積分，解析幾何，微分方程練習題一、填空題：設f(x)連續，且xfx，則f(7) 。0設f(x)是連續函數，且f(x)x21f，則f(x) .1t01t(3)函數F(x)x(21

0)的單調減少區間為 .(4)

d

xcost .dxdx(5) ddx

x2xsin(xt ．0(6)

dx ．e(7) 0

xln2xx2dx ．由曲線ylnx與兩直線ye1x及y0所圍成的平面圖形的面積是 。微分方程y2yex的通解為 .ye2x的通解為 ．設yexsinxC cosx)(C為任意常)為某二階常系數線性齊次微分方程的1 2 1 2解，則該方程為 ．微分方程yyy2

0滿足初始條件y

x0

1，y

x

1的特解是 ．2微分方程yytanxcosx的通解為y .微分方程xy0的通解為 ．xt2過點M(1,2,1)且與直線y4垂直的平面方程是 .zt1已知兩條直線的方程是

:x1y2

z3,

:x2

y1z

且平行1 1 0 1

2 2 1 1 1于L2的平面方程是 .x1 x1 y2 z1與兩直線1t及 2t 1 2

都平行且過原點的平面方程為 。1(18)設(ab)c2，則[(ab)(bc)](ca) .(19)設一平面經過原點及點(6,3,2)，且與平面y8垂直，則此平面方為 .二、選擇題：設f(x)是連續函數，F(x)是f(x)的原函數，則【 】當fx)F(x必是偶函數；當fx)F(x必是奇函數；當fx是周期函數時，Fx必是周期函數；當fx是單調增函數時，Fx必是單調增函數．

設fx)

為已知連續函數，

It

xtf

，其中

t0,s

，則I

的值【】0依賴于s和t；0(C)依賴于tx，不依賴于s；

(B)依賴于st和x；(D)依賴于s，不依賴于t。(3)設fx)

sinxsintg(x)x3x4，則當x0fx是g(x)的【】0(A)等價無窮小；高階無窮??；(4)雙紐線(x2y2)2

同階但非等價無窮小(D)低階無窮小.x2y2所圍成的區域面積可用定積分表示為【】(A)

2πcos202

;

πcos2d;2π02ππ 0

cos;

1 2(cos)2d.2 0(5)若連續函數f(x)滿足關系式f(x)

2xf(t0

ln2，則fx等于【】(A)exln2； (B)e2xln2； (C)ex

ln2； (D)e

ln2.(6)

M

sinx

cos4xdx,N

(sin3xcos4x)dx,P

(x2sin3xcos4x)dx設2 2π1x2 π π設2 2則【】

2 2 2(A)NPM；(B)MPN；(C)NMP；(D)PMN.(7)設fxf(0)0,f(0)0Fx)xx2t2)ftdtx0時，0F(x與x是同階無窮小，則k等于(A) 1; (B) 2; (C) 3;(8)設在區間b上fx)0,f(x0,f(x)0S1

(D) 4.bf(x)dxa 2

fa)，S 1[f)fa)則 【】3 2(Ａ)SS1 2

S； (Ｂ)S3

SS；1 3(Ｃ)S3

SS；1 2

(Ｄ)S2

S S．3 1設F(x)x2esintsintdt，則F(x) 【】x(Ａ)為正常數；(Ｂ)為負常數；

(Ｃ)恒為零；

(Ｄ)不為常數．設fx

xtf(x2t2)dt【】dx 0(Ａ)xf2)；(Ｂ) xf2)； (Ｃ) 2)； (Ｄ) 2xf2)．設yfx是方程y2y0的一個解且f0點x處【】0

)0,f(x0

)0，則函數f(x)在(A)取得極大值； (B)取得極小值；(C)某鄰域內單調增加； (D)某鄰域內單調減少。設線性無關的函數yyy1 2 3

都是二階非齊次線性方程yp(x)yq(x)yf(x)的解，C，C1

是任意常數，則該非齊次方程的通解是【】2C

C

y;

C

C

C)y;11 22 3

11 2

1 2 3CyCy11 2

(1C

C)y1 2

CyCy11 2

(1C

C.1 2 3(13)設fx是連續函數，且F(x)πxf，則F(x)等于【 】(A)xfx)f(x);x(B)xfx)f(x);(C)exfx)f(x);(D)exfx)f(x).(14)設有直線L

:x1y5

z8與

xy6::

，則L與

的夾角為1 1 2 1

2 z3 1 2π π π π(A)

6; (B) 4; (C) 3; (D) 2.2xy10z3(15)設有直線L2xy10z3

及平面π:z20，則直線L 【】平行于π;三、求

在π上; (C)垂直于π; (D)與π相交.dx；求

ex1dx.求

sin2sinxarctanexdx．e2xsinπ sin2π 求lim

n n Lsinπ．nn1

n1

n12 n四、設yfx是區間[0,1]上的任一非負連續函數．試證明存在x0

(0,1)，使得在區間[0,x0

]上以f(x0

)為高的矩形面積，等于在區間[x,1]上以yfx為曲邊的梯形面積．0又設fx在區間(0,1)內可導，且f(x)2fx)，證明中的xx 五、設fx)sinxxtf，其中f為連續函數，求fx.

是唯一的．六、設函數f(x)

0在區間

上連續，且在

內有f(x)0

，證明：在

內存在唯一的，使曲線yfx與兩直線yf),xa所圍成圖形的面積S1

是曲線yf(x)與兩直線yf(),xb所圍成圖形面積S

的3倍。七、證明方程

lnxxe

0

21cos

在區間

(0,

內有且僅有兩個不同的實根.八、(1)求

1ln(1xdx. (2)求0(2x)2

dx；(3)求 dx .xexex1xexex1(4)設f(x)1x2, x0,，求3f.ex, x0, 1設函數fx在[0,1]上連續，在(0,1)內可導，且31fx)dxf(0)，證明在(0,1)內2存在一點c，使f(c)0. 3設fx)連續，x)1fxtdt,且limfx)A(A，求x)并討論x)在x0處的連續性．

x0 x十一、設對任意x0，曲線yfx)(xfx))處的切線在y軸上的截距等于xftdt，求fx.x 0十二、設函數f(x)在[0,π]上連續，且πf(x)dx0,πf(x)cosxdx0，試證在(0,π)內至少存在兩個不同的點,1 2

，使f()1

f02

0． 0(1)已知點A與B的直角坐標分別為(1,0,0)與(0,1,1).線段AB繞z的旋轉曲面為S，求由S及兩平面z0,z1.(2)求心形線ra1cos的全長，其中a0.十四、已知兩曲線yf(x)與yarctanxet2dt在點(0,0)處的切線相同，寫出此切線方程，并求極限limnf(2)． 0n ny(從海增面算起)與下沉速度v之間的函數關系．設儀器在重力作用下，從海平面由靜止開始鉛直下沉，在m，體積為B，海水比重為，儀器所k(k0)．試建立y與v數關系式yy(v．十六、求微分方程y(9a2)y1的通解，其中常數a0。求微分方程y4ye2x的通解).求微分方程y2ye3x的通解.求微分方程x2yxyy2滿足初始條件y|x1

1.十七、在上半平面求一長條向上凹的曲線，其上任一點P(x,y)處的曲率等于此曲線在該點的法線PO 長度的倒(Q是法線與x軸的交)，且曲線在點處的切線與x軸平.十八設曲線L位于xOy 平面的第一象限內上任一點M處的切線與y軸總相交交點 記為A.已知|MA||OA|，且L過點3,3，求L的方程. 2 2 十九、在某一人群中推廣新技術是通過其中已掌握新技術的人進行的．設該人群的總人數為Nt0時刻已掌握新技術的人數為xt已掌握新技術的人數為x(t(將x(t0視為連續可微變量)，其變化率與已掌握新技術人數和未掌握新技術人數之積成正比，比例常數k0，求x(t)．二十、設函數