自動控制原理（第

31

講）§6

線性離散系統的分析與校正§6.3 Z變換理論§6.3z變換理論（0）E*

(s)

e(n0例1

e(t

)

1(t

)

，求

E*

(s)解

E*

(s)

1

enTsn0Ts

2Ts

1

e

eeTseTs

eaT1

e(

sa

)T1e(t)

eat，求E*

(s)例2解1eTs

Ts

Ts1

e

e

1

n0

n0E*

(s)

eanT

enTs

e(

s

a

)nT§6.3 z變換理論（1）n0nze

e(nT

)

zE(z)

Ζ[e*

(t)]

E*

(s)Ts§6.3.1

z變換定義*e

(t

):原像

E(z):像E(z)

Ζ[e*

(t)]

Z[E(s)]

Z[E*

(s)]

Z[e(t)]注：

z

變換只對離散信號而言E(z)

只對應惟一的e*(t)，不對應惟一的e

(t)§6.3.2

z變換方法級數求和法（定義法）查表法（部分分式展開法）§6.3z變換理論（2）te(t

)

aT例2例1n

nn0

1

az1

z

a1

zE(z)

a

z

e

jt

e(t

)

sin

t

1

e

jt

1

n

e

zn0

2

jE(z)

e

j

nT2

jj

nT

1

n01

n

(e

z

)

(e

z

)2

j

j

Tj

T

1

n11

e

j

T

z

1

1

12

j

1

e

j

T

z

1zzz

e

j

T

2

j

z

e

j

T

1

1

z(e

j

T

e

j

T

)2

j z

2

(e

j

T

e

j

T

)z

1z2

2cosT

z

1z

sinT§6.3z變換理論（3）e(t

)

t

nT

z T

2

3

z

2z

3z

E(z)n0n

1

Tz

z2

2z

d

z

3

Tz

d

z

1

d

z

2

dz

dz

dz

z3dz

Tz

d

z1

z2

dz

Tz

d

z1

1

z1

z2

1dz

z

1

z1

例3解.1dz

z

1

Tz

d

1

Tz

d

(z

1)2Tz§6.3z變換理論（4）1(s

a)(s

b)E(s)

a

b

(s

a)(s

b)

a

b

s

b s

a

E(s)

1

(s

a)

(s

b)

1

1

1

ebt

eat

a

b1e(t)

例4解.,求E(z)=?a

nT

nbnTe

e

za

b

n0

1

E(z)

a

b

(e

z

)

1

aT

1

nn0(ebT

z1

)n

n011

11

eaT

z

1

a

b

1

ebTz

1

z

eaT

zza

b

z

ebT1§6.3z變換理論（5）t常見函數的z變換e(t

)E

(

z)⑴

(t

)1⑵1(t

)z

(z

1)⑶

T

(t

)z

(z

1)⑷⑸⑹ta

Te

aTTz

(z

1)2z

(z

a)z

(z

eaT

)⑺sin

tz

sinT

(z2

2cosT

1)⑻cos

tz(z

cosT

)

(z2

2cosT

1)22

1*

*1b

E

(z)Z

a

e

(t)

b

e

(t)

a

E

(z)

1.

線性性質

Ze(t

nT

)

zn

E(z)k§6.3 z變換理論（6）§6.3.3

z變換的基本定理2.

實位移定理①延遲定理證：

e(

jT

)

z

(

j

n)

z

n

e(

jT

)

z

jj

n j

0

zn

E(z)

右左

e(kT

nT

)

zk

0j

k

n§6.3z變換理論（7）n1k

0k

ne(kT)

zZe(t

nT

)

z

E(z)

k2.

實位移定理②超前定理證：j

nn

j

z

e(

jT

)

zn1

j

j

0

jn

e(

jT

)

zj

0

z

e(

jT

)

zk

0(

k

n)n

z

e(kT

nT

)

z左

e(kT

nT

)

zk

0j

k

n

右n1k

0kne(kT)

zE(z)

z§6.3z變換理論（8）Ze(t)

eat

Ez

eaT

n0a

nT

n左

e(nT

)

e

z3.

復位移定理證：1

ne(nT

)

zz

z

eanT11

1

z1

ze(z

eaT

1)2T(z

eaT

)(z

1)2TzE(z1

)

ZtaTn0a

nT

n

e(nT

)

z

e1

E(z

)

右anT

E

z

ek

0例7

e(t)

t

eaTaT

2(z

e

)Tz

e

aT§6.3z變換理論（9）lim

e(nT

)

lim

E(z)n0

zn0nE(z)

e(nT

)

z4.

初值定理證：

e(0)

e(1)

z1

e(2)

z2

e(3)

z3

lim

E(z)

e(0)zz例

0.792

z

28

E(z)

(z

1)[z

2

0.416z

0.208]e(0)

lim

E(z)

0§6.3z變換理論（10）lim

e(nT

)

lim

(z

1)

E(z)n

z15.

終值定理證：

n0n

z1

z1lim

(z

1)E(z)

limz

e(0)

e[(n

1)T

]

e(nT

)

ze(T

)

lim(z

1)E(z)z10.792

z

2例9

E(z)

(z

1)[z

2

0.416z

0.208]

12

lim

0.416z

0.208]0.792

z

2z1

[zZe(t

T)

e(t)

z

E(z)

e(0)

E(z)

(z

1)E(z)

z

e(0)(z

1)E(z)

z

e(0)

Ze(t

T)

e(t)

e(0)

[e(1)

e(0)]

[e(2)

e(1)]

[e(3)

e(2)]

e(T

)§6.3z變換理論（11）k

0c*

(t

)

e*

(t

)*

g*

(t

)

e(kT

)

g[(n

k

)T

]6.

卷積定理C(z)

E(z)

G(z)設：則：(證明見

)§6.3.4

Z

反變換冪級數法（長除法）留數法（反演積分法）z查表法（部分分式展開法）

以E(z)的形式展開n1ResE(z)

z

e(nT

)

§6.3z變換理論（12）z2

3z

210zE(z)

E(z)

10z

，分別用三種方法求e*(t)(z

1)(z

2)。30z0

20z130z0

90z1

60z270z

1

60z

270z

1

210z

2

140z

3150z2

140z3

3z

2z2

10z1

30z2

70z3

150z4

e*

(t

)

10

(t

T

)

30

(t

2T

)

70

(t

3T

)

150

(t

4T

)

例10解法I:(長除法)10z

1

30z

2

70z

3

150z410z10z

30z0

20z1§6.3z變換理論（13）E(z)

解法II:(查表法—部分分式展開法)10zz2

3z

210z

z2

3z

2E(z)

]10

10[(z

1)(z

2)1

1z

2

z

1]z

1zzz

2E(z)

10[

nT

)

10(2n

1)

(t

nT

)n0t

te(t)

10

[2T

1T

]e*

(t

)

e(n0例10E(z)

10z

，分別用三種方法求e*(t)(z

1)(z

2)。§6.3z變換理論（14）z2

3z

210zE(z)

e*

(t

)

e(n0解法III:(留數法—反演積分法)

nT

)

10(2n

1)

(t

nT

)n0e(nT

)

ResE(z)

zn1

1)((zz2)10zzlim

z

2()1)((zz2)10zzlim

z

1)(n1z2

n1z1

lim

lim10znz2

z

1

10zn

z1

z

2

n

10

10

2

10(2

1)n(z

1)(z

2)10z例10E(z)

10z

，分別用三種方法求e*(t)(z

1)(z

2)。e(nT

)

ResE(z)

zn1

§6.3z變換理論（15）z2例11，分別用查表法、留數法求e*(t)E(z)

(z

0.8)(z

0.1)。*n

ne

(t

)

(8

0.8

0.1 )

/

7

(t nT

)n0查表法：z

(z

0.8)(z

0.1)E(z)

z1z

8C

limz0.8

(z

0.1)

7e(nT

)

(8

0.8n

0.1n

)

/

7(z

0.8)

(z

0.1)C1

C22z

1C

limz0.1

(z

0.8)

78

7 1

7(z

0.8)

(z

0.1)

1

7

(z

0.1)z7

(z

0.8)zE(z)

8

tt

0.1T

)

/

7e(t)

(8

0.8T§6.3z變換理論（16）*7

8

1n0n

ne

(t

)

(

0.8

0.1

)

(t

nT

)7留數法：0.70.7n1

n1

0.8

0.1e(nT

)

ResE(z)

zn1

(z

0.8)(z

0.1)e(nT

)

lim

(z

0.8)z2

zn1z0.8(z

0.8)(z

0.1)

lim

(z

0.1)z2

zn1z0.1z2例11，分別用查表法、留數法求e*(t)E(z)

(z

0.8)(z

0.1)。§6.3z變換理論（17）5(z

a)2E(z)

例12，用留數法求e*(t)。*n0(t

nT

)5(n

1)

ae

(t

)

n2

解.2

5

n1

zz

a

(z

a)e(nT

)

ResE(z)

zn1

Res1(z

a)2

lim

(z

a)2

d

e(nT

)

5

zn1(2

1)!

za

dz

za

dz

lim

d

5

zn1

5

lim(n

1)

zn2

za

5

(n

1)

an2§6.3 z變換理論（18）lim

G(s)

0sn

m

1

+零階保持器n

m

2§6.3.5

Z

變換的局限性只反映采樣點上的信息；以下條件不滿足時，連續信號在采樣點處會有跳變。課程小結（1）

e

(nT

)

znn0E(z)

Ζ[e*

(t)]

E*

(s)zeTs⑴⑵⑶§6.3.2

常見函數的z變換e(t