-.z.隨機事件及其概率1.1隨機事件習題1試說明隨機試驗應具有的三個特點．習題2將一枚均勻的硬幣拋兩次，事件A，B，C分別表示"第一次出現正面〞，"兩次出現同一面〞，"至少有一次出現正面〞，試寫出樣本空間及事件A，B，C中的樣本點.1.2隨機事件的概率1.3古典概型與幾何概型1.4條件概率1.5事件的獨立性復習總結與總習題解答習題3.證明以下等式：習題5.習題6.習題7習題8習題9習題10習題11習題12習題13習題14習題15習題16習題17習題18習題19習題20習題21習題22習題23習題24習題25習題26第二章隨機變量及其分布2.1隨機變量習題1隨機變量的特征是什么？解答：①隨機變量是定義在樣本空間上的一個實值函數.②隨機變量的取值是隨機的，事先或試驗前不知道取哪個值.③隨機變量取特定值的概率大小是確定的.習題2試述隨機變量的分類.解答：①假設隨機變量*的所有可能取值能夠一一列舉出來，則稱*為離散型隨機變量；否則稱為非離散型隨機變量.②假設*的可能值不能一一列出，但可在一段連續區間上取值，則稱*為連續型隨機變量.習題3盒中裝有大小一樣的球10個，編號為0,1,2,?,9,

從中任取1個，觀察號碼是"小于5〞，"等于5〞，"大于5〞的情況，試定義一個隨機變量來表達上述隨機試驗結果，并寫出該隨機變量取每一個特定值的概率.解答：分別用ω1,ω2,ω3表示試驗的三個結果"小于5〞，"等于5〞，"大于5〞，則樣本空間S={ω1,ω2,ω3},

定義隨機變量*如下：

*=*(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3則*取每個值的概率為

P{*=0}=P{取出球的號碼小于5}=5/10,

P{*=1}=P{取出球的號碼等于5}=1/10,

P{*=2}=P{取出球的號碼大于5}=4/10.2.2離散型隨機變量及其概率分布習題1設隨機變量*服從參數為λ的泊松分布，且P{*=1}=P{*=2},

求λ.解答：由P{*=1}=P{*=2},

得

λe-λ=λ^2/2e^-λ,解得λ=2.習題2設隨機變量*的分布律為

P{*=k}=k15,k=1,2,3,4,5,試求(1)P{12<*<52;

(2)P{1≤*≤3};

(3)P{*>3}.解答：(1)P{12<*<52=P{*=1}+P{*=2}=115+215=15;(2)P{≤*≤3}=P{*=1}+P{*=2}+P{*=3}

=115+215+315=25;(3)P{*>3}=P{*=4}+P{*=5}=415+515=35.習題3隨機變量*只能取-1,0,1,2四個值，相應概率依次為12c,34c,58c,716c,

試確定常數c,

并計算P{*<1∣*≠0}.解答：依題意知，12c+34c+58c+716c=1,

即3716c=1,解得

c=3716=2.3125.由條件概率知

P{*<1∣*≠0}=P{*<1,*≠0}P{*≠0}=P{*=-1}P{*≠0}

=12c1-34c=24c-3=26.25=0.32.習題4一袋中裝有5只球，編號為1,2,3,4,5.

在袋中同時取3只，以*表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機變量*的分布律.解答：隨機變量*的可能取值為3,4,5.P{*=3}=C22?1C53=110,

P{*=4}=C32?1C53=310,

P{*=5}=C42?1C53=35,所以*的分布律為*345pk1/103/103/5習題5*加油站替出租車公司代營出租汽車業務，每出租一輛汽車，可從出租公司得到3元.因代營業務，每天加油站要多付給職工效勞費60元，設每天出租汽車數*是一個隨機變量，它的概率分布如下：*10203040pi求因代營業務得到的收入大于當天的額外支出費用的概率.解答：因代營業務得到的收入大于當天的額外支出費用的概率為：

P{3*>60},

即P{*>20},

P{*>20}=P{*=30}+P{*=40}=0.6.就是說，加油站因代營業務得到的收入大于當天的額外支出費用的概率為0.6.習題6設自動生產線在調整以后出現廢品的概率為p=0.1,

當生產過程中出現廢品時立即進展調整，*代表在兩次調整之間生產的合格品數，試求：(1)*的概率分布；

(2)P{*≥5};(3)在兩次調整之間能以0.6的概率保證生產的合格品數不少于多少"解答：(1)P{*=k}=(1-p)kp=(0.9)k×0.1,k=0,1,2,?;(2)P{*≥5}=∑k=5∞P{*=k}=∑k=5∞(0.9)k×0.1=(0.9)5;(3)設以0.6的概率保證在兩次調整之間生產的合格品不少于m件，則m應滿足

P{*≥m}=0.6,即P{*≤m-1}=0.4.由于

P{*≤m-1}=∑k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,故上式化為1-0.9m=0.4,

解上式得

m≈4.85≈5,因此，以0.6的概率保證在兩次調整之間的合格品數不少于5.習題7設*運發動投籃命中的概率為0.6,

求他一次投籃時，投籃命中的概率分布.解答：此運發動一次投籃的投中次數是一個隨機變量，設為*,

它可能的值只有兩個，即0和1.*=0表示未投中，其概率為

p1=P{*=0}=1-0.6=0.4,*=1表示投中一次，其概率為

p2=P{*=1}=0.6.則隨機變量的分布律為

*

0

1

P

0.4

0.6

習題8*種產品共10件，其中有3件次品，現從中任取3件，求取出的3件產品中次品的概率分布.解答：設*表示取出3件產品的次品數，則*的所有可能取值為0,1,2,3.

對應概率分布為P{*=0}=C73C103=35120,

P{*=1}=C73C31C103=36120,P{*=2}=C71C32C103=21120,

P{*=3}=C33C103=1120.*的分布律為

*

0123

P

20習題9一批產品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次從這批產品中任取一件，取出的產品仍放回去，求直至取到正品為止所需次數*的概率分布.解答：由于每次取出的產品仍放回去，各次抽取相互獨立，下次抽取時情況與前一次抽取時完全一樣，所以*的可能取值是所有正整數1,2,?,k,?.設第k次才取到正品(前k-1次都取到次品),

則隨機變量*的分布律為

P{*=k}=310×310×?×310×710=(310)k-1×710,k=1,2,?.習題10設隨機變量*～b(2,p),Y～b(3,p),

假設P{*≥1}=59,

求P{Y≥1}.解答：因為*～b(2,p),P{*=0}=(1-p)2=1-P{*≥1}=1-5/9=4/9,所以p=1/3.因為Y～b(3,p),

所以

P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-(2/3)3=19/27.習題11紡織廠女工照顧800個紡綻，每一紡錠在*一段時間τ內斷頭的概率為0.005,

在τ這段時間內斷頭次數不大于2的概率.解答：以*記紡錠斷頭數,

n=800,p=0.005,np=4,應用泊松定理，所求概率為：

P{0≤*≤2}=P{?0≤*i≤2{*=*i}=∑k=02b(k;800,0.005)

≈∑k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)≈0.2381.習題12設書籍上每頁的印刷錯誤的個數*服從泊松分布，經統計發現在*本書上，有一個印刷錯誤與有兩個印刷錯誤的頁數一樣，求任意檢驗4頁，每頁上都沒有印刷錯誤的概率.解答：\becauseP{*=1}=P{*=2},

即

λ11!e-λ=λ22!e-λ?λ=2,∴P{*=0}=e-2,∴p=(e-2)4=e-8.2.3隨機變量的分布函數習題1F(*)={0,*<-20.4,-2≤*<01,*≥0,

是隨機變量*的分布函數，則*是___________型的隨機變量.解答：離散.由于F(*)是一個階梯函數，故知*是一個離散型隨機變量.習題2設F(*)={0*<0*20≤1,1*≥1

問F(*)是否為*隨機變量的分布函數.解答：首先，因為0≤F(*)≤1,?*∈(-∞,+∞).其次，F(*)單調不減且右連續，即

F(0+0)=F(0)=0,

F(1+0)=F(1)=1,且

F(-∞)=0,F(+∞)=1,所以F(*)是隨機變量的分布函數.習題3離散型隨機變量*的概率分布為P{*=1}=0.3,P{*=3}=0.5,P{*=5}=0.2,試寫出*的分布函數F(*)，并畫出圖形.解答：由題意知*的分布律為：*

135

Pk所以其分布函數F(*)=P{*≤*}={0,*<10.3,1≤*<30.8,3≤*<51,*≥5.F(*)的圖形見圖.習題4設離散型隨機變量*的分布函數為

F(*)={0,*<-10.4,-1≤*<10.8,1≤*<31,*≥3,試求：(1)*的概率分布；

(2)P{*<2∣*≠1}.解答：(1)

*-113

pk(2)P{*<2∣*≠1}=P{*=-1}P{*≠1}=23.習題5設*的分布函數為

F(*)={0,*<0*2,0≤*<1*-12,1≤*<1.51,*≥1.5,求P{0.4<*≤1.3},P{*>0.5},P{1.7<*≤2}.解答：P{0.4<*≥1.3}=P{1.3}-F(0.4)=(1.3-0.5)-0.4/2=0.6,P{*>0.5}=1-P{*≤0.5}=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P{1.7<*≤2}=F(2)-F(1.7)=1-1=0.習題6設隨機變量*的分布函數為

F(*)=A+Barctan*(-∞<*<+∞),試求：(1)系數A與B;

(2)*落在(-1,1]內的概率.解答：(1)由于F(-∞)=0,F(+∞)=1,

可知

{A+B(-π2)A+B(π2)=1=0?A=12,B=1π,于是

F(*)=12+1πarctan*,

-∞<*<+∞;(2)P{-1<*≤1}=F(1)-F(-1)

=(12+1πarctan1)-[12+1πarctan*(-1)]

=12+1π?π4-12-1π(-π4)=12.習題7在區間[0,a]上任意投擲一個質點，以*表示這個質點的坐標.設這個質點落在[0,a]中任意小區間內的概率與這個小區間的長度成正比例，試求*的分布函數.解答：

F(*)=P{*≤*}={0,*<0*a,0≤*<a.1,*≥a

2.4連續型隨機變量及其概率密度習題1設隨機變量*的概率密度為f(*)=12πe-(*+3)24(-∞<*<+∞),則Y=ˉ～N(0,1).解答：應填3+*2.由正態分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=*-μσ～N(0,1),

所以Y=3+*2～N(0,1).習題2*～f(*)={2*,0<*<10,其它,

求P{*≤0.5};P{*=0.5};F(*).解答：P{*≤0.5}=∫-∞0.5f(*)d*=∫-∞00d*+∫00.52*d*=*2∣00.5=0.25,P{*=0.5}=P{*≤0.5}-P{*<0.5}=∫-∞0.5f(*)d*-∫-∞0.5f(*)d*=0.當*≤0時，F(*)=0;當0<*<1時，F(*)=∫-∞*f(t)dt=∫-∞00dt+∫0*2tdt=t2∣0*=*2;當*≥1時，F(*)=∫-∞*f(t)dt=∫-∞00dt+∫0*2tdt+∫1*0dt=t2∣01=1,故

F(*)={0,*≤0*2,0<*<1.1,*≥1習題3設連續型隨機變量*的分布函數為

F(*)={A+Be-2*,*>00,*≤0,試求：(1)A,B的值；(2)P{-1<*<1};

(3)概率密度函數F(*).解答：(1)\becauseF(+∞)=lim*→+∞(A+Be-2*)=1,

∴A=1;又

\becauselim*→0+(A+Be-2*)=F(0)=0,

∴B=-1.(2)

P{-1<*<1}=F(1)-F(-1)=1-e-2.(3)f(*)=F′(*)={2e-*,*>00,*≤0.習題4服從拉普拉斯分布的隨機變量*的概率密度f(*)=Ae-∣*∣,

求系數A及分布函數F(*).解答：由概率密度函數的性質知，∫-∞+∞f(*)d*=1,

即

∫-∞+∞Ae-∣*∣d*=1,而∫-∞+∞Ae-∣*∣d*=∫-∞0Ae*d*+∫0+∞Ae-*d*

=Ae*∣-∞0+(-Ae-*∣0+∞)=A+A=2A或

∫-∞+∞Ae-*d*=2∫0+∞Ae-*d*=-2Ae-*∣0+∞=2A,

所以2A=1,

即A=1/2.從而f(*)=12e-∣*∣,-∞<*<+∞,

又因為F(*)=∫-∞*f(t)dt,

所以當*<0時，F(*)=∫-∞*12e-∣t∣dt=12∫-∞*etdt=12et∣-∞*=12e*;當*≥0時，F(*)=∫-∞*12e-∣*∣dt=∫-∞012etdt+∫0*12e-tdt

=12et∣-∞0-12e-t∣0*=12-12e-*+12=1-12e-*,從而F(*)={12e*,*<01-12e-*,*≥0.習題5*型號電子管，其壽命(以小時計)為一隨機變量，概率密度

f(*)={100*2,*≥1000,其它,*一電子管的使用壽命為*,

則三個電子管使用150小時都不需要更換的概率.解答：設電子管的使用壽命為*,

則電子管使用150小時以上的概率為

P{*>150}=∫150+∞f(*)d*=∫150+∞100*2d*

=-100*∣150+∞=100150=23,從而三個電子管在使用150小時以上不需要更換的概率為

p=(2/3)3=8/27.習題6設一個汽車站上，*路公共汽車每5分鐘有一輛車到達，設乘客在5分鐘內任一時間到達是等可能的，試計算在車站候車的10位乘客中只有1位等待時間超過4分鐘的概率.解答：設*為每位乘客的候車時間，則*服從[0,5]上的均勻分布.設Y表示車站上10位乘客中等待時間超過4分鐘的人數.由于每人到達時間是相互獨立的.這是10重伯努力概型.

Y服從二項分布，其參數

n=10,p=P{*≥4}=15=0.2,所以

P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.習題7設*～N(3,22).(1)確定C,

使得P{*>c}=P{*≤c};(2)設d滿足P{*>d}≥0.9,

問d至多為多少"解答：因為*～N(3,22),

所以*-32=Z～N(0,1).(1)欲使P{*>c}=P{*≤c},

必有1-P{*≤c}=P{*≤c},

即

P{*≤c}=1/2,亦即Φ(c-32)=12,

所以

c-32=0,

故c=3.(2)由P{*>d}≥0.9可得1-P{*≤d}≥0.9,

即

P{*≤d}≤0.1.于是Φ(d-32)≤0.1,Φ(3-d2)≥0.9.查表得3-d2≥1.282,

所以d≤0.436.習題8設測量誤差*～N(0,102),

先進展100次獨立測量，求誤差的絕對值超過19.6的次數不小于3的概率.解答：先求任意誤差的絕對值超過19.6的概率p,

p=P{∣*∣>19.6}=1-P{∣*∣≤19.6}

=1-P{∣*10∣≤1.96=1-[Φ(1.96)-Φ(-1.96)]

=1-[2Φ(1.96)-1]=1-[2×0.975-1]=1-0.95=0.05.設Y為100次測量中誤差絕對值超過19.6的次數，則Y～b(100,0.05).因為n很大，p很小，可用泊松分布近似，np=5=λ,

所以

P{Y≥3}≈1-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-5≈0.87.習題9*玩具廠裝配車間準備實行計件超產獎，為此需對生產定額作出規定.根據以往記錄，各工人每月裝配產品數服從正態分布N(4000,3600).假定車間主任希望10%的工人獲得超產獎，求：工人每月需完成多少件產品才能獲獎？解答：用*表示工人每月需裝配的產品數，則*～N(4000,3600).設工人每月需完成*件產品才能獲獎，依題意得P{*≥*}=0.1,

即

1-P{*<*}=0.1,所以1-F(*)=0.1,

即

1-Φ(*-400060)=0.1,

所以Φ(*-400060)=0.9.查標準正態人分布表得Φ(1.28)=0.8997,

因此

*-400060≈1.28,

即*=4077件，就是說，想獲超產獎的工人，每月必須裝配4077件以上.習題10*地區18歲女青年的血壓(收縮壓，以mm-HG計)服從N(110,122).

在該地區任選一18歲女青年，測量她的血壓*.(1)求P{*≤105},P{100<*≤120};(2)確定最小的*,

使P{*>*}≤0.005.解答：血壓*～N(110,122).(1)P{*≤105}=P{*-11012≤-512≈1-Φ(0.42)=0.3372,

P{100<*≤120}=Φ(120-11012)-Φ(100-11012)

=Φ(0.833)-Φ(-0.833)=2Φ(0.833)-1≈0.595.(2)使P{*>*}≤0.05,

求*,

即1-P{*≤*}≤0.05,

亦即

Φ(*-11012)≥0.95,查表得*-10012≥1.645,

從而*≥129.74.習題11設*城市男子身高*～N(170,36),

問應如何選擇公共汽車車門的高度使男子與車門碰頭的時機小于0.01.解答：*～N(170,36),

則*-1706～N(0,1).設公共汽車門的高度為*cm，由題意P{*>*}<0.01,

而

P{*>*}=1-P{*≤*}=1-Φ(*-1706)<0.01,即Φ(*-1706)>0.99,

查標準正態表得*-1706>2.33,

故*>183.98cm.因此，車門的高度超過183.98cm時，男子與車門碰頭的時機小于0.01.習題12*人去火車站乘車，有兩條路可以走.第一條路程較短，但交通擁擠，所需時間(單位：分鐘)服從正態分布N(40,102);

第二條路程較長，但意外阻塞較少，所需時間服從正態分布N(50,42),

求：(1)假設動身時離開車時間只有60分鐘，應走哪一條路線？(2)假設動身時離開車時間只有45分鐘，應走哪一條路線？解答：設*,Y分別為該人走第一、二條路到達火車站所用時間，則

*～N(40,102),Y～N(50,42).

哪一條路線在開車之前到達火車站的可能性大就走哪一條路線.(1)因為P{*<60}=Φ(60-4010)=Φ(2)=0.97725,

P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ(2.5)=0.99379,所以有60分鐘時應走第二條路.(2)因為P{*<45}=Φ(45-4010)=Φ(0.5)=0.6915,所以只有45分鐘應走第一條路.

2.5隨機變量函數的分布習題1*的概率分布為*-2-10123pi2a1/103aaa2a試求：(1)a;

(2)Y=*2-1的概率分布.解答：(1)\because2a+1/10+3a+a+a+2a=1,∴a=1/10.(2)

Y-1038pi3/101/53/101/5習題2設*的分布律為P{*=k}=12k,k=1,2,?,

求Y=sinπ2*的分布律.解答：因為

sin*nπ2={1,當n=4k-10,當n=2k-1,當n=4k-3,所以Y=sin(π2*)只有三個可能值-1,0,1.

容易求得

P{Y=-1}=215,P{=0}=13,P{Y=1}=815故Y的分布律列表表示為Y

-101

P

21513815習題3設隨機變量*服從[a,b]上的均勻分布，令Y=c*+d(c≠0),

試求隨機變量Y的密度函數.解答：

fY(y)={f*(y-dc)?1∣c∣,a≤y-dc≤b0,其它,當c>0時，fY(y)={1c(b-a),ca+d≤y≤cb+d0,其它,當c<0時，fY(y)={-1c(b-a),cb+d≤y≤ca+d0,其它.習題4設隨機變量*服從[0,1]上的均勻分布，求隨機變量函數Y=e*的概率密度fY(y).解答：f(*)={1,0≤*≤10,其它,f=e*,*∈(0,1)是單調可導函數，y∈(1,e),

其反函數為*=lny,

可得

f(*)={f*(lny)∣ln′y,1<y<e0,其它={1y,1<y<e0,其它.習題5設*～N(0,1)，求Y=2*2+1的概率密度.解答：因y=2*2+1是非單調函數，故用分布函數法先求FY(y).

FY(y)=P{Y≤y}=P{2*2+1≤y}(當y>1時)

=P{-y-12≤*≤y-12=∫-y-12y-1212πe-*2d*,所以fY(y)=F′Y(y)=22πe-12?y-12?122y-1,y>1,

于是

fY(y)={12π(y-1)e-y-14,y>10,y≤1.習題6設連續型隨機變量*的概率密度為f(*),

分布函數為F(*),

求以下隨機變量Y的概率密度：(1)Y=1*;

(2)Y=∣*∣.解答：(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/*≤y}.①當y>0時，FY(y)=P{1/*≤0}+P{0<1/*≤y}

=P{*≤0}+P{*≥1/y}=F(0)+1-F(1/y),故這時fY(y)=[-F(1y)]′=1y2f(1y);；②當y<0時，FY(y)=P{1/y≤*<0}=F(0)-F(1/y),故這時fY(y)=1y2f(1y);③當y=0時，FY(y)=P{1/*≤0}=P{*<0}=F(0),故這時取fY(0)=0,

綜上所述

fY(y)={1y2?f(1y),y≠00,y=0.(2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣*∣≤y}.①當y>0時，FY(y)=P{-y≤*≤y}=F(y)-F(-y)這時fY(y)=f(y)+f(-y);②當y<0時，FY(y)=P{?}=0,

這時fY(y)=0;③當y=0時，FY(y)=P{Y≤0}=P{∣*∣≤0}=P{*=0}=0,故這時取FY(y)=0,

綜上所述

fY(y)={f(y)+f(-y),y>00,y≤0.習題7*物體的溫度T(°F)是一個隨機變量,且有T～N(98.6,2),

θ=5(T-32)/9,

試求θ(°F)的概率密度.解答：T～N(98.6,2).

θ=59(T-32),

反函數為T=59θ+32,

是單調函數，所以

fθ(y)=fT(95y+32)?95=12π?2e-(95y+32-98.6)24?95

=910πe-81100(y-37)2.習題8設隨機變量*在任一區間[a,b]上的概率均大于0,

其分布函數為FY(*),

又Y在[0,1]上服從均勻分布，證明:Z=F*-1(Y)的分布函數與*的分布函數一樣.解答：因*在任一有限區間[a,b]上的概率均大于0,

故F*(*)是單調增加函數，其反函數F*-1(y)存在，又Y在[0,1]上服從均勻分布，故Y的分布函數為

FY(y)=P{Y≤y}={0,y<0y,0≤y≤11,y>0,于是，Z的分布函數為

FZ(z)=P{Z≤z}=P{F*-1(Y)≤z}=P{Y≤F*(z)}

={0,F*(z)<0F*(z),0≤F*(z)≤1,1,F*(z)>1由于F*(z)為*的分布函數，故0≤F*(z)≤1.F*(z)<0和F*(z)>1均勻不可能，故上式僅有FZ(z)=F*(z),

因此，Z與*的分布函數一樣.總習題解答習題1從1～20的整數中取一個數，假設取到整數k的概率與k成正比，求取到偶數的概率.解答：設Ak為取到整數k,

P(Ak)=ck,

k=1,2,?,20.因為P(?K=120Ak)=∑k=120P(Ak)=c∑k=120k=1，

所以c=1210,

P{取到偶數}=P{A2∪A4∪?∪A20}

=1210(2+4+?+20)=1121.習題2假設每次射擊中靶的概率為0.7,

求射擊10炮,(1)命中3炮的概率;(2)至少命中3炮的概率;(3)最可能命中幾炮.解答：假設隨機變量*表示射擊10炮中中靶的次數.由于各炮是否中靶相互獨立，所以是一個10重伯努利概型，*服從二項分布，其參數為n=10,p=0.7,

故(1)P{*=3}=C103(0.7)3(0.3)7≈0.009;(2)P{*≥3}=1-P{*<3}

=1-[C100(0.7)0(0.3)10+C101(0.7)1(0.3)9+C102(0.7)2(0.3)8]

≈0.998;(3)因*～b(10,0.7),

而

k0=[(n+1)p]=[(10+1)]×0.7=[7.7]=7,故最可能命中7炮.習題3在保險公司里有2500名同一年齡和同社會階層的人參加了人壽保險，在1年中每個人死亡的概率為0.002，每個參加保險的人在1月1日須交120元保險費，而在死亡時家屬可從保險公司里領20000元賠償金，求:(1)保險公司賠本的概率;(2)保險公司獲利分別不少于100000元,200000元的概率.解答：1)以"年〞為單位來考慮，在1年的1月1日，保險公司總收入為

2500×120元=30000元.設1年中死亡人數為*,

則*～b(2500,0.002),

則保險公司在這一年中應付出200000*(元)，要使保險公司賠本，則必須

200000*>300000即*>15(人).因此，P{保險公司賠本}=P{*>15}

=∑k=162500C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k

≈1-∑k=015e-55kk!≈0.000069,由此可見,在1年里保險公司賠本的概率是很小的.(2)P{保險公司獲利不少于100000元}

=P{300000-200000*≥100000}=P{*≤10}

=∑k=010C2500k(0.002)×(0.998)2500-k≈∑k=010e-55kk!≈0.986305,即保險公司獲利不少于100000元的概率在98%以上.

P{保險公司獲利不少于200000元}

=P{300000-200000*≥200000}=P{*≤5}

=∑k=05C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈∑k=05e-55kk!≈0.615961,即保險公司獲利不少于200000元的概率接近于62%.習題4一臺總機共有300臺分機，總機擁有13條外線，假設每臺分機向總機要外線的概率為3%,試求每臺分機向總機要外線時，能及時得到滿足的概率和同時向總機要外線的分機的最可能臺數.解答：設分機向總機要到外線的臺數為*,

300臺分機可看成300次伯努利試驗，一次試驗是否要到外線.設要到外線的事件為A,

則P(A)=0.03,

顯然*～b(300,0.03),

即

P{*=k}=C300k(0.03)k(0.97)300-k(k=0,1,2,?,300),因n=300很大，p=0.03又很小,

λ=np=300×0.03=9,可用泊松近似公式計算上面的概率.因總共只有13條外線，要到外線的臺數不超過13，故

P{*≤13}≈∑k=0139kk!e-9≈0.9265,

(查泊松分布表)且同時向總機要外線的分機的最可能臺數

k0=[(n+1)p]=[301×0.03]=9.習題5在長度為t的時間間隔內，*急救中心收到緊急呼救的次數*服從參數t2的泊松分布，而與時間間隔的起點無關(時間以小時計),

求：(1)*一天從中午12至下午3時沒有收到緊急呼救的概率；(2)*一天從中午12時至下午5時至少收到1次緊急呼救的概率.解答：(1)t=3,λ=3/2,

P{*=0}=e-3/2≈0.223;(2)t=5,λ=5/2,

P{*≥1}=1-P{*=0}=1-e-5/2≈0.918.習題6設*為一離散型隨機變量，其分布律為*

-101

pi

1/21-2qq2試求：(1)q的值；

(2)*的分布函數.解答：(1)\because離散型隨機變量的概率函數P{*=*i}=pi,

滿足∑ipi=1,

且0≤pi≤1,∴

{1/2+1-2q+q2=10≤1-2q≤1q2≤1,解得q=1-1/2.

從而*的分布律為下表所示：*

-101

pi

1/22-13/2-2(2)由F(*)=P{*≤*}計算*的分布函數

F(*)={0,1/2,2-1/2,1,*<-1-1≤*<00≤*<0*≥1.習題7設隨機變量*的分布函數F(*)為

F(*)={0,*<0Asin*,0≤*≤π/2,1,*>π/2則A=ˉ,P{∣*∣<π/6}=ˉ.解答：應填1;1/2.由分布函數F(*)的右連續性，有

F(π2+0)=F(π2)?A=1.因F(*)在*=π6處連續，故P{*=π6=12,

于是有

P{∣*∣<π6=P{-π6<*<π6

=P{-π6<*≤π6=F(π6)-F(-π6)=12..習題8使用了*小時的電子管，在以后的Δ*小時內損壞的概率等于λΔ*+o(Δ*),

其中λ>0是常數，求電子管在損壞前已使用時數*的分布函數F(*)，并求電子管在T小時內損壞的概率.解答：因*的可能取值充滿區間(0,+∞),

故應分段求F(*)=P{*≤*}.當*≤0時，F(*)=P{*≤*}=P(?)=0;當*>0時，由題設知P{*<*≤*+Δ*/*}=λΔ*+o(Δ*),

而P{*<*≤*+Δ*/*}=P{*<*≤*+Δ*,*>*}P{*>*}

=P{*<*≤*+Δ*}1-P{*≤*}=F(*+Δ*)-F(*)1-F(*),故F(*+Δ*)-F(*)1-F(*)=λΔ*+o(Δ*),

即

F(*+Δ*)-F(*)Δ*=[1-F(*)][λ+o(Δ*)Δ*],令o(Δ*)→0,

得F′(*)=λ[1-F(*)].這是關于F(*)的變量可別離微分方程，別離變量dF(*)1-F(*)=λd*,

積分之得通解為

C[1-F(*)]=e-λ*(C為任意常數).注意到初始條件F(0)=0,

故C=1.于是F(*)=1-e-λ*,*>0,λ>0,

故*的分布函數為

F(*)={0,*≤01-e-λ*,*>0(λ>0),從而電子管在T小時內損壞的概率為

P{*≤T}=F(T)=1-e-λT.習題9設連續型隨機變量*的分布密度為

f(*)={*,0<*≤12-*,1<*≤20,其它,求其分布函數F(*).解答：當*≤0時，F(*)=∫-∞*0dt=0;當0<*≤1時，F(*)=∫-∞*f(t)dt=∫-∞00tdt+∫0*tdt=12*2;當1<*≤2時，

F(*)=∫-∞*f(t)dt=∫-∞00dt+∫01tdt+∫1*(2-t)dt

=0+12+(2t-12t2)∣1*=-1+2*-*22;當*>2時，F(*)=∫-∞00dt+∫01tdt+∫12(2-t)dt+∫2*0dt=1,

故

F(*)={0,*≤212*2,0<*≤1-1+2*-*22,1<*≤21,*>2.習題10*城市飲用水的日消費量*(單位：百萬升)是隨機變量，其密度函數為：

f(*)={19*e-*3,*>00,其它,試求：(1)該城市的水日消費量不低于600萬升的概率；(2)水日消費量介于600萬升到900萬升的概率.解答：先求*的分布函數F(*).

顯然，當*<0時，F(*)=0,

當*≥0時有

F(*)=∫0*19te-t3dt=1-(1+*3)e-*3故F(*)={1-(1+*3)e-*3,*≥00,*<0,

所以

P{*≥6}=1-P{*<6}=1-P(*≤6}=1-F(6)

=1-[1-(1+*3)e-*3]*=6=3e-2,

P{6<*≤9}=F(9)-F(6)=(1-4e-3)-(1-3e-2)=3e-2-4e-3.習題11*～f(*)={cλe-λ*,*>a0,其它(λ>0),

求常數c及P{a-1<*≤a+1}.解答：由概率密度函數的性質知∫-∞+∞f(*)d*=1,

而

∫-∞+∞f(*)d*=∫-∞a0d*+∫a+∞cλe-λ*d*

=c∫a+∞e-λ*d(λ*)=-ce-λ*\vlinea+∞=ce-λa,所以ce-λa=1,

從而c=eλa.

于是

P{a-1<*≤a+1}=∫a-1a+1f(*)d*=∫a-1a0d*+∫aa+1λeλae-λ*d*

=-eλae-λ*\vlineaa+1=-eλa(e-λ(a+1)-e-λa)=1-e-λ.注意，a-1<a,

而當*<a時，f(*)=0.習題12*～∣0.1<*≤0.5}.解答：根據條件概率;有∣0.1<*≤0.5}=P{*≤0.2,0.1<*≤0.5}P{0.1<*≤0.5}

=P{0.1<*≤0.2}P{0.1<*≤0.5}=∫0.10.2(12*2-12*+2)d*∫0.10.5(12*2-12*+3)d*

=(4*3-6*2+3*)∣0.10.2(4*3-6*2+3*)∣0.10.5=0.1480.256=0.578125.習題13假設F1(*),F2(*)為分布函數，(1)判斷F1(*)+F2(*)是不是分布函數，為什么？(2)假設a1,a2是正常數，且a1+a2=1.

證明：a1F1(*)+a2F2(*)是分布函數.解答：(1)F(+∞)=lim*→+∞F(*)=lim*→+∞F1(*)+lim*→+∞F2(*)=1+1=2≠1故F(*)不是分布函數.(2)由F1(*),F2(*)單調非減，右連續，且

F1(-∞)=F2(-∞)=0,F1(+∞)=F2(+∞)=1,可知a1F1(*)+a2F2(*)單調非減，右連續，且

a1F1(-∞)+a2F2(-∞)=0,a1F1(+∞)+a2F2(+∞)=1.從而a1F1(*)+a2F2(*)是分布函數.習題14設隨機變量*的概率密度?(*)為偶函數，試證對任意的a>0,

分布函數F(*)滿足：(1)F(-a)=1-F(a);

(2)P{∣*∣>a}=2[1-F(a)].解答：(1)F(-a)=∫-∞-a?(*)d*=∫a+∞?(-t)dt=∫a+∞?(*)d*

=1-∫-∞a?(*)d*=1-F(a).(2)P{∣*∣>a}=P{*<-a}+P{*>a}=F(-a)+P{*≥a}

F(-a)+1-F(a)=2[1-F(a)].習題15設K在(0,5)上服從均勻分布，求*的方程4*2+4K*+K+2=0有實根的概率.解答：因為K～U(0,5),

所以

fK(k)={1/5,0<k<50,其它,方程4*2+4K*+K+2=0有實根的充要條件為(4K)2-4?4(K+2)≥0,

即

K2-K-2≥0,亦即(k-2)(K+1)≥0,

解得K≥2(K≤-1舍去),

所以P{方程有實根}=P{K≥2}=∫2515d*=35.習題16*單位招聘155人，按考試成績錄用，共有526人報名，假設報名者考試成績*～N(μ,σ2),90分以上12人，60分以下83人，假設從高分到低分依次錄取，*人成績為78分，問此人是否能被錄取？解答：要解決此問題首先確定μ,σP{*>90}=12/526≈0.0228,P{*≤90}=1-P{*>90}≈1-0.0228}=0.9772;又因為P{*≤90}=P{*-μσ≤90-μσ,所以有Φ(90-μσ)=0.9772,反查標準正態表得90-μσ=2①同理：P{*≤60}=83/526≈0.1578;又因為P{*≤60}=P{*-μσ≤60-μσ,故Φ(60-μσ)≈0.1578.因為0.1578<0.5,所以60-μσ<0,故Φ(μ-60σ)≈1-0.1578=0.8422,反查標準正態表得μ-60σ≈1.0②聯立①，②解得σ=10,μ=70,所以，*～N(70,100).*人是否能被錄取，關鍵看錄取率.錄取率為155526≈0.2947,看*人是否能被錄取，解法有兩種：方法1：P{*>78}=1-P{*≤78}=1-P{*-7010≤78-7010=1-Φ(0.8)≈1-0.7881=0.2119,因為0.2119<0.2947(錄取率),所以此人能被錄取.方法2：看錄取分數線.設錄取者最低分為*0,則P{*≥*0}=0.2947(錄取率),P{*≤*0}=1-P{*≥*0}=1-0.2947=0.7053,P{*≤*0}=P{*-7010≤*0-7010=Φ{*0-7010=0.7053,反查標準正態表得*0-7010≈0.54,解得*0≈75.此人成績78分高于最低分，所以可以錄取.習題17假設*地在任何長為t(年)的時間間隔內發生地震的次數N(t)服從參數為λ=0.1t的泊松分布，*表示連續兩次地震之間間隔的時間(單位：年).(1)證明*服從指數分布并求出*的分布函數；(2)求今后3年內再次發生地震的概率；(3)求今后3年到5年內再次發生地震的概率.解答：(1)當t≥0時，P{*>t}=P{N(t)=0}=e-0.1t,∴F(t)=P{*≤t}=1-P{*>t}=1-e-0.1t;當t<0時，F(t)=0,∴

F(*)={1-e-0.1t,*≥00,*<0,*服從指數分布(λ=0.1);(2)F(3)=1-e-0.1×3≈0.26;(3)F(5)-F(3)≈0.13.習題18100件產品中，90個一等品，10個二等品，隨機取2個安裝在一臺設備上，假設一臺設備中有i個(i=0,1,2)二等品，則此設備的使用壽命服從參數為λ=i+1的指數分布.(1)試求設備壽命超過1的概率；(2)設備壽命超過1，求安裝在設備上的兩個零件都是一等品的概率.解答：(1)設*表示設備壽命.A表示"設備壽命超過1〞，Bi表示"取出i個二等品〞(i=0,1,2)，則*的密度函數為f*(*)={λe-λ*,*>00,*≤0(λ=i+1,i=0,1,2),P(B0)=C902C1002,P(B1)=C901C102C1002,P(B2)=C102C1002,P(A∣B0)=∫1+∞e-*d*=e-1,P(A∣B1)=∫1+∞2e-2*d*=e-2,P(A∣B2)=∫1+∞3e-3*d*=e-3,由全概率公式：P(A)=∑i=02P(Bi)P(A∣Bi)≈0.32.(2)由貝葉斯公式：P(B0∣A)=P(B0)P(A∣B0)P(A)≈0.93.習題19設隨機變量*的分布律為

*

-2-1013pi

1/51/61/51/1511/30試求Y=*2的分布律.解答：

pi

1/51/61/51/1511/30

*

-2-1013*2

41019所以

*2

0149pi

1/57/301/511/30注：隨機變量的值一樣時要合并，對應的概率為它們概率之和.習題20設隨機變量*的密度為

f*(*)={0,*<02*3e-*2,*≥0,求Y=2*+3的密度函數.解答：由Y=2*+3,

有

y=2*+3,*=y-32,*′=12,由定理即得

fY(*)={0,y<3(y-32)3e-(y-32),y≥3.習題21設隨機變量*的概率密度f*(*)={e-*,*>00,其它,求Y=e*的概率密度.解答：因為α=min{y(0),y(+∞)}=min{1,+∞}=1,β=ma*{y(0),y(+∞)}=ma*{1,+∞}=+∞.類似上題可得fY(y)={f*[h(y)]∣h′(y)∣,1<y<+∞0,其它={1/y2,1<y<+∞0,其它.習題22設隨便機變量*的密度函數為

f*(*)={1-∣*∣,-1<*<10,其它,求隨機變量Y=*2+1的分布函數與密度函數.解答：*的取值范圍為(-1,1),

則Y的取值范圍為[1,2).

當1≤y<2時，

FY(y)=P{Y≤y}=P{*2+1≤y}

=P{-Y-1≤*≤y-1}=∫-y-1y-1(1-∣*∣)d*

=2∫0y-1(1-*)d*=1-(1-y-1)2,從而Y的分布函數為

FY(y)={0,y<11-(1-y-1)2,1≤y<2,1,其它Y的概率密度為

fY(y)={1y-1-1,1<y<20,其它.第三章多維隨機變量及其分布

3.1二維隨機變量及其分布習題1設(*,Y)的分布律為*\Y

123

1

1/61/91/18

2

1/3a1/9求a.解答：由分布律性質∑i?jPij=1,

可知

1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得

a=2/9.習題2(1)2.設(*,Y)的分布函數為F(*,y)，試用F(*,y)表示：

(1)P{a<*≤b,Y≤c};解答：P{a<*≤b,Y≤c}=F(b,c)-F(a,c).習題2(2)2.設(*,Y)的分布函數為F(*,y)，試用F(*,y)表示：

(2)P{0<Y≤b};

解答：P{0<Y≤b}=F(+∞,b)-F(+∞,0).習題2(3)2.設(*,Y)的分布函數為F(*,y)，試用F(*,y)表示：

(3)P{*>a,Y≤b}.解答：P{*>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).習題3(1)3.設二維離散型隨機變量的聯合分布如下表：試求：

(1)P{12<*<32,0<Y<4;

解答：P{12<*<23,0<Y<4

P{*=1,Y=1}+P{*=1,Y=2}+P{*=1,Y=3}=P{*=1,Y=1}+P{*=1,Y=2}+P{*=1,Y=3}=14+0+0=14.習題3(2)3.設二維離散型隨機變量的聯合分布如下表：試求：

(2)P{1≤*≤2,3≤Y≤4};解答：P{1≤*≤2,3≤Y≤4}=P{*=1,Y=3}+P{*=1,Y=4}+P{*=2,Y=3}+P{*=2,Y=4}=0+116+0+14=516.習題3(3)3.設二維離散型隨機變量的聯合分布如下表：試求：

(3)F(2,3).解答：F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.習題4設*,Y為隨機變量，且

P{*≥0,Y≥0}=37,

P{*≥0}=P{Y≥0}=47,求P{ma*{*,Y}≥0}.解答：P{ma*{*,Y}≥0}=P{*,Y至少一個大于等于0}

=P{*≥0}+P{Y≥0}-P{*≥0,Y≥0}

=47+47-37=57.習題5(*,Y)只取以下數值中的值：

(0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相應概率依次為16,13,112,512,

請列出(*,Y)的概率分布表，并寫出關于Y的邊緣分布.解答：(1)因為所給的一組概率實數顯然均大于零，且有16+13+112+512=1,

故所給的一組實數必是*二維隨機變量(*,Y)的聯合概率分布.因(*,Y)只取上述四組可能值，故事件：

{*=-1,Y=0},

{*=0,Y=13,

{*=0,Y=1},{*=2,Y=13,{*=2,Y=1}均為不可能事件，其概率必為零.因而得到下表：

*\Y

01/31

-1

01/121/3

0

1/600

2

5/1200(2)P{Y=0}=P{*=-1,Y=0}+P{*=0,Y=0}+P{*=2,Y=0}

=0+16+512=712,同樣可求得

P{Y=13=112,P{Y=1}=13,關于的Y邊緣分布見下表：Y

01/31

pk

7/121/121/3習題6設隨機向量(*,Y)服從二維正態分布N(0,0,102,102,0),

其概率密度為

f(*,y)=1200πe*2+y2200,求P{*≤Y}.解答：由于P{*≤Y}+P{*>Y}=1，且由正態分布圖形的對稱性，知

P{*≤Y}=P{*>Y},

故

P{*≤Y}=12.習題7設隨機變量(*,Y)的概率密度為f(*,y)={k(6-*-y),0<*<2,2<y<40,其它,(1)確定常數k;

(2)求P{*<1,Y<3};

(3)求P{*<1.5};

(4)求P{*+Y≤4}.解答：如下圖(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(*,y)d*dy=1,

確定常數k.∫02∫24k(6-*-y)dyd*=k∫02(6-2*)d*=8k=1,所以k=18.(2)P{*<1,Y<3}=∫01d*∫2318(6-*-y)dy=38.(3)P{*<1.5}=∫01.5d*∫2418(6-*-y)dy=2732.(4)P{*+Y≤4}=∫02d*∫24-*18(6-*-y)dy=23.習題8*和Y的聯合密度為

f(*,y)={c*y,0≤*≤1,0≤y≤10,其它,試求：(1)常數c;

(2)*和Y的聯合分布函數F(*,y).解答：(1)由于1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(*,y)d*dy=c∫01∫01*yd*dy=c4,c=4.(2)當*≤0或y≤0時，顯然F(*,y)=0;當*≥1,y≥1時，顯然F(*,y)=1;設0≤*≤1,0≤y≤1,

有

F(*,y)=∫-∞*∫-∞yf(u,v)dudv=4∫0*udu∫0yvdv=*2y2.設0≤*≤1,y>1,

有

F(*,y)=P{*≤1,Y≤y}=4∫0*udu∫01ydy=*2.最后，設*>1,0≤y≤1,

有

F(*,y)=P{*≤1,Y≤y}=4∫01*d*∫0yvdv=y2.函數F(*,y)在平面各區域的表達式

F(*,y)={0,*≤0或y≤0*2,0≤*≤1,y>1*2y2,0≤*≤1,0≤y≤1.y2,*>習題9設二維隨機變量(*,Y)的概率密度為

f(*,y)={4.8y(2-*),0≤*≤1,*≤y≤10,其它,求邊緣概率密度fY(y).解答：f*(*)=∫-∞+∞f(*,y)dy

={∫0*4.8y(2-*)dy,0≤*≤10,其它={2.4*2(2-*),0≤*≤10,其它.fY(y)=∫-∞+∞f(*,y)d*

={∫0y4.8y(2-*)d*,0≤y≤10,其它={2.4y(4y-y2),0≤y≤10,其它.習題10設(*,Y)在曲線y=*2,y=*所圍成的區域G里服從均勻分布，求聯合分布密度和邊緣分布密度.解答：區域G的面積A=∫01(*-*2)d*=16,

由題設知(*,Y)的聯合分布密度為

f(*,y)={6,0≤*≤1,*2≤y≤*0,其它,從而f*(*)=∫-∞+∞f(*,y)dy=6∫*2*dy=6(*-*2),0≤*≤1,

即

f*(*)={6(*-*2),0≤*≤10,其它

fY(y)=∫-∞+∞f(*,y)d*=6∫yyd*=6(y-y),0≤y≤1,即fY(y)={6(y-y),0≤y≤10,其它.3.2條件分布與隨機變量的獨立性習題1二維隨機變量(*,Y)的分布律為*\Y

01

01

7/157/307/301/15(1)求Y的邊緣分布律；(2)求P{Y=0∣*=0},P{Y=1∣*=0};(3)判定*與Y是否獨立？解答：(1)由(*,y)的分布律知，y只取0及1兩個值.

P{y=0}=P{*=0,y=0}+P{*=1,y=0}=715+730=0.7

P{y=1}=∑i=01P{*=i,y=1}=130+115=0.3.(2)P{y=0∣*=0}=P{*=0,y=0}P{*=0}=23,

P{y=1∣*=0}=13.(3)P{*=0,y=0}=715,

由(1)知P{y=0}=0.7,

類似可得

P{*=0}=0.7.因為P{*=0,y=0}≠P{*=0}?P{y=0},

所以*與y不獨立.習題2將*一醫藥公司9月份和8份的青霉素針劑的訂貨單分別記為*與Y.據以往積累的資料知*和Y的聯合分布律為

*\Y

5152535455

5152535455(1)求邊緣分布律;(2)求8月份的訂單數為51時，9月份訂單數的條件分布律.解答：(1)邊緣分布律為*

5152535455pk

對應*的值,將每行的概率相加,可得P{*=i}.對應Y的值(最上邊的一行),

將每列的概率相加，可得P{Y=j}.Y

5152535455pk

(2)當Y=51時,*的條件分布律為

P{*=k∣Y=51}=P{*=k,y=51}P{Y=51}=pk,510.28,

k=51,52,53,54,55.列表如下:k

5152535455

P{*=k∣Y=51}

6/287/285/285/285/28習題3(*,Y)的分布律如下表所示，試求：(1)在Y=1的條件下,*的條件分布律;(2)在*=2的條件下,Y的條件分布律.*\Y

012

012

1/41/8001/301/601/8解答：由聯合分布律得關于*,Y的兩個邊緣分布律為*

012

pk

3/81/37/24

Y

012

pk

5/1211/241/8故(1)在Y=1條件下，*的條件分布律為*∣(Y=1)

012

pk

3/118/110(2)在*=2的條件下，Y的條件分布律為Y∣(*=2)

012

pk

4/703/7習題4

(*,Y)的概率密度函數為f(*,y)={3*,0<*<1,0<y<*0,其它,

求：(1)邊緣概率密度函數；(2)條件概率密度函數.解答：(1)f*(*)=∫-∞+∞f(*,y)dy={3*2,0<*<10,其它,

fY(y)=∫-∞+∞f(*,y)d*={32(1-y2),0<y<10,其它.(2)對?y∈(0,1),

f*∣Y(*∣y)=f(*,y)fY(y)={2*1-y2,y<*<1,0,其它,對?*∈(0,1),

fY∣*(y∣*)=f(*,y)f*(*)={1*,0<y<*0,其它.習題5*與Y相互獨立，其概率分布如表(a)及表(b)所示，求(*,Y)的聯合概率分布，P{*+Y=1},

P{*+Y≠0}.*-2-101/2

pi

1/41/31/121/3表(a)

Y-1/213

pi

1/21/41/4表(b)解答：由*與Y相互獨立知

P{*=*i,Y=yi}=P{*=*i}P{Y=yj),從而(*,Y)的聯合概率分布為*\Y-1/213-2-101/2P{*=-2}P{Y=-1/2}P{*=-1}P{Y=-1/2}P{*=0}P{Y=-1/2}P{*=1/2}P{Y=-1/2}P{*=-2}P{Y=1}P{*=-1}P{Y=1}P{*=0}P{Y=1}P{*=1/2}P{Y=1}P{*=-2}P{Y=3}P{*=-1}P{Y=3}P{*=0}P{Y=3}P{*=1/2}P{Y=3}亦即表*\Y

-1/213

-2-101/2

1/81/161/161/61/121/121/241/481/481/61/121/12

P{*+y=1}=P{*=-2,y=3}+P{*=0,Y=1}=116+148=112,

P{*+Y≠0}=1-P{*+Y=0}

=1-P{*=-1,Y=1}-P{*=12,Y=-12

=1-112-16=34.習題6*旅客到達火車站的時間*均勻分布在早上7:55～8:00,

而火車這段時間開出的時間Y的密度

fY(y)={2(5-y)25,0≤y≤50,其它,求此人能及時上火車站的概率.解答：由題意知*的密度函數為

f*(*)={15,0≤*≤50,其它,因為*與Y相互獨立，所以*與Y的聯合密度為：

f*Y(*,y)={2(5-y)125,0≤y≤5,0≤*≤50,其它,故此人能及時上火車的概率為

P{Y>*}=∫05∫*52(5-y)125dyd*=13.習題7設隨機變量*與Y都服從N(0,1)分布，且*與Y相互獨立，求(*,Y)的聯合概率密度函數.解答：由題意知，隨機變量*,Y的概率密度函數分別是

f*(*)=12πe-*22，

fY(y)=12πe-y22因為*與Y相互獨立，所以(*,Y)的聯合概率密度函數是

f(*,y)=12πe-12(*+y)2.習題8設隨機變量*的概率密度f(*)=12e-∣*∣(-∞<*<+∞),問：*與∣*∣是否相互獨立？解答：假設*與∣*∣相互獨立，則?a>0,

各有

P{*≤a,∣*∣≤a}=P{*≤a}?P{∣*∣≤a},而事件{∣*∣≤a}?{*≤a},

故由上式有

P{∣*∣≤a}==P{*≤a}?P{∣*∣≤a},?P{∣*∣≤a}(1-P{*≤a})=0?P{∣*≤a∣}=0或1=P{*≤a}?(?a>0)但當a>0時，兩者均不成立，出現矛盾，故*與∣*∣不獨立.習題9設*和Y是兩個相互獨立的隨機變量，*在(0,1)上服從均勻分布，Y的概率密度為fY(y)={12e-y2,y>00,y≤0,(1)求*與Y的聯合概率密度；(2)設有a的二次方程a2+2*a+Y=0,

求它有實根的概率.解答：(1)由題設易知f*(*)={1,0<*<10,其它,又*,Y相互獨立，故*與Y的聯合概率密度為f(*,y)=f*(*)?fY(y)={12e-y2,0<*<1,y>00,其它;(2)因{a有實根}={判別式Δ2=4*2-4Y≥0}={*2≥Y},故如下圖得到：

P{a有實根}=P{*2≥Y}=∫∫*2>yf(*,y)d*dy=∫01d*∫0*212e-y2dy

=-∫01e-*22d*=1-[∫-∞1e-*22d*-∫-∞0e-*22d*]

=1-2π[12π∫-∞1e-*22d*-12π∫-∞0e-*22d*]

=1-2π[Φ(1)-Φ(0),又Φ(1)=0.8413,

Φ(0)=0.5,

于是Φ(1)-Φ(0)=0.3413,

所以

P{a有實根}=1-2π[Φ(1)-Φ(0)]≈1-2.51×0.3413=0.1433.

3.3二維隨機變量函數的分布習題1設隨機變量*和Y相互獨立，且都等可能地取1,2,3為值，求隨機變量U=ma*{*,Y}和V=min{*,Y}的聯合分布.解答：由于U≥V,

可見P{U=i,V=j}=0(i<j).此外，有

P{U=V=i}=P{*=Y=i}=1/9(i=1,2,3),

P{U=i,V=j}=P{*=i,Y=j}+P{*=j,Y=i}=2/9(i>j),于是，隨機變量U和V的聯合概率分布為

V\概率\U1

2311/92/92/9201/92/93001/9習題2設(*,Y)的分布律為*\Y

-112

-12

1/101/53/101/51/101/10試求：(1)Z=*+Y;

(2)Z=*Y;

(3)Z=*/Y;

(4)Z=ma*{*,Y}的分布律.解答：與一維離散型隨機變量函數的分布律的計算類型，本質上是利用事件及其概率的運算法則.注意，Z的一樣值的概率要合并.概率

1/101/53/101/51/101/10(*,Y)*+Y*Y*/Yma*{*,Y}

(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-2241-1-1/2-221112222于是(1)(2)*+Y

-20134

pi

1/101/51/21/101/10*Y

-20134

pi

1/21/51/101/101/10ma*{*,Y}

-112

pi1/101/57/10

(3)(4)*/Y

-2-1-1/212

pi

1/51/53/101/51/10習題3設二維隨機向量(*,Y)服從矩形區域D={(*,y∣0≤*≤2,0≤y≤1}的均勻分布，且

U={0,*≤Y1,*>Y,

V={0,*≤2Y1,*>2Y,求U與V的聯合概率分布.解答：依題(U,V)的概率分布為

P{U=0,V=0}=P{*≤Y,*≤2Y}=P{*≤Y}

=∫01d*∫*112dy=14,

P{U=0,V=1}=P{*≤Y,*>2Y}=0,

P{U=1,V=0}=P{*>Y,*≤2Y}=P{Y<*≤2Y}

=∫01dy∫y2y12d*=14,P{U=1,V=1}=1-P{U=0,V=0}-P{U=0,V=1}-P{U=1,V=0}=1/2,即U\V

01

01

1/401/41/2習題4設(*,Y)的聯合分布密度為

f(*,y)=12πe-*2+y22,Z=*2+Y2,求Z的分布密度.解:

FZ(z)=P{Z≤z}=P{*2+Y2≤z}.當z<0時，FZ(z)=P(?)=0;當z≥0時，

FZ(z)=P{*2+Y2≤z2}=∫∫*2+y2≤z2f(*,y)d*dy

=12π∫∫*2+y2≤z2e-*2+y22d*dy=12π∫02πdθ∫0ze-ρ22ρdρ

=∫0ze-ρ22ρdρ=1-e-z22.故Z的分布函數為

FZ(z)={1-e-z22,z≥00,z<0.Z的分布密度為

fZ(z)={ze-z22,z>00,z≤0.習題5設隨機變量(*,Y)的概率密度為

f(*,y)={12(*+y)e-(*+y),*>0,y>00,其它,(1)問*和Y是否相互獨立？(2)求Z=*+Y的概率密度.解答：(1)f*(*)=∫-∞+∞f(*,y)dy

={∫0+∞12(*+y)e-(*+y)dy,*>00,*≤0

\under2line令*+y=t{∫*+∞12te-tdt=12(*+1)e-*,*>00,*≤0,由對稱性知fY(y)={12(y+1)e-y,y>00,y≤0,

顯然

f(*,y)≠f*(*)fY(y),*>0,y>0,所以*與Y不獨立.(2)用卷積公式求fZ(z)=∫-∞+∞f(*,z-*)d*.當{*>0z-*>0

即

{*>0*<z時，f(*,z-*)≠0,

所以當z≤0時，fZ(z)=0;當z>0時，fZ(z)=∫0z12*e-*d*=12z2e-z.于是，Z=*+Y的概率密度為

fZ(z)={12z2e-z,z>00,z≤0.習題6設隨機變量*,Y相互獨立，假設*服從(0,1)上的均勻分布，Y服從參數1的指數分布，求隨機變量Z=*+Y的概率密度.解答：據題意，*,Y的概率密度分布為

f*(*)={1,0<*<10,其它,

fY(y)={e-y,y≥00,y<0,由卷積公式得Z=*+Y的概率密度為

fZ(z)=∫-∞+∞f*(*)fY(z-*)d*=∫-∞+∞f*(z-y)fY(y)dy

=∫0+∞f*(z-y)e-ydy.由0<z-y<1得z-1<y<z,可見：當z≤0時，有f*(z-y)=0,

故fZ(z)=∫0+∞0?e-ydy=0;當z>0時，

fZ(z)=∫0+∞f*(z-y)e-ydy=∫ma*(0,z-1)ze-ydy=e-ma*(0,z-1)-e-z,即

fZ(z)={0,z≤01-e-z,0<z≤1e1-z-e-z,z>1.習題7設隨機變量(*,Y)的概率密度為f(*,y)={be-(*+y),0<*<1,0<y<+∞,0,其它.〔1〕試確定常數b；〔2〕求邊緣概率密度f*(*),fY(y)；〔3〕求函數U=ma*{*,Y}的分布函數.解答：〔1〕由∫-∞+∞∫-∞+∞f(*,y)d*dy=1，確定常數b.

∫01d*∫0+∞be-*e-ydy=b(1-e-1)=1，所以b=11-e-1，從而

f(*,y)={11-e-1e-(*+y),0<*<1,0<y<+∞,0,其它.〔2〕由邊緣概率密度的定義得

f*(*)={∫0+∞11-e-1e-(*+y)dy=e-*1-e-*,0<*<1,0,其它，

fY(*)={∫0111-e-1e-(*+y)d*=e-y,0<y<+∞,0,其它〔3〕因為f(*,y)=f*(*)fY(y)，所以*與Y獨立，故

FU(u)=P{ma*{*,Y}≤u}=P{*≤u,Y≤u}=F*(u)FY(u)，其中

F*(*)=∫0*e-t1-e-1dt=1-e-*1-e-1,0<*<1，所以

F*(*)={0,*≤0,1-e-*1-e-1,0<*<1,1,*≥1.同理FY(y)={∫0ye-tdt=1-e-y,0<y<+∞,0,y≤0，因此

FU(u)={0,u<0,(1-e-u)21-e-1,0≤u<1,1-e-u,u≥1.習題8設系統L是由兩個相互獨立的子系統L1和L2以串聯方式聯接而成，L1和L2的壽命分別為*與Y,

其概率密度分別為

?1(*)={αe-α*,*>00,*≤0,

?2(y)={βe-βy,y>00,y≤0,其中α>0,β>0,α≠β,

試求系統L的壽命Z的概率密度.解答：設Z=min{*,Y},

則

F(z)=P{Z≥z}=P{min(*,Y)≤z}

=1-P{min(*,Y)>z}=1-P{*≥z,Y≥z}

=1-[1P{*<z}][1-P{Y<z}]=1-[1-F1{z}][1-F2{z}]

由于

F1(z)={∫0zαe-α*d*=1-e-αz,z≥00,z<0,

F2(z)={1-e-βz,z≥00,z<0,

故

F(z)={1-e-(α+β)z,z≥00,z<0,從而

?(z)={(α+β)e-(α+β)z,z>00,z≤0.習題9設隨機變量*,Y相互獨立，且服從同一分布，試明：

P{a<min{*,Y}≤b}=[P{*>a}]2-[P{*>b}]2.解答：設min{*,Y}=Z,則

P{a<min{*,Y}≤b}=FZ(b)-FZ(a),

FZ(z)=P{min{*,Y}≤z}=1-P{min{*,Y}>z}

=1-P{*>z,Y>z}=1-P{*>z}P{Y>z}

=1-[P{*>z}]2,代入得

P{a<min{*,Y}≤b}=1-[P{*>b}]2-(1-[P{*>a}]2)

=[P{*>a}]2-[P{*>b}]2.證畢.

復習總結與總習題解答習題1在一箱子中裝有12只開關，其中2只是次品，在其中取兩次，每次任取一只，考慮兩