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文檔簡介
第六章數值微分和數值積分第六章數值積分和數值微分本章內容§1數值積分§2
數值微分4§1
數值積分§1
數值積分§1
數值積分110
0nn問題的提出被積函數的原函數不能用初等函數表示；被積函數的原函數過于復雜；原函數以表格形式給出；基本思想：用簡單函數近似代替被積函數，然后建立如下求積公式baf
(
x)dx
A f
(
x
)
A f
(
x
)
A f
(
x
)n
Ai
f
(
xi
)i0§1
數值積分
A f
(
x
)
A f
(
x
)
A f
(
x
)f
(
x)dxn
0
0
1
1
n
nba
Ai
f
(
xi
)i0可以從以下不同角度建立求積公式求積公式具有最高的代數精確度；求積公式的余式具有最小的絕對值；求積公式的系數絕對值之和為最??；系數相等以便于計算f(x)a
x1……xn-1
bf(xn-1)1.1
對稱的求積公式牛頓——柯特斯求積公式復化求積公式龍貝格法用差分表達的求積公式切
求積公式高斯求積公式重積分的求積公式§
1
數值積分7nf(x)
P
(x)anbaP
(
x)dxf
(
x)dx
1.2牛頓——柯特斯求積公式bI
banbanL
(
x)dx
(i
0ai
(
x)
f
(
xi
))dx
bain
ia
(
x)dx)
f
(
x
)(i
0baai
(
x)dx)
f
(
xi
)n
(i
0Ci:只與節點有關，與被積函數的形式無關(n
1)!Rn
(
x)
n(
x
x
j
)j0f
(n1)
(
)1b
fn
1)(!
ann1()
x
j0nR
等距情況下的xi=a+ih,h=(b-a)/nnI
ci
f
(xi
)稱為牛頓—柯特斯求積公式i0§1數值積分8根據等距節點下的拉格朗日插值公式ci
ant)id)t.xi.t!(
in)!ib
(1)(in)x=a+thin)(hnci
0
.1)...(1(!(
in)!i(1)1))(...(1(h=(b-a)/nci
n01)...(1(
ttttinti)d).tab(1)
()ni!(
inin)!Ci(n)牛頓—柯特斯(Newton-Cotes)系數§1數值積分
1.2牛頓——柯特斯求積公式910ni
ii
0ni
ii
0I
c f
(
x
)
(b
a)c
(n)f
(x
)
n階Newton-Cotes公式Ck=Cn-k柯特斯系數具有對稱性§1數值積分nCk(n)11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9016/452/1516/457/90519/28825/9625/14425/14425/9619/288641/8409/359/28034/1059/2809/3541/84077513577132317280298917280298917280132335777511728017280172801728017280898928350588828350
928283501049628350
4540283501049628350
92828350588898928350283501.2牛頓——柯特斯求積公式返回計算i
iI
i
0c f
(
x
)§1數值積分nni
0
(b
a)i(
n)if
(
x
)cf
(
x)dx
babaCdxn
ii
0c
(
n)C
(b
a)(b
a)Cni
0
(b
a)iC(
n)cni(
n)c
1ni
0
(b
a)ei|
|
f
(
x
)
|)ii
0(
n)(|
cn
ii
0(
n)|
c
|
1>11.2牛頓——柯特斯求積公式取f(x)=C系數表11當n=1時，C
(1)
=C
(1)
=1/20b物理意義：以過點(a,f(a)),(b,f(b))的直線代替曲線y=f(x),以梯形面積近似曲邊梯形面積。又稱為梯形公式。當n=2時物理意義：以過三點(a,f(a)),((a+b)/2,f((a+b)/2)),(b,f(b))的拋物線代替曲線y=f(x),求曲邊梯形面積的近似值。又稱為辛普生公式（Simpson）。§1數值積分1.2牛頓——柯特斯求積公式(
f
(a)
f
(b))2ab
a1f
(
x)dx
3
212
h
(
f
(a)
4
f
(a
b)
f
(b))6
2(
f
(a)
4
f
( )
f
(b))f
(
x)dx
b
a a
bba例6.1:用n=6牛頓—柯特斯公式計算下列定積分值110
1
xdx解：h=(b-a)/n=(1-0)/6=1/6ni
0I
(b
a)xi=0+i/6i(
n)if
(
x
)c840
1
01I
41
9
28021051
11
9
1
34
11
1
1
135193
6961
1
280
2
351341
15
840
1
1=0.04881+0.22041+0.02411+0.21587+0.01929+0.14026+0.02440=0.69315§1數值積分
1.2牛頓——柯特斯求積公式系數表131.1
對稱的求積公式牛頓——柯特斯求積公式復化求積公式龍貝格法用差分表達的求積公式切
求積公式高斯求積公式重積分的求積公式§
1
數值積分14M個小段hh=(b-a)/Mba
n小段(m=M/n)個大段§1數值積分n1.3復化求積公式ni
ii
0(
n)(|
c
|
|
f
(
x
)
|)
(b
a)e
i
ii
0I
c f
(
x
)ni
0
(b
a)i(
n)if
(
x
)cni
0i(
n)|
c
|
115>112230
110h(
f
f
)
h
f
''(
)xf
(
x)dx
a
f
)
...
h
(
f
f
)
R2
2
f
)
h
(
f2b
hf
(
x)dx
(
f2
M
1
M0
1
11
1I
h(
f
f
f
f
f
)2
0
1
2
M
1
2
M§1
數值積分1.復化梯形公式x12Mh3R
f
''(
)
f
''(
)
(b
a)h212(b
a)3f
''(
)12M
2(b
a)31.3復化求積公式復化梯形公式f
''(
)
(b
a)312M2m2
212M
12
M
m
(b
a)312max
|
f
''(
x)
|
m2a
xb復化梯形公式
)90h3f
(4)51
20f
f
f
)4(
h2公式xf
x)d(
x
§1
數值積分2.復化x0M
4
f
f
)
(
f
4
f
f
)
...
(
f
4
f
f
)]
Rba3f
(
x)dx
[(
fM
1012
2
3
4
M
2M個小段ba
n小段hM
=2m1.3復化求積公式復化公式復化公式：f0+4f1+f2f2+4f3+f4f4+4f5+f6f6+4f7+f8
...
f3M
2
...
f
)]2)
2(
f4M
113)
4(
f
f0I
h[(
f
f
fM172(
)
90(4)h5MR
fMh=(b-a)f
(4)
(
)180(b
a)h4R
h=(b-a)/2mf
(
4)
(
)(b
a)54
4180
2
mR
)(
b
a)(52880m4f
(4)(b
a)54m
2880m42880(b
a)5
mm
[4
4
]
1§1
數值積分1.3復化求積公式復化公式18§1
數值積分例6.2
對定積分610sin
xxdx,R
10
分別用復化梯形公式或復化辛卜生公式計算時，需要f
(
x)
sin解：先確定m2,m4,10f
'(
x)
t
sin
txdtf
''(
x)
1t
cos(tx
)dt(
k
)f
(
x)
(
x)
|kk01t
|
cos(tx
0|
f
()k2k2k1)|
dt
k
1m2
,
m4<1/5m2
]
1(b
a)312復化梯形公式M
[復化辛卜生公式1
1]
112*106
3M
[=167M=2m=62880(b
a)5
mm
[4
4
]
1可見，為達到相同精度，復化梯形公式需要的計算量比復化辛卜生公式計算量大1.3復化求積公式 復化 公式19M個小段abn=3小段M
=3mf
(
x3x0xf
(
x20ba§
數值積分.3復化求積公式復化3/8公式
3(
f1
f2
...
f
M
23hI
[(
f
f
)
2(
f
f
...
f
)8
0
M
3
6
M
3f0
3
f1
3
f2
f3f3
3
f4
3
f5
f6f6
3
f7
3
f8
f9f9
3
f10
3
f11
f12(4)3h5R
mf
(
)80m=M/380
33h5
M(4)f
(
)R
Mh=b-a80(4)(b
a)h4R
f
(
)h=(b-a)/Mf
(4)
(
)2180M
45
f
M
1
)]R
(b
a)§1數值積分
1.3復化求積公式復化3/8公式復化3/8公式：M個小段abn=4小段M
=4m4h
90f
(
x)dx
4x0x900ab
4hf(
x)dx
[(7
f
(7
f4復化柯特斯公式：4h022*M/4§1
數值積分1.3復化求積公式復化柯特斯公式例:利用M=10復化辛卜生公式計算積分并估算誤差1
xI
10dx解：M=10，m=5，h=(b-a)/M=(1-0)/10=0.1)]3M
240
M
1
3
M
1
2I
h[(
f
f
)
4(
f
f
...
f
)
2(
fI
0.1[(
11
0
1
1
1
)
4(1
1
1)
f
...
f1
11
0.1
1
0.3
1
0.5
1
0.7 1
0.9
11
0.23
2(1
1
1231
0.4
1
0.6 1
0.8
)]=0.03333*[(1+0.5)+4(0.90909+0.76923+0.66667+0.58824+0.52632)+2(0.83333+0.71429+0.62500+0.55556)]=0.03333*20.79456=0.69308估計舍入誤差，fi的舍入誤差i0.5*10-5.中括號內的舍入誤差(0+10)+4(1+3+5+7+9)+2(2+4+6+8)≤(4
5+2
3)
0.5
10-5=1.3
10-6=0.033331.310-6+20.794560.5*10-5=0.4310-5+0.110-3
=0.110-3§1
數值積分
1.3復化求積公式例6.3
利用M=10復化辛卜生公式計算積分并估算誤差0
1
x1I
dx
(1
x)5f
(4)
(x)
24估計截斷誤差max
|
f(4)
(
x)
|
240
x1(
)
|180(b
a)h4|
R
||
f(4)424
(1
0)
0.14
24
0.13
10180§1
數值積分
1.3復化求積公式=1.3*10-5+
0.1*10-3=0.5*10-3I0.693值及積分值仍有效25ab2b
aT1
[
f
(a)
f
(b)]§1
數值積分
1.3復化求積公式使用復化求積公式，當需要加密分點時，已算出的函數42T
b
a
[
f
(a)
f
(a
b
a
)
f
(a
b
a
)
f
(b)]abb
a2a
2
222
2
b
a
f
(a
b
a
)1ba[f(a)f(b)]2T14a
h
b
a
b48
4
24f
(a
3(b
a))]}T
b
a{
f
(a)
f
(b)
2[
f
(a
b
a)
f
(a
b
a)
2
4
2
2
1
{b
a
[
f
(a)
f
(b)]
b
a
f
(a
b
a
)}
b
a
[
f
(a
b
a
)
f
(a
3(b
a))]4
4
4T2當區間[a,b]分為2k等分，步長h=(b-a)/2k,復化梯形遞推公式為12k
1i1
h
f
[a
(2i
1)h]T
k
T
k
12
2
2確定滿足誤差限要求的分段數M根據余式作估算事后估計誤差法TMT2MI
baf
(
x)dxf
''(
1
)12(b
a)h2I
TM
12
222(
)
f
''(
)
(b
a)
h2
MI
T
M
4I
T2MI
T1I
T2
M
3
(T2M
M
)§1
數值積分
1.3復化求積公式261
(S2M
SM
)15I
S2
M§1
數值積分同樣復化辛卜生公式有復化柯特斯公式有1
(C2
M
CM
)63I
C2
MMTI
4
14
12
MT
4
1
1
SM14242
1
S2
MI
42
1
CM27
1
C2
M14343I
431.3復化求積公式1.1
對稱的求積公式牛頓——柯特斯求積公式復化求積公式龍貝格法用差分表達的求積公式切
求積公式高斯求積公式重積分的求積公式§
1
數值積分2832
M2
MI
T
1
(T
)M1214T
124
1
4
1
3T
4
T
1
T2
2)
f(b)]3b
a
1[
f(a)
f(a
4
b
a
1
1
b
a
[
f
(a)
f(b)]f
(b)}1332f
(a
342
33
2)
f
(b)]
1
f
(a)
3b
a
2{[
f
(a)
3
2
2
b
a
242
3
3
2
3b
a
1[
f
(a)
f
(a
)
f
(b)]
b
a
1辛卜生公式I
b
a
(
f
(a)
4
f
(a
b)
f
(b))6
2=S1§1
數值積分291.4龍貝格法12114T
T4
1
4
1S
S2
4
1
T4
4
1
T2142kT2kT
2k
1S
4
114
14復化梯形遞推公式構成的序列T1
T2
T4…4242C1
=
421
1
S2
1
S1
1
S2k142C
k
2
42
42
1
S2k
1kkC24322
4343
11
1R
Ck
1辛卜生序列S1
S2
S4…龍貝格序列R1
R2R4…柯特斯序列C1
C2
C4…龍貝格求積法1301
1
255
0.004(m
4)4m§1
數值積分1.4龍貝格法T1T2S1T4S2C1T8S4C2R1T16S8C4R2…………R
k2C
k2S
k2T
k2§1
數值積分311.4龍貝格法3210
1
x
2例6.4求I
4
dx 的近似值，要求穩定到小數后5位解：41
x
2f
(
x)
211T
[
f
(0)
f
(1)]1
42 1
0
[122
1T
1
[T
f
(
)]214]
1
[321
4
1
[3
214T
T3
3S
2 1
4
3.1
32
4
4
44
2T
1
T
1
[
f
(
1
)
f
(
3
)]=3.13118221k
1k
hT
T2S
4T
T22=3.156S2
S11C=3.14212C2=3.141598T
=3.13899S4=3.14159§1
數值積分
1.4龍貝格法331.1
對稱的求積公式牛頓——柯特斯求積公式復化求積公式龍貝格法用差分表達的求積公式切
求積公式高斯求積公式重積分的求積公式§
1
數值積分34f
(t)dt
ni
ii
011c
f
(t
)§1數值積分
1.7
高斯求積公式如果一個求積公式對任意n次多項式精確成立，而對大于n的多項式不精確成立，稱該求積公式具有n次代數精確度。高斯求積公式的方法原則是使求積公式對次數盡可能高的多項式精確成立。
n
(t)i1n1'n
(ti
)(t
ti
)nL
(t)
iy(t–t1)…(t–tn)(t)
nn
(t
))dt
1111y
]dt)[f
(t
)ni
1
ii11dt
]
y)n
(t
)n
[i
1ci§1數值積分1.7式增加m個新節點,tn+1
n+2t
…tn+mmnyi
ai
yiin1(2)i1(1)Lmn1
(t)
ai(1)i
in
iinmn1
n2ti
tnm
))(t
tt
t
)))(t
tt
)( (t
t('t
)(t
t
)
(t
ta
t
)(
n
ttni1t
t1n1
i
n2t
ti
(1)t
i
tn2t
i
tn1t
i
tnm1)...(
t
ti
)]t
ti[(1
'n
(ti
)(t
ti
)
n
(t)'(
ttt)(
)
n
()t210i
)(m..]iiktktttkttm1
01m1iini[()k(k..t.k)]ttt)
'()
t
n
()t
n
()t'
ttt)(
m-1m1Q
(t)35)).(2)i
n1n
i
ni(t
t
t
)()t(i
tn
)...(ti
ti
1
)(ti
ta t
)(f
(t
)dt
1111(t
)dtLn
m
1
n
(t
)nmi
n1i
1iii(t
)dt
]y(t
)dt
]y11
n
m
1~11
n
m
1ndt
]y
[i
1(t
)Q11n
[[(t
)Q)'Qm-1(t)§1
數值積分1.7
高斯求積公式t
)((t tn1
)(t
tn2
)...(t
tndnnn
n!2dt
nt
2取
()tp
1)(作為1，并取m=n。n
(t
)勒讓德多項式36§1數值積分勒讓德多項式性質：–(1)勒讓德多項式是[-1,1]區間上的正交函數組，即371
0,(m
n),(m
n)22n
11Pn
(t
)Pm
(t
)dt–(2)對一切k<n，有Pn
(t
)Qk
(t
)dt
011–(3)
n次勒讓德多項式有n個不同的零點。Pn
(t)
(t
t1
)(t
t2
)...(t
tn
)1.7
高斯求積公式1Lnm1
(t
)dt1
11f
(t
)dt
n
m
1
n
m
1nmi
n1i
1iii(t
)dt
]y(t
)dt
]y(t
)Q11~(t
)Q11ndt
]y
[i
111
n
(t
)n
[§1數值積分
1.7
高斯求積公式令m=n,取n次勒讓德多項式的n個零點t1
,t2,…,tn作為插值節點[)'21n1tLdt
ft()
dt
ni
1in'(
)(
tPtt)if
(2n)
(
)n
()tPdt
]
y11111([)高斯求積公式Rn
112f
(
2n)
(
)P
n
(t
)dt
2(2n)!2n
1[(2n)!]3(n!)42n138baf
(
x)dxx
2
2
ta
b
b
a-1tab0
1a
b2xf
(a
b
b
a
t
)dt2
2211b
a11f
(t)dt
ni
ii1
yb
af
(
x)dx
ni
ii1ba
f
(
x
)2ii其中x
a
b
b
a
t2
22n
139f
(2n)
(
)[(2n)!]3(n!)42n1Rn
(b
a)§1數值積分1.7
高斯求積公式例6.10
利用高斯求積公式(n=3)求下列積分1
2
xdx10I
解：按照公式iix
2
2
ta
b b
a求解以下節點值0
1x
1
1
t
1
1
*
(0.77460)
0.112702
2
2
22
2
2
21
1
1
1
*
0
0.50000
t2
x1
2
2
2
233x
1
1
t
1
1
*
0.77460
0.887301
1f
(
x
)
1
2x
1.10698f
(
x2
)
1
2x2
1.414213
3f
(
x
)
1
2
x
1.66571240I
1
0
(0.55556*
1.10698+0.88889*1.41421+0.55556*1.66571)=1.39870§1
數值積分
1.7
高斯求積公式1§1數值積分2
2
2
2
2
21
1
3
5
7
911f
(6)
(
x)
(
)(
)(
)(
)(
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