2-3同步檢測一、選擇題1．下列函數不是冪函數的是()A．y＝2x B．y＝x－1C．y＝eq\r(x) D．y＝x22．下列函數定義域為(0，＋∞)的是()A．y＝x－2 B．y＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))C．y＝x－eq\s\up15(eq\f(1,3)) D．y＝xeq\s\up15(－eq\f(1,2))3．若冪函數y＝xn，對于給定的有理數n，其定義域與值域相同，則此冪函數()A．一定是奇函數 B．一定是偶函數C．一定不是奇函數 D．一定不是偶函數4．如果冪函數y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的圖象不過原點，那么()A．－1≤m≤2 B．m＝1或m＝2C．m＝2 D．m＝15.函數y＝xa，y＝xb，y＝xc的圖象如右圖所示，則實數a、b、c的大小關系為()A．c<b<a B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b6．下列函數中，是偶函數且在區間(0，＋∞)上單調遞減的函數是()A．y＝－3|x| B．y＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))C．y＝log3x2 D．y＝x－x27．函數y＝xα與y＝αx(α∈{－1，eq\f(1,2)，2,3})的圖象只可能是下面中的哪一個()8．(2022·安徽文，7)設a＝(eq\f(3,5))eq\f(2,5)，b＝(eq\f(2,5))eq\f(3,5)，c＝(eq\f(2,5))eq\f(2,5)，則a，b，c的大小關系是()A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a二、填空題9．(2022·湖南益陽模擬)已知冪函數y＝f(x)過點(3，eq\f(1,\r(27)))，則f(eq\f(1,4))＝________.10．若函數y＝(m2－m－1)xm2－2m－1是冪函數，且是偶函數，則m＝________.11．設f(x)＝(m－1)xm2－2，如果f(x)是正比例函數，那么m＝________；如果f(x)是反比例函數，那么m＝________；如果f(x)是冪函數，那么m＝________.12．(2022～2022·海南中學高一測試)下列函數中，在(0,1)上單調遞減，且為偶函數的是________．①y＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))；②y＝x4；③y＝x－2；④y＝－xeq\s\up15(eq\f(1,3)).三、解答題13．已知函數y＝xn2－2n－3(n∈Z)的圖象與兩坐標軸都無公共點，且其圖象關于y軸對稱，求n的值，并畫出函數的圖象．14．已知f(x)＝x－n2＋2n＋3(n＝2k，k∈Z)的圖象在[0，＋∞)上單調遞增，解不等式f(x2－x)>f(x＋3)．15.已知函數y＝xeq\s\up15(eq\f(2,3)).(1)求函數的定義域；(2)判斷函數的奇偶性；(3)已知該函數在第一象限內的圖象如右圖所示，試補全圖象，并由圖象確定單調區間．16．(2022·溫州聯考)已知冪函數f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)為偶函數，且在區間(0，＋∞)上是單調增函數．(1)求函數f(x)的解析式；(2)設函數g(x)＝eq\r(fx)＋2x＋c，若g(x)>2對任意的x∈R恒成立，求實數c的取值范圍．詳解答案1[答案]A[解析]y＝2x是指數函數，不是冪函數．2[答案]D3[答案]D[解析]由y＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))知其定義域與值域相同，但是非奇非偶函數，故能排除A、B；又y＝x3的定義域與值域相同，是奇函數，故排除C.4[答案]B[解析]冪函數y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2中，系數m2－3m＋3＝1，∴m＝2,1.又∵y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的圖象不過原點，故m2－m－2≤0，即－1≤m≤2，故m＝2或1.5[答案]A6[答案]A7[答案]C[解析]直線對應函數y＝x，曲線對應函數為y＝x－1,1≠－1.故A錯；直線對應函數為y＝2x，曲線對應函數為y＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))，2≠eq\f(1,2).故B錯；直線對應函數為y＝2x，曲線對應函數為y＝x2,2＝2.故C對；直線對應函數為y＝－x，曲線對應函數為y＝x3，－1≠3.故D錯．8[答案]A[解析]對b和c，∵指數函數y＝(eq\f(2,5))x單調遞減．故(eq\f(2,5))eq\s\up15(eq\f(3,5))<(eq\f(2,5))eq\s\up15(eq\f(2,5))，即b<c.對a和c，∵冪函數．y＝xeq\s\up15(eq\f(2,5))在(0，＋∞)上單調遞增，∴(eq\f(3,5))eq\s\up15(eq\f(2,5))>(eq\f(2,5))eq\s\up15(eq\f(2,5))，即a>c，∴a>c>b，故選A.9[答案]8[解析]設冪函數為y＝xα，將點(3，eq\f(1,\r(27)))代入，得eq\f(1,\r(27))＝3α，則α＝－eq\f(3,2)，所以f(eq\f(1,4))＝(eq\f(1,4))eq\s\up15(－eq\f(3,2))＝8.10[答案]－1[解析]由題意，知m2－m－1＝1，解得m＝2，或m＝－1.當m＝2時，m2－2m－1＝－1，函數為y＝x－1，不是偶函數；當m＝－1時，m2－2m－1＝2，函數為y＝x2，是偶函數，滿足題意．11[答案]±eq\r(3)－12[解析]若f(x)是正比例函數，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2＝1，,m－1≠0，))即m＝±eq\r(3)；若f(x)是反比例函數，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2＝－1，,m－1≠0，))即m＝－1；若f(x)是冪函數，則m－1＝1，即m＝2.12[答案]③[解析]①中函數y＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))不具有奇偶性；②中函數y＝x4是偶函數，但在[0，＋∞)上為增函數；③中函數y＝x－2是偶函數，且在(0，＋∞)上為減函數；④中函數y＝－xeq\s\up15(eq\f(1,3))是奇函數．故填③.13[解析]因為圖象與y軸無公共點，所以n2－2n－3≤0，又圖象關于y軸對稱，則n2－2n－3為偶數，由n2－2n－3≤0得，－1≤n≤3，又n∈Z.∴n＝0，±1,2,3當n＝0或n＝2時，y＝x－3為奇函數，其圖象不關于y軸對稱，不適合題意．當n＝－1或n＝3時，有y＝x0，其圖象如圖A.當n＝1時，y＝x－4，其圖象如圖B.∴n的取值集合為{－1,1,3}．14[解析]依題意，得－n2＋2n＋3>0，解得－1<n<3.又∵n＝2k，k∈Z，∴n＝0或2.當n＝0或2時，f(x)＝x3，∴f(x)在R上單調遞增，∴f(x2－x)>f(x＋3)可轉化為x2－x>x＋3.解得x<－1或x>3，∴原不等式的解集為{x|x∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)}．15[解析](1)y＝xeq\f(2,3)＝eq\r(3,x2)，定義域為R.(2)設y＝f(x)，因為f(－x)＝eq\r(3,－x2)＝eq\r(3,x2)＝f(x)，且定義域關于坐標原點對稱，所以函數y＝xeq\f(2,3)是偶函數．(3)因為該函數為偶函數，所以可作出它在第一象限內的圖象關于y軸的對稱圖象，即得函數y＝xeq\s\up15(eq\f(2,3))的圖象，如上圖所示．根據圖象易知：函數y＝xeq\s\up15(eq\f(2,3))在區間(0，＋∞)上是增函數，在區間(－∞，0]上是減函數．16[解析](1)∵f(x)在區間(0，＋∞)上是單調增函數，∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，作出函數y＝m2－2m－3的圖象(圖略)