章末復(fù)習(xí)課課時(shí)目標(biāo)1.掌握向量線性運(yùn)算及其幾何意義.2.理解共線向量的含義、幾何表示及坐標(biāo)表示的條件.3.掌握數(shù)量積的含義、坐標(biāo)形式及其應(yīng)用．知識(shí)結(jié)構(gòu)一、選擇題1．若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，則(a·b)(a＋b)等于()A．20B．(－10,30)C．54D．(－8,24)2．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b與a垂直，則λ等于()A．－1B．1C．－2D3．已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊的中點(diǎn)，且2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，那么()A.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))B.eq\o(AO,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))C.eq\o(AO,\s\up6(→))＝3eq\o(OD,\s\up6(→))D．2eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))4．在平行四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－3,2)，則eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A．－3B．－2C．2D5．若向量a與b不共線，a·b≠0，且c＝a－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a·a,a·b)))b，則向量a與c的夾角為()A．0B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)6．在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝1，點(diǎn)P在AM上且滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PM,\s\up6(→))，則eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))等于()A.eq\f(4,9)B.eq\f(4,3)C．－eq\f(4,3)D．－eq\f(4,9)題號(hào)123456答案二、填空題7．過點(diǎn)A(2,3)且垂直于向量a＝(2,1)的直線方程是____________．8．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為60°，則b在a上的投影是______．9．設(shè)向量a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量λa＋b與向量c＝(－4，－7)共線，則λ＝________.10．已知平面向量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，則|2α＋β|的值是________．三、解答題11．已知A(1，－2)、B(2,1)、C(3,2)和D(－2,3)，以eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))為一組基底來表示eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)).12．設(shè)a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，t∈R.(1)若a與b起點(diǎn)相同，t為何值時(shí)a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)三向量的終點(diǎn)在一直線上？(2)若|a|＝|b|且a與b夾角為60°，那么t為何值時(shí)，|a－tb|的值最??？能力提升13．已知點(diǎn)O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且eq\o(OA,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\o(OB,\s\up6(→))2＋eq\o(CA,\s\up6(→))2＝eq\o(OC,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2，則O一定是△ABC的()A．外心B．內(nèi)心C．垂心D．重心14.如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→))、eq\o(OC,\s\up6(→))，其中eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為120°，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))的夾角為30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，求實(shí)數(shù)λ、μ的值．1．由于向量有幾何法和坐標(biāo)法兩種表示方法，它的運(yùn)算也因?yàn)檫@兩種不同的表示方法而有兩種方式，因此向量問題的解決，理論上講總共有兩個(gè)途徑即基于幾何表示的幾何法和基于坐標(biāo)表示的代數(shù)法，在具體做題時(shí)要善于從不同的角度考慮問題．2．向量是一個(gè)有“形”的幾何量，因此，在研究向量的有關(guān)問題時(shí)，一定要結(jié)合圖形進(jìn)行分析判斷求解，這是研究平面向量最重要的方法與技巧．章末復(fù)習(xí)課答案作業(yè)設(shè)計(jì)1．B[a·b＝－3＋8＝5，a＋b＝(－2,6)，∴(a·b)(a＋b)＝5×(－2,6)＝(－10,30)．故選B.]2．A[(λa＋b)·a＝0，∴λa2＋a·b＝0.∴10λ＋10＝0，∴λ＝－1.故選A.]3．A[由題意D是BC邊的中點(diǎn)，所以有eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))，所以2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OD,\s\up6(→))＝2(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＝0?eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝0?eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→)).]4．D[eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3,2)，解得eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1,2)，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,2)·(1,2)＝3.故選D.]5．D[∵a·c＝a·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a·a,a·b)))b))＝a·a－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a·a,a·b)))·(a·b)＝0，∴〈a，c〉＝eq\f(π,2).]6．A[易知P為△ABC的重心，則eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝－eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))，故eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\o(AP,\s\up6(→))2＝eq\f(4,9)，故選A.]7．2x＋y－7＝0解析設(shè)直線上任一點(diǎn)P(x，y)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－2，y－3)．由eq\o(AP,\s\up6(→))·a＝2(x－2)＋(y－3)＝0，得2x＋y－7＝0.8．1解析b在a上的投影為|b|cosθ＝2×cos60°＝1.9．2解析λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)與c＝(－4，－7)共線，∴(λ＋2)(－7)－(2λ＋3)(－4)＝0，得λ＝2.10.eq\r(10)解析由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝0，∴α2－2α·β＝0.又∵|α|＝1，∴α·β＝eq\f(1,2).又∵|β|＝2，∴|2α＋β|＝eq\r(2α＋β2)＝eq\r(4α2＋4α·β＋β2)＝eq\r(4＋4×\f(1,2)＋4)＝eq\r(10).11．解∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－3,5)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－4,2)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－5,1)，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．根據(jù)平面向量基本定理，必存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)m，n使得eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))，∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－12＝m＋2n，,8＝3m＋4n.))，得m＝32，n＝－22.∴eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝32eq\o(AB,\s\up6(→))－22eq\o(AC,\s\up6(→)).12．解(1)設(shè)a－tb＝m[a－eq\f(1,3)(a＋b)]，m∈R，化簡得(eq\f(2,3)m－1)a＝(eq\f(m,3)－t)b，∵a與b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)m－1＝0,\f(m,3)－t＝0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,2)，,t＝\f(1,2).))∴t＝eq\f(1,2)時(shí)，a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)的終點(diǎn)在一直線上．(2)|a－tb|2＝(a－tb)2＝|a|2＋t2|b|2－2t|a||b|cos60°＝(1＋t2－t)|a|2.∴當(dāng)t＝eq\f(1,2)時(shí)，|a－tb|有最小值eq\f(\r(3),2)|a|.13．C[由eq\o(OA,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\o(OB,\s\up6(→))2＋eq\o(CA,\s\up6(→))2，得eq\o(OA,\s\up6(→))2＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))2＝eq\o(OB,\s\up6(→))2＋(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))2，得eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→)).∴eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，O在邊AB的高線上．同理O在邊AC的高線上，即O為△ABC的垂心．故選C.]14．解方法一過點(diǎn)C分別作平行于OB的直線CE交直線OA于點(diǎn)E，平行于OA的直線CF交直線OB于點(diǎn)F.如圖所示．在Rt△OCE中，|eq\o(OE,\s\up6(→))|＝eq\f(|\o(OC,\s\up6(→))|,cos30°)＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4；|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|·tan30°＝2eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)＝2，由平行四邊形法則知，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→))＝4eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))，∴λ＝4，μ＝2.方法二如圖所示，以eq\o(OA,\s\up6(→))所在直線為x軸，過O垂直于OA的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系．設(shè)B點(diǎn)在x軸的射影為B′，C點(diǎn)在x軸的射影為C′.易知，OC′＝2eq\r(3)cos30°＝3，CC′＝OCsin30°＝eq\r(3)，BB′＝OBsin60°＝eq\f(\r(3),2)，OB′＝OBcos60°＝eq\f(1,2)，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，B點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc