第二十五章

概率初步第二十五章概率初步25.1隨機事件與概率25.1隨機事件與概率25.1.1隨機事件25.1.1隨機事件知識點一知識點二知識點一確定性事件、隨機事件

在一定條件下,有些事件必然發生,這樣的事件稱為必然事件.相反地,有些事件必然不會發生,這樣的事件稱為不可能事件.必然事件與不可能事件統稱確定性事件.在一定條件下,可能發生也有可能不發生的事件稱為隨機事件.名師解讀:理解確定性事件與隨機事件時:(1)確定性事件是由現象本身的特殊性決定的,確定性事件是任何人都改變不了的事實;(2)隨機現象發生與否具有偶然性.不能因為某現象一次發生了就把它說成確定性,也不要某次試驗不發生就說成不可能發生;(3)有些隨機現象發生的可能性非常大,也有的隨機現象發生的可能性非常小,但隨機現象發生的可能性再大也不會成為必然事件,再小也不能成為不可能事件.知識點一知識點二知識點一確定性事件、隨機事件知識點一知識點二例1

下列事件中,確定性事件是(

)A.擲一枚一元的硬幣,有幣值的一面朝上B.任意買一張福利彩票,中了一等獎C.袋子里裝有除顏色外其余都相同的紅球3個、白球1個,從中任意摸出一球恰是紅球D.在地球上,上拋出去的籃球會下落解析:根據確定性事件和隨機事件的概念分析:A,擲一枚一元的硬幣,有幣值的一面朝上是隨機事件,故本選項錯誤;B,任意買一張福利彩票,中了一等獎是隨機事件,故本選項錯誤;C,袋子里裝有除顏色外其余都相同的紅球3個、白球1個,從中任意摸出一球恰是紅球是隨機事件,故本選項錯誤;D,在地球上,上拋出去的籃球會下落是必然事件,故本選項正確.答案:D知識點一知識點二例1下列事件中,確定性事件是()知識點一知識點二解答這類問題,結合生活經驗和事件發生的情況進行判斷.

知識點一知識點二解答這類問題,結合生活經驗和事件發生的情況進知識點一知識點二知識點二隨機事件發生的可能性大小不確定性事件發生的可能性的大小由它在整體問題中所占的比例的大小來確定,它占整體的比例大,則發生的可能性就大,占整體的比例小,則發生的可能性就小.知識點一知識點二知識點二隨機事件發生的可能性大小知識點一知識點二名師解讀:(1)“不可能發生”就是每次都沒有機會發生,或說發生的機會是0.(2)“必然發生”就是每次一定發生,或說發生的機會是100%.(3)“可能發生”是指有時會發生,有時不會發生,或說發生的機會介于0和100%之間.(4)“不太可能發生”是指發生的機會很小,但不是0,所以它不等于“不可能”.(5)“很有可能發生”是指發生的機會很大,但不是100%.它不等于“必然發生”.知識點一知識點二名師解讀:(1)“不可能發生”就是每次都沒有知識點一知識點二例2

有一個均勻的正二十面體形狀的骰子,其中一個面標有“1”,兩個面標有“2”,三個面標有“3”,四個面標有“4”,五個面標有“5”,其余的面標有“6”,將這個骰子擲出后,標有“6”的面朝上的可能性是(

)解析:標有“6”的面數為5,共有20個面,故標有“6”的面朝上的可能性為

.答案:C知識點一知識點二例2有一個均勻的正二十面體形狀的骰子,其中拓展點拓展點隨機事件的幾個類型例題

從一副撲克牌中抽出4張紅桃、3張梅花、2張黑桃放在一起洗勻,從中一次抽出8張牌,恰好有紅桃、梅花、黑桃三種牌都被抽到,這個事件是(

)A.必然事件 B.隨機事件C.不可能事件 D.以上都不對解析:可以分情況研究:(1)若這8張牌中抽出了全部的紅桃與梅花共7張,一定還有1張黑桃;(2)若抽出了全部的梅花與黑桃共5張,則還會有3張紅桃;(3)若抽出了全部的紅桃與黑桃共6張,則還會有2張梅花;∴這個事件一定發生,是必然事件.答案:A拓展點拓展點隨機事件的幾個類型拓展點【點評】本題考查的是可能性大小的判斷,解決這類題目要注意具體情況具體對待.一般地,必然事件的可能性大小為1,不可能事件發生的可能性大小為0,隨機事件發生的可能性大小在0至1之間.拓展點【點評】本題考查的是可能性大小的判斷,解決這類題目要注拓展點解答這類問題,要注意分情況討論,不要被表面現象所迷惑.

拓展點解答這類問題,要注意分情況討論,不要被表面現象所迷惑.25.1.2概率25.1.2概率知識點一知識點二知識點一概率的含義

一般地,對應隨機事件A,我們把刻畫其發生可能性大小的數值,稱為隨機事件A發生的概率.名師解讀:對于通過試驗得出的概率,概率是大量試驗的結果,對具體的幾次試驗不一定能體現出這種規律性的結果.必然事件的概率為100%,不可能事件的概率為0,隨機事件的概率為P(0<P<100%).知識點一知識點二知識點一概率的含義知識點一知識點二例1

下列說法中,正確的是(

)A.“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的時間降雨B.“拋一枚硬幣正面朝上的概率是0.5”表示每拋硬幣2次就有1次出現正面朝上C.“彩票中獎的概率是1%”表示買100張彩票一定有1張會中獎D.在同一年出生的367名學生中,至少有兩人的生日是同一天知識點一知識點二例1下列說法中,正確的是()知識點一知識點二解析:根據概率的意義分析各個選項,找到正確選項即可.A,“明天降雨的概率是80%”表示明天有降雨的可能性,故錯誤;B,“拋一枚硬幣正面朝上的概率是0.5”表示拋一枚硬幣正面朝上與反面朝上的機會是一樣的,故錯誤;C,“彩票中獎的概率是1%”表示在設計彩票時,有1%的機會中獎,但不一定買100張彩票一定有1張會中獎,故錯誤;D,在同一年出生的367名學生,由于一年中至多有366天,因而至少有兩人的生日是同一天.答案:D知識點一知識點二解析:根據概率的意義分析各個選項,找到正確選知識點一知識點二概率只是反映事件發生機會的大小.概率只要小于1,再大也不一定發生,只要大于0,再小也有可能發生.概率是大量試驗的結果,不受其中一次或幾次的影響而變化.

知識點一知識點二概率只是反映事件發生機會的大小.概率只要小于知識點一知識點二知識點二概率的求法一般地,如果一次試驗中,有n種可能的結果,并且它們發生的可能性都相等,事件A包含其中的m種結果,那么事件A發生的概率

.名師解讀:求一個事件的概率,就是求該隨機事件發生的可能性的大小.知識點一知識點二知識點二概率的求法知識點一知識點二例2

一個布袋中有8個紅球和16個白球,它們除顏色外都相同.(1)求從袋中摸出一個球是紅球的概率;(2)現從袋中取走若干個白球,并放入相同數量的紅球.攪拌均勻后,要使從袋中摸出一個球是紅球的概率是,問取走了多少個白球?(要求通過列式或列方程解答)知識點一知識點二例2一個布袋中有8個紅球和16個白球,它們知識點一知識點二分析:根據概率的求法,找準兩點:①符合條件的情況數目;②全部情況的總數.二者的比值就是其發生的概率.知識點一知識點二分析:根據概率的求法,找準兩點:①符合條件的知識點一知識點二對于簡單的題目直接套用公式即可,求一步試驗事件的概率是概率計算中最常見、最簡單的一種題型,只要通過列舉法找出所有的等可能結果,再從中確定所求事件的結果數,利用概率計算公式即可解決.

知識點一知識點二對于簡單的題目直接套用公式即可,求一步試驗事拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一“古典型”概率例1

從1,2,3,4這四個數字中,任意抽取兩個不同數字組成一個兩位數,則這個兩位數能被3整除的概率是(

)解析:列舉出所有情況,看能被3整除的數的情況占總情況的多少即可.第一個數字有4種選擇,第二個數字有3種選擇,易得共有4×3=12種可能,而被3整除的有4種可能(12,21,24,42),所以任意抽取兩個數字組成兩位數,則這個兩位數被3整除的概率為

.答案:A拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一“古典型”概率拓展點一拓展點二拓展點三解決古典型概率問題,直接根據“一個事件有n種可能,而且這些事件的可能性相同,其中事件A出現m種結果,那么事件A的概率P(A)=”計算即可.

拓展點一拓展點二拓展點三解決古典型概率問題,直接根據“一個事拓展點一拓展點二拓展點三拓展點二“幾何型”概率例2

如圖是兩個可以自由轉動的轉盤,轉盤被等分成若干個扇形,轉動轉盤,通過多次試驗,轉盤停止后,指針指向黃色區域的機會分別是(

)拓展點一拓展點二拓展點三拓展點二“幾何型”概率拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一拓展點二拓展點三幾何概型的求解與古典概型的求解思路是一樣的,都屬于“比例解法”,即隨機事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的圖形長度(面積或體積)”與“試驗的基本事件所占總長度(或面積或體積)”之比來計算.

拓展點一拓展點二拓展點三幾何概型的求解與古典概型的求解思路是拓展點一拓展點二拓展點三拓展點三概率的應用例3

小亮看到路邊上有人擺攤玩“有獎擲幣”游戲,規則是:交2元錢可以玩一次擲硬幣游戲,每次同時擲兩枚硬幣,如果出現兩枚硬幣正面朝上,獎金5元;如果是其他情況,則沒有獎金(每枚硬幣落地只有正面朝上和反面朝上兩種情況).小亮拿不定主意究竟是玩還是不玩,請同學們幫幫忙!(1)求出中獎的概率;(2)如果有100人,每人玩一次這種游戲,大約有幾人中獎?獎金約是多少元?擺攤者約獲利多少元?(3)通過以上“有獎”游戲,你從中可得到什么啟示?拓展點一拓展點二拓展點三拓展點三概率的應用拓展點一拓展點二拓展點三分析:(1)根據隨機事件概率大小的求法,找準兩點:①符合條件的情況數目;②全部情況的總數;二者的比值就是其發生的概率的大小;(2)100乘以相應概率即為獲獎人數,獲獎人數乘以5即為獎金數,100×2-25×5即為獲利錢數;(3)只要積極向上有理即可.解:(1)擲兩枚硬幣出現的情況是(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反),故出現兩枚硬幣都朝上的概率即中獎的概率是

;(2)由(1)可得中獎的概率是

,則如果有100人,每人玩一次這種游戲,大約有100×=25(人)中獎,獎金約25×5=125(元),擺攤者約獲利為100×2-125=75(元);(3)謹慎參加類似的活動.(只要合理就行).拓展點一拓展點二拓展點三分析:(1)根據隨機事件概率大小的求拓展點一拓展點二拓展點三解決這類實際問題,一般通過計算概率,利用概率的情況進行說明.本題的第(3)問的答案不唯一,只要具有積極意義即可.

拓展點一拓展點二拓展點三解決這類實際問題,一般通過計算概率,25.2用列舉法求概率25.2用列舉法求概率知識點一知識點二知識點三知識點一用列舉法求概率

在一次試驗中,如果可能出現的結果只有有限個,且各種結果出現的可能性大小相等,那么我們就可以通過列舉試驗結果的方法,求出隨機事件發生的概率.名師解讀:先列舉出所有可能出現的結果數,再一一列舉出所求的每一件事可能發生的結果數,然后代入概率公式進行計算.知識點一知識點二知識點三知識點一用列舉法求概率知識點一知識點二知識點三例1

任意擲一枚均勻的硬幣兩次,則兩次都不是正面朝上的概率是(

)

解析:首先利用列舉法可得任意擲一枚均勻的硬幣兩次,等可能的結果有:正正,正反,反正,反反,∴兩次都不是正面朝上的概率是

.答案:B知識點一知識點二知識點三例1任意擲一枚均勻的硬幣兩次,則兩知識點一知識點二知識點三用列舉法求概率適合于結果總數較少的問題,注意列舉出所有可能出現的情況時,不要出現漏掉其中的一部分的情況.

知識點一知識點二知識點三用列舉法求概率適合于結果總數較少的問知識點一知識點二知識點三知識點二用列表法求概率列表法就是用表格將所有的情況全部用表格列出,找出其中可能發生的情況,然后利用概率公式計算即可.名師解讀:列表法適合于各種情況的求概率的問題,一般用于求含有兩個變量的事件的概率.知識點一知識點二知識點三知識點二用列表法求概率知識點一知識點二知識點三例2

從一副撲克牌中取出的兩組牌,分別是黑桃1,2,3,4和方塊1,2,3,4,將它們背面朝上分別重新洗牌后,從兩組牌中各摸出一張,那么摸出的兩張牌的牌面數字之和等于5的概率是多少?分析:由于摸出黑桃的結果有4種,摸出方片的結果也有4種,所以總共有16種情況,比較復雜,我們可以列表表示,從中找出和為5的所有情況,即可以求出要求的概率.知識點一知識點二知識點三例2從一副撲克牌中取出的兩組牌,分知識點一知識點二知識點三解:方法一:用下表列舉所有可能得到的牌面數字之和:從上表可知,共有16種情況,每種情況發生的可能性相同,而兩張牌的牌面數字之和等于5的情況共出現4次,因此牌面數字之和等于5的概率為

.知識點一知識點二知識點三解:方法一:用下表列舉所有可能得到的知識點一知識點二知識點三方法二:由于摸出黑桃的結果有4種,摸出方片的結果也有4種,所以總共有16種情況,其中和為5的情況有“黑桃1方片4,黑桃4方片1,黑桃2方片3,黑桃3方片2”四種情況,所以牌面數字之和為5的概率為

.知識點一知識點二知識點三方法二:由于摸出黑桃的結果有4種,摸知識點一知識點二知識點三當結果總數比較少時,一般用列舉法比較方便;當結果總數比較多時,易采用列表法.

知識點一知識點二知識點三當結果總數比較少時,一般用列舉法比較知識點一知識點二知識點三知識點三用樹狀圖法求概率樹狀圖法就是通過樹狀圖把所有等可能事件的結果表示出來,看起來一目了然,以便能求得事件的概率.名師解讀:樹狀圖法適用于求兩步及兩步以上事件的概率,尤其是事件要經過多個步驟(三步或三步以上)完成時,用這種方法求概率最有效.知識點一知識點二知識點三知識點三用樹狀圖法求概率知識點一知識點二知識點三例3

書架上有兩套同樣的教材,每套分上、下兩冊,在這四冊教材中隨機抽取兩冊,恰好組成一套教材的機會是(

)分析:首先根據題意畫樹狀圖,然后根據樹狀圖求得所有等可能的結果與恰好組成一套教材的情況數,再根據概率公式求解即可求得答案.知識點一知識點二知識點三例3書架上有兩套同樣的教材,每套分知識點一知識點二知識點三解:畫樹狀圖如圖所示,由圖可知一共有12種等可能的結果,恰好組成一套教材的有4情況,∴恰好組成一套教材的機會是

.答案:B知識點一知識點二知識點三解:畫樹狀圖如圖所示,知識點一知識點二知識點三注意列表法與樹狀圖法可以不重不漏地表示出所有等可能的結果,適合于兩步及兩步以上事件的概率的求解.

知識點一知識點二知識點三注意列表法與樹狀圖法可以不重不漏地表拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一靈活選用方法求隨機事件的概率例1

4張背面圖案完全相同的卡片A,B,C,D,其正面分別畫有不同的圖案(如圖所示),現將這4張卡片背面朝上洗勻后摸出1張,放回洗勻再摸出一張.(1)用樹狀圖(或列表法)表示兩次摸出卡片所有可能的結果;(卡片用A,B,C,D表示)(2)求摸出的兩張卡片正面圖案都是中心對稱圖形的概率.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一靈活選用方法求隨機事件的概率拓展點一拓展點二拓展點三分析:(1)由于所有等可能的情況總數有限,所以可以采用任何方法;(2)中心對稱圖形是繞某點旋轉180°后能夠和原來的圖形完全重合,那么B,D是中心對稱圖形,看所求的情況占總情況的多少即可.解:(1)畫樹狀圖如下:列表如下:拓展點一拓展點二拓展點三分析:(1)由于所有等可能的情況總數拓展點一拓展點二拓展點三(2)由圖可知只有卡片B,D才是中心對稱圖形.所有可能的結果有16種,其中滿足摸出的兩張卡片圖形都是中心對稱圖形(記為事件A)有4種,即(B,B),(B,D),(D,B),(D,D).拓展點一拓展點二拓展點三(2)由圖可知只有卡片B,D才是中心拓展點一拓展點二拓展點三解答這類問題,選擇哪種方法,主要根據結果總數靈活選擇,如果結果總數較小時,易用列舉法(枚舉法);結果總數較多時,易采用列表法;當事件是三步或三步以上時,易采用“樹狀圖法”.

拓展點一拓展點二拓展點三解答這類問題,選擇哪種方法,主要根據拓展點一拓展點二拓展點三拓展點二摸球“放回”與“不放回”的概率例2在一個不透明的袋子中裝有2個紅球,1個白球,它們除顏色外其余均相同,隨機從中摸出一球,記錄下顏色后將它放回袋子中,充分搖勻后,再隨機摸出一球,則(1)兩次都摸到紅球的概率是多少?(2)兩次摸到的球一紅一白的概率是多少?分析:(1)首先根據題意畫出樹狀圖,然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩次都摸到紅球的情況,再利用概率公式即可求得答案;(2)首先由(1)求得兩次摸到的球一紅一白的情況,再利用概率公式即可求得答案.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點二摸球“放回”與“不放回”的概拓展點一拓展點二拓展點三解:(1)畫樹狀圖如下:∵共有9種等可能的結果,兩次都摸到紅球的有4種情況,∴兩次都摸到紅球的概率是

.(2)∵兩次摸到的球一紅一白的有4種情況,∴兩次摸到的球一紅一白的概率是

.拓展點一拓展點二拓展點三解:(1)畫樹狀圖如下:拓展點一拓展點二拓展點三列表法可以不重復不遺漏地列出所有可能的結果,適合于兩步完成的事件;樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件;解題時要注意是放回試驗還是不放回試驗.

拓展點一拓展點二拓展點三列表法可以不重復不遺漏地列出所有可能拓展點一拓展點二拓展點三拓展點三游戲的公平性例3一袋裝有四個上面分別標有數字1,2,3,4,除數字外其他完全相同的小球.搖勻后,甲從中任意抽取1個,記下數字后放回搖勻,乙從中任意抽一個,記下數字,然后把這兩個數相加(每次抽取前均看不清小球).(1)請用列表或樹狀圖的方法求兩數和為3的概率;(2)甲與乙按上述方法做游戲,當兩數之和為3時,甲勝,反之乙勝.若甲勝一次得9分,那么乙勝一次得多少分,這個游戲對雙方才公平?分析:(1)本題考查概率問題中的公平性問題,解決本題的關鍵是計算出各種情況的概率,然后比較即可.(2)根據題意可使用列表法求參與者的概率.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點三游戲的公平性拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一拓展點二拓展點三在其他條件相同時,判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率,概率相等就公平,否則就不公平.

拓展點一拓展點二拓展點三在其他條件相同時,判斷游戲公平性就要25.3

用頻率估計概率25.3用頻率估計概率知識點知識點用頻率估計概率

對于一般的隨機事件,在做大量重復試驗時,隨著試驗次數的增加,一個事件出現的頻率,總在一個固定數的附近擺動,顯示出一定的穩定性.因此我們可以通過大量的重復試驗,用一個隨機事件發生的頻率去估計它的概率.知識點知識點用頻率估計概率知識點名師解讀:頻率與概率的區別與聯系1.聯系:(1)事件的頻率與概率是度量事件出現可能性大小的兩個統計特征數;(2)當試驗次數無限增大時,事件發生的頻率會逐漸穩定于概率附近,概率的值可能是頻率的某個具體值,也可能不是頻率的具體的某個值;(3)頻率具有穩定性,概率具有確定性.2.區別:(1)頻率反映了隨機事件發生的頻繁程度;概率反映了隨機事件發生的可能性的大小;(2)頻率具有隨機性,是近似值,能近似地反映事件出現可能性的大小;概率是理論值,是由事件的本質所決定的,它能精確地反映事件發生可能性的大小.知識點名師解讀:頻率與概率的區別與聯系知識點例題小明練習射擊,共射擊60次,其中有38次擊中靶子,由此可估計,小明射擊一次擊中靶子的概率是(

)A.38%

B.60%C.約63%

D.無法確定解析:根據頻率=頻數÷數據總數計算.∵小明練習射擊,共射擊60次,其中有38次擊中靶子,∴射中靶子的頻率

,故小明射擊一次擊中靶子的概率約是63%.答案:C知識點例題小明練習射擊,共射擊60次,其中有38次擊中靶子知識點大量反復試驗下頻率的穩定值即概率.用到的知識點為:概率=所求情況數與總情況數之比.

知識點大量反復試驗下頻率的穩定值即概率.用到的知識點為:概率拓展點拓展點頻率估計概率的實際應用例題袋中有紅球、黃球、藍球、白球若干個,小剛又放入5個黑球后,小穎通過多次摸球試驗后,發現摸到紅球、黃球、藍球、白球及黑球的頻率依次為25%,30%,30%,10%,5%,試估計袋中紅球、黃球、藍球及白球各有多少個?分析:在同樣條件下,大量反復試驗時,隨機事件發生的頻率逐漸穩定在概率附近,可以從比例關系入手求解.拓展點拓展點頻率估計概率的實際應用拓展點解:小剛放入5個黑球后,小穎發現摸到黑球的頻率為5%,則可以由此估計袋中共有球

=100(個),說明此時袋中可能有100個球(包括5個黑球),則有紅球100×25%=25(個),黃球100×30%=30(個),藍球100×30%=30(個),白球100×10%=10(個).拓展點解:小剛放入5個黑球后,小穎發現摸到黑球的頻率為5%,拓展點解答此題關鍵是要先計算出口袋中黑球的個數.

拓展點解答此題關鍵是要先計算出口袋中黑球的個數.

章末專題整合章末專題整合【人教版】九年級上冊數學課件：第25章《概率初步》專題一專題二專題三專題四專題一隨機事件和確定事件例1下列事件是隨機事件的是(

)A.晴天的早晨,太陽從東方升起B.測量某天的最低氣溫,結果為-150℃C.打開數學課本時剛好翻到第60頁D.在一次體育考試中,小王跑100米用了4秒鐘解析:根據確定性事件和隨機事件的定義對各選項進行判斷:A,晴天的早晨,太陽從東方升起,它是必然事件;B,測量某天的最低氣溫,結果為-150

℃,它是不可能事件;C,打開數學課本時剛好翻到第60頁,它是隨機事件;D,在一次體育考試中,小王跑100米用了4秒,它是不可能事件.答案:C專題一專題二專題三專題四專題一隨機事件和確定事件專題一專題二專題三專題四解答這類問題可以結合生活實際和事件的概率的大小進行判斷,必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,隨機事件的概率在0和1之間專題一專題二專題三專題四解答這類問題可以結合生活實際和事件的專題一專題二專題三專題四專題二用樹狀圖法或列表法求概率例2有2個信封A,B,信封A裝有四張卡片,上面分別寫有1,2,3,4,信封B裝有三張卡片,上面分別寫有5,6,7,每張卡片除了數字沒有任何區別.從這兩個信封中隨機抽取兩張卡片.(1)請你用列表法或畫樹狀圖的方法描述所有可能的結果;(2)把卡片上的兩個數相加,求“得到的和是3的倍數”的概率.分析:(1)利用列表法展示所有12種等可能性的結果數;(2)找出所得的兩個數字之和為3的倍數的結果數,然后根據概率公式計算.專題一專題二專題三專題四專題二用樹狀圖法或列表法求概率專題一專題二專題三專題四解:(1)列表如下:由上表可知共有12種不同結果.(2)由(1)得到共有12種等可能性的結果,其中“所得的兩個數字之和為3的倍數”(記為事件A)的結果有4個,所以所求的概率專題一專題二專題三專題四解:(1)列表如下:專題一專題二專題三專題四解答這類問題,一般利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結果數,再找出某事件所占有的結果數,然后根據概率公式計算即可.

專題一專題二專題三專題四解答這類問題,一般利用列表法或樹狀圖專題一專題二專題三專題四專題三用頻率估計概率例3某校籃球隊進行籃球投籃訓練,下表是某隊員投籃的統計結果.根據上表,你估計該隊員一次投籃命中的概率大約是(

)A.0.9 B.0.8 C.0.7 D.0.72專題一專題二專題三專題四專題三用頻率估計概率根據上表,你估計專題一專題二專題三專題四解析:利用頻率估計概率時,要進行大量試驗,試驗次數越多,用頻率估計概率就越精確.由表可知,故當投籃次數為200次時,其頻率最具有代表性,據此估計該隊員一次投籃命中的概率大約是0.72.答案:D專題一專題二專題三專題四解析:利用頻率估計概率時,要進行大量專題一專題二專題三專題四解答利用頻率估計概率的問題,試驗次數越多,得到的概率估計值越精確.

專題一專題二專題三專題四解答利用頻率估計概率的問題,試驗次數專題一專題二專題三專題四專題四概率的實際應用例4某校舉辦藝術節,其中A班和B班的節目總成績并列第一,學校決定從A,B兩班中選派一個班代表學校參加全省比賽,B班班長想法是:用八張撲克牌,將數字為1,2,3,5的四張牌給A班班長,將數字為4,6,7,8的四張牌留給自己,并按如下游戲規則進行:A班班長和B班班長從各自的四張牌中隨機抽出一張,然后將抽出的兩張撲克牌數字相加,如果和為偶數,則A班去;如果和為奇數,則B班去.(1)請用樹狀圖或列表的方法求A班去參賽的概率.(2)B班班長設計的游戲規則公平嗎?若公平,請說明理由;若不公平,請你設計一種公平的游戲規則.專題一專題二專題三專題四專題四概率的實際應用專題一專題二專題三專題四分析:(1)利用列表法得出所有可能結果,即可求出A班去參賽的概率;(2)根據(1)中所求數據即可得出A班去的概率,以及B班去的概率,進而修改規則得出答案.解:(1)所有可能的結果如下表.專題一專題二專題三專題四分析:(1)利用列表法得出所有可能結專題一專題二專題三專題四專題一專題二專題三專題四專題一專題二專題三專題四判斷游戲是否公平,題型有二,一是直接由概率來加以判斷,若概率相等,則游戲公平;二是計算每次游戲的平均得分,從而進行判斷,若得分相等,則游戲公平.因此,第(2)小題規則修改不唯一,只要使得A,B兩班的概率相等即可.

專題一專題二專題三專題四判斷游戲是否公平,題型有二,一是直接第二十五章

概率初步第二十五章概率初步25.1隨機事件與概率25.1隨機事件與概率25.1.1隨機事件25.1.1隨機事件知識點一知識點二知識點一確定性事件、隨機事件

在一定條件下,有些事件必然發生,這樣的事件稱為必然事件.相反地,有些事件必然不會發生,這樣的事件稱為不可能事件.必然事件與不可能事件統稱確定性事件.在一定條件下,可能發生也有可能不發生的事件稱為隨機事件.名師解讀:理解確定性事件與隨機事件時:(1)確定性事件是由現象本身的特殊性決定的,確定性事件是任何人都改變不了的事實;(2)隨機現象發生與否具有偶然性.不能因為某現象一次發生了就把它說成確定性,也不要某次試驗不發生就說成不可能發生;(3)有些隨機現象發生的可能性非常大,也有的隨機現象發生的可能性非常小,但隨機現象發生的可能性再大也不會成為必然事件,再小也不能成為不可能事件.知識點一知識點二知識點一確定性事件、隨機事件知識點一知識點二例1

下列事件中,確定性事件是(

)A.擲一枚一元的硬幣,有幣值的一面朝上B.任意買一張福利彩票,中了一等獎C.袋子里裝有除顏色外其余都相同的紅球3個、白球1個,從中任意摸出一球恰是紅球D.在地球上,上拋出去的籃球會下落解析:根據確定性事件和隨機事件的概念分析:A,擲一枚一元的硬幣,有幣值的一面朝上是隨機事件,故本選項錯誤;B,任意買一張福利彩票,中了一等獎是隨機事件,故本選項錯誤;C,袋子里裝有除顏色外其余都相同的紅球3個、白球1個,從中任意摸出一球恰是紅球是隨機事件,故本選項錯誤;D,在地球上,上拋出去的籃球會下落是必然事件,故本選項正確.答案:D知識點一知識點二例1下列事件中,確定性事件是()知識點一知識點二解答這類問題,結合生活經驗和事件發生的情況進行判斷.

知識點一知識點二解答這類問題,結合生活經驗和事件發生的情況進知識點一知識點二知識點二隨機事件發生的可能性大小不確定性事件發生的可能性的大小由它在整體問題中所占的比例的大小來確定,它占整體的比例大,則發生的可能性就大,占整體的比例小,則發生的可能性就小.知識點一知識點二知識點二隨機事件發生的可能性大小知識點一知識點二名師解讀:(1)“不可能發生”就是每次都沒有機會發生,或說發生的機會是0.(2)“必然發生”就是每次一定發生,或說發生的機會是100%.(3)“可能發生”是指有時會發生,有時不會發生,或說發生的機會介于0和100%之間.(4)“不太可能發生”是指發生的機會很小,但不是0,所以它不等于“不可能”.(5)“很有可能發生”是指發生的機會很大,但不是100%.它不等于“必然發生”.知識點一知識點二名師解讀:(1)“不可能發生”就是每次都沒有知識點一知識點二例2

有一個均勻的正二十面體形狀的骰子,其中一個面標有“1”,兩個面標有“2”,三個面標有“3”,四個面標有“4”,五個面標有“5”,其余的面標有“6”,將這個骰子擲出后,標有“6”的面朝上的可能性是(

)解析:標有“6”的面數為5,共有20個面,故標有“6”的面朝上的可能性為

.答案:C知識點一知識點二例2有一個均勻的正二十面體形狀的骰子,其中拓展點拓展點隨機事件的幾個類型例題

從一副撲克牌中抽出4張紅桃、3張梅花、2張黑桃放在一起洗勻,從中一次抽出8張牌,恰好有紅桃、梅花、黑桃三種牌都被抽到,這個事件是(

)A.必然事件 B.隨機事件C.不可能事件 D.以上都不對解析:可以分情況研究:(1)若這8張牌中抽出了全部的紅桃與梅花共7張,一定還有1張黑桃;(2)若抽出了全部的梅花與黑桃共5張,則還會有3張紅桃;(3)若抽出了全部的紅桃與黑桃共6張,則還會有2張梅花;∴這個事件一定發生,是必然事件.答案:A拓展點拓展點隨機事件的幾個類型拓展點【點評】本題考查的是可能性大小的判斷,解決這類題目要注意具體情況具體對待.一般地,必然事件的可能性大小為1,不可能事件發生的可能性大小為0,隨機事件發生的可能性大小在0至1之間.拓展點【點評】本題考查的是可能性大小的判斷,解決這類題目要注拓展點解答這類問題,要注意分情況討論,不要被表面現象所迷惑.

拓展點解答這類問題,要注意分情況討論,不要被表面現象所迷惑.25.1.2概率25.1.2概率知識點一知識點二知識點一概率的含義

一般地,對應隨機事件A,我們把刻畫其發生可能性大小的數值,稱為隨機事件A發生的概率.名師解讀:對于通過試驗得出的概率,概率是大量試驗的結果,對具體的幾次試驗不一定能體現出這種規律性的結果.必然事件的概率為100%,不可能事件的概率為0,隨機事件的概率為P(0<P<100%).知識點一知識點二知識點一概率的含義知識點一知識點二例1

下列說法中,正確的是(

)A.“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的時間降雨B.“拋一枚硬幣正面朝上的概率是0.5”表示每拋硬幣2次就有1次出現正面朝上C.“彩票中獎的概率是1%”表示買100張彩票一定有1張會中獎D.在同一年出生的367名學生中,至少有兩人的生日是同一天知識點一知識點二例1下列說法中,正確的是()知識點一知識點二解析:根據概率的意義分析各個選項,找到正確選項即可.A,“明天降雨的概率是80%”表示明天有降雨的可能性,故錯誤;B,“拋一枚硬幣正面朝上的概率是0.5”表示拋一枚硬幣正面朝上與反面朝上的機會是一樣的,故錯誤;C,“彩票中獎的概率是1%”表示在設計彩票時,有1%的機會中獎,但不一定買100張彩票一定有1張會中獎,故錯誤;D,在同一年出生的367名學生,由于一年中至多有366天,因而至少有兩人的生日是同一天.答案:D知識點一知識點二解析:根據概率的意義分析各個選項,找到正確選知識點一知識點二概率只是反映事件發生機會的大小.概率只要小于1,再大也不一定發生,只要大于0,再小也有可能發生.概率是大量試驗的結果,不受其中一次或幾次的影響而變化.

知識點一知識點二概率只是反映事件發生機會的大小.概率只要小于知識點一知識點二知識點二概率的求法一般地,如果一次試驗中,有n種可能的結果,并且它們發生的可能性都相等,事件A包含其中的m種結果,那么事件A發生的概率

.名師解讀:求一個事件的概率,就是求該隨機事件發生的可能性的大小.知識點一知識點二知識點二概率的求法知識點一知識點二例2

一個布袋中有8個紅球和16個白球,它們除顏色外都相同.(1)求從袋中摸出一個球是紅球的概率;(2)現從袋中取走若干個白球,并放入相同數量的紅球.攪拌均勻后,要使從袋中摸出一個球是紅球的概率是,問取走了多少個白球?(要求通過列式或列方程解答)知識點一知識點二例2一個布袋中有8個紅球和16個白球,它們知識點一知識點二分析:根據概率的求法,找準兩點:①符合條件的情況數目;②全部情況的總數.二者的比值就是其發生的概率.知識點一知識點二分析:根據概率的求法,找準兩點:①符合條件的知識點一知識點二對于簡單的題目直接套用公式即可,求一步試驗事件的概率是概率計算中最常見、最簡單的一種題型,只要通過列舉法找出所有的等可能結果,再從中確定所求事件的結果數,利用概率計算公式即可解決.

知識點一知識點二對于簡單的題目直接套用公式即可,求一步試驗事拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一“古典型”概率例1

從1,2,3,4這四個數字中,任意抽取兩個不同數字組成一個兩位數,則這個兩位數能被3整除的概率是(

)解析:列舉出所有情況,看能被3整除的數的情況占總情況的多少即可.第一個數字有4種選擇,第二個數字有3種選擇,易得共有4×3=12種可能,而被3整除的有4種可能(12,21,24,42),所以任意抽取兩個數字組成兩位數,則這個兩位數被3整除的概率為

.答案:A拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一“古典型”概率拓展點一拓展點二拓展點三解決古典型概率問題,直接根據“一個事件有n種可能,而且這些事件的可能性相同,其中事件A出現m種結果,那么事件A的概率P(A)=”計算即可.

拓展點一拓展點二拓展點三解決古典型概率問題,直接根據“一個事拓展點一拓展點二拓展點三拓展點二“幾何型”概率例2

如圖是兩個可以自由轉動的轉盤,轉盤被等分成若干個扇形,轉動轉盤,通過多次試驗,轉盤停止后,指針指向黃色區域的機會分別是(

)拓展點一拓展點二拓展點三拓展點二“幾何型”概率拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一拓展點二拓展點三幾何概型的求解與古典概型的求解思路是一樣的,都屬于“比例解法”,即隨機事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的圖形長度(面積或體積)”與“試驗的基本事件所占總長度(或面積或體積)”之比來計算.

拓展點一拓展點二拓展點三幾何概型的求解與古典概型的求解思路是拓展點一拓展點二拓展點三拓展點三概率的應用例3

小亮看到路邊上有人擺攤玩“有獎擲幣”游戲,規則是:交2元錢可以玩一次擲硬幣游戲,每次同時擲兩枚硬幣,如果出現兩枚硬幣正面朝上,獎金5元;如果是其他情況,則沒有獎金(每枚硬幣落地只有正面朝上和反面朝上兩種情況).小亮拿不定主意究竟是玩還是不玩,請同學們幫幫忙!(1)求出中獎的概率;(2)如果有100人,每人玩一次這種游戲,大約有幾人中獎?獎金約是多少元?擺攤者約獲利多少元?(3)通過以上“有獎”游戲,你從中可得到什么啟示?拓展點一拓展點二拓展點三拓展點三概率的應用拓展點一拓展點二拓展點三分析:(1)根據隨機事件概率大小的求法,找準兩點:①符合條件的情況數目;②全部情況的總數;二者的比值就是其發生的概率的大小;(2)100乘以相應概率即為獲獎人數,獲獎人數乘以5即為獎金數,100×2-25×5即為獲利錢數;(3)只要積極向上有理即可.解:(1)擲兩枚硬幣出現的情況是(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反),故出現兩枚硬幣都朝上的概率即中獎的概率是

;(2)由(1)可得中獎的概率是

,則如果有100人,每人玩一次這種游戲,大約有100×=25(人)中獎,獎金約25×5=125(元),擺攤者約獲利為100×2-125=75(元);(3)謹慎參加類似的活動.(只要合理就行).拓展點一拓展點二拓展點三分析:(1)根據隨機事件概率大小的求拓展點一拓展點二拓展點三解決這類實際問題,一般通過計算概率,利用概率的情況進行說明.本題的第(3)問的答案不唯一,只要具有積極意義即可.

拓展點一拓展點二拓展點三解決這類實際問題,一般通過計算概率,25.2用列舉法求概率25.2用列舉法求概率知識點一知識點二知識點三知識點一用列舉法求概率

在一次試驗中,如果可能出現的結果只有有限個,且各種結果出現的可能性大小相等,那么我們就可以通過列舉試驗結果的方法,求出隨機事件發生的概率.名師解讀:先列舉出所有可能出現的結果數,再一一列舉出所求的每一件事可能發生的結果數,然后代入概率公式進行計算.知識點一知識點二知識點三知識點一用列舉法求概率知識點一知識點二知識點三例1

任意擲一枚均勻的硬幣兩次,則兩次都不是正面朝上的概率是(

)

解析:首先利用列舉法可得任意擲一枚均勻的硬幣兩次,等可能的結果有:正正,正反,反正,反反,∴兩次都不是正面朝上的概率是

.答案:B知識點一知識點二知識點三例1任意擲一枚均勻的硬幣兩次,則兩知識點一知識點二知識點三用列舉法求概率適合于結果總數較少的問題,注意列舉出所有可能出現的情況時,不要出現漏掉其中的一部分的情況.

知識點一知識點二知識點三用列舉法求概率適合于結果總數較少的問知識點一知識點二知識點三知識點二用列表法求概率列表法就是用表格將所有的情況全部用表格列出,找出其中可能發生的情況,然后利用概率公式計算即可.名師解讀:列表法適合于各種情況的求概率的問題,一般用于求含有兩個變量的事件的概率.知識點一知識點二知識點三知識點二用列表法求概率知識點一知識點二知識點三例2

從一副撲克牌中取出的兩組牌,分別是黑桃1,2,3,4和方塊1,2,3,4,將它們背面朝上分別重新洗牌后,從兩組牌中各摸出一張,那么摸出的兩張牌的牌面數字之和等于5的概率是多少?分析:由于摸出黑桃的結果有4種,摸出方片的結果也有4種,所以總共有16種情況,比較復雜,我們可以列表表示,從中找出和為5的所有情況,即可以求出要求的概率.知識點一知識點二知識點三例2從一副撲克牌中取出的兩組牌,分知識點一知識點二知識點三解:方法一:用下表列舉所有可能得到的牌面數字之和:從上表可知,共有16種情況,每種情況發生的可能性相同,而兩張牌的牌面數字之和等于5的情況共出現4次,因此牌面數字之和等于5的概率為

.知識點一知識點二知識點三解:方法一:用下表列舉所有可能得到的知識點一知識點二知識點三方法二:由于摸出黑桃的結果有4種,摸出方片的結果也有4種,所以總共有16種情況,其中和為5的情況有“黑桃1方片4,黑桃4方片1,黑桃2方片3,黑桃3方片2”四種情況,所以牌面數字之和為5的概率為

.知識點一知識點二知識點三方法二:由于摸出黑桃的結果有4種,摸知識點一知識點二知識點三當結果總數比較少時,一般用列舉法比較方便;當結果總數比較多時,易采用列表法.

知識點一知識點二知識點三當結果總數比較少時,一般用列舉法比較知識點一知識點二知識點三知識點三用樹狀圖法求概率樹狀圖法就是通過樹狀圖把所有等可能事件的結果表示出來,看起來一目了然,以便能求得事件的概率.名師解讀:樹狀圖法適用于求兩步及兩步以上事件的概率,尤其是事件要經過多個步驟(三步或三步以上)完成時,用這種方法求概率最有效.知識點一知識點二知識點三知識點三用樹狀圖法求概率知識點一知識點二知識點三例3

書架上有兩套同樣的教材,每套分上、下兩冊,在這四冊教材中隨機抽取兩冊,恰好組成一套教材的機會是(

)分析:首先根據題意畫樹狀圖,然后根據樹狀圖求得所有等可能的結果與恰好組成一套教材的情況數,再根據概率公式求解即可求得答案.知識點一知識點二知識點三例3書架上有兩套同樣的教材,每套分知識點一知識點二知識點三解:畫樹狀圖如圖所示,由圖可知一共有12種等可能的結果,恰好組成一套教材的有4情況,∴恰好組成一套教材的機會是

.答案:B知識點一知識點二知識點三解:畫樹狀圖如圖所示,知識點一知識點二知識點三注意列表法與樹狀圖法可以不重不漏地表示出所有等可能的結果,適合于兩步及兩步以上事件的概率的求解.

知識點一知識點二知識點三注意列表法與樹狀圖法可以不重不漏地表拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一靈活選用方法求隨機事件的概率例1

4張背面圖案完全相同的卡片A,B,C,D,其正面分別畫有不同的圖案(如圖所示),現將這4張卡片背面朝上洗勻后摸出1張,放回洗勻再摸出一張.(1)用樹狀圖(或列表法)表示兩次摸出卡片所有可能的結果;(卡片用A,B,C,D表示)(2)求摸出的兩張卡片正面圖案都是中心對稱圖形的概率.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一靈活選用方法求隨機事件的概率拓展點一拓展點二拓展點三分析:(1)由于所有等可能的情況總數有限,所以可以采用任何方法;(2)中心對稱圖形是繞某點旋轉180°后能夠和原來的圖形完全重合,那么B,D是中心對稱圖形,看所求的情況占總情況的多少即可.解:(1)畫樹狀圖如下:列表如下:拓展點一拓展點二拓展點三分析:(1)由于所有等可能的情況總數拓展點一拓展點二拓展點三(2)由圖可知只有卡片B,D才是中心對稱圖形.所有可能的結果有16種,其中滿足摸出的兩張卡片圖形都是中心對稱圖形(記為事件A)有4種,即(B,B),(B,D),(D,B),(D,D).拓展點一拓展點二拓展點三(2)由圖可知只有卡片B,D才是中心拓展點一拓展點二拓展點三解答這類問題,選擇哪種方法,主要根據結果總數靈活選擇,如果結果總數較小時,易用列舉法(枚舉法);結果總數較多時,易采用列表法;當事件是三步或三步以上時,易采用“樹狀圖法”.

拓展點一拓展點二拓展點三解答這類問題,選擇哪種方法,主要根據拓展點一拓展點二拓展點三拓展點二摸球“放回”與“不放回”的概率例2在一個不透明的袋子中裝有2個紅球,1個白球,它們除顏色外其余均相同,隨機從中摸出一球,記錄下顏色后將它放回袋子中,充分搖勻后,再隨機摸出一球,則(1)兩次都摸到紅球的概率是多少?(2)兩次摸到的球一紅一白的概率是多少?分析:(1)首先根據題意畫出樹狀圖,然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩次都摸到紅球的情況,再利用概率公式即可求得答案;(2)首先由(1)求得兩次摸到的球一紅一白的情況,再利用概率公式即可求得答案.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點二摸球“放回”與“不放回”的概拓展點一拓展點二拓展點三解:(1)畫樹狀圖如下:∵共有9種等可能的結果,兩次都摸到紅球的有4種情況,∴兩次都摸到紅球的概率是

.(2)∵兩次摸到的球一紅一白的有4種情況,∴兩次摸到的球一紅一白的概率是

.拓展點一拓展點二拓展點三解:(1)畫樹狀圖如下:拓展點一拓展點二拓展點三列表法可以不重復不遺漏地列出所有可能的結果,適合于兩步完成的事件;樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件;解題時要注意是放回試驗還是不放回試驗.

拓展點一拓展點二拓展點三列表法可以不重復不遺漏地列出所有可能拓展點一拓展點二拓展點三拓展點三游戲的公平性例3一袋裝有四個上面分別標有數字1,2,3,4,除數字外其他完全相同的小球.搖勻后,甲從中任意抽取1個,記下數字后放回搖勻,乙從中任意抽一個,記下數字,然后把這兩個數相加(每次抽取前均看不清小球).(1)請用列表或樹狀圖的方法求兩數和為3的概率;(2)甲與乙按上述方法做游戲,當兩數之和為3時,甲勝,反之乙勝.若甲勝一次得9分,那么乙勝一次得多少分,這個游戲對雙方才公平?分析:(1)本題考查概率問題中的公平性問題,解決本題的關鍵是計算出各種情況的概率,然后比較即可.(2)根據題意可使用列表法求參與者的概率.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點三游戲的公平性拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一拓展點二拓展點三在其他條件相同時,判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率,概率相等就公平,否則就不公平.

拓展點一拓展點二拓展點三在其他條件相同時,判斷游戲公平性就要25.3

用頻率估計概率25.3用頻率估計概率知識點知識點用頻率估計概率

對于一般的隨機事件,在做大量重復試驗時,隨著試驗次數的增加,一個事件出現的頻率,總在一個固定數的附近擺動,顯示出一定的穩定性.因此我們可以通過大量的重復試驗,用一個隨機事件發生的頻率去估計它的概率.知識點知識點用頻率估計概率知識點名師解讀:頻率與概率的區別與聯系1.聯系:(1)事件的頻率與概率是度量事件出現可能性大小的兩個統計特征數;(2)當試驗次數無限增大時,事件發生的頻率會逐漸穩定于概率附近,概率的值可能是頻率的某個具體值,也可能不是頻率的具體的某個值;(3)頻率具有穩定性,概率具有確定性.2.區別:(1)頻率反映了隨機事件發生的頻繁程度;概率反映了隨機事件發生的可能性的大小;(2)頻率具有隨機性,是近似值,能近似地反映事件出現可能性的大小;概率是理論值,是由事件的本質所決定的,它能精確地反映事件發生可能性的大小.知識點名師解讀:頻率與概率的區別與聯系知識點例題小明練習射擊,共射擊60次,其中有38次擊中靶子,由此可估計,小明射擊一次擊中靶子的概率是(

)A.38%

B.60%C.約63%

D.無法確定解析:根據頻率=頻數÷數據總數計算.∵小明練習射擊,共射擊60次,其中有38次擊中靶子,∴射中靶子的頻率

,故小明射擊一次擊中靶子的概率約是63%.答案:C知識點例題小明練習射擊,共射擊60次,其中有38次擊中靶子知識點大量反復試驗下頻率的穩定值即概率.用到的知識點為:概率=所求情況數與總情況數之比.

知識點大量反復試驗下頻率的穩定值即概率.用到的知識點為:概率拓展點拓展點頻率估計概率的實際應用例題袋中有紅球、黃球、藍球、白球若干個,小剛又放入5個黑球后,小穎通過多次摸球試驗后,發現摸到紅球、黃球、藍球、白球及黑球的頻率依次為25%,30%,30%,10%,5%,試估計袋中紅球、黃球、藍球及白球各有多少個?分析:在同樣條件下,大量反復試驗時,隨機事件發生的頻率逐漸穩定在概率附近,可以從比例關系入手求解.拓展點拓展點頻率估計概率的實際應用