分析、概率論、動力系統、流體力學Kolmogorov定理：一般情形的近可積哈密頓系統的擬周期解在相空間中占據一個正測度的無處稠密的集，其測度隨著擾動趨于零趨于一個全測集。（發表在ICM54會議文集上（閉幕演講,僅4頁，包含了證明思路）近可積系統：完全可積系統+小擾動一般情形：可積系統非退化（或者等能非退化）（不能直接應用于太陽系！）擬周期解的頻率的個數=自由度數,在最大維數的環面上遍歷（極小不變環面）！不變環面的頻率是丟番圖向量（所有丟番圖向量構成全測集）。詳細證明被其學生V.Arnold（1963）對解析哈密爾頓系統和德國的J.Moser（1962）對333次可微的二維扭轉映射給出。定理被后來的數學界冠名為KAM

定理，被認為是二十世紀經典力學和動力系統的突破性成果。應用于”N體問題”-----Arnold的一系列工作（克服Kepler退化!）柯爾莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov,V.I.Arnold(1937-2010),俄羅斯數學家（天體力學，辛幾何，動力系統,代數幾何）

J.Moser(1928-1999)，德國數學家（微分方程，動力系統，辛幾何）“小分母問題”的相關工作：C.L.Siegel(1896-1981),德國數學家（數論，復分析，天體力學）

——解析函數的線性化問題（首先克服了小分母困難，1942）

-----SiegeldiskJ.C.Yoccoz(1984,1985,1995),法國數學家，Fields獎（1994）

------V.I.Arnold(1959):M.Herman(1976):Aubry-Mathertheory

（應用于解決Arnold擴散：Mather+程崇慶）；KAM理論在退化、無窮維、低維環面等情形的豐富和完善；

J.Mather(1942-)Painleve猜想(1897)：有限時間內產生非碰撞奇點夏志宏（Ann.Math.1992)：構造了一個五體問題的例；Hamilton系統周期解理論，天體力學中心構形（變分法）辛幾何哈密爾頓系統的計算（辛算法，Ruth,馮康1980s）V.I.Arnold(1937-2010),俄羅斯數關于KAM定理的注記揭示了近可積哈密爾頓系統的動力學復雜性（拓撲不穩定）

KAM定理表明，n個自由度的非退化且完全可積的哈密爾頓系統，在系統的結構擾動下，大多數初值出發的運動都是擬周期運動，其極小不變集是n維環面。這些環面的并是相空間的一個大測度的Cantor集，余集是相空間的稠密的開集，但測度隨著擾動的減小而趨于零。當n=2時，緊的能量面是3維，每個二維不變環面把能量面分割成不連通的兩部分（內部和外部），因而能量面被不可數多的二維不變環面分割開來，而且這些不變換面在能量面上占據了一個大測度的集合，因此保證了運動穩定性。當n=3時，能量面是5維，三維不變環面不能把5維能量面分割成不連通的部分，Arnold猜測，不變環面以外的初值出發的相軌道可能具有運動不穩定性，1964年他舉例說明這種現象存在，但擴散速度與系統擾動相比指數級慢，被稱為Arnold慢擴散。1977年，Nekhoroshev證明：如果擴散存在，一般情況下擴散速度確實指數級慢（對解析哈密爾頓系統）。但擴散是否存在？這一直是哈密爾頓系統領域一個頗受關注的問題，一些學者從Arnold的幾何方法角度，另一些學者從Mather變分方法（1991）的角度進行研究，取得一些進展，較大的進展是由程崇慶等最近取得的（三個自由度近可積哈密爾頓系統的擴散軌道的存在性）。

關于KAM定理的注記揭示了近可積哈密爾頓系統在近乎隨機選取初值的意義下的運動穩定性

不變環內一定有周期解,即相空間中的閉曲線（閉軌道）。但是只有穩定的軌道才應該是有意義的。在Poincare之前，Hill（1978）研究月球的運動（平面限制三體問題），找到了月球方程的兩個周期解，落在能量面（非緊）Hill

的方程是（2個自由度的Hamilton系統）

Hill的理論極大地吸引了Poincare的注意，深刻地影響了Poincare，按照G.D.Birkhoff的說法，“Hill關于月球理論的研究掀開了理論動力學的重要篇章”。Poincare證明了哈密爾頓系統在橢圓平衡點周圍存在無窮多周期解，構成一張過此平衡點的二維曲面，但所有這些周期軌道是否穩定無法證明。直到1979年，M.Kummer才運用KAM定理證明了Hill的兩個周期軌道的穩定性，時間過去了整整一個世紀。應用KAM定理證明限制性三體問題甚至三提問體周期軌的穩定性已經有了不少工作，直到最近還有人證明三體問題中著名的8字形周期軌是穩定的（8字形周期軌的論文見A.ChencinerandR.Montgomery，Aremarableperiodicsolutionofthethree-bodyprobleminthecaseofeaualmasses,Ann.Math(2)152:2,881-901(2000)).揭示了近可積哈密爾頓系統在近乎隨機選取初值的意義下的運動穩定Lindstedt’s方法Lindstedt’s方法KAM方法KAM方法動力系統

穩定性問題的研究揭示了牛頓運動方程和更一般的哈密爾頓系統表現出極其豐富和復雜的動力學行為，有著豐富而深刻的數學內容。Poincare的開創性工作，經Birkhoff等大批杰出數學家的大力發展，動力系統發展演變成為一個重要的研究領域和活躍的數學分支。下面僅就與哈密爾頓系統和穩定性問題密切相關的幾個基本方面做簡單介紹。（1）圓周保向微分同胚（2）平面環域扭轉映射（3）解析函數的線性化動力系統不變環面、Poincare映射不變環面、Poincare映射（1）圓周的保向（微分）同胚:旋轉數（Poincare):定理1.1（Poincare)

保向同胚存在旋轉數，且旋轉數不依賴圓周上點的選取。旋轉數是有理數當且僅當同胚的某個有限次迭代映射有不動點。旋轉數是一個拓撲不變量。定理1.2（Denjoy,1932)圓周的保向同胚屬于,且旋轉數是無理數，則它拓撲等價于標準旋轉定理由Poincare1885年猜測（對三角多項式函數）。Denjoy還舉反例說明不成立。（1）圓周的保向（微分）同胚:穩定性（解析同胚解析共軛于旋轉映射）定理1.3（Arnold1960,Ruessmann1970,Yoccoz1989)設A是的單位圓周映射，其旋轉數是無理數，其連分數表示為.設

如果,則存在，使得如果則存在解析同胚，使得：.而且丟番圖條件是最優的。到環面的推廣（Arnold1961,Moser1962,1990)光滑共軛。

最優結果？穩定性（解析同胚解析共軛于旋轉映射）剛性定理1.4（Herman,Yoccoz)若是解析保向微分同胚，旋轉數滿足某種丟番圖條件，則解析共軛于標準的圓周旋轉。所給的丟番圖條件是最優的（Yoccoz）.定理1.5

（Herman1976,Khanin&Teplinski2009)是保向微分同胚，旋轉數滿足丟番圖條件，0≤<≤1,-<1.則（1+-)-次光滑共軛于標準旋轉。定理1.6（Khanin&Khmelev2003)若兩個圓周保向同胚具有相等的二次無理旋轉數，都存在唯一的非光滑點，且在此點左、右導數都為正數，而且比值相等，在其余點都是（2+）次光滑的，且則存在>0，使得此二同胚（1+）次光滑共軛。證明方法：重整化技術、交叉比剛性（2）環域的保面扭轉映射定理2.1（Moser1962,Herman1983)環域上（3+）次可微的標準保面扭轉映射的（3+）次擾動（擾動后的映射還是保面積映射），存在同倫于邊界的閉曲線，而且閉曲線所占據環面的測度隨著擾動的消失趨于環面的測度。定理2.2（Poincare-Birkhoff)環域上保面扭轉微分同胚至少存在兩個不動點。定理2.3

（Mather,1982)設A是環域到自身保持邊界旋轉的單調扭轉同胚，其在邊界的旋轉數為α<β,對任一γ：α<γ<β,存在實軸上一個弱保序映射f(t)使得f(t+1)=f(t)+1A(f(t),g(t))=(f(t+γ),g(t+γ))其中g(t)也是一個弱保序的單位圓周的提升映射，由f和A唯一確定，與f有相同的連續點和間斷點。若t是f的連續點，則t+γ，t-γ

也是；若γ=p/q,則存在(x,y)使得Aq(x,y)=(x+p,y);若γ是無理數，則f在任何區間上不為常數。

曲線x=f(t),y=g(t),-∞<t<+∞是一條環形不變曲線（可能間斷），其閉包可能是Cantor集。（2）環域的保面扭轉映射（3）解析函數的線性化定理3.1(Siegel1942)復平面原點領域的一個解析函數，若其在零點的導數在單位圓上，且滿足丟番圖條件，則在原點鄰域解析等價于線性部分。定理3.2

(Yoccoz1984)上述結果對Bruno條件也成立，且反之亦然。若不滿足Bruno條件，則二次函數不可線性化（此時在原點的任何鄰域存在周期點）。定理3.2(Marco1993)給出原點鄰域全純函數不可線性化且沒有周期點的充要條件（強Bruno條件）。早年Poincare的結果：函數在原點的導數不在單位圓上，總可以線性化。（3）解析函數的線性化太陽系穩定嗎？

KAM理論并沒有解決太陽系的穩定性問題，哈密爾頓系統的穩定性仍然是一個公開問題。即便大多數初始狀態出發的天體確實在做擬周期運動，但是目前的天體是否是從這樣的初始狀態出發也無法驗證；另一方面，太陽系在宇宙中不是孤立的，各天體間也不只受萬有引力作用，特別是量子效應和引力的相對論效應作用，在宇宙時間尺度內也許會發生顯著的變化，這個問題仍然是一個有意義的問題，不過已經遠超出經典力學的研究范圍。J.Laskar等的計算表明：水星的共振有可能導致水星、金星、火星與地球發生碰撞（3.34Gyr內,Nature2009)（由于頻率共振水星離心率突然增大，導致橢圓軌道越來越扁）。太陽系穩定嗎？Asimpleexample:Harmonicoscillator

HamiltonianfunctionEquationsofmotion:Phaseorbits:Theonlyequilibrium(p,q)=(0,0)(elliptic);Circlesofanyradiuscenteredattheorigin;Asimpleexample:HarmonicoscExplicitEuler:orbitsexpandoutward(wrong!)ExplicitEuler:orbitsexpandImplicitEuler:orbitscontractinward(wrong!)ImplicitEuler:orbitscontracImplicitEuler:“longtime”orbits(totallywrong!)ImplicitEuler:“longtime”oMidpointrule:almostcirclesfor“longtime”(right)Midpointrule:almostcirclesMidpointrule:almostcirclesfor“verylongtime”

(right)Midpointrule:almostcirclesAnonlinearsystem:PendulumHamiltonianfunction:Equationsofmotion:Phaseorbits:Equilibria,elliptic(hyperbolic)foreven(odd)k;Closedcurvesfor;SeparatrixforAnonlinearsystem:PendulumHaExplicitEuler:orbitsexpandoutward(wrong!)ExplicitEuler:orbitsexpandImplicitEuler:orbitscontractinward(wrong!)ImplicitEuler:orbitscontracMidpointrule:closedcurvesfor“verylongtime”(right)Midpointrule:closedcurvesfMidpointrule:saddleseparatrixfor“verylongtime”(right)

(symplectic,area-preservingmap)Midpointrule:saddleseparatrEulermidpointrule

是辛算法，在一個自由度的情形，保持相平面面積不變。這個性質可以推廣到高維相空間上的哈密爾頓系統，構造一般的保持相空間辛結構的算法（馮康等）。Eulermidpointrule是辛算法，在一個自由謝謝大家！數學所講座第54講課件Midpointrule:closedcurvesfor“verylongtime”(right)Midpointrule:closedcurvesf數學所講座,2016年9月7日從太陽系的穩定性問題談起

尚在久中科院數學與系統科學研究院數學研究所數學所講座,2016年9月7日從太陽系的穩定性問題談起報告摘要

本報告圍繞基于牛頓運動方程的太陽系的穩定性問題（簡稱“穩定性問題”），簡要介紹天體力學和動力系統的若干交叉發展歷史片段，特別側重于介紹在解決“穩定性問題”的過程中發展起來的某些動力系統基本概念、基本方法和基本結果，從中窺探一個好的科學問題如何持久地推動數學基礎理論發展，一個有生命力的數學基礎理論如何深刻地影響著科學的發展。

本報告在某種程度上是程崇慶2012年數學所講座“哈密爾頓系統的運動復雜性”的部分細節性補充。

報告摘要

牛頓（IsaacNewton，1643-1727）

Philosophi?NaturalisPrincipiaMathematica(1687)

自然哲學的數學原理牛頓運動方程（第二定律+萬有引力定律）：問題：給定N質點系的初始位置和初始速度，確定該質點系在任一時刻的位置和速度，使之滿足牛頓運動方程。

牛頓（IsaacNewN質點系統的狀態空間（6N維）：TM,其中

M=E×E×…×EΔ,Δ是碰撞流形10個首次積分：質心做勻速直線運動：6個首次積分；動量矩守恒：3個首次積分；能量守恒：一個首次積分N=2（Kepler二體問題）,6N-10=2(方程可解！）；N=3（三體問題），6N-10=8（方程不可解！）N=3,第三體質量為零，被稱為“限制性三體問題”,在一些特殊情形可求得一些重要的解析解（但求不出全部解！）。

N質點系統的狀態空間（6N維）：TM,其中太陽系：是以太陽為中心，和所有受到太陽引力約束的天體集合。八大行星：水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星；173顆已知的衛星；5顆已經辨認出來的矮行星；數以億計的太陽系小天體（包括人造衛星、航天飛行器等）。太陽系：是以太陽為中心，和所有受到太陽引力約束的天體集合。牛頓運動方程的數學推導（牛頓）伽利略時空

{

}伽利略變換：(1)保持時間間隔不變;(2)保持同一時刻兩事件間距離不變勻速直線運動時空參照系原點平移坐標系的旋轉一般的伽利略變換是上述三個基本變換的復合N質點系統的伽利略變換：每個質點做相同的上述伽利略變換相對性原理：在慣性參照系中運動方程在伽利略變換下不變牛頓運動方程的一般形式：一個封閉的力學系統，物體之間的作用力只依賴各個物體之間的距離及其相對速度；慣性系下加速度不變。萬有引力定律（牛頓，1687）:由Kepler三定律+力的疊加性質導出。牛頓運動方程的數學推導（牛頓）伽利略時空Kepler問題：N=2牛頓根據Kepler三定律推導出天體間作用力與距離的平方成反比"ThedirectKeplerproblem"("leproblemedirect"):givenacurve(e.g.anellipse)andthecenterofattraction(e.g.thefocus),whatisthelawofthisattractionifKepler'ssecondlawholds?Proposition(Newton):ifabodymovesonanellipseandthecenterofforceisatoneofthefoci,thentheforceisinverselyproportionaltothesquareofthedistancefromthecentertothebody.Kepler問題：N=2牛頓運動方程求解

（J.Hermann,J.Bernoulli,Euler,etc)Kepler問題求解（N=2)：“TheinverseKeplerproblem”：牛頓驗證了Kepler

三定律；J.Hermann,JohannBernoulli（1710）：

給出了Kepler問題的精確解；特別，J.Bernoulli的解法成為標準解法（利用了守恒律）牛頓運動方程求解

（J.Hermann,J.Berno

1571-1630，德國天文學家，丹麥天文臺臺長

Kepler問題

（軌線方程）

Trajectory(inpolarcoordinates)f=真近點角

，=半長軸e=離心率開普勒軌道根數：天體狀態坐標：

1571-1630，德國天文學家，丹麥天文臺臺長

數學所講座第54講課件N-體問題N-體問題：(無解析解！---Poincaré）在Poincaré以前，牛頓運動方程的求解一直是微分方程的主要研究課題，鮮有實質性進展。但是此問題刺激了常微分方程、變分學、拓撲學、動力系統和數學其它分支的發展，涌現了大批著名數學家。本報告涉及到的還有：Laplace,Lagrange,Poisson,Liouville,Hamilton,Poincaré,Kolmogorov和Arnold，Moser等，他們在數學和力學界都享有盛譽。N-體問題N-體問題：(無解析解！---

拉普拉斯（Pierre-SimonLaplace）：法國的牛頓

1749-1827

法國數學家、天體力學的主要奠基人MécaniqueCéleste(CelestialMechanics)5卷(1799–1825）牛頓雖然發明了微積分，但是并沒有用來求解他建立的運動方程，他研究天體力學問題還是運用繁瑣的幾何推理方法；經麥克勞林、伯努利兄弟、泰勒和歐拉等對微積分的發展，特別是伯努利兄弟和歐拉對微分方程的研究，開始了求解牛頓運動方程的漫長征程。關于太陽系穩定性問題，第一個提出并取得實質性進展的是拉普拉斯。“太陽系的穩定性問題”：在牛頓萬有引力作用下，在遙遠的未來，太陽系是否還保持現在的運動狀態？是否有行星會發生碰撞或者逃逸到太陽系以外？“證明”（1773）---經行星橢圓軌道離心率的一次冪級數逼近，平均系統各行星主半軸無長期變化。哲學：牛頓-拉普拉斯決定論。即目前的狀態決定過去和未來（常微分方程初值問題解的存在唯一性。但是無所不在的分叉和混沌現象顛覆了Laplace的決定論信條）。拉普拉斯（Pierre-SimLaplace攝動法---

求解數學物理方程的主要方法發展了攝動法，開創了天體力學研究新局面（19世紀中葉Adams和LeVerrier據此精確計算發現了海王星---太陽系最外層一顆行星）；解釋木星軌道為什么在不斷地收縮，而同時土星軌道又在不斷地膨脹。用數學方法證明行星的軌道大小只有周期性變化，為偏心率和傾角的3次冪。發現木星三衛星和土星四衛星的公度關系（頻率的有理相關性）；給出保守力的勢函數表示，提出拉普拉斯調和方程（1784-85）；攝動法：把方程未知量分成慢變量（如半長軸、離心率、傾角等）和快變量（如角變量等），平均系統是對天體繞行一周做平均得到的系統。

，Laplace攝動法---

求解數學物理方程的主要方法發展平均方法平均系統

（A）其中，

Laplace證明：系統（A）的給定初值的解

得第一個分量關于的冪級數展開的一次冪中無下列形式的項：

平均方法平均系統

拉格朗日（Lagrange,1736-1813)

生于意大利，先后供職于都靈、柏林普魯士科學院，定居巴黎《分析力學》----“力學成為分析學的一個分支”Lagrange對穩定性問題的貢獻（1774-76）：把Laplace的結果推廣到關于橢圓軌道離心率的所有階逼近，對軌道平面相互間傾角的所有階逼近以及對行星質量與太陽質量之比的一階逼近（仍然針對平均系統！）。Lagrange的更大貢獻是建立了Lagrange力學，發展了變分學。Lagrange函數：作用量變分：Euler_Lagrange方程：拉格朗日（Lagrange,1736-18Lagrange力學和變分原理針對帶約束的力學系統，發展了牛頓力學，建立了拉格朗日力學---牛頓力學的一種新的表述；特別引入作用量(Lagrange函數）、廣義坐標和廣義動量，使得Lagrange表述下的運動方程（Euler-Lagrange方程）具有形式不變性---這是一個非常重要的性質，使得力學問題有了統一系統的數學處理方法，更具有普適性，而且為之后更重要的Hamilton力學提供了條件；除了經典力學，場論和統計物理也都采用Lagrange和Hamilton表述，成為更具普適性的數學框架。由此也推動數學分析成為一個獨立的分支。Lagrange變分原理：作用量（Lagrange函數的路徑積分）取極小

普遍適用的原理（任何一種物理或力學平衡態都可認為是某種泛函取極值的態，如天體的周期運動以及各天體間穩定的位置關系都可解釋為某種量取極值的狀態，這個觀點仍有極大的應用和發展前景）。Lagrange力學和變分原理

泊松（SimoenDaniesPoisson，1781-1840）

法國數學家、物理學家、力學家《力學教程》（2卷）---發展了拉格朗日和拉普拉斯的思想，成為名著受到Laplace和Lagrange賞識，擅長應用數學方法研究各類力學和物理問題，并由此得到數學上的發現；他對積分理論、行星運動理論、熱物理、彈性理論、電磁理論、位勢理論和概率論都有重要貢獻；在天體力學方面，他研究了關于月球和行星的理論以及太陽系穩定性的某些問題，計算出由球體和橢球體引起的萬有引力；穩定性問題：推廣了Lagrange的結果，證明了行星的長軸關于質量比的二階擾動不含長期項（1809）；Poisson穩定性：質點系統的構型反復地回到初始位置附近，則系統被稱為Poisson穩定----引出后來的著名的Poincare回復定理（動力系統的基本定理之一）。泊松（SimoenDanies劉維爾(JosephLiouville，1809-1882)

法國數學家

創辦《純粹與應用數學雜志》(Journaldematématiquespuresetappli－quées)，并親自主持了前39卷的編輯出版工作，被后人稱為《劉維爾雜志》(Liouville’sJournal)。著名的伽羅瓦群論的文章是Liuville在伽羅瓦死后親自編輯發表的。橢圓函數、微分方程、數論等方面貢獻卓著；引進作用-角變量，提出Liouville可積性（Kepler問題是可積的）穩定性問題：Poisson之后近70年無進展，Liouville于1878年顯著簡化了Poisson很長的證明，引入了新的方法。年輕的Spiru

Haretu(羅馬尼亞，1851-1912)證明：行星軌道長軸關于與太陽質量比的三階冪級數展開項中出現長期項，從而明確得出與Laplace，Lagrange和Poisson相反的結論。證明中利用了牛頓運動方程的Hamilton表述和對稱約化的思想，將計算推進到三階逼近。這個證明也表明定量方法已經走向了死胡同，穩定性問題其離解決路途遙遠。Bruns(1887):除了冪級數展開法外，沒有其他定量方法能解決穩定性問題。劉維爾(JosephLiouville，1809-1882哈密爾頓(WilliamRowanHamilton，1805-1865)

愛爾蘭數學家、力學家和天文學家研究幾何光學時提出并發展了Hamilton典則方程，后應用于經典力學發展出Hamilton力學---牛頓力學的新的表述，更具普適性。哈密爾頓(WilliamRowanHamilton，1哈密爾頓力學相空間上的辛結構：非退化反對稱微分2-形式哈密爾頓系統在相空間上的演化是單參數辛變換群，即保持辛結構不變的變換；Hamilton函數在辛變換下不變,自治系統能量守恒；基于哈密爾頓方程，經Jacobi以及Lindstedt等人的發展，經典力學中基于Laplace擾動展開的冪級數解法已經發展的非常成熟。在作用-角變量下，哈密爾頓函數

其中是可積哈密爾頓函數（如Kepler二體問題），是小參數；哈密爾頓力學相空間上的辛結構：非退化反對稱微分2Hamilton-Jacobi方程：求滿足：冪級數解（Lindstedt)：若冪級數解存在且收斂，則在新的作用-角坐標下，運動方程為：解：在舊坐標下，問題：上述冪級數一般是發散的！（龐加萊，1890）（現在已知，求解H-J方程是一個極其困難的問題，一般來說，沒有光滑解。H-J方程在動力系統、最優傳輸、控制論和流體力學等方面有重要應用。）Hamilton-Jacobi方程：求滿足：龐加萊(JulesHenriPoincaré,1854-1912)

法國數學家研究涉及數論、代數學、幾何學、函數論和微分方程等許多領域，特別他開創了動力系統和組合拓撲學。他被公認是19世紀后四分之一和二十世紀初的領袖數學家，是對于數學和它的應用具有全面知識的最后一個人。他和Hilbert是對二十世紀的數學影響最大的兩個人。阿達瑪認為龐加萊“整個地改變了數學科學的狀況，在一切方向上打開了新的道路。”

龐加萊關于穩定性問題的工作起源于1885年瑞典國王奧斯卡二世所設的一項有獎問題(ActaMathematica,Vol.7,1885)：

一個只受牛頓引力作用的質點系統，假設沒有任何兩個質點發生碰撞，則各個質點的坐標作為時間的函數可表示為一個一致收斂的冪級數的和，其中冪級數的每一項由已知函數給出。這個問題由當時歐洲的數學權威Weierstrass受命給出（評獎委員會還有Hermite

和Mittag-Leffler).具上世紀70年代公布的Weistrass與Kowalevskaya的通信顯示，Dirichlet曾于1858年聲稱證明了這個問題，但是由于其很快去世，手稿遺失。但Weierstrass深信Dirichlet是對的，把此問題設獎目的是想找到Dirichlet的證明。龐加萊(JulesHenriPoincaré,1854-

狄利克雷（Dirichlet，PeterGustavLejeune，1805～1859）

德國數學家，高斯的繼任者，解析數論創始人1888年，龐加萊提交了關于這個問題的論文“關于三體問題的動態方程”(Surleproblemedestroiscorpsetlesequationsdeladynamique,ActaMath1890,270頁），但并不是證明這樣的級數一致收斂，相反，他證明了這樣的級數一般發散，想求得“N體問題”的通解是不可能的！發散的原因是冪級數的每一項的系數都包含所謂的“小分母”（分母是一個固定頻率映射和可任意取值的整數向量的內積----因此這個內積隨著級數項數的增大可任意小！而且在一個稠密但零測度集合上取值為零！）。這個結果對Weierstrass是個打擊。但是評獎委員會還是決定把獎頒給Poincare，因為他的工作深化了人們對“N體問題”的理解,深刻揭示了其動力學的復雜性。龐加萊之后在“N體問題”方面的工作，更開創了微分方程定性理論和動力系統新領域。動力系統的許多概念和問題來自Poincare(LesMethodsNouvellesdelaMecaniqueCeleste---天體力學新方法三卷）。經Birkhoff,Kolmogorov,Smale,Arnold,Moser等人的工作，動力系統逐步擺脫天體力學的局限，成為一門獨立的學科，特別幾何、拓撲和分析等強有力的方法的應用，使得動力系統獲得了巨大發展，也產生了重要的應用。狄利克雷（Dirichlet，PeterGustavWeierstrass的堅定信念和Kolmogorov的深刻洞察據公開的信件顯示，Weierstrass仔細審核了龐加萊的論文后，認為也不排除存在收斂的冪級數解。Weierstrass的這個信念被蘇聯數學家A.N.

Kolgmorov（1954）和V.I.Arnold(1963)證實了，即確實能夠驗證：從相空間的大多數初值出發的軌道其解是由關于時間一致收斂的冪級數表達的，更好的是，這些解是擬周期的，因此是穩定的。Poincare的結果已經表明：一般來說，可積系統經擾動后不再是可積的，因此Lindstedt的方法試圖把近可積哈密爾頓系統在典則坐標變換下變成可積系統是行不通的。Kolmogorov的思想：類似于函數求根，對微分方程在其解附近運用牛頓迭代，但是因為“小分母”問題，迭代的收斂性證明是主要難點，但利用牛頓迭代的二次收斂性以及系統的解析性質（解析函數Fourier展開的系數指數衰減），正好能夠補償丟番圖頻率向量帶來的包含小分母的系數的冪次增長，從而得以保證迭代過程收斂，而且由于丟番圖向量在頻率向量空間是全測集，這個過程在一個大測度集合上收斂，Kolmogorov最初給的條件是可積系統的頻率映射非退化，保證給定丟番圖頻率的不變環面的存在性。1998年H.Ruessmann把非退化條件大大減弱，只要頻率映射的像不落在過原點的超平面就行，不過此時不變環面雖然存在，但是不能保證是指定頻率的不變環面（頻率飄移）。KAM定理間接證明了Lindstedt級數在相空間的大部分收斂)。Weierstrass的堅定信念和Kolmogorov的深刻

柯爾莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov,1903-1987）

前蘇聯數學家

實分析、泛函分析、概率論、動力系統、流體力學Kolmogorov定理：一般情形的近可積哈密頓系統的擬周期解在相空間中占據一個正測度的無處稠密的集，其測度隨著擾動趨于零趨于一個全測集。（發表在ICM54會議文集上（閉幕演講,僅4頁，包含了證明思路）近可積系統：完全可積系統+小擾動一般情形：可積系統非退化（或者等能非退化）（不能直接應用于太陽系！）擬周期解的頻率的個數=自由度數,在最大維數的環面上遍歷（極小不變環面）！不變環面的頻率是丟番圖向量（所有丟番圖向量構成全測集）。詳細證明被其學生V.Arnold（1963）對解析哈密爾頓系統和德國的J.Moser（1962）對333次可微的二維扭轉映射給出。定理被后來的數學界冠名為KAM

定理，被認為是二十世紀經典力學和動力系統的突破性成果。應用于”N體問題”-----Arnold的一系列工作（克服Kepler退化!）柯爾莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov,V.I.Arnold(1937-2010),俄羅斯數學家（天體力學，辛幾何，動力系統,代數幾何）

J.Moser(1928-1999)，德國數學家（微分方程，動力系統，辛幾何）“小分母問題”的相關工作：C.L.Siegel(1896-1981),德國數學家（數論，復分析，天體力學）

——解析函數的線性化問題（首先克服了小分母困難，1942）

-----SiegeldiskJ.C.Yoccoz(1984,1985,1995),法國數學家，Fields獎（1994）

------V.I.Arnold(1959):M.Herman(1976):Aubry-Mathertheory

（應用于解決Arnold擴散：Mather+程崇慶）；KAM理論在退化、無窮維、低維環面等情形的豐富和完善；

J.Mather(1942-)Painleve猜想(1897)：有限時間內產生非碰撞奇點夏志宏（Ann.Math.1992)：構造了一個五體問題的例；Hamilton系統周期解理論，天體力學中心構形（變分法）辛幾何哈密爾頓系統的計算（辛算法，Ruth,馮康1980s）V.I.Arnold(1937-2010),俄羅斯數關于KAM定理的注記揭示了近可積哈密爾頓系統的動力學復雜性（拓撲不穩定）

KAM定理表明，n個自由度的非退化且完全可積的哈密爾頓系統，在系統的結構擾動下，大多數初值出發的運動都是擬周期運動，其極小不變集是n維環面。這些環面的并是相空間的一個大測度的Cantor集，余集是相空間的稠密的開集，但測度隨著擾動的減小而趨于零。當n=2時，緊的能量面是3維，每個二維不變環面把能量面分割成不連通的兩部分（內部和外部），因而能量面被不可數多的二維不變環面分割開來，而且這些不變換面在能量面上占據了一個大測度的集合，因此保證了運動穩定性。當n=3時，能量面是5維，三維不變環面不能把5維能量面分割成不連通的部分，Arnold猜測，不變環面以外的初值出發的相軌道可能具有運動不穩定性，1964年他舉例說明這種現象存在，但擴散速度與系統擾動相比指數級慢，被稱為Arnold慢擴散。1977年，Nekhoroshev證明：如果擴散存在，一般情況下擴散速度確實指數級慢（對解析哈密爾頓系統）。但擴散是否存在？這一直是哈密爾頓系統領域一個頗受關注的問題，一些學者從Arnold的幾何方法角度，另一些學者從Mather變分方法（1991）的角度進行研究，取得一些進展，較大的進展是由程崇慶等最近取得的（三個自由度近可積哈密爾頓系統的擴散軌道的存在性）。

關于KAM定理的注記揭示了近可積哈密爾頓系統在近乎隨機選取初值的意義下的運動穩定性

不變環內一定有周期解,即相空間中的閉曲線（閉軌道）。但是只有穩定的軌道才應該是有意義的。在Poincare之前，Hill（1978）研究月球的運動（平面限制三體問題），找到了月球方程的兩個周期解，落在能量面（非緊）Hill

的方程是（2個自由度的Hamilton系統）

Hill的理論極大地吸引了Poincare的注意，深刻地影響了Poincare，按照G.D.Birkhoff的說法，“Hill關于月球理論的研究掀開了理論動力學的重要篇章”。Poincare證明了哈密爾頓系統在橢圓平衡點周圍存在無窮多周期解，構成一張過此平衡點的二維曲面，但所有這些周期軌道是否穩定無法證明。直到1979年，M.Kummer才運用KAM定理證明了Hill的兩個周期軌道的穩定性，時間過去了整整一個世紀。應用KAM定理證明限制性三體問題甚至三提問體周期軌的穩定性已經有了不少工作，直到最近還有人證明三體問題中著名的8字形周期軌是穩定的（8字形周期軌的論文見A.ChencinerandR.Montgomery，Aremarableperiodicsolutionofthethree-bodyprobleminthecaseofeaualmasses,Ann.Math(2)152:2,881-901(2000)).揭示了近可積哈密爾頓系統在近乎隨機選取初值的意義下的運動穩定Lindstedt’s方法Lindstedt’s方法KAM