第25講多邊形與平行四邊形

第26講矩形,菱形.正方形第27講梯形第五單元四邊形第25講多邊形與平行四邊形第五單元四邊形1第25講┃多邊形與平行四邊形第25講多邊形與平行四邊形第25講┃多邊形與平行四邊形第25講多邊形與平行2第25講┃考點聚焦考點聚焦1．按定義分類：考點1多邊形多邊形的定義在同一平面內，不在同一直線上的一些線段_________相接組成的圖形叫做多邊形多邊形的性質內角和n邊形內角和為________外角和任意多邊形的外角和為360°多邊形對角線n邊形共有________條對角線不穩定性

n邊形具有不穩定性(n>3)拓展n邊形的內角中最多有________個是銳角首尾順次

(n－2)·180°3

第25講┃考點聚焦考點聚焦1．按定義分類：考點1多邊3第25講┃考點聚焦正多邊形定義各個角________，各條邊________的多邊形叫正多邊形對稱性正多邊形都是________對稱圖形，邊數為偶數的正多邊形是中心對稱圖形相等

相等

軸

第25講┃考點聚焦定義各個角________，各條邊___4第25講┃考點聚焦考點2平面圖形的鑲嵌定義用______、______完全相同的一種或幾種__________進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，就是平面圖形的______平面鑲嵌的條件在同一頂點的幾個角的和等于360°形狀大小平面圖形鑲嵌第25講┃考點聚焦考點2平面圖形的鑲嵌定義用_____5第25講┃考點聚焦常見形式(1)用同一種正多邊形可以鑲嵌的只有三種情況：________個正三角形或________個正四邊形或________個正六邊形(2)用兩種正多邊形鑲嵌①用正三角形和正四邊形鑲嵌：三個正三角形和________個正四邊形；②用正三角形和正六邊形鑲嵌：用________個正三角形和________個正六邊形或者用________個正三角形和________個正六邊形；③用正四邊形和正八邊形鑲嵌：用________個正四邊形和________個正八邊形可以鑲嵌六

四

三

二

四

一

二

二一二

第25講┃考點聚焦常見(1)用同一種正多邊形可以鑲嵌的只有6第25講┃考點聚焦常見形式(3)用三種不同的正多邊形鑲嵌用正三角形、正四邊形和正六邊形進行鑲嵌，設用m塊正三角形、n塊正方形、k塊正六邊形，則有60m＋90n＋120k＝360，整理得____________，因為m、n、k為整數，所以m＝_____，n＝_____，k＝______，即用______塊正方形，______塊正三角形和______塊正六邊形可以鑲嵌防錯提醒能鑲嵌平面的關鍵是幾個正多邊形在同一個頂點的幾個角的和等于360°2m＋3n＋4k＝12

1

2

兩

一一1

第25講┃考點聚焦常見形式(3)用三種不同的正多邊形鑲嵌防7考點3平行四邊形的定義與性質第25講┃考點聚焦定義兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形性質(1)平行四邊形的兩組對邊分別________；(2)平行四邊形的兩組對邊分別________；(3)平行四邊形的兩組對角分別________；(4)平行四邊形的對角線互相________；(5)平行四邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是兩條對角線的交點總結若一條直線過平行四邊形的對角線的交點，那么這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為對稱中心，且這條直線等分平行四邊形的面積平行

相等

相等

平分

考點3平行四邊形的定義與性質第25講┃考點聚焦定義8考點4平行四邊形的判定第25講┃考點聚焦序號方法1定義法2兩組對角分別________的四邊形是平行四邊形3兩組對邊分別________的四邊形是平行四邊形4一組對邊平行且________的四邊形是平行四邊形5對角線________的四邊形是平行四邊形相等

相等

相等

互相平分

考點4平行四邊形的判定第25講┃考點聚焦序號方法19考點5

平行四邊形的面積第25講┃考點聚焦平行四邊形的面積平行四邊形的面積＝底×高拓展同底(等底)等高(同高)的平行四邊形面積相等兩條平行線間距離在兩條平行線中一條直線上任意一點到另一條直線上的距離叫做兩條平行線間的距離推論夾在兩條平行線間的平行線段________相等

考點5平行四邊形的面積第25講┃考點聚焦平行四邊10第25講┃歸類示例歸類示例?類型之一多邊形的內角和與外角和命題角度：1．n邊形的內角和定理的應用；2．n邊形的外角和定理的應用．5

[解析]設該多邊形的邊數為n，則(n－2)×180＝1/3×360.解得n＝5.例1[2012·德陽]

已知一個多邊形的內角和是外角和的1/3，則這個多邊形的邊數是________．

第25講┃歸類示例歸類示例?類型之一多邊形的內角和與外11第25講┃歸類示例如果已知n邊形的內角和，那么可以求出它的邊數n；對于多邊形的外角和等于360°，應明確兩點：(1)多邊形的外角和與邊數n無關；(2)多邊形內角問題轉化為外角問題常常有化難為易的效果．第25講┃歸類示例12?類型之二平行四邊形的性質命題角度：1.平行四邊形對邊的特點；2.平行四邊形對角的特點；3.平行四邊形對角線的特點．第25講┃歸類示例

例2如圖25－1,四邊形ABCD是平行四邊形，P是CD上一點，且AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA.(1)求∠APB的度數；(2)如果AD＝5cm，AP＝8cm，求△APB的周長．圖25－1?類型之二平行四邊形的性質命題角度：第25講┃歸類示13第25講┃歸類示例第25講┃歸類示例14

平行四邊形的性質的應用，主要是利用平行四邊形的邊與邊，角與角及對角線之間的特殊關系進行證明或計算．第25講┃歸類示例

第215?類型之三平行四邊形的判定

例3[2012·泰州]

如，四邊形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于點E，CF⊥BC交BD于點F，且AE＝CF.求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

[解析]由垂直得到∠EAD＝∠BCF＝90°，根據AAS可證明Rt△AED≌Rt△CFB，得到AD＝BC，根據平行四邊形的判定即可證明．第25講┃歸類示例命題角度：1.從對邊判定四邊形是平行四邊形；2.從對角判定四邊形是平行四邊形；3.從對角線判定四邊形是平行四邊形．圖25－2?類型之三平行四邊形的判定例3[2012·泰州]16第25講┃歸類示例證明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠EAD＝∠FCB＝90°.∵AE＝CF，∴△EAD≌△FCB(AAS)，∴AD＝CB.∵AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．第25講┃歸類示例證明：∵AD∥BC，17第25講┃歸類示例判別一個四邊形是不是平行四邊形，要根據具體條件靈活選擇判別方法．凡是可以用平行四邊形知識證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應直接運用平行四邊形的性質和判定去解決問題．第25講┃歸類示例判別一個四邊形是不是平行四邊形，要根據具18第26講┃矩形、菱形、正方形第26講矩形、菱形、正方形第26講┃矩形、菱形、正方形第26講矩形、菱形、正方形19第26講┃考點聚焦考點聚焦考點1矩形矩形定義有一個角是________的平行四邊形叫做矩形矩形的性質對稱性矩形是一個軸對稱圖形，它有兩條對稱軸矩形是中心對稱圖形，它的對稱中心就是對角線的交點定理(1)矩形的四個角都是______角；(2)矩形的對角線互相平分并且______推論在直角三角形中，斜邊上的中線等于________的一半直角直相等斜邊第26講┃考點聚焦考點聚焦考點1矩形矩形有一個角是20第26講┃考點聚焦矩形的判定(1)定義法(2)有三個角是直角的四邊形是矩形(3)對角線______的平行四邊形是矩形拓展(1)矩形的兩條對角線把矩形分成四個面積相等的的等腰三角形；(2)矩形的面積等于兩鄰邊的積相等第26講┃考點聚焦矩形的判定(1)定義法(2)有三個角是直21第26講┃考點聚焦考點2菱形菱形定義有一組________相等的平行四邊形是菱形菱形的性質對稱性菱形是軸對稱圖形，兩條對角線所在的直線是它的對稱軸菱形是中心對稱圖形，它的對稱中心是兩條對角線的交點定理(1)菱形的四條邊________；(2)菱形的兩條對角線互相________平分，并且每條對角線平分________鄰邊相等垂直一組對角第26講┃考點聚焦考點2菱形菱形有一組______22第26講┃考點聚焦菱形的判定(1)定義法(2)四條邊________的四邊形是菱形(3)對角線互相________的平行四邊形是菱形菱形面積(1)由于菱形是平行四邊形，所以菱形的面積＝底×高(2)因為菱形的對角線互相垂直平分，所以其對角線將菱形分成4個全等三角形，故菱形的面積等于兩對角線乘積的________.相等垂直一半第26講┃考點聚焦菱形的判定(1)定義法(2)四條邊___23考點3正方形第26講┃考點聚焦正方形的定義有一組鄰邊相等，且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形正方形的性質(1)正方形對邊________(2)正方形四邊________(3)正方形四個角都是________(4)正方形對角線相等，互相________，每條對角線平分一組對角(5)正方形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，對稱軸有四條，對稱中心是對角線的交點正方形的判定(1)有一組鄰邊相等的矩形是正方形(2)有一個角是直角的菱形是正方形平行相等直角垂直平分考點3正方形第26講┃考點聚焦正方形的定義有一組鄰24第26講┃考點聚焦判定正方形的思路圖：第26講┃考點聚焦判定正方形的思路圖：25考點4

中點四邊形第26講┃考點聚焦定義順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形，我們稱之為中點四邊形常見結論順次連接四邊形各邊中點所得到的四邊形是平行四邊形順次連接矩形各邊中點所得到的四邊形是_________順次連接菱形各邊中點所得到的四邊形是__________順次連接正方形各邊中點所得到的四邊形是_______順次連接等腰梯形各邊中點所得的四邊形是______順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所得到的四邊形是______順次連接對角線互相垂直的四邊形所得到的四邊形是______菱形矩形正方形菱形菱形矩形考點4中點四邊形第26講┃考點聚焦定義順次連接四26第26講┃歸類示例歸類示例?類型之一矩形的性質及判定的應用命題角度：1.矩形的性質；2.矩形的判定．例1[2012·六盤水]如圖26－1，已知E是?ABCD中BC邊的中點，連接AE并延長AE交DC的延長線于點F.(1)求證：△ABE≌△FCE；(2)連接AC、BF，若∠AEC＝2∠ABC，求證：四邊形ABFC為矩形．圖26－1第26講┃歸類示例歸類示例?類型之一矩形的性質及判定的27第26講┃歸類示例

[解析](1)利用AAS可得出三角形ABE與三角形FCE全等；(2)利用對角線相等的平行四邊形為矩形可得出四邊形ABFC為矩形．

第26講┃歸類示例[解析](1)利用AAS可得出三角形28第26講┃歸類示例第26講┃歸類示例29第26講┃歸類示例第26講┃歸類示例30?類型之二菱形的性質及判定的應用命題角度：1.菱形的性質；2.菱形的判定．第26講┃歸類示例

例2

[2012·重慶]

已知：如圖26－2，在菱形ABCD中，F為邊BC的中點，DF與對角線AC交于點M，過M作ME⊥CD于點E，∠1＝∠2.(1)若CE＝1，求BC的長；(2)求證：AM＝DF＋ME.圖26－2?類型之二菱形的性質及判定的應用命題角度：第26講┃31第26講┃歸類示例

[解析](1)根據菱形的對邊平行可得AB∥CD，可得∠1＝∠ACD，所以∠ACD＝∠2，得CM＝DM，根據等腰三角形三線合一的性質可得CE＝DE；(2)證明△CEM和△CFM全等，得ME＝MF，延長AB、DF交于點N，然后證明∠1＝∠N，得AM＝NM，再利用“角角邊”證明△CDF和△BNF全等，得NF＝DF，最后結合圖形NM＝NF＋MF即可得證．第26講┃歸類示例[解析](1)根據菱形的對邊平行可得32第26講┃歸類示例第26講┃歸類示例33第26講┃歸類示例第26講┃歸類示例34

在證明一個四邊形是菱形時，要注意判別的條件是平行四邊形還是任意四邊形．若是任意四邊形，則需證四條邊都相等；若是平行四邊形，則需利用對角線互相垂直或一組鄰邊相等來證明．第26講┃歸類示例

第235?類型之三正方形的性質及判定的應用

例3[2012·黃岡]如圖26－3，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E、F分別在OD、OC上，且DE＝CF，連接DF、AE，AE的延長線交DF于點M.求證：AM⊥DF.

[解析]根據DE＝CF，可得出OE＝OF，繼而證明△AOE≌△DOF，得出∠OAE＝∠ODF，然后利用等角代換可得出∠DME＝90°，即可得出結論．第26講┃歸類示例命題角度：1.正方形的性質的應用；2.正方形的判定．圖26－3?類型之三正方形的性質及判定的應用例3[201236第26講┃歸類示例第26講┃歸類示例37第26講┃歸類示例正方形是特殊的平行四邊形，還是特殊的矩形，特殊的菱形，因此正方形具有這些圖形的所有性質；正方形的判定方法有兩條道路：(1)先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形是菱形；(2)先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形是矩形．第26講┃歸類示例正方形是特殊的平行四邊形38?類型之四特殊平行四邊形的綜合應用

例4[2012·婁底]如圖26－4，在矩形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點，P、Q分別是BM、DN的中點．(1)求證：△MBA≌△NDC；(2)四邊形MPNQ是什么樣的特殊四邊形？請說明理由．第26講┃歸類示例命題角度：1.矩形、菱形、正方形的性質的綜合應用；2.矩形、菱形、正方形的關系轉化．圖26－4?類型之四特殊平行四邊形的綜合應用例4[2012·39第26講┃歸類示例第26講┃歸類示例40?類型之五中點四邊形

例5[2011·邵陽]在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，順次連接EF、FG、GH、HE.(1)請判斷四邊形EFGH的形狀，并給予證明；(2)試添加一個條件，使四邊形EFGH是菱形(寫出你所添加的條件，不要求證明)．第26講┃歸類示例命題角度：1.對角線相等的四邊形的中點四邊形；2.對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形．圖26－5?類型之五中點四邊形例5[2011·邵陽]在四邊形41第26講┃歸類示例第26講┃歸類示例42第26講┃歸類示例依次連接四邊形各邊中點所得到的新四邊形的形狀與原四邊形對角線的關系(相等、垂直、相等且垂直)有關．第26講┃歸類示例依次連接四邊形各邊中點所43第26講┃回歸教材探索正方形中的三角形全等回歸教材教材母題

人教版八下P104習題T15如圖26－6，四邊形ABCD是正方形．點G是BC上的任意一點，DE⊥AG于點E，BF∥DE，且交AG于點F.求證：AF－BF＝EF.圖26－6第26講┃回歸教材探索正方形中的三角形全等回歸教材教材母44第26講┃回歸教材證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°.∵DE⊥AG，∴∠DEG＝∠AED＝90°，∴∠ADE＋∠DAE＝90°.又∠BAF＋∠DAE＝∠BAD＝90°，∴∠ADE＝∠BAF.∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠DEG＝∠AED，∴△ABF≌△DAE，∴BF＝AE，故AF－BF＝AF－AE＝EF.

[點析]

正方形含有很多相等的邊和角，這些是證明全等的有力工具．第26講┃回歸教材證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝45第26講┃回歸教材中考變式1．[2010·紅河]

如圖26－7，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一點(G與B、C兩點不重合)，E、F是AG上的兩點(E、F與A、G兩點不重合)，若AF＝BF＋EF，∠1＝∠2，請判斷線段DE與BF有怎樣的位置關系，并證明你的結論．圖26－7第26講┃回歸教材中考變式1．[2010·紅河]如圖2646第26講┃回歸教材解：根據題目條件可判斷DE∥BF.證明如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAF＋∠2＝90°.∵AF＝AE＋EF，又AF＝BF＋EF，∴AE＝BF.∵∠1＝∠2，∴△ABF≌△DAE(SAS)．∴∠AFB＝∠DEA，∠BAF＝∠ADE.∴∠ADE＋∠2＝∠BAF＋∠2＝90°，∴∠AED＝∠BFA＝∠DEG＝90°.∴DE∥BF.

第26講┃回歸教材解：根據題目條件可判斷DE∥BF.47第26講┃回歸教材2．如圖26－8，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，點G是BC延長線上一點，連接AG，點E、F分別在AG上，連接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4.(1)證明：△ABE≌△DAF；(2)若∠AGB＝30°，求EF的長．圖26－8第26講┃回歸教材2．如圖26－8，四邊形ABCD是邊長為48第26講┃回歸教材第26講┃回歸教材49第26講┃回歸教材第26講┃回歸教材50第27講┃梯形第27講梯形第27講┃梯形第27講梯形51第27講┃考點聚焦考點聚焦考點1梯形的有關概念梯形定義一組對邊________，另一組對邊______的四邊形叫梯形等腰梯形兩腰相等的梯形叫等腰梯形直角梯形有一個角是直角的梯形叫直角梯形平行不平行第27講┃考點聚焦考點聚焦考點1梯形的有關概念梯形定義52第27講┃考點聚焦考點2等腰梯形等腰梯形的性質軸對稱性等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，一底的垂直平分線是它的對稱軸性質定理1等腰梯形同一底上的兩________相等性質定理2等腰梯形的對角線________底角相等第27講┃考點聚焦考點2等腰梯形等腰梯形軸對稱性等53第27講┃考點聚焦等腰梯形的判定判定方法(1)定義法；(2)同一底上的兩個角________的梯形是等腰梯形判定步驟(1)先判定它是梯形；(2)再用“兩腰相等”或“同一底上的兩個角相等”或“對角線相等”來判定它是等腰梯形相等第27講┃考點聚焦等腰梯形判定方法(1)定義法；(2)同一54考點3梯形中常用的輔助線第27講┃考點聚焦輔助線添加方法及目的圖形平移一腰從梯形的一個頂點作一腰的平行線，把梯形分成一個平行四邊形和一個三角形作兩高從同一底的兩端作另一底的垂線，把梯形分成一個矩形和兩個直角三角形考點3梯形中常用的輔助線第27講┃考點聚焦輔助線添55第27講┃考點聚焦平移對角線移動一條對角線，即過底的一端作對角線的平行線，可以借助所得到的平行四邊形來研究梯形延長兩腰延長梯形的兩腰交于一點，得到兩個三角形，如果是等腰梯形，則得到兩個分別以梯形兩底為底的等腰三角形連接中點并延長連接梯形一頂點與一腰的中點并延長與另一底的延長線相交，可得一三角形，將梯形的面積轉化為三角形的面積，將梯形的上下底轉移到同一直線上第27講┃考點聚焦平移對角線移動一條對角線，即過底的一端作56第27講┃歸類示例歸類示例?類型之一梯形的基本概念及性質命題角度：1.梯形的定義及分類；2.梯形的中位線及有關計算．例1[2012·濱州

]我們知道“連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線”，“三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半”．類似地，我們把連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線．如圖27－1，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E，F分別是AB，CD的中點，那么EF就是梯形ABCD的中位線．通過觀察、測量，猜想EF和AD，BC有怎樣的位置和數量關系？并證明你的結論．圖27－1第27講┃歸類示例歸類示例?類型之一梯形的基本概念及性57第27講┃歸類示例

[解析]連接AF并延長交BC的延長線于點G，則△ADF≌△GCF，可以證得EF是△ABG的中位線，利用三角形的中位線定理即可證得．解：結論為：EF∥AD∥BC，EF＝0.5(AD＋BC)．第27講┃歸類示例[解析]連接AF并延長交BC的延長線58第27講┃歸類示例第27講┃歸類示例59

梯形問題通常通過添加輔助線將其轉化為三角形或特殊四邊形來解決．常用添加輔助線的方法有：(1)平移一腰；(2)過同一底上的兩個頂點作高；(3)平移對角線；(4)延長兩腰．第27講┃歸類示例

第260?類型之二等腰梯形的性質命題角度：1.等腰梯形兩腰的大小關系，兩底的位置關系；2.等腰梯形在同一底上的兩個角的大小關系；3.等腰梯形的對角線相等的關系．第27講┃歸類示例

例2

[2012·內江]如圖27－2，四邊形ABCD是梯形，BD＝AC且BD⊥AC，若AB＝2，CD＝4，則S梯形ABCD＝________.圖27－29

?類型之二等腰梯形的性質命題角度：第27講┃歸類示例61第27講┃歸類示例第27講┃歸類示例62

利用等腰梯形的性質不僅可證明兩直線平行，而且可證明兩邊相等或兩個角相等．第27講┃歸類示例

第263?類型之三等腰梯形的判定

例3[2011·茂名]如圖27－4，在等腰△ABC中，點D、E分別是兩腰AC、BC上的點，連接AE、BD相交于點O，∠1＝∠2.(1)求證：OD＝OE；(2)求證：四邊形ABED是等腰梯形；(3)若AB＝3DE，△DCE的面積為2，求四邊形ABED的面積．第27講┃歸類示例命題角度：1.定義法；2.從同一底上的兩個角的大小關系來判定梯形是等腰梯形；3.從兩條對角線的大小關系來判定梯形是等腰梯形．圖27－4?類型之三等腰梯形的判定例3[2011·茂名]如64第27講┃歸類示例[解析](1)證明△ABD≌△BAE(ASA)．(2)由(1)得AD＝BE，再證DE∥AB即可．(3)△DCE∽△ACB，利用相似三角形面積比等于相似比的平方求得．解：(1)證明：∵△ABC是等腰三角形，∴AC＝BC，∴∠BAD＝∠ABE，又∵AB＝BA，∠2＝∠1，∴△ABD≌△BAE(ASA)，∴BD＝AE.又∵∠1＝∠2，∴OA＝OB，∴BD－OB＝AE－OA，即OD＝OE.

第27講┃歸類示例[解析](1)證明△ABD≌△BAE(65第27講┃歸類示例第27講┃歸類示例66第27講┃歸類示例證明等腰梯形首先要滿足梯形的定義，再證明兩腰相等，或同一底上的兩角相等，或對角線相等即可．第27講┃歸類示例證明等腰梯形首先要滿足梯67?類型之四梯形的綜合應用

例4[2012·蘇州]如圖27－5①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝60°，動點P從A點出發，以1cm/s的速度沿著A→B→C→D的方向不停移動，直到點P到達點D后才停止．已知△PAD的面積S(單位：cm2)與點P移動的時間t(單位：s)的函數關系如圖②所示，則點P從開始移動到停止移動一共用了________s(結果保留根號)．第27講┃歸類示例命題角度：1.常用輔助線；2.動態幾何問題；3.梯形與全等、相似、解直角三角形等知識的綜合運用．?類型之四梯形的綜合應用例4[2012·蘇州]如圖68第27講┃歸類示例圖27－5第27講┃歸類示例圖27－569[解析]根據圖②判斷出AB、BC的長度，過點B作BE⊥AD于點E，然后求出梯形ABCD的高BE，再根據t＝2時△PAD的面積求出AD的長度，過點C作CF⊥AD于點F，然后求出DF的長度，利用勾股定理求出CD的長度，然后求出AB、BC、CD的和，再求時間．第27講┃歸類示例[解析]根據圖②判斷出AB、BC的長度，過點B作BE⊥AD70第27講┃歸類示例第27講┃歸類示例71第27講┃歸類示例第27講┃歸類示例72第27講┃歸類示例動態幾何開放性數學問題是近幾年興起的一種新穎題型，一般是某一個點在某一個圖形上的運動，難度相對較大，對考生綜合分析問題的能力要求較高．主要形式有開放前提、開放結論兩大類．解答此類問題要注意全面、整體地把握題目的意思，尤其不能漏掉某些情況.第27講┃歸類示例動態幾何開放性數學問題73第25講多邊形與平行四邊形

第26講矩形,菱形.正方形第27講梯形第五單元四邊形第25講多邊形與平行四邊形第五單元四邊形74第25講┃多邊形與平行四邊形第25講多邊形與平行四邊形第25講┃多邊形與平行四邊形第25講多邊形與平行75第25講┃考點聚焦考點聚焦1．按定義分類：考點1多邊形多邊形的定義在同一平面內，不在同一直線上的一些線段_________相接組成的圖形叫做多邊形多邊形的性質內角和n邊形內角和為________外角和任意多邊形的外角和為360°多邊形對角線n邊形共有________條對角線不穩定性

n邊形具有不穩定性(n>3)拓展n邊形的內角中最多有________個是銳角首尾順次

(n－2)·180°3

第25講┃考點聚焦考點聚焦1．按定義分類：考點1多邊76第25講┃考點聚焦正多邊形定義各個角________，各條邊________的多邊形叫正多邊形對稱性正多邊形都是________對稱圖形，邊數為偶數的正多邊形是中心對稱圖形相等

相等

軸

第25講┃考點聚焦定義各個角________，各條邊___77第25講┃考點聚焦考點2平面圖形的鑲嵌定義用______、______完全相同的一種或幾種__________進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，就是平面圖形的______平面鑲嵌的條件在同一頂點的幾個角的和等于360°形狀大小平面圖形鑲嵌第25講┃考點聚焦考點2平面圖形的鑲嵌定義用_____78第25講┃考點聚焦常見形式(1)用同一種正多邊形可以鑲嵌的只有三種情況：________個正三角形或________個正四邊形或________個正六邊形(2)用兩種正多邊形鑲嵌①用正三角形和正四邊形鑲嵌：三個正三角形和________個正四邊形；②用正三角形和正六邊形鑲嵌：用________個正三角形和________個正六邊形或者用________個正三角形和________個正六邊形；③用正四邊形和正八邊形鑲嵌：用________個正四邊形和________個正八邊形可以鑲嵌六

四

三

二

四

一

二

二一二

第25講┃考點聚焦常見(1)用同一種正多邊形可以鑲嵌的只有79第25講┃考點聚焦常見形式(3)用三種不同的正多邊形鑲嵌用正三角形、正四邊形和正六邊形進行鑲嵌，設用m塊正三角形、n塊正方形、k塊正六邊形，則有60m＋90n＋120k＝360，整理得____________，因為m、n、k為整數，所以m＝_____，n＝_____，k＝______，即用______塊正方形，______塊正三角形和______塊正六邊形可以鑲嵌防錯提醒能鑲嵌平面的關鍵是幾個正多邊形在同一個頂點的幾個角的和等于360°2m＋3n＋4k＝12

1

2

兩

一一1

第25講┃考點聚焦常見形式(3)用三種不同的正多邊形鑲嵌防80考點3平行四邊形的定義與性質第25講┃考點聚焦定義兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形性質(1)平行四邊形的兩組對邊分別________；(2)平行四邊形的兩組對邊分別________；(3)平行四邊形的兩組對角分別________；(4)平行四邊形的對角線互相________；(5)平行四邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是兩條對角線的交點總結若一條直線過平行四邊形的對角線的交點，那么這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為對稱中心，且這條直線等分平行四邊形的面積平行

相等

相等

平分

考點3平行四邊形的定義與性質第25講┃考點聚焦定義81考點4平行四邊形的判定第25講┃考點聚焦序號方法1定義法2兩組對角分別________的四邊形是平行四邊形3兩組對邊分別________的四邊形是平行四邊形4一組對邊平行且________的四邊形是平行四邊形5對角線________的四邊形是平行四邊形相等

相等

相等

互相平分

考點4平行四邊形的判定第25講┃考點聚焦序號方法182考點5

平行四邊形的面積第25講┃考點聚焦平行四邊形的面積平行四邊形的面積＝底×高拓展同底(等底)等高(同高)的平行四邊形面積相等兩條平行線間距離在兩條平行線中一條直線上任意一點到另一條直線上的距離叫做兩條平行線間的距離推論夾在兩條平行線間的平行線段________相等

考點5平行四邊形的面積第25講┃考點聚焦平行四邊83第25講┃歸類示例歸類示例?類型之一多邊形的內角和與外角和命題角度：1．n邊形的內角和定理的應用；2．n邊形的外角和定理的應用．5

[解析]設該多邊形的邊數為n，則(n－2)×180＝1/3×360.解得n＝5.例1[2012·德陽]

已知一個多邊形的內角和是外角和的1/3，則這個多邊形的邊數是________．

第25講┃歸類示例歸類示例?類型之一多邊形的內角和與外84第25講┃歸類示例如果已知n邊形的內角和，那么可以求出它的邊數n；對于多邊形的外角和等于360°，應明確兩點：(1)多邊形的外角和與邊數n無關；(2)多邊形內角問題轉化為外角問題常常有化難為易的效果．第25講┃歸類示例85?類型之二平行四邊形的性質命題角度：1.平行四邊形對邊的特點；2.平行四邊形對角的特點；3.平行四邊形對角線的特點．第25講┃歸類示例

例2如圖25－1,四邊形ABCD是平行四邊形，P是CD上一點，且AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA.(1)求∠APB的度數；(2)如果AD＝5cm，AP＝8cm，求△APB的周長．圖25－1?類型之二平行四邊形的性質命題角度：第25講┃歸類示86第25講┃歸類示例第25講┃歸類示例87

平行四邊形的性質的應用，主要是利用平行四邊形的邊與邊，角與角及對角線之間的特殊關系進行證明或計算．第25講┃歸類示例

第288?類型之三平行四邊形的判定

例3[2012·泰州]

如，四邊形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于點E，CF⊥BC交BD于點F，且AE＝CF.求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

[解析]由垂直得到∠EAD＝∠BCF＝90°，根據AAS可證明Rt△AED≌Rt△CFB，得到AD＝BC，根據平行四邊形的判定即可證明．第25講┃歸類示例命題角度：1.從對邊判定四邊形是平行四邊形；2.從對角判定四邊形是平行四邊形；3.從對角線判定四邊形是平行四邊形．圖25－2?類型之三平行四邊形的判定例3[2012·泰州]89第25講┃歸類示例證明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠EAD＝∠FCB＝90°.∵AE＝CF，∴△EAD≌△FCB(AAS)，∴AD＝CB.∵AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．第25講┃歸類示例證明：∵AD∥BC，90第25講┃歸類示例判別一個四邊形是不是平行四邊形，要根據具體條件靈活選擇判別方法．凡是可以用平行四邊形知識證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應直接運用平行四邊形的性質和判定去解決問題．第25講┃歸類示例判別一個四邊形是不是平行四邊形，要根據具91第26講┃矩形、菱形、正方形第26講矩形、菱形、正方形第26講┃矩形、菱形、正方形第26講矩形、菱形、正方形92第26講┃考點聚焦考點聚焦考點1矩形矩形定義有一個角是________的平行四邊形叫做矩形矩形的性質對稱性矩形是一個軸對稱圖形，它有兩條對稱軸矩形是中心對稱圖形，它的對稱中心就是對角線的交點定理(1)矩形的四個角都是______角；(2)矩形的對角線互相平分并且______推論在直角三角形中，斜邊上的中線等于________的一半直角直相等斜邊第26講┃考點聚焦考點聚焦考點1矩形矩形有一個角是93第26講┃考點聚焦矩形的判定(1)定義法(2)有三個角是直角的四邊形是矩形(3)對角線______的平行四邊形是矩形拓展(1)矩形的兩條對角線把矩形分成四個面積相等的的等腰三角形；(2)矩形的面積等于兩鄰邊的積相等第26講┃考點聚焦矩形的判定(1)定義法(2)有三個角是直94第26講┃考點聚焦考點2菱形菱形定義有一組________相等的平行四邊形是菱形菱形的性質對稱性菱形是軸對稱圖形，兩條對角線所在的直線是它的對稱軸菱形是中心對稱圖形，它的對稱中心是兩條對角線的交點定理(1)菱形的四條邊________；(2)菱形的兩條對角線互相________平分，并且每條對角線平分________鄰邊相等垂直一組對角第26講┃考點聚焦考點2菱形菱形有一組______95第26講┃考點聚焦菱形的判定(1)定義法(2)四條邊________的四邊形是菱形(3)對角線互相________的平行四邊形是菱形菱形面積(1)由于菱形是平行四邊形，所以菱形的面積＝底×高(2)因為菱形的對角線互相垂直平分，所以其對角線將菱形分成4個全等三角形，故菱形的面積等于兩對角線乘積的________.相等垂直一半第26講┃考點聚焦菱形的判定(1)定義法(2)四條邊___96考點3正方形第26講┃考點聚焦正方形的定義有一組鄰邊相等，且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形正方形的性質(1)正方形對邊________(2)正方形四邊________(3)正方形四個角都是________(4)正方形對角線相等，互相________，每條對角線平分一組對角(5)正方形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，對稱軸有四條，對稱中心是對角線的交點正方形的判定(1)有一組鄰邊相等的矩形是正方形(2)有一個角是直角的菱形是正方形平行相等直角垂直平分考點3正方形第26講┃考點聚焦正方形的定義有一組鄰97第26講┃考點聚焦判定正方形的思路圖：第26講┃考點聚焦判定正方形的思路圖：98考點4

中點四邊形第26講┃考點聚焦定義順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形，我們稱之為中點四邊形常見結論順次連接四邊形各邊中點所得到的四邊形是平行四邊形順次連接矩形各邊中點所得到的四邊形是_________順次連接菱形各邊中點所得到的四邊形是__________順次連接正方形各邊中點所得到的四邊形是_______順次連接等腰梯形各邊中點所得的四邊形是______順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所得到的四邊形是______順次連接對角線互相垂直的四邊形所得到的四邊形是______菱形矩形正方形菱形菱形矩形考點4中點四邊形第26講┃考點聚焦定義順次連接四99第26講┃歸類示例歸類示例?類型之一矩形的性質及判定的應用命題角度：1.矩形的性質；2.矩形的判定．例1[2012·六盤水]如圖26－1，已知E是?ABCD中BC邊的中點，連接AE并延長AE交DC的延長線于點F.(1)求證：△ABE≌△FCE；(2)連接AC、BF，若∠AEC＝2∠ABC，求證：四邊形ABFC為矩形．圖26－1第26講┃歸類示例歸類示例?類型之一矩形的性質及判定的100第26講┃歸類示例

[解析](1)利用AAS可得出三角形ABE與三角形FCE全等；(2)利用對角線相等的平行四邊形為矩形可得出四邊形ABFC為矩形．

第26講┃歸類示例[解析](1)利用AAS可得出三角形101第26講┃歸類示例第26講┃歸類示例102第26講┃歸類示例第26講┃歸類示例103?類型之二菱形的性質及判定的應用命題角度：1.菱形的性質；2.菱形的判定．第26講┃歸類示例

例2

[2012·重慶]

已知：如圖26－2，在菱形ABCD中，F為邊BC的中點，DF與對角線AC交于點M，過M作ME⊥CD于點E，∠1＝∠2.(1)若CE＝1，求BC的長；(2)求證：AM＝DF＋ME.圖26－2?類型之二菱形的性質及判定的應用命題角度：第26講┃104第26講┃歸類示例

[解析](1)根據菱形的對邊平行可得AB∥CD，可得∠1＝∠ACD，所以∠ACD＝∠2，得CM＝DM，根據等腰三角形三線合一的性質可得CE＝DE；(2)證明△CEM和△CFM全等，得ME＝MF，延長AB、DF交于點N，然后證明∠1＝∠N，得AM＝NM，再利用“角角邊”證明△CDF和△BNF全等，得NF＝DF，最后結合圖形NM＝NF＋MF即可得證．第26講┃歸類示例[解析](1)根據菱形的對邊平行可得105第26講┃歸類示例第26講┃歸類示例106第26講┃歸類示例第26講┃歸類示例107

在證明一個四邊形是菱形時，要注意判別的條件是平行四邊形還是任意四邊形．若是任意四邊形，則需證四條邊都相等；若是平行四邊形，則需利用對角線互相垂直或一組鄰邊相等來證明．第26講┃歸類示例

第2108?類型之三正方形的性質及判定的應用

例3[2012·黃岡]如圖26－3，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E、F分別在OD、OC上，且DE＝CF，連接DF、AE，AE的延長線交DF于點M.求證：AM⊥DF.

[解析]根據DE＝CF，可得出OE＝OF，繼而證明△AOE≌△DOF，得出∠OAE＝∠ODF，然后利用等角代換可得出∠DME＝90°，即可得出結論．第26講┃歸類示例命題角度：1.正方形的性質的應用；2.正方形的判定．圖26－3?類型之三正方形的性質及判定的應用例3[2012109第26講┃歸類示例第26講┃歸類示例110第26講┃歸類示例正方形是特殊的平行四邊形，還是特殊的矩形，特殊的菱形，因此正方形具有這些圖形的所有性質；正方形的判定方法有兩條道路：(1)先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形是菱形；(2)先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形是矩形．第26講┃歸類示例正方形是特殊的平行四邊形111?類型之四特殊平行四邊形的綜合應用

例4[2012·婁底]如圖26－4，在矩形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點，P、Q分別是BM、DN的中點．(1)求證：△MBA≌△NDC；(2)四邊形MPNQ是什么樣的特殊四邊形？請說明理由．第26講┃歸類示例命題角度：1.矩形、菱形、正方形的性質的綜合應用；2.矩形、菱形、正方形的關系轉化．圖26－4?類型之四特殊平行四邊形的綜合應用例4[2012·112第26講┃歸類示例第26講┃歸類示例113?類型之五中點四邊形

例5[2011·邵陽]在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，順次連接EF、FG、GH、HE.(1)請判斷四邊形EFGH的形狀，并給予證明；(2)試添加一個條件，使四邊形EFGH是菱形(寫出你所添加的條件，不要求證明)．第26講┃歸類示例命題角度：1.對角線相等的四邊形的中點四邊形；2.對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形．圖26－5?類型之五中點四邊形例5[2011·邵陽]在四邊形114第26講┃歸類示例第26講┃歸類示例115第26講┃歸類示例依次連接四邊形各邊中點所得到的新四邊形的形狀與原四邊形對角線的關系(相等、垂直、相等且垂直)有關．第26講┃歸類示例依次連接四邊形各邊中點所116第26講┃回歸教材探索正方形中的三角形全等回歸教材教材母題

人教版八下P104習題T15如圖26－6，四邊形ABCD是正方形．點G是BC上的任意一點，DE⊥AG于點E，BF∥DE，且交AG于點F.求證：AF－BF＝EF.圖26－6第26講┃回歸教材探索正方形中的三角形全等回歸教材教材母117第26講┃回歸教材證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°.∵DE⊥AG，∴∠DEG＝∠AED＝90°，∴∠ADE＋∠DAE＝90°.又∠BAF＋∠DAE＝∠BAD＝90°，∴∠ADE＝∠BAF.∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠DEG＝∠AED，∴△ABF≌△DAE，∴BF＝AE，故AF－BF＝AF－AE＝EF.

[點析]

正方形含有很多相等的邊和角，這些是證明全等的有力工具．第26講┃回歸教材證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝118第26講┃回歸教材中考變式1．[2010·紅河]

如圖26－7，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一點(G與B、C兩點不重合)，E、F是AG上的兩點(E、F與A、G兩點不重合)，若AF＝BF＋EF，∠1＝∠2，請判斷線段DE與BF有怎樣的位置關系，并證明你的結論．圖26－7第26講┃回歸教材中考變式1．[2010·紅河]如圖26119第26講┃回歸教材解：根據題目條件可判斷DE∥BF.證明如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAF＋∠2＝90°.∵AF＝AE＋EF，又AF＝BF＋EF，∴AE＝BF.∵∠1＝∠2，∴△ABF≌△DAE(SAS)．∴∠AFB＝∠DEA，∠BAF＝∠ADE.∴∠ADE＋∠2＝∠BAF＋∠2＝90°，∴∠AED＝∠BFA＝∠DEG＝90°.∴DE∥BF.

第26講┃回歸教材解：根據題目條件可判斷DE∥BF.120第26講┃回歸教材2．如圖26－8，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，點G是BC延長線上一點，連接AG，點E、F分別在AG上，連接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4.(1)證明：△ABE≌△DAF；(2)若∠AGB＝30°，求EF的長．圖26－8第26講┃回歸教材2．如圖26－8，四邊形ABCD是邊長為121第26講┃回歸教材第26講┃回歸教材122第26講┃回歸教材第26講┃回歸教材123第27講┃梯形第27講梯形第27講┃梯形第27講梯形124第27講┃考點聚焦考點聚焦考點1梯形的有關概念梯形定義一組對邊________，另一組對邊______的四邊形叫梯形等腰梯形兩腰相等的梯形叫等腰梯形直角梯形有一個角是直角的梯形叫直角梯形平行不平行第27講┃考點聚焦考點聚焦考點1梯形的有關概念梯形定義125第27講┃考點聚焦考點2等腰梯形等腰梯形的性質軸對稱性等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，一底的垂直平分線是它的對稱軸性質定理1等腰梯形同一底上的兩________相等性質定理2等腰梯形的對角線________底角相等第27講┃考點聚焦考點2等腰梯形等腰梯形軸對稱性等126第27講┃考點聚焦等腰梯形的判定判定方法(1)定義法；(2)同一底上的兩個角________的梯形是等腰梯形判定步驟(1)先判定它是梯形；(2)再用“兩腰相等”或“同一底上的兩個角相等”或“對角線相等”來判定它是等腰梯形相等第27講┃考點聚焦等腰梯形判定方法(1)定義法；(2)同一127考點3梯形中常用的輔助線第27講┃考點聚焦輔助線添加方法及目的圖形平移一腰從梯形的一個頂點作一腰的平行線，把梯形分成一個平行四邊形和一個三角形作兩高從同一底的兩端作另一底的垂線，把梯形分成一個矩形和兩個直角三角形考點3梯形中常用的輔助線第27講┃考點聚焦輔助線添128第27講┃考點聚焦平移對角線移動一條對角線，即過底的一端作對角線的平行線，可以借助所得到的平行四邊形來研究梯形延長兩腰延長梯形的兩腰交于一點，得到兩個三角形，如果是等腰梯形，則得到兩個分別以梯形兩底為底的等腰三角形連接中點并延長連接梯形一頂點與一腰的中點并延長與另一底的延長線相交，可得一三角形，將梯形的面積轉化為三角形的面積，將梯形的上下底轉移到同一直線上第27講┃考點聚焦平移對角線移動一條對角線，即過底的一端作129第27講┃歸類示例歸類示例?類型之一梯形的基本概念及性質命題角度：1.梯形的定義及分類；2.梯形的中位線及有關計算．例1[2012·濱州

]我們知道“連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線”，“三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半”．類似地，我們把連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線．如圖