6.3.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)第六章課標(biāo)要求1.能記住二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),并能靈活運(yùn)用性質(zhì)解決相關(guān)問題.2.會(huì)用賦值法求二項(xiàng)展開式系數(shù)的和,注意區(qū)分項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù).內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識(shí)全過關(guān)重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學(xué)以致用?隨堂檢測全達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1.對(duì)稱性與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等,即

.

2.增減性與最大值

3.各二項(xiàng)式系數(shù)的和

可化為(1+1)n進(jìn)行公式的逆推

名師點(diǎn)睛二項(xiàng)式系數(shù)與二項(xiàng)展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)是不同的概念,特別地,(a+b)n(a>0,b>0)的展開式中,各項(xiàng)的系數(shù)即對(duì)應(yīng)的各二項(xiàng)式系數(shù);(a-b)n(a>0,b>0)的展開式中,各項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值即對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù).過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為

.(

)(2)二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)是先增后減的.(

)(3)(3x+2)5的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為25=32.(

)(4)二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)相同.(

)××√×2.(1)二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值的項(xiàng)的系數(shù)一定是系數(shù)中最大的嗎?提示

不一定.如果項(xiàng)的系數(shù)中還有其他的常數(shù),則該項(xiàng)的系數(shù)不一定最大.重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一求二項(xiàng)展開式中系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)【例1】

已知(1+2x)n的展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等,求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng).解得5≤k≤6.∴k=5或k=6(∵k∈{0,1,2,…,8}).∴系數(shù)最大的項(xiàng)為T6=1

792x5,T7=1

792x6.規(guī)律方法

求二項(xiàng)展開式中系數(shù)的最值的方法(1)若二項(xiàng)展開式的系數(shù)的絕對(duì)值與對(duì)應(yīng)二項(xiàng)式系數(shù)相等,可轉(zhuǎn)化為確定二項(xiàng)式系數(shù)的最值來解決.(2)若二項(xiàng)展開式的系數(shù)為f(k)=·mg(k)的形式.如求(a+bx)n(a,b∈R)的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng),一般是采用待定系數(shù)法,設(shè)其展開式的各項(xiàng)系數(shù)分別為A1,A2,…,An+1,且第k+1項(xiàng)系數(shù)最大,應(yīng)用

解出k,即得系數(shù)最大的項(xiàng).變式訓(xùn)練1(2022河北邢臺(tái)檢測)設(shè)(1-3x)2021=a0+a1x+a2x2+…+a2021x2021.(1)求a0的值;(2)試問展開式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為第幾項(xiàng)?解

(1)令x=0,得a0=1;(2)設(shè)展開式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為第(k+1)項(xiàng),解得1

515.5≤k≤1

516.5,又k∈Z,即k=1

516.故展開式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為第1

517項(xiàng).探究點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)和問題【例2】

已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求下列各式的值:(1)a0+a1+a2+…+a5;(2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|;(3)a1+a3+a5.解(1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a5=1.(2)令x=-1,得-35=-a0+a1-a2+a3-a4+a5.由(2x-1)5的通項(xiàng)Tk+1=

(-1)k·25-k·x5-k,知a1,a3,a5為負(fù)值,所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243.(3)由a0+a1+a2+…+a5=1,-a0+a1-a2+…+a5=-35,得2(a1+a3+a5)=1-35.所以a1+a3+a5==-121.變式探究在本例條件下,求下列各式的值:(1)a0+a2+a4;(2)a1+a2+a3+a4+a5;(3)5a0+4a1+3a2+2a3+a4.解(1)因?yàn)閍0+a1+a2+…+a5=1,-a0+a1-a2+…+a5=-35.(2)因?yàn)閍0是(2x-1)5展開式中x5的系數(shù),所以a0=25=32.又因?yàn)閍0+a1+a2+…+a5=1,所以a1+a2+a3+a4+a5=-31.(3)因?yàn)?2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,所以兩邊求導(dǎo)數(shù)得10(2x-1)4=5a0x4+4a1x3+3a2x2+2a3x+a4.令x=1得5a0+4a1+3a2+2a3+a4=10.規(guī)律方法

二項(xiàng)展開式中系數(shù)和的求法(1)對(duì)形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和,常用賦值法,只需令x=1即可;對(duì)(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和,只需令x=y=1即可.(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1),變式訓(xùn)練2在(2x-3y)9的展開式中,求:(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和;(2)各項(xiàng)系數(shù)之和;(3)所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和.解設(shè)(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.(2)各項(xiàng)系數(shù)之和為a0+a1+a2+…+a9,令x=1,y=1,所以a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.(3)令x=1,y=-1,可得a0-a1+a2-…-a9=59,又a0+a1+a2+…+a9=-1,即所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為976

562.探究點(diǎn)三用二項(xiàng)式定理證明不等式【例3】

求證:2≤(1+)n<3(n∈N*).變式訓(xùn)練3求證:對(duì)于任意的正數(shù)n,不等式(2n+1)n≥(2n)n+(2n-1)n成立.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)楊輝三角;(2)二項(xiàng)式系數(shù)的增減性與最值;(3)二項(xiàng)展開式的系數(shù)和問題.2.方法歸納:賦值法.3.常見誤區(qū):(1)易混淆系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別;(2)不能正確判斷中間項(xiàng)的個(gè)數(shù).學(xué)以致用?隨堂檢測全達(dá)標(biāo)1.(x-)11的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是(

)A.第3項(xiàng) B.第6項(xiàng)

C.第6,7項(xiàng) D.第5,7項(xiàng)答案C

A.64 B.32 C.63 D.31答案B

3.(2x-1)6的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為

,各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為

.

答案

1

64

解析

令