一、二重積分概念二、二重積分計算三、三重積分概念四、三重積分計算五、重積分應用重積分復習

一、二重積分概念積分區域積分和被積函數積分變量被積表示式面積元素(一)、定義(二)、幾何意義當被積函數大于零時，二重積分是以被積函數為曲頂、以積分區域為底曲頂柱體體積．當被積函數小于零時，二重積分是曲頂柱體體積負值．(三)、物理意義平面薄片質量設有一平面薄片,占有面上閉區域,在點處面密度為,

假定在上連續,

平面薄片質量(四)存在條件(五)性質性質２性質３對區域含有可加性性質１當為常數時，性質４若為D面積，性質５特殊地則有若在上性質６（估值不等式）性質７（二重積分中值定理）解解例3求極限其中為。解因為被積函數在區域上連續，依據積分中值定理知：存在使得解畢。二、二重積分計算(一)、利用直角坐標系計算二重積分其中函數、在區間上連續.［先y后x］:平行于軸直線穿過區域內部與其邊界最多交于兩點。［先x后y］平行于軸直線穿過區域內部時與其邊界最多交于兩點。求二重積分步驟(1)畫出積分區域圖形,判斷類型;(2)定積分上下限(3)寫出二次積分再求即可.若區域如圖，則必須分割。在分割后三個區域上分別使用積分公式。假如被積函數含有等形式，則應選擇先對積分。注：解積分區域如圖由其中與兩坐標軸圍成.解:其中是由所圍區域,則等于()令由已知等式得兩邊在上取二重積分,則例2設連續,且故選解得解(二)、利用極坐標系計算二重積分解

在極坐標系下

例2將(其中為圍成)化為極坐標下累次積分.在極坐標系下

解在極坐標系下

解在極坐標系下

解在極坐標系下

解和在極坐標系下

解例7

證三、三重積分概念定義：

物理意義:若,則三重積分值等于以為分布密度幾何體質量.二重積分與三重積分有類似存在條件及性質.四、三重積分計算1.利用直角坐標計算三重積分方法1.投影法(“先z后xy”)方法2平行截面法先假設連續函數并將它看作某物體經過計算該物體質量引出以下各計算密度函數,方法:當被積函數只含有一個變量用與此變量所在坐標軸垂直平面截積分區域所截面面積輕易求出時，用平行截面法比較簡單。方法1.投影法(“先一后二”)該物體質量為細長柱體微元質量為記作解范圍:方法2.截面法(“先二后一”)為底,dz為高柱形薄片質量為該物體質量為記作例

解解原式我們稱此種方法為平行截面法。當被積函數只含有一個變量用與此變量所在坐標軸垂直平面截積分區域所截面面積輕易求出時，用平行截面法比較簡單。2.利用柱坐標計算三重積分就稱為點M柱坐標.直角坐標與柱面坐標關系:坐標面分別為圓柱面半平面平面如圖所表示,在柱面坐標系中體積元素為所以其中適用范圍:當積分區域由柱面、錐面、旋轉拋物面與其它曲面圍成且被積函數含有以下形式：例（970105）計算其中為平面曲線解：旋轉曲面方程為繞軸旋轉一周形成曲面與平面所圍成區域。xyzo3.利用球坐標計算三重積分就稱為點M球坐標.直角坐標與球面坐標關系坐標面分別為球面半平面錐面如圖所表示,在球面坐標系中體積元素為所以有其中適用范圍:當積分區域由球面與錐面，球面與平面圍成且被積函數含有以下形式：例計算其中解解小結：1當積分區域由柱面、錐面、旋轉拋物面與其它曲面圍成且被積函數含有以下形式：時用柱坐標。2當積分區域由球面與錐面，球面與平面圍成且被積函數含有形式時用球坐標。２、被積函數在積分區域上關于三 個坐標軸補充：利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應注意：１、積分區域關于坐標面對稱性；奇偶性．解積分域關于三個坐標面都對稱，被積函數是奇函數,例8

解利用球面坐標五、重積分應用★

二重積分1:二重積分被積函數等于1時,二重積分值等于積分區域面積.所以我們能夠利用二重積分求平面圖形面積.2:由二重積分幾何意義可知,二重積分可用來求體積.(當被積函數大于零時，二重積分是以被積函數為曲頂、以積分區域為底曲頂柱體體積．)一、平面面積、體積、質量3:由二重積分物理意義可知,二重積分可用來求平面薄片質量.例1求由曲面與曲面所圍成立體體積.解由得從而投影曲線例2求面密度為圓板質量.解由二重積分物理意義可知設光滑曲面設它在D上則(二)、★曲面面積投影為d

,若光滑曲面方程為則有若光滑曲面方程為則有解上半球面在面上投影由得令所以,整個球面面積為

占有空間有界域

空間形體，體密度為空間形體質量(二)、★三重積分

占有空間有界域

空間形體體積為

占有空間有界域

空間形體，體密度為空間形體質量例求由曲面與曲面所圍成立體體積.*用三重積分計算*(三)、物體重心若物體為占有xoy面上區域D平面薄片,則它質心坐標為其面密度—對x軸

靜矩—對y軸