專題2圖形變式與拓展專題2圖形變式與拓展?？碱愋头治龀？碱愋头治鰧ｎ}類型突破類型1

關于三角形的變式拓展問題【例1】在圖1至圖3中，直線MN與線段AB相交于點O，∠1＝∠2＝45°.(1)如圖1，若AO＝OB，請寫出AO與BD的數量關系和位置關系；(2)將圖1中的MN繞點O順時針旋轉得到圖2，其中AO＝OB.求證：AC＝BD，AC⊥BD；(3)將圖2中的OB拉長為AO的k倍得到圖3，求【思路分析】通過觀察可以猜想AO與BD相等且互相垂直；在后面的問題中，通過添加BD的垂線，使問題轉化為全等三角形和相似三角形問題加以解決．專題類型突破類型1關于三角形的變式拓展問題【例1】在圖

【解】(1)AO＝BD，AO⊥BD.(2)證明：如圖1，過點B作BE∥CA交DO于點E，延長AC交DB的延長線于點F.∴∠ACO＝∠BEO.又∵AO＝OB，∠AOC＝∠BOE，∴△AOC≌△BOE.∴AC＝BE.又∵∠1＝45°，∴∠ACO＝∠BEO＝135°.∴∠DEB＝45°.∵∠2＝45°，∴BE＝BD，∠EBD＝90°.∴AC＝BD.∵BE∥AC，∴∠AFD＝90°.∴AC⊥BD.(3)如圖2，過點B作BE∥CA交DO于點E，∴∠BEO＝∠ACO.又∵∠BOE＝∠AOC，∴△BOE∽△AOC.又∵OB＝kAO，由(2)的方法易得BE＝BD.【解】(1)AO＝BD，AO⊥BD.∴∠ACO＝∠BEO.滿分技法?圖形拓展類問題的解答往往需要借助幾何直觀、轉化、類比的思想方法．在原圖形中具備的位置和數量關系，在圖形變化后這種關系是否存在或又存在著怎樣的新的關系，可通過類比進行推理、驗證，所用方法和第(1)問所用方法相似，可借鑒原結論方法，并進行拓展，只要沿著這樣的思路進行即可解決．滿分技法?圖形拓展類問題的解答往往需要借助幾何直觀、轉化、類

滿分必練?1.[2017·邢臺模擬]已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6.點P從點B出發沿射線BA移動，同時點Q從點C出發沿線段AC的延長線移動，點P，Q移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點D.(1)如圖1，過點P作PF∥AQ交BC于點F，求證：△PDF≌△QDC；(2)如圖2，當點P為AB的中點時，求CD的長；(3)如圖3，過點P作PE⊥BC于點E，在點P從點B向點A移動的過程中，線段DE的長度是否保持不變？若保持不變，請求出DE的長度，若改變，請說明理由．解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB.∴∠B＝∠PFB.∴BP＝FP.由題意，得BP＝CQ，∴FP＝CQ.∵PF∥AC，∴∠DPF＝∠DQC.又∠PDF＝∠QDC，∴△PDF≌△QDC.(2)如圖，過點P作PF∥AC交BC于點F.∵點P為AB的中點，滿分必練?1.[2017·邢臺模擬]已知△ABC中，AB(3)線段DE的長度保持不變．如圖，過點P作PF∥AC交BC于點F.由(1)知，PB＝PF.∵PE⊥BC，∴BE＝EF.由(1)知，△PDF≌△QDC，CD＝DF.(3)線段DE的長度保持不變．2.[2016·成都中考]如圖1，△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于點H，點D在AH上，且DH＝CH，連接BD.(1)求證：BD＝AC；(2)將△BHD繞點H順時針旋轉，得到△EHF(點B，D分別與點E，F對應)，連接AE.①如圖2，當點F落在AC上時(F不與C重合)，若BC＝4，tanC＝3，求AE的長；②如圖3，當△EHF是由△BHD繞點H逆時針旋轉30°得到時，設射線CF與AE相交于點G，連接GH，試探究線段GH與EF之間滿足的等量關系，并說明理由．2.[2016·成都中考]如圖1，△ABC中，∠ABC＝45解：(1)在Rt△AHB中，∠ABC＝45°，∴AH＝BH.在△BHD和△AHC中，

∴△BHD≌△AHC(SAS)．∴BD＝AC.(2)①在Rt△AHC中，∵tanC＝3，設CH＝x，則BH＝AH＝3x.∵BC＝4，∴3x＋x＝4.∴x＝1.∴AH＝3，CH＝1.由旋轉，知∠EHF＝∠BHD＝∠AHC＝90°，EH＝AH＝3，FH＝DH＝CH＝1，∴△EHA∽△FHC.∴∠EAH＝∠C.∴tan∠EAH＝tanC＝3.如圖，過點H作HP⊥AE于點P，∴HP＝3AP，AE＝2AP.在Rt△AHP中，AP2＋HP2＝AH2，∴AP2＋(3AP)2＝9.解：(1)在Rt△AHB中，∠ABC＝45°，②EF＝2GH.理由如下：設AH與CG交于點Q，由①知，△AEH和△FHC都為等腰三角形．又∵旋轉角為30°，∴∠FHD＝∠BHE＝30°.∴∠EHA＝∠FHC＝120°.∴∠HCG＝∠GAH＝30°.∴△AGQ∽△CHQ.∴∠AGQ＝∠CHQ＝90°.又∵∠GQH＝∠AQC，∴△GQH∽△AQC.②EF＝2GH.理由如下：

3.[教材改編題](1)問題發現：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE，則∠AEB的度數為________，線段AD，BE之間的關系為________；(2)拓展探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE.①請判斷∠AEB的度數，并說明理由；②當CM＝5時，AC比BE的長度多6時，求AE的長．解：(1)60°相等(2)①∠AEB＝90°.理由如下：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°.∴∠ACD＝∠BCE.在△ACD和△BCE中，3.[教材改編題](1)問題發現：如圖1，△ACB和△D∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC.∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°.∵點A，D，E在同一直線上，∴∠ADC＝135°，∠BEC＝135°.∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝90°.②∵在等腰Rt△DCE中，∠DCE＝90°，CM⊥DE，則有DM＝CM＝ME＝5.在Rt△ACM中，AM2＋CM2＝AC2.設BE＝AD＝x，則AC＝6＋x.∴(x＋5)2＋52＝(x＋6)2，解得x＝7.∴AE＝AD＋DM＋ME＝17.∴△ACD≌△BCE(SAS)．每個時代，都悄悄犒賞會學習的人觸新的教材相信不管是對于同學自己而言還是對于家長朋友們而言，可能都還需要一定的時間去適應，但學習是一刻也不能松懈的事情，新學期除了適應教材的變化以外，一些試題的變化也必須適應，因此就必須在課下進行一些練習。但是問題就來了，很多家長朋友都表示孩子現在換了教材，但是自己找到的課外練習題卻還是原來的教材版本的，不適應孩子的教材，不知道該怎么辦才好了，眼看孩子馬上就要結束第一單元的學習了，可是一直沒找大適合的資料，沒辦法進行課后的鞏固練習了。zgl每個時代，都悄悄犒賞會學習的人觸新的教材相信不管是對于同學自【例2】[2017·長春中考]【再現】如圖1，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC的中點，可以得到：DE∥BC，且DE＝(不需要證明)【探究】如圖2，在四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，判斷四邊形EFGH的形狀，并加以證明．【應用】(1)在【探究】的條件下，四邊形ABCD中，滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形？你添加的條件是：

.(只添加一個條件)(2)如圖3，在四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，對角線AC，BD相交于點O.若AO＝OC，四邊形ABCD面積為5，則陰影部分圖形的面積和為

.類型2

關于四邊形的變式拓展問題【例2】[2017·長春中考]【再現】如圖1，在△ABC中，

【思路分析】【探究】利用三角形的中位線定理可得出EF＝HG，EF∥GH，繼而可判斷出四邊形EFGH的形狀．【應用】(1)同【探究】的方法判斷出即可判斷出EF＝FG，即可得出結論；(2)先判斷出S△BCD＝4S△CFG，同理：S△ABD＝4S△AEH，進而得出再判斷出OM＝ON，進而得出解：【探究】四邊形EFGH是平行四邊形．證明：如圖1，連接AC.∵E是AB的中點，F是BC的中點，∴EF∥AC，綜上，EF∥HG，EF＝HG.故四邊形EFGH是平行四邊形．【應用】(1)添加AC＝BD.理由：連接AC，BD，∵AC＝BD，∴EF＝FG.【思路分析】【探究】利用三角形的中位線定理可得出EF＝H又∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴?EFGH是菱形．故答案為：AC＝BD.(2)如圖2，由【探究】，得四邊形EFGH是平行四邊形．∵F，G分別是BC，CD的中點，∴S△BCD＝4S△CFG.同理，S△ABD＝4S△AEH.∵四邊形ABCD面積為5，設AC與FG，EH相交于點M，N，EF與BD相交于點P.又∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴?EFGH是菱形．∴S△B∵OA＝OC，∴OM＝ON.易知，四邊形ENOP，FMOP是面積相等的平行四邊形．滿分技法?此題是四邊形綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，菱形的判定，相似三角形的判定和性質，解【探究】的關鍵是判斷出解【應用】的關鍵是判斷出是一道基礎題目．∵OA＝OC，∴OM＝ON.滿分技法?此題是四邊形綜合題，主

滿分必練?4.[2016·蘭州中考]閱讀下面材料：在數學課上，老師請同學思考如下問題：如圖1，我們把一個四邊形ABCD的四邊中點E，F，G，H依次連接起來得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎？小敏在思考問題時，有如下思路：連接AC.結合小敏的思路作答：(1)若只改變圖1中四邊形ABCD的形狀(如圖2)，則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎？說明理由；參考小敏思考問題方法解決一下問題；(2)如圖2，在(1)的條件下，若連接AC，BD.①當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形，寫出結論并證明；②當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是矩形，直接寫出結論．滿分必練?4.[2016·蘭州中考]閱讀下面材料：結合解：(1)四邊形EFGH是平行四邊形，理由如下：如圖，連接AC，∵E是AB的中點，F是BC的中點，∴EF∥HG，EF＝HG.故四邊形EFGH是平行四邊形．(2)①當AC＝BD時，四邊形EFGH為菱形．理由如下：由(1)知，四邊形EFGH是平行四邊形，∴當AC＝BD時，FG＝HG.∴?EFGH是菱形．②當AC⊥BD時，四邊形EFGH為矩形．解：(1)四邊形EFGH是平行四邊形，理由如下：

5.[2017·蘭州中考]如圖1，將一張矩形紙片ABCD沿著對角線BD向上折疊，頂點C落到點E處，BE交AD于點F.(1)求證：△BDF是等腰三角形；(2)如圖2，過點D作DG∥BE，交BC于點G，連接FG交BD于點O.①判斷四邊形BFDG的形狀，并說明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的長．解：(1)證明：根據折疊的性質，得∠DBC＝∠DBE.又AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∴∠DBE＝∠ADB，∴DF＝BF，∴△BDF是等腰三角形．(2)①∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴FD∥BG.又∵DG∥BE，即DG∥BF，5.[2017·蘭州中考]如圖1，將一張矩形紙片ABCD∴四邊形BFDG是平行四邊形．∵DF＝BF，∴四邊形BFDG是菱形．②∵AB＝6，AD＝8，假設DF＝BF＝x，∴AF＝AD－DF＝8－x.∴在Rt△ABF中，AB2＋AF2＝BF2，即62＋(8－x)2＝x2.∴四邊形BFDG是平行四邊形．

6.[2016·臨沂中考]如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別是邊BC，AB上的點，且CE＝BF.連接DE，過點E作EG⊥DE，使EG＝DE，連接FG，FC.(1)請判斷：FG與CE的數量關系是

，位置關系是

；(2)如圖2，若點E，F分別是邊CB，BA延長線上的點，其他條件不變，(1)中結論是否仍然成立？請作出判斷并給予證明；(3)如圖3，若點E，F分別是邊BC，AB延長線上的點，其他條件不變，(1)中結論是否仍然成立？請直接寫出你的判斷．解：(1)FG＝CEFG∥CE(2)成立．證明：如圖，過點G作GH⊥CB的延長線于點H，∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°.∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE.6.[2016·臨沂中考]如圖1，在正方形ABCD中，點在△HGE與△CED中，∴△HGE≌△CED(AAS)．∴GH＝CE，HE＝CD.∵CE＝BF，∴GH＝BF.∵GH∥BF，∴四邊形GHBF是平行四邊形．∴FG＝BH，FG∥CH.∴FG∥CE.∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝BC.∴HE＝BC.∴HE＋EB＝BC＋EB.∴BH＝EC.∴FG＝EC.(3)仍然成立．在△HGE與△CED中，∴△HGE≌△CED(AAS)．∴G【例3】如圖1至圖4中，兩平行線AB，CD間的距離均為6，點M為AB上一定點．思考如圖1，圓心為O的半圓形紙片在AB，CD之間(包括AB，CD)，其直徑MN在AB上，MN＝8，點P為半圓上一點，設∠MOP＝α.當α＝

度時，點P到CD的距離最小，最小值為

.探究一在圖1的基礎上，以點M為旋轉中心，在AB，CD之間順時針旋轉該半圓紙片，直到不能再轉動為止，如圖2，得到最大旋轉角∠BMO＝

度，此時點N到CD的距離是

.探究二將圖1中的扇形紙片NOP按下面對α的要求剪掉，使扇形紙片MOP繞點M在AB，CD之間順時針旋轉．(1)如圖3，當α＝60°時，求在旋轉過程中，點P到CD的最小距離，并請指出旋轉角∠BMO的最大值；(2)如圖4，在扇形紙片MOP旋轉過程中，要保證點P能落在直線CD上，請確定α的取值范圍．類型3

關于圓的變式拓展問題【例3】如圖1至圖4中，兩平行線AB，CD間的距離均為6，點【思路分析】在“思考”的圖1中，當OP⊥CD時，點P到CD的距離最小；在“探究一”的圖2中，半圓形紙片不能再轉動時，⊙O與CD相切于點Y；在“探究二”的圖3中，當PM⊥AB時，點P到CD的距離最??；當與AB相切時，旋轉角∠BMO的度數最大．圖4中，當弦MP＝6時，α取最小值；當與CD相切于點P時，即半徑OP⊥CD于點P時，α取最大值．【思路分析】在“思考”的圖1中，當OP⊥CD時，點P到CD的解：思考：根據兩平行線之間垂線段最短，直接得出答案，當α＝90度時，點P到CD的距離最?。進N＝8，∴OP＝4.∴點P到CD的距離最小值為6－4＝2.故答案為：90,2.探究一：∵以點M為旋轉中心，在AB，CD之間順時針旋轉該半圓形紙片，直到不能再轉動為止，如圖1，∵MN＝8，∴MO＝4，OY＝4.∴UO＝2.∴得到最大旋轉角∠BMO＝30度，此時點N到CD的距離是2.故答案為：30,2.探究二：(1)由已知得M與P的距離為4，∴當MP⊥AB時，點P到AB的最大距離為4，從而點P到CD的最小距離為6－4＝2.當扇形MOP在AB，CD之間旋轉到不能再轉時，與AB相切，此時旋轉角最大，∠BMO的最大值為90°.(2)如圖2，由探究一可知，點P是與CD的切點時，α達到最大，即OP⊥CD.此時延長PO交AB于點H，α最大值為∠OMH＋圖1解：思考：根據兩平行線之間垂線段最短，直接得出答案，當α＝9＋∠OHM＝30°＋90°＝120°.如圖3，當點P在CD上且與AB距離最小時，MP⊥CD，α達到最小，連接MP，作OH⊥MP于點H，由垂徑定理，得MH＝3，在Rt△MOH中，MO＝4，∴∠MOH＝49°.∵α＝2∠MOH＝98°，∴α最小為98°.∴α的取值范圍是98°≤α≤120°.圖2滿分技法?在拓展變化的圖形中求最值(比如最大(小)距離，角的最大(小)度數，線段的最大(小)長度等)，關鍵是確定相關圖形的特殊位置；確定幾何圖形中角度的取值范圍，要考查它的最大角度和最小角度兩種極端情況．另外，幾何直觀與生活經驗的積累與訓練也是不容忽視的，本題中很多結論如果用純粹的數學原理嚴格論證起來，是很困難的，比如“思考”中，為什么OP⊥AB時圖3＋∠OHM＝30°＋90°＝120°.圖2滿分技法?在拓展變點P到CD的距離最??？“探究一”中，怎樣說明半圓形紙片不能再轉動時，⊙O與CD相切于點P？“探究二”(1)中，為什么MP⊥AB時點P到CD的距離最??？為什么當與CD相切于點P時，旋轉角∠BMO的度數最大？(2)中，為什么當弦MP＝6時，α取最小值；為什么當半徑OP⊥CD于點P時，α取最大值？對于這些問題，在考場上是沒有時間、也沒有必要深究的，其結論的得出主要依靠幾何直觀與生活經驗．點P到CD的距離最??？“探究一”中，怎樣說明半圓形紙片不能再

滿分必練?7.[2017·寶應一模]如圖1，水平放置一個三角板和一個量角器，三角板的邊AB和量角器的直徑DE在一條直線上，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，OD＝3cm，開始的時候BD＝1cm，現在三角板以2cm/s的速度向右移動．(1)當點B與點O重合時，求三角板運動的時間；(2)三角板繼續向右運動，當B點和E點重合時，AC與半圓相切于點F，連接EF，如圖2所示．①求證：EF平分∠AEC；②求EF的長．解：(1)∵當點B與點O重合時，BO＝OD＋BD＝4(cm)，∴三角板運動的時間為2s.(2)①證明：如圖，連接點O與切點F，則OF⊥AC.∵∠ACE＝90°，∴EC⊥AC.∴OF∥CE.∴∠OFE＝∠CEF.∵OF＝OE，∴∠OFE＝∠OEF.∴∠OEF＝∠CEF，即EF平分∠AEC.滿分必練?7.[2017·寶應一模]如圖1，水平放置一個②由①知，OF⊥AC.∴△AFO是直角三角形．∵∠BAC＝30°，OF＝OD＝3cm，②由①知，OF⊥AC.

8.[2017·裕華區模擬]如圖所示，點A為半圓O直徑MN所在直線上一點，射線AB垂直于MN，垂足為A，半圓繞M點順時針轉動，轉過的角度記作α；設半圓O的半徑為R，AM的長度為m，回答下列問題：探究：(1)若R＝2，m＝1，如圖1，當旋轉30°時，圓心O′到射線AB的距離是

.如圖2，當α＝

°時，半圓O與射線AB相切；(2)如圖3，在(1)的條件下，為了使得半圓O轉動30°即能與射線AB相切，在保持線段AM長度不變的條件下，調整半徑R的大小，請你求出滿足要求的R，并說明理由；發現：(3)如圖4，在0°＜α＜90°時，為了對任意旋轉角都保證半圓O與射線AB能夠相切，小明探究了cosα與R，m兩個量的關系，請你幫助他直接寫出這個關系；cosα＝

；(用含有R，m的代數式表示)拓展：(4)如圖5，若R＝m，當半圓弧線與射線AB有兩個交點時，α的取值范圍是

，并求出在這個變化過程中陰影部分(弓形)面積的最大值．(用m表示)8.[2017·裕華區模擬]如圖所示，點A為半圓O直徑M解：(1)如圖1，作O′E⊥AB于點E，MF⊥O′E于點F，則四邊形AMFE是矩形，EF＝AM＝1.在Rt△MFO′中，∵∠MO′F＝30°，MO′＝2，如圖2，設切點為F，連接O′F，作O′E⊥OA于點E，則四邊形O′EAF是矩形．∴AE＝O′F＝2.∵AM＝1，∴EM＝1.解：(1)如圖1，作O′E⊥AB于點E，MF⊥O′E于點F，(2)如圖3，設切點為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊形APQM是矩形．∵在Rt△O′MQ中，O′M＝R，∠MO′Q＝α＝30°，(3)如圖4，設切點為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊形APQM是矩形．在Rt△O′QM中，O′Q＝R·cosα，QP＝m.∵O′P＝R，∴R·cosα＋m＝R.(2)如圖3，設切點為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊(4)如圖5，當半圓與射線AB相切時，此時α＝90°，之后開始出現兩個交點；當N′落在AB上時，為半圓與AB有兩個交點的最后時刻，此時，∵MN′＝2AM，∴∠AMN′＝60°.∴α＝120°.∴當半圓弧線與射線AB有兩個交點時，α的取值范圍是90°<α≤120°.故答案為：90°<α≤120°.當N′落在AB上時，陰影部分面積最大，(4)如圖5，當半圓與射線AB相切時，此時α＝90°，之后開

9.如圖1至圖5，⊙O均作無滑動滾動，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O與線段AB或BC相切于端點時刻的位置，⊙O的周長為C.閱讀理解：(1)如圖1，⊙O從⊙O1的位置出發，沿AB滾動到⊙O2的位置，當AB＝c時，⊙O恰好自轉1周；(2)如圖2，∠ABC相鄰的補角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A－B－C滾動，在點B處，必須由⊙O1的位置旋轉到⊙O2的位置，⊙O繞點B旋轉的角∠O1BO2＝n°，⊙O在點B處自9.如圖1至圖5，⊙O均作無滑動滾動，⊙O1、⊙O2

實踐應用：(1)在閱讀理解的(1)中，若AB＝2c，則⊙O自轉

周；若AB＝l，則⊙O自轉

周．在閱讀理解的(2)中，若∠ABC＝120°，則⊙O在點B處自轉

周；若∠ABC＝60°，則⊙O在點B處自轉

周；(2)如圖3，∠ABC＝90°，⊙O從⊙O1的位置出發，在∠ABC外部沿A－B－C滾動到⊙O4的位置，⊙O自轉

周．拓展聯想：(1)如圖4，△ABC的周長為l，⊙O從與AB相切于點D的位置出發，在△ABC外部，按順時針方向沿三角形滾動，又回到與AB相切于點D的位置，⊙O自轉了多少周？請說明理由；(2)如圖5，多邊形的周長為l，⊙O從與某邊相切于點D的位置出發，在多邊形外部，按順時針方向沿多邊形滾動，又回到與該邊相切于點D的位置，直接寫出⊙O自轉的周數．實踐應用：(2)如圖5，多邊形的周長為l，⊙O從與某邊中考數學復習專題2圖形變式與拓展課件10.平面上，矩形ABCD與直徑為QP的半圓K如圖擺放，分別延長DA和QP交于點O，且∠DOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1.讓線段OD及矩形ABCD位置固定，將線段OQ連帶著半圓K一起繞著點O按逆時針方向開始旋轉，設旋轉角為α(0°≤α≤60°)．發現(1)當α＝0°，即初始位置時，點P________直線AB上．(填“在”或“不在”)求當α是多少時，OQ經過點B?(2)在OQ旋轉過程中，簡要說明α是多少時，點P，A間的距離最?。坎⒅赋鲞@個最小值；圖1圖2(3)如圖2，當點P恰好落在BC邊上時．求α及S陰影．拓展如圖3，當線段OQ與CB邊交于點M，與BA邊交于點N時，設BM＝x(x＞0)，用含x的代數式表示BN的長，并求x的取值范圍．10.平面上，矩形ABCD與直徑為QP的半圓K如圖擺放探究當半圓K與矩形ABCD的邊相切時，求sinα的值．解：發現(1)在當OQ過點B時，在Rt△OAB中，AO＝AB，得∠DOQ＝∠ABO＝45°，∴α＝60°－45°＝15°.故α＝15°時，OQ經過點B.(2)如圖1，連接AP，有OA＋AP≥OP，當OP過點A，即α＝60°時，等號成立．∴AP≥OP－OA＝2－1＝1.∴當α＝60°時，點P，A間的距離最?。甈A的最小值為1.探究當半圓K與矩形ABCD的邊相切時，求sinα的值．解：(3)如圖1，設半圓K與PC交點為R，連接RK，過點P作PH⊥AD于點H，過點R作RE⊥KQ于點E.在Rt△OPH中，PH＝AB＝1，OP＝2，∴∠POH＝30°.∴α＝60°－30°＝30°.由AD∥BC知，∠RPQ＝∠POH＝30°.∴∠RKQ＝2×30°＝60°.拓展∵∠OAN＝∠MBN＝90°，∠ANO＝∠BNM，∴△AON∽△BMN.(3)如圖1，設半圓K與PC交點為R，連接RK，過點P作PH探究半圓與矩形相切，分三種情況：①如圖3，半圓K與BC切于點T，設直線KT與AD和OQ的初始位置所在直線分別交于點S，O′，則∠KSO＝∠KTB＝90°，作KG⊥OO′于點G.在Rt△OSK中，探究半圓與矩形相切，分三種情況：中考數學復習專題2圖形變式與拓展課件專題2圖形變式與拓展專題2圖形變式與拓展常考類型分析?？碱愋头治鰧ｎ}類型突破類型1

關于三角形的變式拓展問題【例1】在圖1至圖3中，直線MN與線段AB相交于點O，∠1＝∠2＝45°.(1)如圖1，若AO＝OB，請寫出AO與BD的數量關系和位置關系；(2)將圖1中的MN繞點O順時針旋轉得到圖2，其中AO＝OB.求證：AC＝BD，AC⊥BD；(3)將圖2中的OB拉長為AO的k倍得到圖3，求【思路分析】通過觀察可以猜想AO與BD相等且互相垂直；在后面的問題中，通過添加BD的垂線，使問題轉化為全等三角形和相似三角形問題加以解決．專題類型突破類型1關于三角形的變式拓展問題【例1】在圖

【解】(1)AO＝BD，AO⊥BD.(2)證明：如圖1，過點B作BE∥CA交DO于點E，延長AC交DB的延長線于點F.∴∠ACO＝∠BEO.又∵AO＝OB，∠AOC＝∠BOE，∴△AOC≌△BOE.∴AC＝BE.又∵∠1＝45°，∴∠ACO＝∠BEO＝135°.∴∠DEB＝45°.∵∠2＝45°，∴BE＝BD，∠EBD＝90°.∴AC＝BD.∵BE∥AC，∴∠AFD＝90°.∴AC⊥BD.(3)如圖2，過點B作BE∥CA交DO于點E，∴∠BEO＝∠ACO.又∵∠BOE＝∠AOC，∴△BOE∽△AOC.又∵OB＝kAO，由(2)的方法易得BE＝BD.【解】(1)AO＝BD，AO⊥BD.∴∠ACO＝∠BEO.滿分技法?圖形拓展類問題的解答往往需要借助幾何直觀、轉化、類比的思想方法．在原圖形中具備的位置和數量關系，在圖形變化后這種關系是否存在或又存在著怎樣的新的關系，可通過類比進行推理、驗證，所用方法和第(1)問所用方法相似，可借鑒原結論方法，并進行拓展，只要沿著這樣的思路進行即可解決．滿分技法?圖形拓展類問題的解答往往需要借助幾何直觀、轉化、類

滿分必練?1.[2017·邢臺模擬]已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6.點P從點B出發沿射線BA移動，同時點Q從點C出發沿線段AC的延長線移動，點P，Q移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點D.(1)如圖1，過點P作PF∥AQ交BC于點F，求證：△PDF≌△QDC；(2)如圖2，當點P為AB的中點時，求CD的長；(3)如圖3，過點P作PE⊥BC于點E，在點P從點B向點A移動的過程中，線段DE的長度是否保持不變？若保持不變，請求出DE的長度，若改變，請說明理由．解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB.∴∠B＝∠PFB.∴BP＝FP.由題意，得BP＝CQ，∴FP＝CQ.∵PF∥AC，∴∠DPF＝∠DQC.又∠PDF＝∠QDC，∴△PDF≌△QDC.(2)如圖，過點P作PF∥AC交BC于點F.∵點P為AB的中點，滿分必練?1.[2017·邢臺模擬]已知△ABC中，AB(3)線段DE的長度保持不變．如圖，過點P作PF∥AC交BC于點F.由(1)知，PB＝PF.∵PE⊥BC，∴BE＝EF.由(1)知，△PDF≌△QDC，CD＝DF.(3)線段DE的長度保持不變．2.[2016·成都中考]如圖1，△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于點H，點D在AH上，且DH＝CH，連接BD.(1)求證：BD＝AC；(2)將△BHD繞點H順時針旋轉，得到△EHF(點B，D分別與點E，F對應)，連接AE.①如圖2，當點F落在AC上時(F不與C重合)，若BC＝4，tanC＝3，求AE的長；②如圖3，當△EHF是由△BHD繞點H逆時針旋轉30°得到時，設射線CF與AE相交于點G，連接GH，試探究線段GH與EF之間滿足的等量關系，并說明理由．2.[2016·成都中考]如圖1，△ABC中，∠ABC＝45解：(1)在Rt△AHB中，∠ABC＝45°，∴AH＝BH.在△BHD和△AHC中，

∴△BHD≌△AHC(SAS)．∴BD＝AC.(2)①在Rt△AHC中，∵tanC＝3，設CH＝x，則BH＝AH＝3x.∵BC＝4，∴3x＋x＝4.∴x＝1.∴AH＝3，CH＝1.由旋轉，知∠EHF＝∠BHD＝∠AHC＝90°，EH＝AH＝3，FH＝DH＝CH＝1，∴△EHA∽△FHC.∴∠EAH＝∠C.∴tan∠EAH＝tanC＝3.如圖，過點H作HP⊥AE于點P，∴HP＝3AP，AE＝2AP.在Rt△AHP中，AP2＋HP2＝AH2，∴AP2＋(3AP)2＝9.解：(1)在Rt△AHB中，∠ABC＝45°，②EF＝2GH.理由如下：設AH與CG交于點Q，由①知，△AEH和△FHC都為等腰三角形．又∵旋轉角為30°，∴∠FHD＝∠BHE＝30°.∴∠EHA＝∠FHC＝120°.∴∠HCG＝∠GAH＝30°.∴△AGQ∽△CHQ.∴∠AGQ＝∠CHQ＝90°.又∵∠GQH＝∠AQC，∴△GQH∽△AQC.②EF＝2GH.理由如下：

3.[教材改編題](1)問題發現：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE，則∠AEB的度數為________，線段AD，BE之間的關系為________；(2)拓展探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE.①請判斷∠AEB的度數，并說明理由；②當CM＝5時，AC比BE的長度多6時，求AE的長．解：(1)60°相等(2)①∠AEB＝90°.理由如下：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°.∴∠ACD＝∠BCE.在△ACD和△BCE中，3.[教材改編題](1)問題發現：如圖1，△ACB和△D∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC.∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°.∵點A，D，E在同一直線上，∴∠ADC＝135°，∠BEC＝135°.∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝90°.②∵在等腰Rt△DCE中，∠DCE＝90°，CM⊥DE，則有DM＝CM＝ME＝5.在Rt△ACM中，AM2＋CM2＝AC2.設BE＝AD＝x，則AC＝6＋x.∴(x＋5)2＋52＝(x＋6)2，解得x＝7.∴AE＝AD＋DM＋ME＝17.∴△ACD≌△BCE(SAS)．每個時代，都悄悄犒賞會學習的人觸新的教材相信不管是對于同學自己而言還是對于家長朋友們而言，可能都還需要一定的時間去適應，但學習是一刻也不能松懈的事情，新學期除了適應教材的變化以外，一些試題的變化也必須適應，因此就必須在課下進行一些練習。但是問題就來了，很多家長朋友都表示孩子現在換了教材，但是自己找到的課外練習題卻還是原來的教材版本的，不適應孩子的教材，不知道該怎么辦才好了，眼看孩子馬上就要結束第一單元的學習了，可是一直沒找大適合的資料，沒辦法進行課后的鞏固練習了。zgl每個時代，都悄悄犒賞會學習的人觸新的教材相信不管是對于同學自【例2】[2017·長春中考]【再現】如圖1，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC的中點，可以得到：DE∥BC，且DE＝(不需要證明)【探究】如圖2，在四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，判斷四邊形EFGH的形狀，并加以證明．【應用】(1)在【探究】的條件下，四邊形ABCD中，滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形？你添加的條件是：

.(只添加一個條件)(2)如圖3，在四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，對角線AC，BD相交于點O.若AO＝OC，四邊形ABCD面積為5，則陰影部分圖形的面積和為

.類型2

關于四邊形的變式拓展問題【例2】[2017·長春中考]【再現】如圖1，在△ABC中，

【思路分析】【探究】利用三角形的中位線定理可得出EF＝HG，EF∥GH，繼而可判斷出四邊形EFGH的形狀．【應用】(1)同【探究】的方法判斷出即可判斷出EF＝FG，即可得出結論；(2)先判斷出S△BCD＝4S△CFG，同理：S△ABD＝4S△AEH，進而得出再判斷出OM＝ON，進而得出解：【探究】四邊形EFGH是平行四邊形．證明：如圖1，連接AC.∵E是AB的中點，F是BC的中點，∴EF∥AC，綜上，EF∥HG，EF＝HG.故四邊形EFGH是平行四邊形．【應用】(1)添加AC＝BD.理由：連接AC，BD，∵AC＝BD，∴EF＝FG.【思路分析】【探究】利用三角形的中位線定理可得出EF＝H又∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴?EFGH是菱形．故答案為：AC＝BD.(2)如圖2，由【探究】，得四邊形EFGH是平行四邊形．∵F，G分別是BC，CD的中點，∴S△BCD＝4S△CFG.同理，S△ABD＝4S△AEH.∵四邊形ABCD面積為5，設AC與FG，EH相交于點M，N，EF與BD相交于點P.又∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴?EFGH是菱形．∴S△B∵OA＝OC，∴OM＝ON.易知，四邊形ENOP，FMOP是面積相等的平行四邊形．滿分技法?此題是四邊形綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，菱形的判定，相似三角形的判定和性質，解【探究】的關鍵是判斷出解【應用】的關鍵是判斷出是一道基礎題目．∵OA＝OC，∴OM＝ON.滿分技法?此題是四邊形綜合題，主

滿分必練?4.[2016·蘭州中考]閱讀下面材料：在數學課上，老師請同學思考如下問題：如圖1，我們把一個四邊形ABCD的四邊中點E，F，G，H依次連接起來得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎？小敏在思考問題時，有如下思路：連接AC.結合小敏的思路作答：(1)若只改變圖1中四邊形ABCD的形狀(如圖2)，則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎？說明理由；參考小敏思考問題方法解決一下問題；(2)如圖2，在(1)的條件下，若連接AC，BD.①當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形，寫出結論并證明；②當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是矩形，直接寫出結論．滿分必練?4.[2016·蘭州中考]閱讀下面材料：結合解：(1)四邊形EFGH是平行四邊形，理由如下：如圖，連接AC，∵E是AB的中點，F是BC的中點，∴EF∥HG，EF＝HG.故四邊形EFGH是平行四邊形．(2)①當AC＝BD時，四邊形EFGH為菱形．理由如下：由(1)知，四邊形EFGH是平行四邊形，∴當AC＝BD時，FG＝HG.∴?EFGH是菱形．②當AC⊥BD時，四邊形EFGH為矩形．解：(1)四邊形EFGH是平行四邊形，理由如下：

5.[2017·蘭州中考]如圖1，將一張矩形紙片ABCD沿著對角線BD向上折疊，頂點C落到點E處，BE交AD于點F.(1)求證：△BDF是等腰三角形；(2)如圖2，過點D作DG∥BE，交BC于點G，連接FG交BD于點O.①判斷四邊形BFDG的形狀，并說明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的長．解：(1)證明：根據折疊的性質，得∠DBC＝∠DBE.又AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∴∠DBE＝∠ADB，∴DF＝BF，∴△BDF是等腰三角形．(2)①∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴FD∥BG.又∵DG∥BE，即DG∥BF，5.[2017·蘭州中考]如圖1，將一張矩形紙片ABCD∴四邊形BFDG是平行四邊形．∵DF＝BF，∴四邊形BFDG是菱形．②∵AB＝6，AD＝8，假設DF＝BF＝x，∴AF＝AD－DF＝8－x.∴在Rt△ABF中，AB2＋AF2＝BF2，即62＋(8－x)2＝x2.∴四邊形BFDG是平行四邊形．

6.[2016·臨沂中考]如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別是邊BC，AB上的點，且CE＝BF.連接DE，過點E作EG⊥DE，使EG＝DE，連接FG，FC.(1)請判斷：FG與CE的數量關系是

，位置關系是

；(2)如圖2，若點E，F分別是邊CB，BA延長線上的點，其他條件不變，(1)中結論是否仍然成立？請作出判斷并給予證明；(3)如圖3，若點E，F分別是邊BC，AB延長線上的點，其他條件不變，(1)中結論是否仍然成立？請直接寫出你的判斷．解：(1)FG＝CEFG∥CE(2)成立．證明：如圖，過點G作GH⊥CB的延長線于點H，∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°.∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE.6.[2016·臨沂中考]如圖1，在正方形ABCD中，點在△HGE與△CED中，∴△HGE≌△CED(AAS)．∴GH＝CE，HE＝CD.∵CE＝BF，∴GH＝BF.∵GH∥BF，∴四邊形GHBF是平行四邊形．∴FG＝BH，FG∥CH.∴FG∥CE.∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝BC.∴HE＝BC.∴HE＋EB＝BC＋EB.∴BH＝EC.∴FG＝EC.(3)仍然成立．在△HGE與△CED中，∴△HGE≌△CED(AAS)．∴G【例3】如圖1至圖4中，兩平行線AB，CD間的距離均為6，點M為AB上一定點．思考如圖1，圓心為O的半圓形紙片在AB，CD之間(包括AB，CD)，其直徑MN在AB上，MN＝8，點P為半圓上一點，設∠MOP＝α.當α＝

度時，點P到CD的距離最小，最小值為

.探究一在圖1的基礎上，以點M為旋轉中心，在AB，CD之間順時針旋轉該半圓紙片，直到不能再轉動為止，如圖2，得到最大旋轉角∠BMO＝

度，此時點N到CD的距離是

.探究二將圖1中的扇形紙片NOP按下面對α的要求剪掉，使扇形紙片MOP繞點M在AB，CD之間順時針旋轉．(1)如圖3，當α＝60°時，求在旋轉過程中，點P到CD的最小距離，并請指出旋轉角∠BMO的最大值；(2)如圖4，在扇形紙片MOP旋轉過程中，要保證點P能落在直線CD上，請確定α的取值范圍．類型3

關于圓的變式拓展問題【例3】如圖1至圖4中，兩平行線AB，CD間的距離均為6，點【思路分析】在“思考”的圖1中，當OP⊥CD時，點P到CD的距離最??；在“探究一”的圖2中，半圓形紙片不能再轉動時，⊙O與CD相切于點Y；在“探究二”的圖3中，當PM⊥AB時，點P到CD的距離最小；當與AB相切時，旋轉角∠BMO的度數最大．圖4中，當弦MP＝6時，α取最小值；當與CD相切于點P時，即半徑OP⊥CD于點P時，α取最大值．【思路分析】在“思考”的圖1中，當OP⊥CD時，點P到CD的解：思考：根據兩平行線之間垂線段最短，直接得出答案，當α＝90度時，點P到CD的距離最?。進N＝8，∴OP＝4.∴點P到CD的距離最小值為6－4＝2.故答案為：90,2.探究一：∵以點M為旋轉中心，在AB，CD之間順時針旋轉該半圓形紙片，直到不能再轉動為止，如圖1，∵MN＝8，∴MO＝4，OY＝4.∴UO＝2.∴得到最大旋轉角∠BMO＝30度，此時點N到CD的距離是2.故答案為：30,2.探究二：(1)由已知得M與P的距離為4，∴當MP⊥AB時，點P到AB的最大距離為4，從而點P到CD的最小距離為6－4＝2.當扇形MOP在AB，CD之間旋轉到不能再轉時，與AB相切，此時旋轉角最大，∠BMO的最大值為90°.(2)如圖2，由探究一可知，點P是與CD的切點時，α達到最大，即OP⊥CD.此時延長PO交AB于點H，α最大值為∠OMH＋圖1解：思考：根據兩平行線之間垂線段最短，直接得出答案，當α＝9＋∠OHM＝30°＋90°＝120°.如圖3，當點P在CD上且與AB距離最小時，MP⊥CD，α達到最小，連接MP，作OH⊥MP于點H，由垂徑定理，得MH＝3，在Rt△MOH中，MO＝4，∴∠MOH＝49°.∵α＝2∠MOH＝98°，∴α最小為98°.∴α的取值范圍是98°≤α≤120°.圖2滿分技法?在拓展變化的圖形中求最值(比如最大(小)距離，角的最大(小)度數，線段的最大(小)長度等)，關鍵是確定相關圖形的特殊位置；確定幾何圖形中角度的取值范圍，要考查它的最大角度和最小角度兩種極端情況．另外，幾何直觀與生活經驗的積累與訓練也是不容忽視的，本題中很多結論如果用純粹的數學原理嚴格論證起來，是很困難的，比如“思考”中，為什么OP⊥AB時圖3＋∠OHM＝30°＋90°＝120°.圖2滿分技法?在拓展變點P到CD的距離最小？“探究一”中，怎樣說明半圓形紙片不能再轉動時，⊙O與CD相切于點P？“探究二”(1)中，為什么MP⊥AB時點P到CD的距離最??？為什么當與CD相切于點P時，旋轉角∠BMO的度數最大？(2)中，為什么當弦MP＝6時，α取最小值；為什么當半徑OP⊥CD于點P時，α取最大值？對于這些問題，在考場上是沒有時間、也沒有必要深究的，其結論的得出主要依靠幾何直觀與生活經驗．點P到CD的距離最??？“探究一”中，怎樣說明半圓形紙片不能再

滿分必練?7.[2017·寶應一模]如圖1，水平放置一個三角板和一個量角器，三角板的邊AB和量角器的直徑DE在一條直線上，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，OD＝3cm，開始的時候BD＝1cm，現在三角板以2cm/s的速度向右移動．(1)當點B與點O重合時，求三角板運動的時間；(2)三角板繼續向右運動，當B點和E點重合時，AC與半圓相切于點F，連接EF，如圖2所示．①求證：EF平分∠AEC；②求EF的長．解：(1)∵當點B與點O重合時，BO＝OD＋BD＝4(cm)，∴三角板運動的時間為2s.(2)①證明：如圖，連接點O與切點F，則OF⊥AC.∵∠ACE＝90°，∴EC⊥AC.∴OF∥CE.∴∠OFE＝∠CEF.∵OF＝OE，∴∠OFE＝∠OEF.∴∠OEF＝∠CEF，即EF平分∠AEC.滿分必練?7.[2017·寶應一模]如圖1，水平放置一個②由①知，OF⊥AC.∴△AFO是直角三角形．∵∠BAC＝30°，OF＝OD＝3cm，②由①知，OF⊥AC.

8.[2017·裕華區模擬]如圖所示，點A為半圓O直徑MN所在直線上一點，射線AB垂直于MN，垂足為A，半圓繞M點順時針轉動，轉過的角度記作α；設半圓O的半徑為R，AM的長度為m，回答下列問題：探究：(1)若R＝2，m＝1，如圖1，當旋轉30°時，圓心O′到射線AB的距離是

.如圖2，當α＝

°時，半圓O與射線AB相切；(2)如圖3，在(1)的條件下，為了使得半圓O轉動30°即能與射線AB相切，在保持線段AM長度不變的條件下，調整半徑R的大小，請你求出滿足要求的R，并說明理由；發現：(3)如圖4，在0°＜α＜90°時，為了對任意旋轉角都保證半圓O與射線AB能夠相切，小明探究了cosα與R，m兩個量的關系，請你幫助他直接寫出這個關系；cosα＝

；(用含有R，m的代數式表示)拓展：(4)如圖5，若R＝m，當半圓弧線與射線AB有兩個交點時，α的取值范圍是

，并求出在這個變化過程中陰影部分(弓形)面積的最大值．(用m表示)8.[2017·裕華區模擬]如圖所示，點A為半圓O直徑M解：(1)如圖1，作O′E⊥AB于點E，MF⊥O′E于點F，則四邊形AMFE是矩形，EF＝AM＝1.在Rt△MFO′中，∵∠MO′F＝30°，MO′＝2，如圖2，設切點為F，連接O′F，作O′E⊥OA于點E，則四邊形O′EAF是矩形．∴