§9.3直線與平面垂直、平面與平面垂直(A、B)編輯ppt

考點探究·挑戰高考考向瞭望·把脈高考9.3直線與平面垂直、平面與平面垂直(A、B)雙基研習·面對高考編輯ppt雙基研習·面對高考基礎梳理1．直線和平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果一條直線和一個平面內的任何一條直線都垂直，那么就稱這條直線和這個平面垂直，直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的______．垂面編輯ppt(2)判定定理和性質定理編輯ppt(3)三垂線定理及其逆定理①三垂線定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的_____垂直，那么它也和這條斜線垂直．②三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條______垂直，那以它也和這條斜線的射影垂直．射影斜線編輯ppt2．平面和平面垂直(1)兩個平面互相垂直的定義兩個平面相交，如果所成的二面角是_________，就說這兩個平面互相垂直．(2)兩個平面垂直的判定與性質直二面角編輯ppt1．一條直線垂直于平面內的無數條直線，這條直線與這個平面垂直嗎？提示：不一定，可能平行(如圖①)，可能在平面內(如圖②)，也可能斜交(如圖③)，也可能垂直．2．垂直于同一個平面的兩個平面有什么關系？提示：平行或相交．編輯ppt1．下列說法中，正確的是(

)A．若線段相等，則它們的射影相等B．若射影相等，則斜線也相等C．在平面的垂線段和斜線段中，垂線段最短D．線段的長不小于它在平面內的射影長答案：D課前熱身編輯ppt2．平面α⊥β，α∩β＝l，點P∈α，點Q∈l，那么PQ⊥l是PQ⊥β的(

)A．充分不必要條件B．必要但不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：C編輯ppt3．設a、b是兩條直線，α、β是兩個平面，則a⊥b的一個充分條件是(

)A．a⊥α，b∥β，α⊥β

B．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a?α，b⊥β，α∥β

D．a?α，b∥β，α⊥β答案：C編輯ppt4．P為△ABC所在平面外一點，且PA、PB、PC兩兩垂直，則下列命題：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正確的個數是________．答案：35．(教材例5改編)在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一個動點，則PM的最小值為________．編輯ppt考點探究·挑戰高考考點突破考點一有關平面上的射影問題線面垂直是構成射影的必要條件，應正確認識直線在平面上射影可以是點、線，而平面在平面上射影可以是線、面．注意射影定理和幾何特征．編輯ppt棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，若E、G分別為C1D1、BB1的中點，F是正方形ADD1A1的中心，則空間四邊形BGEF在正方體的六個面內射影的面積的最大值為________．【思路分析】分別找出四邊形BGEF在各個面上的射影形狀，求其面積．例1編輯ppt編輯ppt【領悟歸納】

作圖形在某面上的射影就是作圖形的邊界點在平面上的射影．編輯ppt線面垂直的判定方法主要是利用判定定理，利用線面垂直的性質可以證明兩線垂直和兩線平行，參考教材例2及練習第2題．如圖所示，直角△ABC所在平面外一點S，且SA＝SB＝SC，斜邊AC的中點為D.(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若直角邊BA＝BC，求證：BD⊥平面SAC.考點二直線與平面垂直的判定與性質例2編輯ppt【思路分析】

由等腰三角形底邊上的中線得到線線垂直，再利用線面垂直的判定定理從而得到線面垂直．編輯ppt【證明】

(1)在等腰△SAC中，D為AC的中點，∴SD⊥AC，如圖所示，取AB中點E，連結DE、SE，∵ED∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又SE⊥AB，SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SED.∴AB⊥SD，∴SD⊥平面ABC(AB、AC是面ABC內兩相交直線)．編輯ppt(2)∵BA＝BC，∴BD⊥AC，又∵SD⊥平面ABC，∴SD⊥BD，∵SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.編輯ppt【思維總結】本題中反復抓住“線面垂直”與“線線垂直”的轉化，借助等腰三角形最基本的性質找垂直關系．互動探究1

在(2)中，AC⊥平面SDB嗎？解：由(1)知SD⊥平面ABC?SD⊥AC，由(2)知BD⊥平面SAC?BD⊥AC，又SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SDB.編輯ppt利用判定定理證明面面垂直時，關鍵在該面內找到與另一平面垂直的直線．考點三有關面面垂直的判定和性質例3編輯ppt【思路分析】

通過EF∥CD?EF⊥面ABC.編輯ppt【思維總結】本題是借用平行關系進行垂直轉化．互動探究2在本例中當λ為何值時，平面BEF⊥平面ACD.編輯ppt編輯ppt三垂線定理是證明線線垂直的主要方法．首先須有線面垂直(面的垂線)，才能有射影，為了找面的垂線，又須用面面垂直的性質，即有以下關系：考點四三垂線定理、逆定理及空間垂直編輯ppt如圖所示，△ADB和△ADC都是以D為直角頂點的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.(1)求證：BD⊥平面ADC；(2)若H為△ABC的垂心．求證：H是D在平面ABC內的射影．例4編輯ppt【思路分析】

(1)“射影”與“垂直”相連，“證線面垂直，先找線線垂直”；(2)“垂心”是“高線”的交點，線線垂直，由此根據三垂線定理去找．編輯ppt【證明】

(1)∵AD＝BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴△ABD≌△ACD，AB＝AC.又∠BAC＝60°，∴△ABC為正三角形，∴AB＝BC.∴△ABD≌△BCD，∴△BDC為直角三角形，∠BDC＝90°，BD⊥CD.又BD⊥AD，AD∩CD＝D，∴BD⊥平面ADC.編輯ppt(2)如圖所示，設D在△ABC內的射影為H′，連結CH′并延長交AB于E，∵CD⊥AD，且CD⊥DB，∴CD⊥平面ADB，∴CD⊥AB，由三垂線定理得CE⊥AB.同理，連BH′并延長交AC于F，得BF⊥AC.∴H′為△ABC的垂心，即D在平面ABC內射影為△ABC的垂心，∵H為△ABC的垂心，∴H′與H重合，得證．編輯ppt【思維總結】三垂線定理及逆定理可合起來表述為，設l是平面α的一條斜線，l′是l在α內的射影，m是α內的一條直線，則有m⊥l′?m⊥l.編輯ppt方法技巧1．細化空間垂直的判定(1)利用線面垂直的定義：證一條直線垂直于平面內任意一條直線，這時直線垂直于該平面．即a與α內任意一條直線垂直?a⊥α.(2)利用線面垂直的判定定理：證一直線與平面內兩相交直線都垂直，這條直線與平面垂直．即m，n?α，m∩n＝A，l⊥m，l⊥n?l⊥α.方法感悟編輯ppt(3)利用線面垂直的性質：兩平行線之一垂直于平面，則另一條也必垂直于這個平面．即a∥b，a⊥α?b⊥α.(4)利用面面垂直的性質定理：兩平面垂直，在一個面內垂直于交線的直線必垂直于另一平面．即α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.(5)利用面面平行的性質：一直線垂直于兩平行平面之一，則必垂直于另一平面．即a⊥α，α∥β?a⊥β.編輯ppt(6)利用面面垂直性質：兩相交平面同時垂直于第三個平面，那么兩平面交線垂直于第三個平面．即α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ.2．面面垂直的判定方法(1)利用面面垂直的定義，即證明兩平面所成的二面角為直角．(2)利用兩個平面垂直的判定定理，證明一個平面過另一個平面的一條垂線．(3)若a∥α，a⊥β，則α⊥β.(4)若α∥β，β⊥γ，則α⊥γ.(5)若α∥α1，β∥β1，α⊥β，則α1⊥β1.編輯ppt3．關于三垂線定理及其逆定理(1)三垂線定理及其逆定理所論述的是三個垂直關系：一是直線與平面垂直；二是平面內一條直線與斜線的射影(或斜線)垂直；三是這條直線與斜線(或射影)垂直．構成定理的五個元素是“一面四線”．運用三垂線定理及其逆定理的步驟是：確定平面→作出垂線→找到斜線→連成射影→找面內線，其關鍵是確定平面及平面的垂線．編輯ppt(2)三垂線定理及其逆定理主要用于：①立體幾何的證明問題．如線線垂直，線面垂直，面面垂直．②二面角問題，主要是作二面角的平面角．③立體幾何的計算問題．如求空間一點到平面內某一直線的距離，求兩平行直線間的距離，求兩條異面直線所成的角等．編輯ppt1．依據直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直的關鍵在于尋找直線與平面內的兩條相交直線垂直．如例2.2．在應用三垂線定理及其逆定理時，首先應尋找線面垂直的條件，然后再確定線線垂直關系．失誤防范編輯ppt考向瞭望·把脈高考考情分析從近兩年的高考試題來看，考查的內容有：(1)垂直關系的判斷和證明；(2)以垂直關系為載體去解決空間角和距離的計算或證明．一般以選擇題和解答題的形式出現，其中解答題出現的頻率比較高且難度中等偏上．著重考查直線與平面、平面與平面垂直關系的判定和性質以及直線與平面、平面與平面垂直關系的相互轉化，同時注意三垂線定理及其逆定理的應用和垂直關系的拓展和延伸．編輯ppt2010年的高考中，各省市考的立體幾何都涉及到了空間垂直關系，尤其是涉及到線面角的計算時，無不用到空間垂直關系的轉化，如大綱全國卷Ⅰ理第7題，重慶文第20題等．預測2012年高考仍將以選擇題和解答題的形式重點考查線面垂直和面面垂直的判定和性質的理解和靈活運用，特別是垂直關系的證明及利用垂直關系去解決空間角和距離的求解問題．編輯ppt規范解答例編輯ppt【解】

(1)證明：如圖，由PA⊥底面ABCD得PA⊥AB.又PA＝AB，故△PAB為等腰直角三角形．而點E是棱PB的中點，所以AE⊥PB.由題意知BC⊥AB，又AB是PB在平面ABCD內的射影，由三垂線定理得BC⊥PB，從而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE.又因為AE⊥PB，PB∩BC＝B，所