1982年全國統一高考數學試卷（理科）一、填空題（共1小題，每小題6分，滿分6分）1．（6分）填表：二、解答題（共9小題，滿分94分）2．（4分）求（﹣1+i）20展開式中第15項的數值；3．（5分）求的導數．4．（9分）在平面直角坐標系內，下列方程表示什么曲線？畫出它們的圖形．（1）（2）；．5．（12分）已知圓錐體的底面半徑為R，高為H求內接于這個圓錐體并且體積最大的圓柱體的高h（如圖）．6．（14分）設0＜x＜1，a＞0，a≠1，比較|loga（1﹣x）|與|loga（1+x）|的大小（要寫出比較過程）．7．（16分）如圖，已知銳角∠AOB=2α內有動點P，PM⊥OA，PN⊥OB，且四邊形PMON的面積等于常數c2，今以O為極點，∠AOB的角平分線OX為極軸，求動點P的軌跡的極坐標方程，并說明它表示什么曲線．8．（16分）已知空間四邊形ABCD中AB=BC，CD=DA，M，N，P，Q分別是邊AB，BC，CD，DA的中點（如圖）求證MNPQ是一個矩形．9．（18分）拋物線y2=2px的內接三角形有兩邊與拋物線x2=2qy相切，證明這個三角形的第三邊也與x2=2qy相切．10．已知數列a1，a2，…an，…和數列b1，b2，…，bn…，其中a1=p，b1=q，an=pan﹣1，b=qann﹣1+rbn﹣1（n≥2），（p，q，r是已知常數，且q≠0，p＞r＞0），用p，q，r，n表示bn，并用數學歸納法加以證明．1982年全國統一高考數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、填空題（共1小題，每小題6分，滿分6分）1．（6分）填表：考點：函數的定義域及其求法．專題：分析：解答：壓軸題．分別按各自函數的定義和性質直接填空即可．解：由題意依據函數的定義和性質，直接填表：點評：本題考查各類函數的定義和性質，是基礎題，考查基礎知識的記憶．二、解答題（共9小題，滿分94分）2．（4分）求（﹣1+i）20展開式中第15項的數值；考點：專題：分析：解答：二項式定理．計算題．利用二項展開式的通項公式求出第15項，利用虛數單位的平方為﹣1及組合數公式化簡此項．解：第15項T15=C2014（﹣1）6（i）14=﹣C206=﹣38760．點評：本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題．3．（5分）求的導數．考點：專題：分析：解答：導數的運算．計算題．利用復合函數的求導公式[u（v）]'=[u'（v）]*v'（u（v）為復合函數f[g（x）]），求解即可．解：==．本題考查了復合函數的導數，屬于基本運算點評：4．（9分）在平面直角坐標系內，下列方程表示什么曲線？畫出它們的圖形．（1）（2）；．考點：專題：分析：橢圓的參數方程；三階矩陣．計算題；作圖題．（1）根據三階行列式的運算公式a（a22a33﹣a23a32）﹣a12（a21a33﹣a31a23）+a1113（a21a32﹣a31a22）=0化簡得2x﹣3y﹣6=0，顯然為直線方程；（2）根據同角三函數sin2φ+cos2φ=1消去φ可得曲線的方程，顯然是以（1，0）點為中心的橢圓．解：（1）根據三階行列式的運算公式有解答：a11（a22a33﹣a23a32）﹣a12（a21a33﹣a31a23）+a13（a21a32﹣a31a22）=0；化簡得2x﹣3y﹣6=0；其圖形是直線．（2）根據同角三函數sin2φ+cos2φ=1；消去φ可得曲線的方程為，圖形是橢圓點評：本題主要考查了橢圓的參數方程，以及三階行列式的求解等基礎知識，屬于基礎題．5．（12分）已知圓錐體的底面半徑為R，高為H求內接于這個圓錐體并且體積最大的圓柱體的高h（如圖）．考點：專題：分析：旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）；平均值不等式．計算題；函數思想；轉化思想．先設出圓柱的底面半徑，高為h，利用三角形相似，推出r的表達式，然后求出體積表達式，利用均值不等式，求出體積最大值時的圓柱體的高h．解答：解：設圓柱體半徑為r高為h由△ACD∽△AOB得．由此得，圓柱體體積．由題意，H＞h＞0，利用均值不等式，有原式=．當，時上式取等號，因此當時，V（h）最大．本題考查旋轉體的體積，考查均值不等式求函數的最值，是中檔題．點評：6．（14分）設0＜x＜1，a＞0，a≠1，比較|loga（1﹣x）|與|loga（1+x）|的大小（要寫出比較過程）．考點：專題：分析：不等式比較大小．做商法．此題有兩種比較大小的方法①做差比較大小②做商比較大小，解本題的另一關鍵不要忽視對a的分類討論．解答：解一：當a＞1時，|loga（1﹣x）|=﹣loga（1﹣x），|loga（1+x）|=loga（1+x），|loga（1﹣x）|﹣|loga（1+x）|=﹣[loga（1﹣x）+loga（1+x）]=﹣loga（1﹣x2）．∵a＞1，0＜1﹣x2＜1，∴﹣loga（1﹣x2）＞0，∴|loga（1﹣x）|＞|loga（1+x）|．當0＜a＜1時，|loga（1﹣x）|=loga（1﹣x），|loga（1+x）|=﹣loga（1+x），|loga（1﹣x）|﹣|loga（1+x）|=loga（1﹣x2）．∵0＜a＜1，0＜1﹣x2＜1，∴loga（1﹣x2）＞0，∴|loga（1﹣x）|＞|loga（1+x）|．因此當0＜x＜1，a＞0，a≠1時，總有|loga（1﹣x）|＞|loga（1+x）|．解二：∵，∵1+x＞1，0＜1﹣x＜1，原式=﹣∵1+x＞1，0＜1﹣x2＜1，log（1﹣x2）＜0，，g1+x（）∴原式＞1，即，∴|loga（1﹣x）|＞|loga（1+x）|．本題考查比較大小的問題，且兩種常見方法①做差比較大小②做商比較大小，均適用，具有點評：7．（16分）如圖，已知銳角∠AOB=2α內有動點P，PM⊥OA，PN⊥OB，且四邊形PMON的面積等于常數c2，今以O為極點，∠AOB的角平分線OX為極軸，求動點P的軌跡的極坐標方程，并說明它表示什么曲線．考點：專題：分析：軌跡方程．計算題．設P的極點坐標為（ρ，θ），進而可分別）∠POM，∠NOM，OM，PM，ON，PN．根據四邊形PMON的面積公式可得動點P的軌跡的極坐標方程化簡后用x=ρcosθ，y=ρsinθ化為直角坐標方程上式為即可得到答案．解答：解：設P的極點坐標為（ρ，θ），∴∠POM=α﹣θ，∠NOM=α+θ，OM=ρcos（α﹣θ），PM=ρsin（α﹣θ），ON=ρcos（α+θ），PN=ρsin（α+θ），四邊形PMON的面積[cos（α﹣θ）sin（α﹣θ）+cos（α+θ）sin（α+θ）]依題意，動點P的軌跡的極坐標方程是：[cos（α﹣θ）sin（α﹣θ）+cos（α+θ）sin（α+θ）]=c2用倍角公式化簡得[sin2（α﹣θ）+sin2（α+θ）]=c2用和差化積公式化簡得sin2αcos2θ=c2即．用x=ρcosθ，y=ρsinθ化為直角坐標方程上式為．即這個方程表示雙曲線由題意，．動點P的軌跡是雙曲線右面一支在∠AOB內的一部分．點評：本題主要考查了根據極點坐標求軌跡的方程問題．此類題常涉及三角函數的問題，故應熟練記憶三角函數的公式．8．（16分）已知空間四邊形ABCD中AB=BC，CD=DA，M，N，P，Q分別是邊AB，BC，CD，DA的中點（如圖）求證MNPQ是一個矩形．考點：專題：分析：解答：棱錐的結構特征；直線與平面垂直的判定．證明題．先證MN∥QP，MQ∥NP，推出MNPQ是平行四邊，再證MQ⊥QP，就是MNPQ是矩形．證明：連接AC，在△ABC中，∵AM=MB，CN=NB，∴MN∥AC在△ADC中，∵AQ=QD，CP=PD，∴QP∥AC，∴MN∥QP同理，連接BD可證MQ∥NP∴MNPQ是平行四邊取AC的中點K，連BK，DK∵AB=BC，∴BK⊥AC，∵AD=DC，∴DK⊥AC．因此平面BKD與AC垂直∵BD在平面BKD內，∴BD⊥AC∵MQ∥BD，QP∥AC，∴MQ⊥QP，即∠MQP為直角故MNPQ是矩形．本題考查棱錐的結構特征，直線與平面垂直的判定，考查邏輯思維能力，是中檔題．點評：9．（18分）拋物線y2=2px的內接三角形有兩邊與拋物線x2=2qy相切，證明這個三角形的第三邊也與x2=2qy相切．考點：專題：分析：拋物線的應用．計算題；壓軸題．設p＞0，q＞0．又設y2=2px的內接三角形頂點為A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），分別代入拋物線方程，依題意，設A1A2，A2A3與拋物線x2=2qy相切，要證A3A1也與拋物線x2=2qy相切，由x2=2qy在原點O處的切線是y2=2px的對稱軸，可知原點O不能是所設內接三角形的頂點推斷三個頂點都不能是（0，0）；故可設直線A1A2的方程，進而得A1A2方程代入拋物線方程，整理后根據判別式等于0，求得2p2q+y1y2（y1+y2）=0同理由于A2A3與拋物線x2=2qy相切，A2A3也不能與Y軸平行，即x2≠x3，y2≠﹣y3，同樣得到2p2q+y2y3（y2+y3）=0把y2=﹣y1﹣y3代入2p2q+y1y2（y1+y2）=0整理后可說明A3A1與拋物線x2=2qy的兩個交點重合，進而可判斷只要A1A2，A2A3與拋物線x2=2qy相切，則A3A1也與拋物線x2=2qy相切．解：不失一般性，設p＞0，q＞0．又設y2=2px的內接三角形頂點為A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）解答：因此y12=2px1，y22=2px2，y32=2px3其中y1≠y2，y2≠y3，y3≠y1．依題意，設A1A2，A2A3與拋物線x2=2qy相切，要證A3A1也與拋物線x2=2qy相切因為x2=2qy在原點O處的切線是y2=2px的對稱軸，所以原點O不能是所設內接三角形的頂點即（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），都不能是（0，0）；又因A1A2與x2=2qy相切，所以A1A2不能與Y軸平行，即x1≠x2，y1≠﹣y2，直線A1A2的方程是，∵y22﹣y12=（y2﹣y1）（y2+y1）=2p（x2﹣x1）．∴A1A2方程是y=A1A2與拋物線x2=2qy交點的橫坐標滿足，由于A1A2與拋物線x2=2qy相切，上面二次方程的判別式△==0．化簡得2p2q+y1y2（y1+y2）=0（1）同理由于A2A3與拋物線x2=2qy相切，A2A3也不能與Y軸平行，即x2≠x3，y2≠﹣y3，同樣得到2p2q+y2y3（y2+y3）=0（2）由（1）（2）兩方程及y2≠0，y1≠y3，得y1+y2+y3=0．由上式及y2≠0，得y3≠﹣y1，也就是A3A1也不能與Y軸平行今將y2=﹣y1﹣y3代入（1）式得：2p2q+y3y1（y3+y1）=0（3）（3）式說明A3A1與拋物線x2=2qy的兩個交點重合，即A3A1與拋物線x2=2qy相切所以只要A1A2，A2A3與拋物