(高等數學)導數與微分(高等數學)導數與微分(高等數學)導數與微分第三章導數與微分第一節導數的見解一．兩個引例引例1.某物體做自由落體運動，其運動規律〔即位移函數〕為sst1gt2，2t0,T.試討論t0時辰落體的速度〔t00,T〕.解：先取一周邊于t0的時辰t，落體在t0,t這一段時間內的均勻速度為stst0s1t21gt021vt0,t2g2t0tt0ttt0gt2因為，sst在t0處連續，所以vt0,t反應了落體在t時辰的近似快慢程度，顯然當t越湊近于t0時，這類近似精準度越高.于是，定義vt0limvlimstst01gtt0gt0〔1〕tt0limtt0tt0tt02一般地，一質點做直線運動，設其位移函數為sft，假定t0為某一確立的時辰，那么稱極限limftft0為質點在時辰t0的速度或變化率.tt0tt0引例2.設有曲線yfx，試求曲線上點M0x0,fx0處切線的斜率.假定yx在M0處連續.解：第一要明確一個見解：何謂曲線在M0處的切線？它應當定義為曲線在M0點處割線的極限地點，所以切線的斜率就應當是割線的斜率取極限.〔作圖〕個人采集整理勿做商業用途在曲線上M0的周邊任取一點Q，可作一條割線M0Q，設Qx,fx，fxfx0y那么k切k割xx0x明顯當Q越湊近于M0點，這類近似計算的精準度越高.于是，令1/36klimkfxfx0〔2〕切割limxx0QM0xx0注意：引例1與引例2的實質背景相差很大，但最后要求的量的數學構造卻完滿相同，將他們在數目關系上的共性抽象出來，就有下邊的導數的見解。個人采集整理勿做商業用途二.導數的見解1.定義1：設函數yfx在U內有定義，假如極限limfxfx0存在，x0xx0xx0那么稱yfx在x0處可導，x0稱為函數fx的可導點，且稱上述極限值為函數fx在x0處的導數，記為：dy|xx0或df；或簡記為fx0．dxdx|xx02.導數的等價定義：假如記xxx0，那么定義1可改為：設函數yfx在Ux0內有定義，假如極限limfx0xfx0存在，那么稱yfx在x0處可導，x0稱為函數fx的x0x可導點，且稱上述極限值為函數fx在x0處的導數，記為：dy或df；dx|xx0dx|xx0或簡記為fx0．3.導數的另一種等價定義：設函數yfx在Ux0內有定義，假如極限limfx0hfx0存在，那么稱yfx在x0處可導，x0稱為函數fx的xx0h可導點，且稱上述極限值為函數fx在x0處的導數，記為：dy或df；dx|xx0dx|xx0或簡記為fx0．注意：〔1〕導數定義的實質是變化率的極限，至于表現為什么種極限形式，這沒有實質的差別，我們在使用時可依照需要選擇此中的一種.但依照我的經驗，定義1在實質計算時用得教多；而第一種等價定義在理論證明時用得教多；最后一種等價定義那么極少用，只在一些觀察導數見解的習題中有時出現.〔2〕假如limfxfx0不存在，那么稱函數fx在x0處不可以導。xx0xx04.左、右導數的定義：假定設函數yfx在Ux0內有定義，假如極限2/36limfxfx0存在，那么稱yfx在x0處左可導，x0稱為函數fx的左可導xx0xx0點，且稱上述極限值為函數fx在x0處的左導數，記為fx0；近似地可定義.x0.明顯有個人采集整理勿做商業用途定理1.fx在x0處可導yfx在x0處左可導且yfx在x0處右可導。5.導數的幾何意義：曲線yfx在點M0x0,fx0處切線的斜率；〔請同學們自己寫出曲線在點M0x0,fx0處切線及法線的方程.〕導數的物理意義：做變速直線運動的物體的剎時速度、加快度.要特別關注x0處的導數定義形式：f0limfxf0；假定更特別，還有x0xf00，那么f0limfxf0fx。xlimxx0x0例1．曲線fxx2，試求fx在x2處的導數。解：這里x02,yfxfx0fxf2x24因為limylimx24lim(x2)4x2xx2x2x2例2．fx0=A，試求以下極限的值〔1〕limfx0xfx0(A);xx0fx03xfx0x(4A);〔2〕。limxx0例3．研究函數fx|x|在x0處的可導性.解：因為limfxf0limx01，所以f01；x0xx0x0同理，可求得f01.因為f0f0，所以fx|x|在x0處不可以導。3/36注意：大家還記得在上一章，我們證了然fx|x|在x0處是連續的,那函數在一點處連續與可導之間終究有何聯系？請看下邊的個人采集整理勿做商業用途三．可導與連續間的關系定理2.設函數yfx在Ux0內有定義，那么假定yfx在x0可導那么yfx必在x0處連續；反之未必，即假定yfx在x0連續，yfx在x0處未必可導.證明：〔必需性〕設假定yfx在x0可導，即fx0fx0xfx0limy存在，limxxx0x0那么，limylimyxfx0.000.x0xx反之，可以例3為反例.四.導函數1.定義2.假定函數yfx在a,b內每一點處都可導那么稱yfx為在a,b內可導的函數；假定yfx在a,b內知足：〔1〕在a,b內可導；〔2〕fb,fa都存在，那么稱fx在a,b上可導的函數。.個人采集整理勿做商業用途一般地，設yfx在區間I上可導，對xI，那么極限limfxxfxx0x存在，且它是區間I上對于x的一個函數，稱之為fx在區間I上的導函數，記為dy,df或簡記為yx,fx.dxdx注意：〔1〕記號dy是萊布尼茲第一引用的，物理學中牛頓用記號y表示；dydxd〔〕是一個整體記號，不可以理解為dy除以dx，但可把理解為2dxdx對函數實行求導數運算〔3〕導函數yx,fx在x0處的值為：fx|x0limfx0xfx0，這正是以第一種等價定義形式定義的x0x函數fx在x0處的導數值.上式揭示出導函數與函數在一點處的導數值之間的關系，在此后，我們就極少獨自某一個函數在詳盡點處的導數值，而試圖算出常有函數的導函數的表達4/36.個人采集整理勿做商業用途式，并把它背下來.當需要實質計算在詳盡點處的導數值時，只須將該點代入導函數的表達式。有同學可能會有疑問：常有函數特別多，如何能做到求出全部這些常有函數的導數，而且還會背？其實，我們只需要會求、會背根本初等函數的導函數，再聯合為數不多的幾個求導法那么，即可順利求出任何一個初等函數的導函數.個人采集整理勿做商業用途〔4〕此后，在不至于惹起混雜的情況下，也將導函數簡稱為導數.大家可以從記號上輕易看出終究要求的是導數仍是導函數例4．fxc，求fx0；nn1例5．fxx,求fxnx；注意：其實有xx1(0,為實數〕/練習：求x,1,13x2x

.x例6．xxxa，求fxalna；f注意：特別地，xxee.1例7．fxlogax，求f；x1.xlna注意：特別地lnxx例8．fxsinx，求fxcosx；自做fxcosx，求fxsinx；看這意思，我準備求出全部根本初等函數的導數表達式.不錯！我這一次課的最后目標是要成立起一個根本導數表〔見書第111頁〕.但我下邊禁止備連續按導數的定義來求節余的根本初等函數的導數，因為他們可以在下一節利用求導法那么來計算.個人采集整理勿做商業用途5/36第三章導數與微分第二節求導的法那么一．四那么求導法那么定理1.假定函數ux,vx均在x可導，那么〔1〕函數uxvx在x也可導，且uxvxuxvx；〔2〕函數uxvx在x也可導，且ux.vxux.vxvxux；〔3〕函數ux在x也可導，且uxuxvxuxvx.vxvxv2x證明：只證第一個.推論1.cuxcux；推論2.1ux.uxu2x實行：〔1〕三個以上的函數的線性組合求導：u1xu2xunxu1xu2xunx.〔2〕三個以上函數的乘積求導〔以三個為例〕uxvxwxuxvxwxuxvxwxu.xvxwx例1．求y2sinxln72xcosx0的導數.x注意：局部同學可能會犯下邊的錯誤：ln71.7例2．求yx.sinx.lnx的導數.例3.求ysin2x的導數.ysin2x2sinxcosx2sinxcosx6/362sinxcosxsinxcosx2cos2xsin2x2cos2x.注意：ysin2x為復合函數，從上例可見，對復合函數求導不可以直接套用根本導數表，等一會兒，我們將專門討論復合函數的求導問題.例4．求tanx/sec2x；/自求ctanxcsc2x；例5．求secx/secx.tanx；/自求cscxcscx.ctanx.二.反函數求導法那么定理2.假定函數xy，其反函數為yfx.假定xy在y0的某鄰域Uy0內連續、嚴格單一且y00，那么yfx在點x0y0可導，且fx01---------------------〔1〕y0證明:設xy0yy0y0xx0xy0yy0yfx0x所以，y(y0y)y0fx0xfx0.xy在y0的某鄰域Uy0內連續、嚴格單一且y00，那么其反函數yfx相應的鄰域Ux0內也連續且嚴格單一.于是，當x0時，有y0.當x0時，有y0.進而，

x1yxy111故limlimx0xy0xlimxy0yy0y7/36例6．求yarcsinx的導數.解：設原函數xsiny(cosyo),y,，那么其反函數為yarcsinx.22依照定理2，有dy11111dxdxycosy1sin2.y1x2dy練習：自己求出arccosx1.〔可利用恒等式arcsinxarccosx〕x212例7．求yarctanx的導數.解：設原函數為xtany,y,，那么其反函數為yarctanx.22依照定理2，有dy11111dxdxy212x12.secytayndy1自己求得：arctanx1x2.注意：以上例6、例7的結果要求會背.三．復合函數求導法那么引例：大家可能還有印象：復合函數ysin2x的導數是dysinx22coxs。〔2與直接套用根本導數表比較，這個2從何而來？〕dx假如記u2x，那么ysinu,u2xdysinuucousd,ux2，2dudx故本題恰巧知足等式：dydydu〔*〕dx.dxdu這是不是偶合的？我們說不是。事實上，〔*〕式正揭示出了復合函數的求導法那么.定理3.假定函數ux在x可導，而函數yfu在對應的ux處也可導，那么復合函數yfx在x處也可導，且8/36dydy.du或yxyuux〔或yfu.x------------〔2〕/dxdudx稱上式為復合函數求導的鏈式法那么,證明：設x處獲取增量x,由ux，那么u相應地也獲取增量uxxx；再由yfu，那么y相應地也獲取增量yfuufu。yfuu(x)處也可導，所以limyfu，所以，uu0yf/，此中lim0uuuu.u0故，yfuuu.u。當x0，可能有u=0；當u0時，明顯有，yfuuu.u=0，進而上式也成立，但此時u.沒有定義，為使u.當u0時也存心義，將u.在點0處作連續開辟，定義00。個人采集整理勿做商業用途上式兩頭用x0除之，有：yuuufxuxx因為可導必連續，故當x0時，有u0，進而(u)0，yf/uuf//所以，limxulimlimuux.x0x0xx0x所以，yfu.x獲證.注意：復合函數的鏈式求導法那么可實行至復合兩次以上的情況，如：對函數yfx，如記vx,uv,yfu，那么各變量間的關系是：yuvx有dydydudv或簡記為yxyuuvvx-----------------------〔3〕dxdudvdx〔4〕式可經過連續使用兩次〔2〕式獲取.大家不難將〔3〕式的結果再實行可得復合四次以上的情況下的鏈式法那么。但是，一般只會碰到復合三次以下的情況.例8．求ysin2x的導數.9/36解：記u2x，那么ysinu,u2x,由〔2〕式，有yfu.xsinu2xcosu.22coxs2注意：〔1〕上述解法的結果無疑是對的，因為它與前面我們用四那么求導法那么獲取的結果完滿一致；但上述解法中有個別地方記號不對，誰能指出來？〔2〕正確寫法是：yfu.xsinu2xcosu.22；coxs2u〔3〕大家注意到倒數第二步還有一個將中間變量的記號用x的函數進行回代的過程，也就是說，最后的結果中不再含有中間變量的記號u，請大家作題時不要忘掉回代;明顯中間變量的記號可以隨意，比方：例1中，將u的記號換記為v，不會改變最后的結果.5〕此刻我可以解答在第0章中一個不太好回復的問題了：將復合函數分解，終究分解到何時為止？答：分解到不用用鏈式法那么為止.個人采集整理勿做商業用途例2．求ysin2x的導數.解：記usinx，那么yu2.yu2sinx2u.coxs2sxinxcoscxos2.u例3．求ylntanx的導數。2x解：先將ylntan分解為根本初等函數，即ylnu,utanv,vx.由〔3〕式，得2yyuuvvxlnuutanvvx1sec2v11.sec2x.11cscx2u2x22sinxtan2注意：既然例3中最后的結果與中間變量的記號并沒關系，聰慧的同學必然會提出一個想法：能不可以不明確地寫出中間變量的記號，這樣，可省去煩雜的中間變量的回代過程。個人采集整理勿做商業用途例4．〔重做例3〕解：x1x12xxlntan2xtan2xsec22ytantan22注意：〔1〕這類寫法的核心是：不論再復雜的函數，每次都將它視為只復合了一次，這樣可去掉第一層，此后挨次去掉第二層，只至去掉最后一層.打個形象的比喻，就相當于一個人穿了好幾件衣服，我既可以一次全脫下；也可以一件10/36一件地脫.一次脫完就相當于原始寫法；一件一件地脫那么相當于新寫法.〔2〕這類寫法還有一個利處，即不易犯記號錯誤.〔3〕臨時我贊成同學們在造作業時，兩種寫法任選一種；下周此后，只贊成用第二種寫法.〔4〕有一種較難的題，復合與四那么運算交錯在一同，寫的過程中易出錯誤.例4．求ylnx21x的導數.解：應付這類題我有一句口訣：逢山修路，遇水搭橋，即每次只解決目前的問題種類。/ln11x21x1x211111x221x2yx1x2x1x2212x1x121=1x.2221x21x2x1x21xx1x例5．求ysinnx.sinnx的導數.解：ysinn.sinnxsinnxsinnxsinnxsinnxxn1xsxinnxsinnxsinnx.nxcosnsinnsinn1x.cosxsinnxnsinnnsinn1x.sinn1x.練習：1.求yxxx的導數.2．求yxx；求yxxx的導數.注意：其實最難的仍是抽象的復合函數的求導，因為最簡單犯記號錯誤.例6．xfx此中可導，求的導數yfee,fxy.注意：要糾正幾種常有的錯誤。例7．yfsin2xfcos2x，求y的導數.例8．設an0,bn0,且limanlimbn0，假定有導數fc,nn證明：fcanfcbnfc.limcnbnn證明：fcanfcbnfcanfcfcbnfcanbnanbn11/36fcanfcanfcbnfc.bnan.bnbnbnananfcanfc1bnfcbnfcbnanbnbnanbnanfcafcbnfcnbfcfcafcnnananbnbnanfcn.此中bnfcbnfcfcanfc,bnbnan0nan是因為fcbnfcfcanfcfcn(無量小)bnanfc且bn1(有界量).anbn例9．證明：假定fx為偶，且在x0處可導，那么f00.證1：因為fxfx上式兩邊同時求導：fxfx-------〔*〕〔*〕式中，以x0代入，那么f0f0f00.注意：證法1是錯的，為什么？而下邊的證法2是對的：證2：f0fxf0fxf0limf0xf0limxlimxf0x0x0x0xf00例10．設fxa1sinxa2sin2x...ansinnx(aiR,i1,2,...,n)且|fx||sinx|證明：|a12a2...nan|1.證明：因為fxa1cosx2a2cos2x...nancosnx12/36f0a12a2...nan又f0fxf0limfxlimxxx0x0所以，|a12a2...nan||limfx|limfxlimsinx||limsinx||||1x0xx0xx0xx0x注意：證明的過程頂用到了下述結論：假如limfxA存在，那么xx0limf|x|A|也存|在.xx0cosax,x0,x例11．確立a,b的值，使fxo,x0,.〔f00〕在,內處lnbx20x,x處可導，并求它的導函數.解：〔一〕因為可導必連續，所以fx在x0處連續，即limfxlimfxf0.----------------------〔1〕x0x01ax2此中，limfxlim1cosaxlim20；x0x0xx0x所以，limfxlimlnbx2limfx0。xx0x0x0所以，必有，limlnbx2lnb0b1；x0〔二〕因為以fx在x0處可導，所以，應知足：f0f0.fxf01cosax0此中，f0limxlimx0xx0x01ax2lim1cosxlim212;22ax0xx0x213/36f0fxf0lnbx2ln1x2limx0limx2limx21.x0x0x0所以，a21a2。2xsin2x1cos2x0,x2,x且：fx1,x0,.2x21x2ln1x2x21x2,x0例12.設fx在0,內有定義,且對隨意的x0,y0都有fxyfxf(1)y.又f1a,求fx.解:由定義fx1xxfxxfxffxlimxlimx0xx0x因為(1)式,所以fx1xfxfxx0(2)x11xx又因為f1f112f1,故f10.(3)f1xf1fxxfxx所以fxlimlimxxx0x0f1xf1x11alimx..f1.x0xxxx例13.fx是周期為5的連續函數,它在x0的某個鄰域內知足關系式f1sinx3f1sinx8xx.此中x是當x0時比x高階的無量小,且fx在x1處可導,求曲線yfx在點6,f6處的切線方程.解(一):因f1sinx3f1sinx8xx(1)14/36故limf1sinx3f1sinxlim8xx.xx0x0x即f13f10從,而f10.(2)(二)limf1sinx3f1sinxlimxxx(3)8.x0sinxx0sinxxsinx且limf1sinx3f1sxinf1sxinf1f1xsinf1sinxlimsixn3limsxinx0x0x0f13f4f1.lim8xx.x808.x0sinxxsinx故右(3)式可得,f12.(三)注意到fx是周期為5的連續函數,所以有f6f6xf6limf1xf1f12.limxxx0x0且f6f10所以,曲線yfx在點6,f6處的切線方程為y2x6.我們知道導數是利用函數的極限來計算的,此刻我們反其道而行之,利用導數的定義來計算函數的極限.例14.求limxsinln131sinln1xxxsinln13sinln1sinln1sinln1x1解:原式lim3.x31xxx|t1|t113.sinlntsinlnt2t.coslnt|t12.15/36例15.求limaxbx2b.ax2bx2ax0解:原式xa02a2bbx2atb2xa1x|t0lna2bbalimlimbx2x20lnaln.x0ax0abx21aatbbbb|t0bbx216/36第三章導數與微分第三節高階導數一.高階導數的見解1.定義：設函數yfx在Ux0內可導，假定極限limfx0xfx0存在，那么稱函數yfx在x0處二階可導，并稱x0x此極限〔即一階導函數在x0處的導數〕為yfx在x0處的二階導數，記為：d2y|xx0,d2f|xx0,fx0,y|xx0.dx2dx2注意：〔1〕假如導函數fx在區間I的每一點x處都可導，那么二階導數fx是區間I上的函數，稱為yfx的二階導函數，簡稱yfx的二階導數.個人采集整理勿做商業用途〔2〕相同，可定義三階導數一般地，稱yfx的n-1階導函數在x0處的導數為yfx在x0處的n階導數，表為nndnydnffx0,y|xx0,dxn|xx0,dxn|xx0;〔3〕二階以上的導數，稱為高階導數，也稱一般的導數為一階導數；原函數為零階導數；〔4〕假定sft為行程函數，那么stvtstvt；t〔5〕由高階導數的定義可知，計算函數的n階導數就是按求導法那么和導數公式逐階求下去，最后概括出n階導數的一般形式.個人采集整理勿做商業用途例1.yxn，求ynn!,yn10；例2.fxxx1x2....x99，求f0,f1000.；17/36例3.yax，求ynaxlnna.特別地，exnex；例4.ysinx，求ynsinxn(nN)；2近似，ycosx，求yncosxn(nN)；2(n)n2x例5.ye2x，求y2e；例6.fxln1x，求yn1n1n1n!；1xn例7.fxx216，求yn11......；5xx2x3注意：做題的過程中不要整理，歸并，以便于概括出一般規律.x2x1713，求713n例8.fx1yn1......x25x6x2x3x2x3注意：此法稱拆項法，請同學們試做ysin6xcos6x，求33n3yn1cos2x1cos2x53cos4x2288二．萊布尼茲公式定理：設函數ux,vx均在x處n階可導，那么uxvx也在x處n階可導，且nnkknkuxvxuk0cnxvx證明：可用數學概括法證之.證明：〔一〕n1時，左=uxvxuxvxuxvx=右，結論明顯成立；〔注意：這里ux0ux,vx0vx,ux1ux,vx1v1.〔二〕假定當n=k時命題成立，即kkikiuxvxi0kiCuxvx那么當n=k+1時，18/36uxvk1kkCkiuivkikCkiuivkixi0i0kCkiui1vkiuivki1i012.kji1k1k1此中，1Ckiui1vkiCkj1ujvkj1Cki1ujvki1；i0j1i1〔注意：這里用到了連加結果與下標的記號沒關.〕2Ckiuivki1所以，k1k1ikkiki1i1uxvx12i1Cki1uvi0Ckiuvkiki1k1k1kki1uviCki1uvuvCkiuvi1i1kkuk1vuvk1Cki1Ckiuivki1uk1vCki1uivki1uvk1i1i1k11uivk1i.Ckii0〔注意：這里用到了一個組合等式：Cki1CkiCki1.〕這樣，就證了然當n=k+1時命題也成立.所以，由數學概括法，知命題對任何自然數n成立.例9．yx2ex，求y20.例10．fxarctanx，求fn0.解：fx1fx1x2〔1〕1x2〔1〕式兩邊同時求n1階導數〕由萊布尼茲公式，得〔1x2fnxCn112xfn1xCn212fn2x0------------------〔2〕將x0代入〔2〕式，得fn0n1n2fn20fn(n2)00n1nf20-------------------------------〔3〕又f01,f002m00;f2m1m2m!故由〔3〕式遞推可得：f0119/36/2nx.(n2)例11．fx擁有隨意階導數，且fxfx，求f證明：因為f/2xfx，所以fx2fxfx2f3x，fx2.3f2x.fx2.3.f4x，概括可得：fnxn!fn1x.(n2)。我們說，最難求的仍是抽象的復合函數的高階導數.例12．yfsin2x，求y.解：yfsin2xsin2xfsin2x2sinxsinx2sinx.cosx.fsin2xsin2xfsin2x.所以ysin2xfsin2xsin2xfsin2xsin2xfsin2x2cos2xfsin2xsin2xfsin2xsin2x2cos2xfsin2xsin2xfsin2x2sinxsinx2cos2xfsin2xsin2xfsin2xsin2x注意：要給同學們講清記號fsin2x與fsin2x的差別。例13．試從dx1，推導d2xd3xdyydy2,dy3解：〔一〕注意到：1xyy所以，d22x,ddxd1d1dxy21y3.dydydydyydxydyyyy〔二〕注意到：d2xxydy220/36d3xdd2xdydydxdy3dydy2dyy3dxy3dyyy3y3y33y22ydxyyy3yyy1y6dyy6yy5.例14．設xx,是二階可導函數，選擇a,b,c使fxx,xx0,axx02c,xx0.bxx0在,內二階可導.解：〔一〕因為fx在,內二階可導，所以，fx及fx必連續.于是，1．limfxfx0limfxcx0；-------------------〔1〕xx0xx02．fx0fx0此中，fx0limfxfx0limxx0x0x0；xx0xx0xx0xx0fxfx0axx02bxx0cx0fx0limlimxx0xx0xx0xx0(1)axx02bxx0b.limxx0xx0所以，bx0.----------------------〔2〕進而，f/xx,xx0,.2axx0x0,xx0〔二〕又由fx0存在，所以，fx0fx0。此中，fx0fxfx0limxx0x0;limxx0xx0xx0xx0x0limfxfx0lim2axx0x0x02a.xx0xx0xx0xx021/36fx0limfxfx0lim2axx0x0x02a.xx0xx0xx0xx0所以，ax0.------------------------〔3〕2第三章導數與微分第四節隱函數及參數方程確立的函數求導一.隱函數求導1.何謂隱函數？：微積分研究的函數主假如用解析法表示的，而應用解析法表示的函數也有多種不一樣樣的方式.隱函數就是用解析法表示函數的另一種方式.何謂隱函數？指的是當自變量x與因變量y之間的對應法那么是由方程Fx,y0所確立的.比方：由方程5x4y10即可確立一個隱函數y15x1或x14y145.但象上述這類能將由方程確立的隱函數“用顯式表達〞的方程稱為可以顯化的xylnxy30其實不是全部的隱函數都能從方程中“顯化〞，比方：超越方程：e就不可以顯化.對于由方程Fx,y0確立的隱函數在知足何條件下的確存在、隱函數的連續性及可導性等，我們將在下冊詳盡討論。本節課我們研究這樣的問題：假定所給的方程Fx,y0的確有可導的隱函數，而方程Fx,y0又未必可以顯化，如何去求其導數.個人采集整理勿做商業用途2.隱函數的求導法其實隱函數特別簡單，只有一個技巧；兩邊同時求導.例1．求由方程tanxtanyxy所確立的函數yyx的導數解：依照復合函數求導法那么，對自變量x求導，有sec2xsec2yxy，從中解得：ysec2xy.xsec2yxyxy確立了一個隱函數，求d2y例2.設eyyxdx2解：〔一〕方程兩邊對自變量x求導，有xye1yyxyxy1yyxy------------〔1〕22/36yxy〔2〕個人采集整理勿做商業用途所以，yx---------------------------------------------xy由〔1〕式，有1yyxy1y------------------------------------〔3〕xyxy〔3〕式兩邊對x再求導，得：y1yyy2yy2xy2----------〔4〕x2y2y(y1)x2將〔2〕式代入〔4〕式，有：yy2x121x2y31注意：〔1〕欲求y，必需用到y的結果；〔2〕也可經過對〔1〕式兩邊再求導的方法獲取y；〔3〕請大家考慮以下：從上題如何求d22x？dy例3.求yx233x2的導數.1x3x解：ln|y|ln|x233x2|2ln|x|ln|1x|1ln|3x|2ln|3x|1x3x33對上式兩邊對于x求導，得：y21121y...yx1x33x33x例4。求xyx的導數。〔x0)解：ln|y|xlnx對上式兩邊對于x求導，得：ylnx1yy1lnxyxx1lnxy注意：例3、例4的解法稱為對數求導法，請大家意會以下它的合用范圍..參數方程求導在高中?平幾?中已學過曲線的參數方程表示方法，如：橢圓的參數方程是：23/36xacost,0,2，其隱函數方程為x2y21，均比直接用顯函數表示：y.，ta2b2bsintyba2x2簡單。自然，以參數方程表示為最簡.a假定要求由參數方程確立的函數yyx的導數，應如何計算？xt,,t,.，假如xt,yt在,可導，且一般地，設ty/0t，那么xt有反函數t1x，進而，y1x為x的復合函數.所以，dydydtdy1t，dxdtdxdtdxtdtd2yddydtdtdtdx2dxdxdxtdttdxttttt3例5.求擺線xatsint,在t2處的切線方程。ya1cost解：dysintdysin2，dx1cost，所以，k切dx|t121cos2x0asin2a21,又，t1時，2，y0a1cos2a.所以，切點為M0a1,a，所以，2切線方程為：ya1.xa1。2三.有關變化率24/36xt,,.，即x與y都是第三變量t的函數，所以它們的變化率dy設,tdtyt與dx間也存在必然的聯系，這兩種相互聯系的變化率稱為有關變化率.常需要從dt的一個變化率去求另一個有關變化率.個人采集整理勿做商業用途例6.溶液自水深18厘米，頂直徑12厘米的正圓錐形漏斗中漏入向來徑為10厘米的圓柱形筒中。開始時漏斗中盛滿溶液。當溶液在漏斗中深為12厘米時，其表面降落的速率為每分鐘1厘米，問：此時圓柱形筒中溶液表面上漲的速率為多少？個人采集整理勿做商業用途解：設t時辰漏斗中水深ht，液面半徑rt，筒中水深Ht.〔作圖〕那么rthtrt1ht6183設盛滿溶液時漏斗體積為v022v0h3t那么rtht5Ht2725Htv0.3上式兩邊同時對于t求導，得：h2tdh25dH0，9dtdt所以，dHh2tdh，代入dh1,dt925dtdt所以，dH122(1)0.64.(厘米/每分〕.dt325225/36第三章導數與微分第四節微分一.引例前面研究了導數fx0limy，有時，我們需要獨自計算x0xyfx0xfx0的值.明顯，它是對于x的函數。比方，設yfxx2，那么有yfx0xfx0x0x22x0x2x02x.一般說來，當fx的表達式略微復雜一點時yfx0xfx0不好求，比方，yfxsinx,ysinx0xsinx0。而在好多實詰問題中，我們對y的精準值其實不感興趣，只需能求出它的知足必然精度的近似值即可.為此，我們有一個想法：可否用對于x的函數一個較簡單的函數作為y的近似代替值？當然，必然保證這類近似計算帶來的精度.我們知道對于x的最簡單的函數莫過于線性函數yAx了.個人采集整理勿做商業用途于是，我們可以把想法提得更誘人一點：在知足必然的條件下，可否用性函數yAx近似代替yfx0xfx0？即，yfx0xfx0Ax？自然，為了保證精度，還因應有：|yAx|ox〔？〕假如可以做到，我們就稱函數yfx在點xx0處可微分.26/36下邊看一個詳盡的例子。1．引例.〔熱脹冷縮現象〕一均勻的正方形薄鐵片熱脹后其邊長由本來的x0變成x0x。試求其面積增大了多少？解：設邊長為x的正方形薄鐵片的面積為sxx2，那么所求面積的增大批即為面積函數sxx2在x0處的增量：ssx0xsx0x02x022x0x2xxAx0x注意：此引例中，s果真可表示成兩個局部之和，此中的Ax2x0x局部稱為s的線性主部；我們就稱之為函數ssx在x0處的微分，記為：ds|xx0.個人采集整理勿做商業用途明顯，在這樣的記號下，sds|xx0.有的同學這樣問：干脆把0x也忽視不更簡單嗎？這類說法有沒有道理？二.微分的見解1.定義1.假定函數yfx在x0處的增量y可表示為yfx0xfx0Ax0x，此中A是與x沒關的常數，那么稱函數yfx在x0處可微分，并稱Ax為yfx在x0處的微分，記作dy|xx0Ax，或許df|xx0Ax.注意：由微分的定義可見，當yfx在x0處可微分時且|x|很小時，有下述的近似計算公式：yfx0xfx0dy|xx0.-------------〔1〕個人采集整理勿做商業用途2.可微與可導間的關系定理1.函數yfx在x0可微函數yfx在x0可導.證明：〔必需性〕假定函數yfx在x0可微，即yfx0xfx0Ax0x，此中A是與x沒關的常數，用x除上式等號兩頭，有0xA.xx27/36于是，limyA0xA,xlimxx0x0/所以，函數yfx在x0可導，且fx0A。〔充分性〕假定函數yfx在x0可導，即limy/x0存在，xfx0依照有極限函數與無量小之間的關系，有y/x0x,(limx0).xfx0或yf/，此中Afx0,x0xxxAx0x是與x沒關的函數；oxxx是對于x高階無量小.注意：〔1〕由定理1的證明可見，當函數yfx在x0處可微分時，dy|xx0fx0x；〔2〕一元函數的可導性與可微性是等價的；〔3〕微分的幾何解說〔作圖〕：在x0的充分小的鄰域內，可用x0處的一小段切線段來近似代替x0處的一小段曲線段；〔4〕假如yfx在區間I上每一點處都可微，那么稱yfx為區間I上的可微函數，yfx在區間I上的微分記作：dyfxxyx--------〔2〕個人采集整理勿做商業用途〔5〕dy|xx0fx0x在不至于惹起混雜的情況下也可簡為記dy.例1.yx3x，計算在x02,x0.01時的y,dy.解：yfxxfxx3xxx3x，x2x3x3x21x3xx2x33x2x3xxdyfxx3x21x.所以，y|xx2116230.110601;dy|xx2110.11.28/36注意：此例中，假定用dyy，那么由此產生的絕對偏差是e|ydy|0.000601;相對偏差是e0.06010.x例2．yx，求dy解：dyyxx.注意：〔1〕由例2可見，自變量的微分dx等于自變量的增量，即dxx。〔之所以這樣，是因為yx自己就是線性函數。〕〔2〕故dyydx.〔3〕由上式，兩邊同除以dx由可獲取：ydy，所以導數就是微分之商，dx所以，前蘇聯的微積分教材中就稱導數為“微商〞。在前面我們重申dy作dx為導數的整體記號，此中的dy與dx不可以打開，那是因為當時還沒有講過微分的見解，不知打開后的記號dy及是dx什么含義.此刻可以明確告訴大家：導數記號dy中的dy與dx可以依照我們的興趣隨時打開，而且這其實dx也正是計算函數導數的一種常用方法.一會兒舉一個這方面的例子.個人采集整理勿做商業用途〔4〕此后，在計算函數的微分時，為雅觀起見，建議大家用dyydx來表示.三．微分的運算法那么定理2.設函數ux,vx在x處均可微，那么〔1〕duxvxduxdvx；〔2〕duxvxvxduxuxdvx；uxvxduxuxdvx〔3〕dx2.vvx推論：dcuxcdux。證明：僅證明〔4〕uxuxdxuxvxuxvxdxvxduxuxdvxdvxv2v2vxxx29/36例3．求yxsinx的微分解一：dyydxxsinxdxsinxxcosxdx解二：dydxsinxsinxdxxdcosxsinxcosxdxsinxxcosxdx.定理3.〔復合函數的微分法那么〕設有yfu,ux都可微，那么dydfxfu.〔d其u中dudxxdx〕------------〔2〕注意：假如yfu但是一個一般的函數，u是自變量，那么dyfudu---〔3〕與〔2〕式相同。也就是說：不論yfu是一般函數，仍是復合函數，/都有dyfudu。這個性質稱為一階微分形式的不變性.個人采集整理勿做商業用途例4.求ysinx2的微分解一：ysinu,ux2.dycosx2dx2cosx22xdx解二：ycosx2x22xcosx2，dy2xcosx2dx.例5.求由方程x22xyy22x0所確立的隱函數的導數dy.dx解一：對方程兩邊取微分：2xdx2ydx2xdy2ydy2dx0xy1dxyxdydyxy1。dxyx解二：對方程兩邊求導：2x2y2xy2yy20yxy1。yx例6求xlnt1所確立的dy.yarctantdx解：111t2dt,dxdln1t1tdtdydarctantdydy1tdtdxdx1t2.dt30/36四.高階微分1.定義2.假如函數yfx的微分dyfxdx在x處仍可微，那么稱dyfxdx的微分為yfx的二階微分，表為：d2yddydydxdydx22ydxdxydxydxd2yydx2(4)注意：〔1〕由〔4〕式兩邊同時除以dx2，得：yd2y，這正是二階微分記號yd2y的由來。dx2dx2〔2〕請大家注意dx2,d2x,dx2dx2的差別.〔3〕完滿近似，可定義n(2)階微分：dnyddn1ynyndxn.------------〔5〕yndx注意：風趣的是，由〔5〕式，兩邊同除以dxn，可得：ndnyfx的