若

E(?)

則稱?是

的無偏估計(jì)量.無偏性定義定義的合理性不可能要求每一次由樣本得到的估計(jì)值與真值都相等，但可以要求這些估計(jì)值的期望與真值相等.(n

)是總體X的樣本,證明:

不論

X

服從什么分布(但期望存在),是k的無偏估計(jì)量.證ninkikXni1i1E(

X

k

)1n)

1E(

A

)

E(例1

設(shè)總體X的

k階矩

k

E(X

k

)存在kkiE(

X

)

i

1,2,,n

因而由于kkn

1

n

nikX

kni1A

1則n

iXA

i1221n是總體特別地樣本均值X

是總體期望E(X

)的無偏估計(jì)量樣本二階原點(diǎn)矩的無偏二階原點(diǎn)矩

2

E(

X

)2估計(jì)量例2

設(shè)總體

X的期望

與方差存在,

X的(1)樣本為

(

n

)

(n

>

1).ninS

2(X

X

)2

不是D(X)的無偏估量;1n(2)niS

i122

X

)是D(X

)的無偏估計(jì)量.(

Xn

1i11證DXn22n

1

nES

DX

ES

前已證證明21

例3

設(shè) 是總體

X的一個樣本

,X~B(n,p)

n

>1,求p

2

的無偏估計(jì)量.解由于樣本矩是總體矩的無偏估計(jì)量以及數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì),只要將未知參數(shù)表示成總體矩的線性函數(shù),然后用樣本矩作為總體矩的估計(jì)量,這樣得到的未知參數(shù)的估計(jì)量即為無偏估計(jì)量.X

E(X

)

np令miX

2

E(

X

2

)

(np)2

np(1

p)m1

i1

X

X

n

mmi12in2p2

1

1因此,p2

的無偏估計(jì)量為n(n

1)

m

i11

m

X

(

X

1)i

i故Xmm

Xi12i21(n2

n)

p

例4

設(shè)21

是總體X的一個樣本,求解令

X

E(X

)

X

2

E(

X

2

)

2mm1

i1iX~P(

)n

>

1

,

2

的無偏估計(jì)量.nX

Xni12i

21

例4

設(shè)總體X

的密度函數(shù)為

0

1x

0,

xe

f

(x;

)

0為常數(shù)x

0為X

的一個樣本21

都是

的無偏21

證明

X

與估計(jì)量證

E(

X

)

X

~

E

1

故E(X

)

E(X

)

X

是

的無偏估計(jì)量.}nZ

min{令ez

0z

0f

(z)

n

nzZn

E(Z

)

Z

~

E

n

0nz1

e

z

0E(nZ

)

即故

n

Z

是

的無偏估計(jì)量.

1

P(

X1

z)P(

X

2

z)P(

Xn

z)z

0ni10

1

(1

P(

Xi

z))FZ

(z)

1

P(X1

z,

X

2

z,,

Xn

z))n都是總體參數(shù)

的無偏估計(jì)量,且D(?

)

D(?

)1

212則稱?

比?

更有效.定義

設(shè)

?

(有效性21221

1?

所以,X

比n

min{n}更有效.是

的無偏估計(jì)量,問哪個估計(jì)量更有效？21

由例4可知,

X

與

都1x

0x

0,

xe

f

(x;

)

0

0

為常數(shù)例5

設(shè)總體X

的密度函數(shù)為21,,

n{D(

2n解D(

X

)

，2例6

設(shè)總體

X，且

E(

X

)=

, D(

X

)=

221

為總體X的一個樣本ni1證明

?1

ci

Xini1(2)

證明

?

X

比

?1

ci

Xi更有效n

ni1

i1證

(1)

E(?1)

ci

E(

Xi

)

ci

ni1是

的無偏估計(jì)量

ic

1.ni(1)

設(shè)常數(shù)

c

1

i

1,2,,

n.(2)nini

ici122i121?c

D(

X

)

D(

)

nic21ni1??121n

D(

)D()

nijiic

nci121i

jn22i12

c

)(c結(jié)論算術(shù)均值比均值更有效.nni

i

i

j1i

jni122in1

c

2

c

cc

)而1

(例如

X

~

N(

,

2

)

,

(

X

1

,X

2

)

是一樣本.2

1??都是

的無偏估計(jì)量?由例6(2)知

?3

最有效.n定義

設(shè)是總體參數(shù)21

??則稱?

是總體參數(shù)

的一致(或相合)估計(jì)量.一致性的估計(jì)量.若對于任意的

,當(dāng)n

時,?

依概率收斂于

,即

0,lim

P(?

)

)

0一致性估計(jì)量僅在樣本容量n

足夠大時,才顯示其優(yōu)越性.n

)是正態(tài)總體N

(,

)的樣本，其中已知2例：設(shè)(試證：1

ini1|X

|

是的無偏估計(jì).

n

2解:22221||||200

x22

2

de2

2

dxxe

ex2

2

dxEX

x2212

x

x2

2

,所以

是的無偏估計(jì)。

ni11n

2

E(

)

關(guān)于一致性的兩個常用結(jié)論由大數(shù)定律證明用切不等式證明矩法得到的估計(jì)量一般為一致估計(jì)量在一定條件下,極大似然估計(jì)具有一致性量,且lim

D(?)

0,則n?

是

的一致估計(jì)量.樣本

k

階矩是總體

k階矩的一致性估計(jì)量.設(shè)?

是

的無偏估計(jì)例8

01x

0e

x

0,

xX

~

f

(x;

)

0為常數(shù)lim

D(

X

)

lim

0nn

n則

X

是

的無偏、有效、一致估計(jì)量.證由例7

知X

是

的無偏、有效估計(jì)量.

2所以X

是

的一致估計(jì)量,證畢.作業(yè)P.231

習(xí)題七15

1618

20補(bǔ)充題

設(shè)總體

X

~

N

(

,

2),21

為X的一個樣本,常數(shù)k

取n何值可使

k|

X

i

X

|

為

的無偏估計(jì)量i1第十四周

問

題母親嗜酒是否影響下一代的健康的Jones醫(yī)生于1974年觀察了母親在妊娠時