（優選）自回歸過程的性質第一頁，共六十九頁。一、時間序列模型的平穩性（Stationarity）平穩性的定義：如果一個時間序列模型可以寫成如下形式：其中，xt為零均值平穩序列，at為白噪聲，且滿足條件就稱該模型是平穩的。（上式又稱Wold展開式）返回本節首頁下一頁上一頁第二頁，共六十九頁。第三頁，共六十九頁。時間序列模型的可逆性(ivertibility)如果一個時間序列（未必平穩）的模型可以寫成如下形式：其中：at為白噪聲，且有那么，就稱這個模型是可逆的。返回本節首頁下一頁上一頁第四頁，共六十九頁。對于一個有限階的自回歸模型AR(P)總有：所以，一個有限階的AR(p)模型總是可逆的。第五頁，共六十九頁。自回歸表示有助于理解預測機制，Box和Jenkins證明在預測時，一個非可逆過程是毫無意義的。第六頁，共六十九頁。一、一階自回歸過程AR(1)的性質一階自回歸模型的形式為：或返回本節首頁下一頁上一頁第七頁，共六十九頁。1、平穩性和可逆性A.可逆性：一個有限階的自回歸模型總是可逆的，所以，AR(1)模型總是可逆的。B.平穩性：為滿足平穩性，的根必須在單位圓外，于是有：第八頁，共六十九頁。第九頁，共六十九頁。上式說明系統是怎樣記憶擾動at上式中的系數客觀的描述了該系統的動態性，故這個系數稱為記憶函數（格林函數），AR(1)模型的格林函數可表示為平穩序列的這種表示形式，稱為“傳遞形式”，（用無窮階MA模型來逼近有限階AR模型）第十頁，共六十九頁。格林函數的意義是前j個時間單位以前進入系統的擾動對系統現在的影響；客觀的刻劃了系統動態響應衰減的快慢程度；是系統動態真實描述；格林函數所描述的動態性完全取決于系統參數第十一頁，共六十九頁。對于AR(1)來說：若系統受到擾動后，該擾動的作用逐漸減小，直至趨于零，即系統隨著時間的增長回到均衡位置，那么該系統就是漸近穩定的，也就是平穩的。系統平穩對于格林函數來說，就是隨著j的增加，趨近于零；若格林函數趨于無窮大，那么任意小的擾動，只要給定足夠的時間，就會使系統響應正負趨于無窮，永遠不會回到其均衡位置，這時系統便是不穩定的，當然是非平穩的。第十二頁，共六十九頁。2.AR(1)過程的自相關函數第十三頁，共六十九頁。第十四頁，共六十九頁。第十五頁，共六十九頁。第十六頁，共六十九頁。通過上述推導可看出，當過程平穩即時，AR(1)過程的自相關函數（ACF）呈指數衰減。如果，那么所有的自相關系數都為正，并逐漸衰減。如果,自相關系數的符號以負號開始，并呈正、負交替逐漸衰減。第十七頁，共六十九頁。例1，下面兩圖表分別是模擬生成的249個數據如下AR(1)過程趨勢圖和自相關圖第十八頁，共六十九頁。-6-4-202482848688909294969800例1，模擬生成的AR(1)過程趨勢圖第十九頁，共六十九頁。例1：模擬生成的AR(1)過程自相關圖::呈指數衰減第二十頁，共六十九頁。例2，下面兩圖表分別是模擬生成的249個數據如下AR(1)過程趨勢圖和自相關圖第二十一頁，共六十九頁。-6-4-2024682848688909294969800Y例2，模擬生成的AR(1)過程趨勢圖第二十二頁，共六十九頁。例2：模擬生成的AR(1)過程自相關圖::呈正負交替指數衰減第二十三頁，共六十九頁。3.AR(1)過程的偏自相關函數（PACF）A.偏自相關函數的一般公式第二十四頁，共六十九頁。第二十五頁，共六十九頁。第二十六頁，共六十九頁。第二十七頁，共六十九頁。第二十八頁，共六十九頁。B.AR(1)過程的偏自相關函數第二十九頁，共六十九頁。上述結論說明：AR(1)過程的偏自相關函數(PACF)在滯后一階有一峰值，其符號取決于。滯后一階以后PACF截尾。第三十頁，共六十九頁。例1：模擬生成的AR(1)過程自相關圖::滯后一階以后截尾第三十一頁，共六十九頁。例2：模擬生成的AR(1)過程自相關圖::滯后一階以后截尾第三十二頁，共六十九頁。二、二階自回歸AR(2)過程的性質二階自回歸模型的形式為：或返回本節首頁下一頁上一頁第三十三頁，共六十九頁。B.平穩性：為滿足平穩性，的根必須在單位圓外.1、平穩性和可逆性A.可逆性：AR(2)模型總是可逆的。第三十四頁，共六十九頁。第三十五頁，共六十九頁。注：我們下面對AR(2)性質的討論中都假定平穩性條件滿足.第三十六頁，共六十九頁。-202-101實根復根AR(2)過程的平穩性區域如下圖三角域所示第三十七頁，共六十九頁。2.AR(2)過程的自相關函數第三十八頁，共六十九頁。第三十九頁，共六十九頁。第四十頁，共六十九頁。第四十一頁，共六十九頁。通過上述推導可以如下結論，在AR(2)過程的平穩性條件滿足時，如果特征方程的根為實根，即時，AR(2)的自相關函數呈指數衰減。如果特征方程的根為復根，即時，AR(2)的自相關函數呈阻尼正弦波衰減。第四十二頁，共六十九頁。3.AR(2)過程的偏自相關函數第四十三頁，共六十九頁。第四十四頁，共六十九頁。通過上述證明可以得出如下結論：第四十五頁，共六十九頁。例1，下面兩圖表分別是模擬生成的250個數據如下AR(2)過程趨勢圖和自相關圖第四十六頁，共六十九頁。-4-202482848688909294969800例1.模擬生成的AR(2)過程趨勢圖第四十七頁，共六十九頁。例1.模擬生成的AR(2)過程自相關圖呈混合指數衰滯后二階以后截尾第四十八頁，共六十九頁。例2，下面兩圖表分別是模擬生成的250個數據如下AR(2)過程趨勢圖和自相關圖第四十九頁，共六十九頁。-6-4-2024682848688909294969800例2.模擬生成的AR(2)過程趨勢圖第五十頁，共六十九頁。例2.模擬生成的AR(2)過程自相關圖呈混合指數衰減滯后二階以后截尾第五十一頁，共六十九頁。例3，下面兩圖表分別是模擬生成的250個數據如下AR(2)過程趨勢圖和自相關圖第五十二頁，共六十九頁。-4-202482848688909294969800模擬生成的AR(2)過程趨勢圖第五十三頁，共六十九頁。模擬生成的AR(2)過程自相關圖呈阻尼正弦波衰減滯后二階以后截尾第五十四頁，共六十九頁。三、p階自回歸過程AR(p)的性質二階自回歸模型的形式為：或返回本節首頁下一頁上一頁第五十五頁，共六十九頁。B.平穩性：為滿足平穩性，的根必須在單位圓外.1、平穩性和可逆性A.可逆性：AR(p)模型總是可逆的。即如果β1，β2，…，βp是

的根，那么它們的絕對值|βi|>1第五十六頁，共六十九頁。其實也就是要求特征方程的特征根都在單位圓內。即如果λ1，λ2…λp是上述特征方程的p個特征根，那么為滿足平穩性條件，必須有|λi|<1注：下面對AR(p)性質的討論，都假定平穩性條件滿足。第五十七頁，共六十九頁。對于高階的自回歸過程，其平穩性條件用其模型參數表示雖比較復雜，但都有最基本的一點：這是自回歸過程平穩的必要條件之一。第五十八頁，共六十九頁。一個可逆過程不一定是平穩的，對于一個有限階的AR(P)模型：自回歸過程的平穩性條件(stationaritycondition)它是平穩過程的必要條件是:的根都在單位圓外，即如果β1，β2，…，βp是的根，那么它們的絕對值必須大于1返回本節首頁下一頁上一頁第五十九頁，共六十九頁。注第六十頁，共六十九頁。移項得推導過程如下由

根據數學知識，上式可以展開為冪級數，即第六十一頁，共六十九頁。根據平穩性的條件有：即級數必須收斂。而要滿足這個條件，則必須有:的根都在單位圓外。第六十二頁，共六十九頁。通過上述推導，可以得出如下結論：一個有限階的AR(p)模型，可以表示成一個無限階的MA模型第六十三頁，共六十九頁。2.AR(p)的自相關函數ACF第六十四頁，共六十九頁。第六十五頁，共六十九頁。通過上述推導有如下結論：對于平穩過程，有|λi|<1，AR(p)過程的ACF是由差分方程的根確定的，呈混合指數衰減或出現復根時的阻尼正弦波衰減。