第二節索洛增長模型變量定義：Y：總產出；K：總資本，L:勞動力總量，A：技術進步參數，C：總消費，S:總儲蓄，s：儲蓄率，I:總投資，d：折舊率。增長的解釋框架索洛(R.Solow,1957)從生產函數入手分析決定經濟增長的決定因素。建立總量生產函數：產量(Q)是資本存量(K)、勞動投入(L)和技術狀態(T)的函數：Q=Q(K,L,T)假定：技術變化引起K和L邊際產量的同等增加，因此，上式可以改寫為Q=TF(K,L)產量變化：kQ=^TF(K,L)+TF^AK+TFAL在生產函數為規模報酬不變和完全競爭條件下，一、 假設生產一種產品簡單比例的儲蓄函數：S-sY,0<s<1(儲蓄率s：外生不變)資本存量的變化：AK=I-dK,(折舊率d：外生不變)假設儲蓄全部轉化為投資，則資本存量的變化：AK=sY-dK勞動力按一個外生的不變比率n增長：AL=nL生產函數的技術進步是勞動增進型技術進步(HarrodNeutral):技術進步參數A與L結合，AL稱為有效勞動(effectivelabors)，技術進步使勞動者工作效率的提高可視為技術/，、 AA _進步使得勞動者的數量增加。Y=F(K,AL)，技術的增長率為g：荷=g，因此，有效勞動的增長速度為(n+g)。假設生產函數規模報酬不變，因此，生產函數的集約形式為：y=f(k) y=Y/AL,k=K/ALy:單位有效勞動產出；k：單位有效勞動資本生產函數滿足下列條件：資本的邊際產量記為：f(k)，f(k)>0，f‘‘(k)<0f(0)=0，f(8)=8稻田條件(InadaConditions):limf(k)=8，limf'(k)=0kT0 kT8二、 新古典經濟增長模型該模型描繪出在整個時期中資本-有效勞動比的軌跡。在以上假設條件下，推導增長模型分為四步：1.單位有效勞動產出的構成Y三C+1YCI = + ALALAL考虐k=K/AL對該等式兩邊取對數求導，得到:d(\nk)=d(ln——)AL\k_AKALAA~kF~LAk_AK上式兩邊同乘k=K/AL,得：Ak ~(n+AL\KA7z、，——=Ak+(n+g)kAKT—riK由于AK=I-dK,所以，—=L^±=Ak+(n+g)kALALj dK—=Ak+(n+g)kH =Ak+(n+g)k+dk=Ak+(n+g+d)kAL AL "f(k)=——+—————+ +(n+g+d)kALALAL上式說明每個有效勞動產出被配置于三種用途:（1） 每個有效勞動的消費C/AL（2） 面臨增長的勞動力和折舊保持資本有效勞動比不變的投資部分（n+g+d）k,稱為持平投資（break-eveninvestment）,即使得*保持在現有水平上所必須的投資。（3） 實際提高資本-有效勞動比率的投資部分新古典經濟增長方程的基本形式f(k)= M+(〃+g+d)kAL '△*=/(*)———一(〃+g+d)kALYC= ———(n+g+d)kALALS= —(n+g+d)kAL= —(ft+g+d)kALAk=sf(k)-(n+g+d)k上式表明：每個工人占有資本的增長（△*）等于人均儲蓄礦（幻減去（n+g+d）ko因此，人均儲蓄礦伏）要分解為兩個部分:有效勞動增長率為(n+g),一定量的人均儲蓄必須用于裝備新工人，每個工人占有的資本為k,這一用途的儲蓄為n+g)k，一定量的人均儲蓄必須用于替換折舊資本，艮依。這些裝備新工人的儲蓄稱為資本擴張。(擴張：勞動人口數量的增加)超過(n+g+d)k的儲蓄可以提高資本-勞動比率，即斌>0。提高資本-勞動比的儲蓄稱為資本的深化。(深化：每個工人占有資本數量的增加)。因此，上式可表示為：資本深化=人均儲蓄一資本擴張5、穩態穩態(steady-state,stationarystate)Ak=0則sf(k*)=(n+g+d)k*△k=0，即當每一個工人的儲蓄恰好滿足增長的勞動力所需要的裝備量及替換折舊的資本要求時，資本-勞動比的變化量Ak將為0，即資本-勞動比維持在不變的水平k*上，經濟處于長期均衡狀態，各種變量都以不變的速度增長(可能為 0)，這種狀態稱為穩態。sf(k*)=(n+g+d)k*為穩態條件(圖)［證明］：穩態的穩定性當資本-勞動比為k-時，sf(k)>(n+g+d)k—資本勞動比的變化Ak>0，—資本勞動比提高，即資本深化的發生，因此，k會繼續增加。當資本-勞動比為k*時，sf(k)=(n+g+d)k—資本勞動比的變化Ak=0，—資本勞動比不變。當資本-勞動比為k+時，sf(k)v(n+g+d)kT資本勞動比的變化Ak<0，T資本勞動比減少，因此，k具有減少的趨勢。由上分析可知，不管k從何處開始，它都向k*收斂。穩定狀態意味著k和f(k)都是固定值，但不是說K和Y的增長為0。在穩定狀態條件下，勞動人口的增長率為(n+g)，所以，AKAKA(AL) _, 4勞動人口的增長率為(n+g)，所以，亍=~K= =n+g，即產出、資本和有效勞動均以(n+g)的比率增長，而每個工人平均產出(Y/L)和平均資本(K/L)的增長率為go小結：(1)Y和K的長期增長率等于勞動力和技術的增長率，即n+go無論K/AL初始值的大小，經濟恒定地趨向于平衡增長軌跡。K/AL在長期中是不變的。一旦經濟處于穩定狀態，人均產出的增長率就只取決于技術進步的速度，根據索洛模型，只有技術進步才能解釋經濟的長期增長。三、 資本的黃金律水平定義：使每個有效工人在穩態中消費達到最高水平的儲蓄率相對應的資本存量。穩定狀態下每個有效工人的人均消費為：c*=f(k*)—(n+g+d)k*使消費最大化：一階求導為0，得到：MPK=n+g+d或者MPK—d=n+g這一條件下，穩態的消費實現最大化。在黃金資本水平，資本的凈邊際產量(MPK—d)等于總產出增長率(n+g)。四、 儲蓄率對收入和增長的影響提高儲蓄率經常作為國家促進經濟增長的措施，高儲蓄率能夠實現更快的經濟增長速度么？［證明］假設，永久性的提高，使實際投資線向上移動Ak=sf(k)—(n+g+d)ksf—s，Tsf(k)上移至sf(k)，sf(k)與3+g+d)k交與8點。— 4點處，sf(k*)〉(n+g+d)k*,Ak>0—kf.T kf—k*'時，艮口8點處，sf(k*')=(n+g+d)k*',Ak=0—k不變。…YALf(k)—-=Af(k)ALLYifk不變—-將以速度g增長.- LYifk遞增—-將以A和K的速度增長，增速超過g.LY當k=k*時，—-又以速度g增長.此時，較高的儲蓄全部被用于維持較高的k的水平。回答：儲蓄率對索洛模型中的穩態增長率沒有影響，無論s為何值，長期中經濟都按n+g+d