一、幾何直觀義務教育數學課程標準：

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。案例1：學困生研究“你喜歡什么樣的數學題”？“我最喜歡看圖寫數，一看就會”1

2

3

1：理解手段直觀教學：感知→概念(思維)第1頁/共34頁一、幾何直觀義務教育數學課程標準：案例1：學困生研究“你喜歡1一、幾何直觀義務教育數學課程標準：

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。案例2：原來每天寫10個字,每周寫5天。現在每天多寫2個字,每周寫7天。現在每周比原來多寫多少字？2×7？10字5天多種算法：理解←描述→探索2×7＋10×22×5＋12×212×7－10×5數學認知風格：代數型；幾何型5天多寫的＋雙休日寫的7天多寫的＋原2天寫的手段第2頁/共34頁一、幾何直觀義務教育數學課程標準：案例2：原來每天寫10個字2一、幾何直觀義務教育數學課程標準：

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。案例3：1：理解←描述→探索本質上都是看出來的、預測手段第3頁/共34頁一、幾何直觀義務教育數學課程標準：案例3：1：理解←描3一、幾何直觀義務教育數學課程標準：

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。孔凡哲、史寧中：

幾何直觀是指，借助于見到的(或想象出來的)幾何圖形的形象關系，對數學的研究對象(空間形式和數量關系)進行直接感知、整體把握的能力。的能力。：理解←描述→探索、預測第4頁/共34頁一、幾何直觀義務教育數學課程標準：的能力。：理解←描述→探索4一、幾何直觀孔凡哲、史寧中：

幾何直觀是指，借助于見到的(或想象出來的)幾何圖形的形象關系，對數學的研究對象(空間形式和數量關系)進行直接感知、整體把握的能力。感知：感覺、知覺的統(tǒng)稱客觀事物通過感覺器官在人腦中的直接反映整體把握：高層次的思維全面的、深層次的理解認第5頁/共34頁一、幾何直觀孔凡哲、史寧中：感知：認第5頁/共34頁5二、相關概念的辨析幾何直觀與直觀幾何？

基于直觀的數學思維側重直觀的幾何課程幾何直觀與幾何直覺？傾向于整體把握、洞察傾向于本能意識、猜想幾何直觀與空間觀念？空間觀念是幾何直觀的基礎幾何直觀是空間觀念的運用與升華“課標(實驗稿)”中的“空間觀念”已涵蓋幾何直觀案例4：如圖，“”與“”，哪個面積大?第6頁/共34頁二、相關概念的辨析幾何直觀與直觀幾何？案例46幾何直觀與幾何推理？幾何推理始于幾何直觀（兩層意思）幾何公理依賴直觀直觀幫助發(fā)現幾何規(guī)律幾何推理確認幾何直觀有時，幾何直觀具有幾何推理難以企及的優(yōu)勢案例5：正方形盒內放相同月餅，使月餅直徑最大。1個2個4個二、相關概念的辨析第7頁/共34頁幾何直觀與幾何推理？1個2個4個二、相關概念7幾何直觀與數形結合？

共同部分：“形使數更直觀”區(qū)別部分：“數使形更入微”

幾何本身也要依靠直觀幾乎所有的舉例都是“數形結合”。

有沒有不是數形結合的幾何直觀呢？歐氏幾何公理是相當純粹的幾何直觀，基本不靠數形結合。案例6：兩點之間的連線線段最短。

案例7：一般的平行四邊形不是軸對稱圖形。依靠直觀確認，難以證明。●●二、相關概念的辨析第8頁/共34頁幾何直觀與數形結合？●8三、直觀想象高中數學課程標準：

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程。主要包括：借助空間認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯系；構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。直觀想象是發(fā)現和提出數學問題、分析和解決數學問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構建抽象結構的思維基礎。在直觀想象核心素養(yǎng)的形成過程中，學生能夠進一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，增強運用圖形和空間想象思考問題的意識，提升數形結合的能力，感悟事物的本質，培養(yǎng)創(chuàng)新思維。是幾何直觀與空間想象能力的整合把“想象”去掉，實際上就是“數形結合”——何小亞第9頁/共34頁三、直觀想象高中數學課程標準：第9頁/共34頁9三、直觀想象

克萊因：數學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上，數學的直觀就是對概念、證明的直接把握。

希爾伯特：在數學中，象在任何科學研究中那樣，有兩種傾向。一種是抽象的傾向……另一種是直觀的傾向，即更直接地掌握所研究的對象，側重它們之間關系的的意義，也可以說領會它們的生動的形象”。史寧中：

數學在本質上研究的是抽象的東西，數學的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象。

人獲得知識所憑借的，是先天的同時又依賴于經驗的“直觀能力”,數學抽象能力與這種直觀能力是同構的，也是一種依賴于經驗的先天抽象能力。

討論這種抽象至少可以給數學教育提供兩個重要啟迪：一個是受教育者應當在適當的時機給予適當的教育；另一個是在傳授知識的同時也應當注重培養(yǎng)受教育者的直觀能力。直觀能力：并不局限于幾何；

是一種整體把握、深刻洞察

第10頁/共34頁三、直觀想象克萊因：數學不是依靠在邏輯上，而是依靠在10四、直觀能力的實踐解讀

1.直觀對于數學教學具有雙重意義

一方面，它是數學抽象的基礎與數學認知的支撐；

另一方面，它又是數學理解、抽象的重要內涵與數學認知的深化。

2.有必要區(qū)分直觀的層次

直觀感知：感性認識；具體的直觀理解：理性認識；一般的直觀洞察：理性認識的升華；深刻的其他數呢？還需要再舉例嗎？為什么？………………………………ab案例8：運算律第11頁/共34頁四、直觀能力的實踐解讀1.直觀對于數學教學具有雙重11四、直觀能力的實踐解讀

3.直觀并非局限于幾何直觀（數形結合）

案例9：百米賽跑，速度越快，時間越短

路程一定，速度與時間成反比例經驗直觀→幾何直觀

案例10：因數與積的大小關系幾何直觀不如經驗直觀第12頁/共34頁四、直觀能力的實踐解讀3.直觀并非局限于幾何直觀（12五、直觀能力的培養(yǎng)策略

以幾何直觀為主，其他直觀為輔直觀語言直觀→替代物直觀實物直觀模象直觀圖形直觀圖像直觀經驗直觀第13頁/共34頁五、直觀能力的培養(yǎng)策略以幾何直觀為主，其他直觀為輔13五、直觀能力的培養(yǎng)策略

以幾何直觀為主，其他直觀為輔

1.加強空間觀念的建立

2.加強數形結合的運用

一直大量采用，需要提升水平如：停留在看圖找規(guī)律水平上案例11：看數列更易發(fā)現規(guī)律→看圖解釋規(guī)律第14頁/共34頁五、直觀能力的培養(yǎng)策略以幾何直觀為主，其他直觀為輔14五、直觀能力的培養(yǎng)策略

以幾何直觀為主，其他直觀為輔3.加強構造直觀的訓練如：示意圖→線段圖→韋恩圖→長方形圖→……對應型直觀：函數與圖像、分數應用題與線段圖……

模式識別、匹配構造型直觀：沒有已知、明顯、約定的對應關系

類比遷移、頓悟；合理的對應關系

案例12：奇偶數的示意圖（幾何模型）第15頁/共34頁五、直觀能力的培養(yǎng)策略以幾何直觀為主，其他直觀為輔15后測題之一：如果一個很大的奇數和一個很大的偶數相加，和一定是奇數么？為什么？少數用個位相加說明多數用幾何模型說明nm(2n＋1)＋2m＝2(n＋m)＋1（具有一般性）1382m2n＋1五、直觀能力的培養(yǎng)策略

以幾何直觀為主，其他直觀為輔3.加強構造直觀的訓練第16頁/共34頁后測題之一：nm(2n＋1)＋2m（具有一般性）138216案例13：田徑隊男生平均體重42千克，女生平均體重38千克。全體隊員平均體重可能是多少？男女人數相等：(42＋38)÷2＝40；男生人數更多時,在40～42之間；女生人數更多時,在38～40之間。男人數42女＝女人數38男男人數42女＞女人數38男五、直觀能力的培養(yǎng)策略用矩形圖解釋加權平均40第17頁/共34頁案例13：田徑隊男生平均體重42千克，女生平均體重38千17五、直觀能力的培養(yǎng)策略

以幾何直觀為主，其他直觀為輔

1.加強空間觀念的建立

2.加強數形結合的運用3.加強構造直觀的訓練如：示意圖→線段圖→韋恩圖→長方形圖→……4.重視數學的直觀理解第18頁/共34頁五、直觀能力的培養(yǎng)策略以幾何直觀為主，其他直觀為輔18什么是理解？

理解作為一個過程是指個體運用已有知識、經驗去認識未知事物的屬性、聯系，直至揭示其本質及規(guī)律的思維過程。理解是在新情境中靈活運用理論和概念的能力。教師關注理解的表現：

知其然→知其所以然解釋說明尋找例證概括歸納解決問題……第19頁/共34頁什么是理解？理解作為一個過程是指個體運用已有知識、經19五、直觀能力的培養(yǎng)策略

以幾何直觀為主，其他直觀為輔

1.加強空間觀念的建立

2.加強數形結合的運用3.加強構造直觀的訓練4.重視數學的直觀理解

案例14：分數乘除法18÷3×218÷2×3“歸一”18的三分之二已知一個數的三分之二是18，求這個數69語言直觀與經驗直觀的整合數學教育的中華民族特色第20頁/共34頁五、直觀能力的培養(yǎng)策略以幾何直觀為主，其他直觀為輔20五、直觀能力的培養(yǎng)策略

以幾何直觀為主，其他直觀為輔

1.加強空間觀念的建立

2.加強數形結合的運用3.加強構造直觀的訓練4.重視數學的直觀理解

5.重視數學的直觀洞察

直觀洞察：基于觀察、經驗，通過類比、推理、想象，獲得對事物及其關系(規(guī)律)的整體把握、本質認識。

第21頁/共34頁五、直觀能力的培養(yǎng)策略以幾何直觀為主，其他直觀為輔21怎樣讓學生直觀知其然？面積（cm2)長+寬=871周長

（cm)167用16厘米長鐵絲圍長方形，面積？長寬

（cm)

（cm)71案例15：62-1+1五、直觀能力的培養(yǎng)策略第22頁/共34頁怎樣讓學生直觀知其然？面積（cm2)長+寬=871周長（c22面積（cm2)長+寬=8716253周長

（cm)16127-1+1-1+1長寬

（cm)

（cm)71

+5怎樣讓學生直觀知其然？用16厘米長鐵絲圍長方形，面積？案例15：五、直觀能力的培養(yǎng)策略第23頁/共34頁面積（cm2)長+寬=8716253周長（cm)1612723面積（cm2)長+寬=87162周長

（cm)16127-1+1長寬

（cm)

（cm)7153-1+1

+5怎樣讓學生直觀知其然？用16厘米長鐵絲圍長方形，面積？案例15：五、直觀能力的培養(yǎng)策略第24頁/共34頁面積（cm2)長+寬=87162周長（cm)16127-124面積（cm2)長+寬=87162周長

（cm)16127-1+1長寬

（cm)

（cm)715315-1+1

+5

+34416

+1怎樣讓學生直觀知其然？用16厘米長鐵絲圍長方形，面積？-1+1面積增加越來越小→面積定有最大值案例15：五、直觀能力的培養(yǎng)策略觀察→類推→驗證第25頁/共34頁面積（cm2)長+寬=87162周長（cm)16127-125五、直觀能力的培養(yǎng)策略

以幾何直觀為主，其他直觀為輔

1.加強空間觀念的建立

2.加強數形結合的運用3.加強構造直觀的訓練4.重視數學的直觀理解

5.重視數學的直觀洞察

直觀洞察：基于觀察、經驗，通過類比、推理、想象，獲得對事物及其關系(規(guī)律)的整體把握、本質認識。

數學本質上是思維學科……案例16：三角形三邊關系第26頁/共34頁五、直觀能力的培養(yǎng)策略以幾何直觀為主，其他直觀為輔26數學本質上是思維科學……作為數學教師，我們理解了嗎？兩種處理區(qū)別何在？線段公理三邊關系構成三角形←選擇三邊長度已知三角形→發(fā)現三邊關系清一色反對琵琶的反思：為什么動物都有的本能，竟成了教學的難點？五、直觀能力的培養(yǎng)策略第27頁/共34頁數學本質上是思維科學……作為數學教師，我們理27引入→討論→結論→應用任意兩邊之和＞第三邊

兩邊之和＝第三邊兩邊之和＜第三邊推理、想象能消弭難點逆向思維導致難點？→依據“真正的兒童數學”數學本質上是思維科學……五、直觀能力的培養(yǎng)策略第28頁/共34頁引入→討論→結論→應用任意兩邊之和＞第三邊推理、想象逆向思維28

首先，想象與經驗本身具有局限性。

案例16：華羅庚的“困惑”什么樣的六角形鈍角109°28′,銳角70°32′,都小于120°，不懂！既說蜂窩是六角形的，又說它是菱形容器。不懂！這樣想，那樣推，無法形成一個形象。必須請教實物，到底是怎樣的形狀！感謝劉崇樂教授，給了一個蜂房……六、直觀的局限性第29頁/共34頁首先，想象與經驗本身具有局限性。六、直觀的局限性第229

首先，想象與經驗本身具有局限性。案例16：華羅庚的“困惑”

想象不出→看一眼就知道

案例17：“折紙”一張紙對折30次，有多厚？不可能對折30次！0.1mm＝0.0001m，

不敢想象→無法驗證無需驗證六、直觀的局限性……0.0001×2308844m▲≈10737(m)一卷85美元1200米長特制衛(wèi)生紙折疊了11次第30頁/共34頁首先，想象與經驗本身具有局限性。六、直觀的局限性……30首先，想象與經驗本身具有局限性。

其次，直觀具有啟發(fā)猜想、發(fā)現真理功能，卻不總能兼?zhèn)渥C明真理、確保真理可靠性功能(公理除外)。

如同合情推理，本質是一種或然推理。

這是數學自身特點(高度抽象與嚴謹)所決定的。

一句話：直觀具有或然性。

有時，可能導致悖論。案例18：兩條直線重合是特殊的平行還是特殊的相交？六、直觀的局限性第31頁/共34頁首先，想象與經驗本身具有局限性。六、直觀的31→夾角為0平面上兩直線相交平行重合(沒有交點)(一個交點)(無數交點)→間距為0從量變到質變六、直觀的局限性

直觀具有啟發(fā)猜想、發(fā)現真理的功能，卻不總能兼?zhèn)渥C明真理、確保真理可靠性的功能（公理除外）。

如同合情推理，本質是一種或然推理。

這是數學自身特點(高度抽象與嚴謹)所決定的。

一句話：直觀具有或然性。

有時，可能導致悖論。案例18：兩條直線重合是特殊的平行還是特殊的相交？第32頁/共34頁→夾角為0平面上兩直線相交平行重合(沒有交點)(一個交點)(32

有必要指出：

將幾何直觀列為義務教育數學課程的核心追求之一，有積極意義，至少：有利于加深對直觀的認識有利于指導直觀教學的改進與提升

說到底“直觀”是人與生俱來的本能，也是抽象的基礎，直觀的本能猶如“種子”，需要適當的培育，才能發(fā)芽、生長。

但就小學數學的教學實際而言，只要切實加強空間觀念的培養(yǎng)，強化數形結合的意識與運用，就可以了。

因為小學數學歷來以直觀認識、直觀理解為主。

到高中，數學學習更多依賴抽象邏輯思維，再來強調直觀想象，恐怕更具實踐指導意義。第33頁/共34頁有必要指出：第33頁/共34頁33謝謝！歡迎提問共同探討跨越斷層走出誤區(qū)第34頁/共34頁謝謝！跨越斷層走出誤區(qū)第34頁/共34頁34一、幾何直觀義務教育數學課程標準：

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。案例1：學困生研究“你喜歡什么樣的數學題”？“我最喜歡看圖寫數，一看就會”1

2

3

1：理解手段直觀教學：感知→概念(思維)第1頁/共34頁一、幾何直觀義務教育數學課程標準：案例1：學困生研究“你喜歡35一、幾何直觀義務教育數學課程標準：

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。案例2：原來每天寫10個字,每周寫5天。現在每天多寫2個字,每周寫7天。現在每周比原來多寫多少字？2×7？10字5天多種算法：理解←描述→探索2×7＋10×22×5＋12×212×7－10×5數學認知風格：代數型；幾何型5天多寫的＋雙休日寫的7天多寫的＋原2天寫的手段第2頁/共34頁一、幾何直觀義務教育數學課程標準：案例2：原來每天寫10個字36一、幾何直觀義務教育數學課程標準：

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。案例3：1：理解←描述→探索本質上都是看出來的、預測手段第3頁/共34頁一、幾何直觀義務教育數學課程標準：案例3：1：理解←描37一、幾何直觀義務教育數學課程標準：

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。孔凡哲、史寧中：

幾何直觀是指，借助于見到的(或想象出來的)幾何圖形的形象關系，對數學的研究對象(空間形式和數量關系)進行直接感知、整體把握的能力。的能力。：理解←描述→探索、預測第4頁/共34頁一、幾何直觀義務教育數學課程標準：的能力。：理解←描述→探索38一、幾何直觀孔凡哲、史寧中：

幾何直觀是指，借助于見到的(或想象出來的)幾何圖形的形象關系，對數學的研究對象(空間形式和數量關系)進行直接感知、整體把握的能力。感知：感覺、知覺的統(tǒng)稱客觀事物通過感覺器官在人腦中的直接反映整體把握：高層次的思維全面的、深層次的理解認第5頁/共34頁一、幾何直觀孔凡哲、史寧中：感知：認第5頁/共34頁39二、相關概念的辨析幾何直觀與直觀幾何？

基于直觀的數學思維側重直觀的幾何課程幾何直觀與幾何直覺？傾向于整體把握、洞察傾向于本能意識、猜想幾何直觀與空間觀念？空間觀念是幾何直觀的基礎幾何直觀是空間觀念的運用與升華“課標(實驗稿)”中的“空間觀念”已涵蓋幾何直觀案例4：如圖，“”與“”，哪個面積大?第6頁/共34頁二、相關概念的辨析幾何直觀與直觀幾何？案例440幾何直觀與幾何推理？幾何推理始于幾何直觀（兩層意思）幾何公理依賴直觀直觀幫助發(fā)現幾何規(guī)律幾何推理確認幾何直觀有時，幾何直觀具有幾何推理難以企及的優(yōu)勢案例5：正方形盒內放相同月餅，使月餅直徑最大。1個2個4個二、相關概念的辨析第7頁/共34頁幾何直觀與幾何推理？1個2個4個二、相關概念41幾何直觀與數形結合？

共同部分：“形使數更直觀”區(qū)別部分：“數使形更入微”

幾何本身也要依靠直觀幾乎所有的舉例都是“數形結合”。

有沒有不是數形結合的幾何直觀呢？歐氏幾何公理是相當純粹的幾何直觀，基本不靠數形結合。案例6：兩點之間的連線線段最短。

案例7：一般的平行四邊形不是軸對稱圖形。依靠直觀確認，難以證明。●●二、相關概念的辨析第8頁/共34頁幾何直觀與數形結合？●42三、直觀想象高中數學課程標準：

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程。主要包括：借助空間認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯系；構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。直觀想象是發(fā)現和提出數學問題、分析和解決數學問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構建抽象結構的思維基礎。在直觀想象核心素養(yǎng)的形成過程中，學生能夠進一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，增強運用圖形和空間想象思考問題的意識，提升數形結合的能力，感悟事物的本質，培養(yǎng)創(chuàng)新思維。是幾何直觀與空間想象能力的整合把“想象”去掉，實際上就是“數形結合”——何小亞第9頁/共34頁三、直觀想象高中數學課程標準：第9頁/共34頁43三、直觀想象

克萊因：數學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上，數學的直觀就是對概念、證明的直接把握。

希爾伯特：在數學中，象在任何科學研究中那樣，有兩種傾向。一種是抽象的傾向……另一種是直觀的傾向，即更直接地掌握所研究的對象，側重它們之間關系的的意義，也可以說領會它們的生動的形象”。史寧中：

數學在本質上研究的是抽象的東西，數學的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象。

人獲得知識所憑借的，是先天的同時又依賴于經驗的“直觀能力”,數學抽象能力與這種直觀能力是同構的，也是一種依賴于經驗的先天抽象能力。

討論這種抽象至少可以給數學教育提供兩個重要啟迪：一個是受教育者應當在適當的時機給予適當的教育；另一個是在傳授知識的同時也應當注重培養(yǎng)受教育者的直觀能力。直觀能力：并不局限于幾何；

是一種整體把握、深刻洞察

第10頁/共34頁三、直觀想象克萊因：數學不是依靠在邏輯上，而是依靠在44四、直觀能力的實踐解讀

1.直觀對于數學教學具有雙重意義

一方面，它是數學抽象的基礎與數學認知的支撐；

另一方面，它又是數學理解、抽象的重要內涵與數學認知的深化。

2.有必要區(qū)分直觀的層次

直觀感知：感性認識；具體的直觀理解：理性認識；一般的直觀洞察：理性認識的升華；深刻的其他數呢？還需要再舉例嗎？為什么？………………………………ab案例8：運算律第11頁/共34頁四、直觀能力的實踐解讀1.直觀對于數學教學具有雙重45四、直觀能力的實踐解讀

3.直觀并非局限于幾何直觀（數形結合）

案例9：百米賽跑，速度越快，時間越短

路程一定，速度與時間成反比例經驗直觀→幾何直觀

案例10：因數與積的大小關系幾何直觀不如經驗直觀第12頁/共34頁四、直觀能力的實踐解讀3.直觀并非局限于幾何直觀（46五、直觀能力的培養(yǎng)策略

以幾何直觀為主，其他直觀為輔直觀語言直觀→替代物直觀實物直觀模象直觀圖形直觀圖像直觀經驗直觀第13頁/共34頁五、直觀能力的培養(yǎng)策略以幾何直觀為主，其他直觀為輔47五、直觀能力的培養(yǎng)策略

以幾何直觀為主，其他直觀為輔

1.加強空間觀念的建立

2.加強數形結合的運用

一直大量采用，需要提升水平如：停留在看圖找規(guī)律水平上案例11：看數列更易發(fā)現規(guī)律→看圖解釋規(guī)律第14頁/共34頁五、直觀能力的培養(yǎng)策略以幾何直觀為主，其他直觀為輔48五、直觀能力的培養(yǎng)策略

以幾何直觀為主，其他直觀為輔3.加強構造直觀的訓練如：示意圖→線段圖→韋恩圖→長方形圖→……對應型直觀：函數與圖像、分數應用題與線段圖……

模式識別、匹配構造型直觀：沒有已知、明顯、約定的對應關系

類比遷移、頓悟；合理的對應關系

案例12：奇偶數的示意圖（幾何模型）第15頁/共34頁五、直觀能力的培養(yǎng)策略以幾何直觀為主，其他直觀為輔49后測題之一：如果一個很大的奇數和一個很大的偶數相加，和一定是奇數么？為什么？少數用個位相加說明多數用幾何模型說明nm(2n＋1)＋2m＝2(n＋m)＋1（具有一般性）1382m2n＋1五、直觀能力的培養(yǎng)策略

以幾何直觀為主，其他直觀為輔3.加強構造直觀的訓練第16頁/共34頁后測題之一：nm(2n＋1)＋2m（具有一般性）138250案例13：田徑隊男生平均體重42千克，女生平均體重38千克。全體隊員平均體重可能是多少？男女人數相等：(42＋38)÷2＝40；男生人數更多時,在40～42之間；女生人數更多時,在38～40之間。男人數42女＝女人數38男男人數42女＞女人數38男五、直觀能力的培養(yǎng)策略用矩形圖解釋加權平均40第17頁/共34頁案例13：田徑隊男生平均體重42千克，女生平均體重38千51五、直觀能力的培養(yǎng)策略

以幾何直觀為主，其他直觀為輔

1.加強空間觀念的建立

2.加強數形結合的運用3.加強構造直觀的訓練如：示意圖→線段圖→韋恩圖→長方形圖→……4.重視數學的直觀理解第18頁/共34頁五、直觀能力的培養(yǎng)策略以幾何直觀為主，其他直觀為輔52什么是理解？

理解作為一個過程是指個體運用已有知識、經驗去認識未知事物的屬性、聯系，直至揭示其本質及規(guī)律的思維過程。理解是在新情境中靈活運用理論和概念的能力。教師關注理解的表現：

知其然→知其所以然解釋說明尋找例證概括歸納解決問題……第19頁/共34頁什么是理解？理解作為一個過程是指個體運用已有知識、經53五、直觀能力的培養(yǎng)策略

以幾何直觀為主，其他直觀為輔

1.加強空間觀念的建立

2.加強數形結合的運用3.加強構造直觀的訓練4.重視數學的直觀理解

案例14：分數乘除法18÷3×218÷2×3“歸一”18的三分之二已知一個數的三分之二是18，求這個數69語言直觀與經驗直觀的整合數學教育的中華民族特色第20頁/共34頁五、直觀能力的培養(yǎng)策略以幾何直觀為主，其他直觀為輔54五、直觀能力的培養(yǎng)策略

以幾何直觀為主，其他直觀為輔

1.加強空間觀念的建立

2.加強數形結合的運用3.加強構造直觀的訓練4.重視數學的直觀理解

5.重視數學的直觀洞察

直觀洞察：基于觀察、經驗，通過類比、推理、想象，獲得對事物及其關系(規(guī)律)的整體把握、本質認識。

第21頁/共34頁五、直觀能力的培養(yǎng)策略以幾何直觀為主，其他直觀為輔55怎樣讓學生直觀知其然？面積（cm2)長+寬=871周長

（cm)167用16厘米長鐵絲圍長方形，面積？長寬

（cm)

（cm)71案例15：62-1+1五、直觀能力的培養(yǎng)策略第22頁/共34頁怎樣讓學生直觀知其然？面積（cm2)長+寬=871周長（c56面積（cm2)長+寬=8716253周長

（cm)16127-1+1-1+1長寬

（cm)

（cm)71

+5怎樣讓學生直觀知其然？用16厘米長鐵絲圍長方形，面積？案例15：五、直觀能力的培養(yǎng)策略第23頁/共34頁面積（cm2)長+寬=8716253周長（cm)1612757面積（cm2)長+寬=87162周長

（cm)16127-1+1長寬

（cm)

（cm)7153-1+1

+5怎樣讓學生直觀知其然？用16厘米長鐵絲圍長方形，面積？案例15：五、直觀能力的培養(yǎng)策略第24頁/共34頁面積（cm2)長+寬=87162周長（cm)16127-158面積（cm2)長+寬=87162周長

（cm)16127-1+1長寬

（cm)

（cm)715315-1+1

+5

+34416

+1怎樣讓學生直觀知其然？用16厘米長鐵絲圍長方形，面積？-1+1面積增加越來越小→面積定有最大值案例15：五、直觀能力的培養(yǎng)策略觀察→類推→驗證第25頁/共34頁面積（cm2)長+寬=87162周長（cm)16127-159五、直觀能力的培養(yǎng)策略

以幾何直觀為主，其他直觀為輔

1.加強空間觀念的建立

2.加強數形結合的運用3.加強構造直觀的訓練4.重視數學的直觀理解

5.重視數學的直觀洞察

直觀洞察：基于觀察、經驗，通過類比、推理、想象，獲得對事物及其關系(規(guī)律)的整體把握、本質認識。

數學本質上是思維學科……案例16：三角形三邊關系第26頁/共34頁五、直觀能力的培養(yǎng)策略以幾何直觀為主，其他直觀為輔60數學本質上是思維科學……作為數學教師，我們理解了嗎？兩種處理區(qū)別何在？線段公理三邊關系構成三角形←選擇三邊長度已知三角形→發(fā)現三邊關系清一色反對琵琶的反思：為什么動物都有的本能，竟成了教學的難點？五、直觀能力的培養(yǎng)策略第27頁/共34頁數學本質上