數學魔方儲聰忠張家港高級中學校本課程

趣味數學3互動練習將1,2,3,4,5,6,7,8,9這九個數字填到3×3的方格中，如何填，才能使用各行各列及斜對角線的數字之和都是同一個定數？洛書傳說4000多年以前，大禹治水的時候，洛水里浮出了一只神龜，龜背上的花紋隱約可見一幅圖案。圖上共有黑白圓圈45個，黑色表示陰（偶數），白色表示陽（奇數）。由于此圖出自洛水，故被人們稱作“洛書”。后來人們把洛書又稱為“九宮圖”。公元6世紀前后有個叫甄鸞的數學家，他對洛書作了數學解釋：“九宮者，即二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央。”按照這個說明，可知洛書實際上就是一個從1到9排成3行3列的數字表。甄鸞發現它的每行、每列以及斜對角線上的數字之和都等于15。能滿足這種特殊條件的數字方陣，就稱為幻方。玉掛奇圖1980年，上海博物館考古部在清理明代古墓的出土文物時發現了一塊元代穆斯林所佩戴的玉掛，所謂“玉掛”，實際上與《紅樓夢》中的賈寶玉所佩戴的“通靈寶玉”是同一類的東西。這塊玉掛上面是由16個古阿拉伯數目字組成的數學方陣。81114113271231696105415石頭奇方傳說，在遙遠的上古時代，女媧娘娘煉石補天時，剩下三塊石頭，一塊變成了大鬧天宮的孫悟空，一塊變成了《紅樓夢》里的賈寶玉，另一塊卻掉到古天竺國，就是唐僧取經的地方，即今印度。這石頭上的文字好像中國古時的甲骨文，結果還是被專家們破譯出來，其圖形的譯文是一個“石頭奇方”。101六13415八3九2514712十一零石頭的神奇我們如果將右邊的圖4×4折成1個單位的小方格，如小圖所示（也可以先橫后豎，或先豎后橫，甚至于先折成長條的形狀，再折成一個小方格形狀。折好之后，就要把它從下到上客觀地記錄下來，要注意“正”、“倒”、“上”、“下”。101六13415八3九2514712十一零10石頭的神奇下面的便是兩種不同的折疊法的結果：1121168521549143130710正倒倒正倒正正倒倒正正倒正倒倒正7410911865141330211512上上下下上上下下下下上上下下上上正正倒倒正正倒倒正正倒倒正正倒倒正立數字與倒立數字各占8個，它們的和都是60。正立數字、倒立數字、上立數字及下立數字各占8個，它們的和都是60。正如著名的“哥德巴赫猜想”一樣，迄今為止，雖然試驗都是成功的，但并沒有找到嚴格的證明。安西王府幻方鐵板幻方

安西王府幻方鐵板幻方陜西歷史博物館二樓展廳陳列著一塊刻著印度——阿拉伯數碼的鐵板，這是1957年在西安東郊元代安西王府遺址出土的。經專家鑒定，它是一個六階幻方。這個幻方每行、每列及兩條對角線上的6個數之和都相等，都是111.

這個六階幻方不是普通的幻方，它還具有兩個獨特的性質。第一，該幻方還是一個二次幻方。幻方中第一行和第六行中六個數的平方和也相等：第一列和第六列中六個數的平方和也相等：第二，這個幻方去掉最外面一層，中間剩下的部分仍然是一個四階幻方。更為奇特的是，這個4階幻方還是一個完美幻方。澳門回歸紀念碑

什么叫幻方？把從1到n2的連續自然數不遺漏也不重復地排列成n行n列的數字方陣，使其每行、每列以及兩條對角線上n個數字之和，都等于一個定數，我們就把這樣的數字方陣叫作n階幻方。階數n是大于2的任何一個自然數。關于這個定數，由幻方性質可以推出它的計算公式為定數=n×(n2＋1)÷2．如：3階幻方的定數15，4階幻方的定數34。我國南宋時期有一位名叫楊輝的數學家，他對幻方的規律和構造方法作出了重要的貢獻。他編寫的一部算書中，有四階、五階、六階直至十階的幻方，而且幻方的概念也有了發展：既可以是方形的，也可以是圓形的；既可以是平面的，也可以是立體的，楊輝還畫出了一個幻立方，它共有6個面，每面上的4個數字之和都等于18。如何構造奇數階幻方？德·拉·洛貝萊法——右上對角線法（1）1字排頂行正中間（2）后繼的數字按自然順序放置在右上方的方格（3）上出格下底行，右出格左底列（4）當到達的方格已有數字，或到達右上角時，下一數就填在這個數字的正下方.1如何構造奇數階幻方？平移補空法25202415192310141822591317214812163711261如何構造偶數階幻方？雙偶數階幻方的編制——4階幻方先將四階自然方陣的兩個主對角線的數字不動，然后將其他數字作列對稱調換，行對稱調換1615141312111098765432116231351110897612414151對稱調換法如何構造偶數階幻方？雙偶數階幻方的編制——8階幻方先將8階自然方陣分為四個四階方陣每個四階方陣之主對角線的數字不動，把其他數字在大的方陣中作對稱調換。64636261605958575655545352515049484746454443424140393837363534333231302928272625242322212019181716151413121110987654321如何構造單偶數階幻方？6階幻方的編制（1）將36個數字分成36/6=6組，先將1~6、7~12、13~18、19~24四段數字按照雙曲線的形狀，左右交替、自上而下地排成兩層，然后將余下的兩段25~36依次按左右、右左（織布式）由下而上填寫；（2）以中間36方格為主，將左右的突出部分平移到其中空白的地方。

雙曲形平移補空法121824611172351016224915213814202713191261218246252711172352830101622429319152133234814202333571319136如何構造單偶數階幻方？261218246252711172352830101622429319152133234814202333571319136261218246252711172352830101622429319152133234814202333571319136182612625241117272823530101622429319152133281434332021