2018-2021年髙考真題立體幾何解答題全集(學生版+解析版)(2021?天津)如圖,在棱長為2的正方體ABCQ-41BC1O1中,E,ド分別為棱BC,CD的中點.(1)求證:なア〃平面A1EC1；(2)求直線與平面4EC1所成角的正弦值;(3)求二面角A-AiCi-E的正弦值.(2021?新高考1【)在四棱錐Q-ABC。中,底面A8C。是正方形,若4。=2,。。=。ん=遅,QC=3.(I)求證:平面。丄平面48CC；(II)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.(2021?上海)如圖,在長方體ABCO-4B1C1Q1中，已知AB=BC=2,ん41=3.(1)若P是棱A1O1上的動點，求三棱錐CーF。的體積:(2)求直線Aタ與平面ACC14的夾角大小.(2021?北京)已知正方體A8CC-4iBiCiOi,點E為401中點,直線BiCi交平面CCE于點ド.(1)求證:點ド為BiCi中點:. V54M(2)若點”為棱Ai8i上一點,且二面角M-C尸-E的余弦值為:",求ーI一3A1B1(2021?甲卷)已知直三棱柱ABC-Ai81cl中,側面ん41818為正方形，AB=BC=2,E,ド分別為AC和CC1的中點，BF±A\Bi.(1)求三棱錐ド-EBC的體積:(2)已知。為棱ん81上的點，證明:BF1DE.C(2021?乙卷)如圖，四棱錐P-A8C。的底面是矩形，尸。丄底面A8CO,PD=DC=\,M為BC中點、,且PB丄AM.(1)求BC；(2)求二面角A-PM-B的正弦值.

(2021?浙江)如圖,在四棱錐P-ABCO中,底面ABCO是平行四邊形,ZABC=120°,AB=1,BC=4,M=V15,M,N分別為BC,PC的中點,PD±DC,PM丄MD.(I)證明:AB1PM；(II)求直線AN與平面PCM所成角的正弦值.(2021?甲卷)已知直三棱柱4BC-481cl中，側面ん41B1B為正方形,AB=BC=2,E,ド分別為AC和CC1的中點，。為棱A1B1上的點，BF1A\B\.(1)證明:BF1DE；(2)當ルハ為何值時，面881cle與面。FE所成的二面角的正弦值最小?(2021?乙卷)如圖,四棱錐尸-ABC。的底面是矩形，P。丄底面ABC。，M為8c的中點，且PB丄AM.(1)證明:平面FM丄平面尸8。;

(2)若尸。=OC=1,求四棱錐P-ABCO的體積.(2021?新髙考【)如圖,在三棱錐A-BCD中,平面ABZ)丄平面BCD,AB=AD,〇為8。的中點.(1)證明:OA±CD；(2)若△OC。是邊長為1的等邊三角形,點E在棱上,DE=2EA,且二面角E-BC-O的大小為45°,求三棱錐4-BC0的體積.(2021?上海)四棱錐P-ABCC,底面為正方形ABCD,邊長為4,E為AB中點,PEL平面ABCD.(1)若△FB為等邊三角形,求四棱錐尸ーABC。的體積;(2)若C。的中點為尸,Pド與平面A8C。所成角為45°,求PC與4。所成角的大小.(2020?海南)如圖，四棱錐P-ABC。的底面為正方形，P。丄底面ABC。.設平面以。與平面PBC的交線為/.

(1)證明:Lし平面PDCt(2)已知尸。=AO=1,Q為I上的點,QB=近,求PB與平面QCO所成角的正弦(2020?天津)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1丄平面ABC,AC±BC,AC=BC=2,CCi=3,點、D,E分別在棱A4和棱CCi上,且AO=1,CE=2,M為棱ん81的中點.(I)求證:C\M±B\D；(II)求二面角B-BiE-D的正弦值;(III)求直線AB與平面。B1E所成角的正弦值.(2020?上海)已知A8C。是邊長為1的正方形,正方形A8C。繞A8旋轉形成一個圓柱.(1)求該圓柱的表面積;(2)正方形A8C。繞AB逆時針旋轉一至ん8。。1,求線段。。1與平面A8C。所成的角.(2020?北京)如圖，在正方體ABC。-4ゆ。1。1中,E為881的中點.求證:BCi〃平面AGE；求直線A4與平面AOiE所求直線A4與平面AOiE所成角的正弦值.(II)（1）證明:，丄平面產。C；-ABCD的底面為正方形,丄底面ABCD,設平面PAD（2）己知PO=4O=1,。為，上的點,求尸8與平面QCO所成角的正弦值的最大值.（2020?江蘇）在三棱錐4-BC。中，已知CB=CD=遅,80=2,0為8。的中點,AO丄平面8CO,AO=2,E為AC中點.（1）求直線A8與。E所成角的余弦值;（2）若點F在BC上，滿足"=誣（7,設二面角Fー。と-C的大小為〇,求sin0的值.（2020?浙江）如圖，在三棱臺ABC-。Eド中，平面AC尸。丄平面ABC,ZACB=ZACD=45°,DC=2BC.(I)證明:EF丄DB；(II)求直線。ド與平面。BC所成角的正弦值.(2020?江蘇)在三棱柱ABC-4BC1中,AB丄AC,BC丄平面ABC,E,ド分別是AC,BiC的中點.(1)求證:Eド〃平面4B1C1；(2)求證:平面ABC丄平面ABB1.(2020?新課標III)如圖，在長方體ABCD-AiBiGDi中,點E,「分別在棱。。i,BB\上,且2OE=EOi,BF=2FB\.證明:(1)當時，Eド丄AC；(2)點。在平面AEド內.

(2020?新課標I)如圖,。為圓錐的頂點,。是圓錐底面的圓心,AE為底面直徑,AE=AD.ZXABC是底面的內接正三角形,P為DO上一點"PO建DO.(1)證明:陽丄平面PBC-,(2)求二面角B-PC-E的余弦值.(2020?新課標I)如圖，。為圓錐的頂點,。是圓錐底面的圓心，△A8C是底面的內接正三角形，P為0。上一點，NAPC=90°.(1)證明:平面をB丄平面B4C；(2)設。〇=夜，圓錐的側面積為遅立，求三棱錐P-ABC的體積.(2020?新課標0)如圖,已知三棱柱ABC-A\B\C\的底面是正三角形,側面BB\C\C是矩形,M,N分別為BC,BiCi的中點,尸為AM上一點.過BC1和P的平面交AB于E,交4c于ド.(1)證明:AM//MN,且平面んAMN丄平面EB1C1F；(2)設0為△AiBiCi的中心.若AO=A8=6,A。〃平面EBCiF,且/MPN=う求四棱錐B-EBiCi尸的體積.(2020?新課標HD如圖，在長方體ABC。ー 中,點E,ド分別在棱ハルi,BB\上，且2OE=EOi,BF=2FB\.(1)證明:點C1在平面AEド內;(2)若4B=2,AD=l,ん41=3,求二面角A-EF-Ai的正弦值.(2020?新課標U)如圖,已知三棱柱ABC-A\B\CI的底面是正三角形,側面BB\C\C是矩形,M,N分別為BC,81cl的中點，尸為AM上一點?過81。和/5的平面交AB于E,交4C于ド.(1)證明:AA\//MN,且平面んAMN丄平面EBiCiF；(2)設。為△A181C1的中心.若AO〃平面EB1GF,且40=48,求直線ル君與平面AMMN所成角的正弦值.

(2020?上海)已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為正方形,邊長為3,PO丄平面ABCD.(1)若PC=5,求四棱錐尸-A8C。的體積;(2)若直線40與BP的夾角為60°,求Pn的長.(2019?天津)如圖,AE丄平面4BCQ,CF//AE,AD//BC,ADLAB,AB=AD=l,AE=BC=2.(I)求證:Bド〃平面ADE；(II)求直線CE與平面8DE所成角的正弦值;(III)若二面角E-8。ーF的余弦值為キ求線段C尸的長.(2019?上海)如圖,在長方體ABC。ー4B1C1O1中,M為BB1上一點,已知8M=2,8=3,AD=4,AA\=5.(1)求直線4C和平面ABCO的夾角；(2)求點A到平面4MC的距離.

(2019?新課標H)如圖,長方體A8CO-481cleI的底面ABC。是正方形,點E在棱AAi±,BE丄ECi.(1)證明:8E丄平面EBiCi；(2)若AE=4E,求二面角8-EC-Ci的正弦值.(2019?新課標HI)圖1是由矩形AOEB,RtZVlBC和菱形8FGC組成的ー個平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,NFBC=60:將其沿48,BC折起使得BE與8F重合,連結ハG,如圖2.圖1圖1圖2(1)證明:圖2中的A,C,G,。四點共面，且平面48c丄平面8CGE；(2)求圖2中的四邊形4CG。的面積.(2019?新課標HI)圖1是由矩形AOEB、RtZ\ABC和菱形BFGC組成的ー個平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,ZFBC=60°.將其沿んB,8c折起使得BE與8F重合,連結。G,如圖2.D A圖1 圖2(1)證明:圖2中的4,C,G,。四點共面,且平面A8C丄平面BCGE；(2)求圖2中的二面角B-CG-4的大小.(2019?天津)如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABCO為平行四邊形，APCD為等邊三角形，平面以C丄平面PC￡),PAVCD,CD=2,AD=3.(I)設G,H分別為PB,AC的中點,求證:Gと〃平面外。:(II)求證:砲丄平面PCD；(III)求直線40與平面をC所成角的正弦值.C(2019?新課標I)如圖，直四棱柱ABC。ー4B1C1Q1的底面是菱形,ん41=4,AB=2,ZBAD=60°,E,M,N分別是8C,BB\,Ai。的中點.(1)證明:MN〃平面Ci。^；(2)求點C到平面。。E的距離.

DiCDiC(2019?浙江)如圖,已知三棱柱ABC-AiBiCi,平面んACC1丄平面ABC,NA8C=90°,ZBAC=30°,AiA=AiC=AC,E,ド分別是4C,4ル的中點.(I)證明:￡尸丄BC；(II)求直線Eド與平面A18C所成角的余弦值.(1)Ai)〃平面(1)Ai)〃平面DEC1；ん41上,BELECi.(2019?江蘇)如圖,在直三棱柱ABC-A出1C1中,D,E分別為8C,AC的中點,AB=BC.求證:長方體ABCD-A\B\C\D\的底面ABCD是正方形,點E在棱(1)證明:BE丄平面EBiCi；

(2)若AE=4E,AB=3,求四棱錐E-BB1C1C的體積.(2019?北京)如圖,在四棱錐P-ABC。中,陽丄平面ABC￡>,底面ABCル為菱形,E為Cル的中點.(I)求證:丄平面MC；(II)若/ABC=60°,求證:平面網8丄平面Z？4E；(III)棱P8上是否存在點F,使得b〃平面以E?說明理由.(2019?北京)如圖，在四棱錐P-ABC。中,布丄平面ABC。,ADLCD,AD//BC,PA, PF1=AD=CD=2,BC=3.E為P。的中點,點、F在PC上,且——=".(I)求證:C。丄平面PAD；(II)求二面角F-AE-P的余弦值;PG2(III)設點G在尸8上,且一=一.判斷直線AG是否在平面AE〃內,說明理由.PB3(2019?新課標I)如圖,直四棱柱ABCO-AiBiCiQi的底面是菱形,ん41=4,AB=2,ZBAD=60°,E,M,N分別是8C,BB\,4O的中點.(1)證明:〃平面C13E；(2)求二面角A-MA\-N的正弦值.(2019?上海)如圖，在正三棱錐尸ーA8C中，PA=PB=PC=2,AB=BC=AC=V3.(1)若PB的中點為M,BC的中點為N,求AC與MN的夾角:(2)求P-ABC的體積.B(2018?江蘇)如圖,在正三棱柱ABC-481cl中，AB=A4=2,點P,。分別為んル,8C的中點.(1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值;(2)求直線CC1與平面AQC\所成角的正弦值.

(2018?北京)如圖,在三棱柱ABC-AiBiCi中,CCi丄平面ABC,D,E,F,G分別為ん41,AC,A1C1,8B1的中點,AB=BC=V5,AC=AA\=2.(I)求證:AC丄平面BEF；(II)求二面角B-CD-C｝的余弦值:(III)證明:直線ドG與平面BC。相交.(2018?江蘇)在平行六面體A8CQ-4B1C1O1中,AA\=AB,AB\LB\C\.求證:AB〃平面んB1C：(2)平面A8814丄平面A18C.(2018?天津)如圖，在四面體ABCル中,ZXABC是等邊三角形，平面ABC丄平面點M為棱AB的中點,A8=2,40=2百,NBAD=90(I)求證:AD1BC；

(ID求異面直線BC與MO所成角的余弦值;(Ill)求直線C。與平面ABO所成角的正弦值.(2018?新課標11)如圖,在三棱錐尸ー4BC中,AB=BC=2&,PA=PB=PC=AC=4,。為AC的中點.(1)證明:「。丄平面ABC；(2)若點M在棱BC上,且MC=2MB,求點C到平面尸OM的距離.PB(2018?天津)如圖，A。〃BC且A3=2BC,ADVCD,EG〃んル且￡G=A。，CD//FG且CZ)=2FG,OG丄平面ABC。，DA=DC=DG=2.(I)若M為Cド的中點,N為EG的中點，求證;MN〃平面CCE；(II)求二面角E-BC-F的正弦值;(III)若點P在線段。G上，且直線8P與平面AOGE所成的角為60°,求線段OP的長.（2018?浙江）如圖,已知多面體ABC-A1B1C,AiA,B\B,C1C均垂直于平面ABC,ZABC=120°,A]A=4,C\C=\,AB=BC=BiB=2.(I)證明:ABi丄平面AiBiCi；(II)求直線AC\與平面ABBi所成的角的正弦值.厶（2018?上海）已知圓錐的頂點為P,底面圓心為〇,半徑為2.（1）設圓錐的母線長為4,求圓錐的體積;（2）設PO=4,04、是底面半徑,且/AO8=90°,M為線段AB的中點,如圖,求異面直線與08所成的角的大小.A（2018?新課標I）如圖,四邊形48co為正方形，E,ド分別為AC,BC的中點，以。ド為折痕把△。ドC折起，使點C到達點P的位置,且PF丄B凡（1）證明:平面尸Eド丄平面A8尸ル;（2）求。P與平面A8/7）所成角的正弦值.（2018?新課標HI）如圖,矩形A8C。所在平面與半圓弧前所在平面垂直，例是前上異于C,。的點.

(1)證明:平面んWO丄平面BMC；(2)在線段AM上是否存在點尸,使得MC〃平面P8O?說明理由.(2018?北京)如圖,在四棱錐P-4BCO中,底面ABCD為矩形,平面膽。丄平面ABCD,PALPD,PA=PD,E,ド分別為AO,PB的中點.(I)求證:PELBC；(II)求證:平面ルB丄平面PCD；(III)求證:Eア〃平面PCD.B(2018?新課標I)如圖，在平行四邊形48cM中，AB=AC=3,NACM=90°,以AC為折痕將△ACM折起,使點M到達點。的位置，且AB丄0A.(1)證明:平面AC。丄平面ABC；(2)。為線段ん。上一點,P為線段BC上一點,且82=。。=(。ん,求三棱錐Q-AB尸的體積.（2018?新課標H）如圖,在三棱錐尸-ABC中，AB=BC=2\[2,PA=PB=PC=AC=^,0為AC的中點.(1)證明:P。丄平面ABC；(2)若點M在棱BC上,且二面角M-%-C為30°,求PC與平面拝1M所成角的正弦值.(2018?新課標HI)如圖,邊長為2的正方形ABC。所在的平面與半圓弧ユ所在平面垂直,歷是加上異于C,D的點.(1)證明:平面AMO丄平面BMC：(2)當三棱錐M-ABC體積最大時，求面MAB與面MC。所成二面角的正弦值.イ2018-2021年髙考真題立體幾何解答題全集(學生版+解析版)參考答案與試題解析(2021?天津)如圖,在棱長為2的正方體A8CC-48C1O1中,E,尸分別為棱BC,CD的中點.(1)求證:DiF〃平面4EC1；(2)求直線4。與平面ルEC1所成角的正弦值:(3)求二面角A-A\C\-E的正弦值.【解答】(1)證明:以點A為坐標原點,建立空間直角坐標系如圖所示,則Ai(0,0,2),E(2,1,0),Ci(2,2,2),—? —>故んCl=(2,2,〇),ECX=(0,1,2),設平面AiEG的法向量為瑞=(え，y,z),則’.賀ア即｛エ短。。,In?EC】=0ノ令z=l,則ス=2,y=-2?故￡=(2,-2,1),又ド(1,2,0),D\(0,2,2),所以ド^i=(-1,0,2),則n?尸。1=0,又OiRt平面A1EC,故n尸〃平面4EC1：(2)解：由(1)可知，4G=(2，2,2),則|cos4,ACX>|=①""=171114cli故直線AC1與平面A\EC\所成角的正弦值為日;(3)解:由(1)可知,441=(〇,0,2),設平面ん41。的法向量為肩=（q,b,c）,m-AAr=0目イc=0一Jr/U+h=0*.m?41cl=0令〃=1,則わ=-1,故m=(l,-1,0),所以|cosOn,n>\=故二面角A-Aid-E的正弦值為Jl-（孥）2=1.（2021?新高考II）在四棱錐Q-ABC。中,底面ABC。是正方形,若AO=2,QO=QA=V5,QC=3.（I）求證:平面QA。丄平面ABC。:（II）求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.【解答】（I）證明:△QC。中,CD=AD=2,。。=遅，QC=3,所以C。2+Q。2=QC2,所以C。丄Q。:又C。丄A。，A。CQ。=。，ADcYffiQAD,。。＜=平面QA。，所以C。丄平面。A。;又C7）u平面ABCD,所以平面QA。丄平面ABCD.

(II)解:取40的中點。,在平面ABCD內作Ox丄以〇。為y軸,。。為z軸,建立空間直角坐標系。ー孫z,如圖所示:則。(0,0,0),B(2,-1,0),D(0,1,0),Q(0,0,2),因為。x丄平面AOQ,所以平面AOQ的ー個法向量為之=(1,0,0),設平面BDQ的一個法向量為タ=(x,y,z),得由=(-2,2,0),DQ=(0,-1,2),得(-2x+2y=0(-y+2z=0令z=1>得y=2,ス=2,所以/?=(2,2,1)；TT所以cosVa,ap__2+0+0所以cosVa,國.而!x74+4+13所以二面角B-QD-A的平面角的余弦值為テ(2021?上海)如圖,在長方體ABCD-481。ひ中,已知AB=8C=2,ん41=3.(1)若P是棱んワ上的動點,求三棱錐Cー布O的體積;(2)求直線AB1與平面ACC1ん的夾角大小.

【解答】解:（1）如圖,在長方體ABC。ー481cl中,ルー「冊=きSap40?レー平解ん,=|x(|x2x3)x2=2；(2)連接4cme￡>1=。,'：AB=BC,.?.四邊形A1B1CD1為正方形,則。田丄。4,又AAi丄031,OAiQAAi=Ai,.?.081丄平面4CC14,...直線AB\與平面ACC\A\所成的角為/OAB1,sin^OABx= =/io1???直線AB\與平面ACC1A1所成的角為arcsiれ^^.DBiDBi（2021?北京）已知正方體んBC。-AiBiCiQi,點E為401中點,直線BC1交平面CCE于點F.（1）求證:點ド為810中點;y/54M（2）若點M為棱AiBi上一點,且二面角M-CF-E的余弦值為二",求プ~3ムBi

【解答】(1)證明:連結ハE,在正方體ABC￡)-A\B\C\D\中,CD//C\D\,CiOiu平面A\B\C\D\,C￡)，平面A\B\C\D\,則C。〃平面ん81因為平面AiBiCiOiC平面CDEF=EF,所以C〇〃E兄則EF〃C1O1,故4Bi〃EF〃。ワ,又因為AiDi〃BiCi,所以四邊形AiかFE為平行四邊形，四邊形Eド。。1為平行四邊形，所以AiE=Bi凡EDi=FCi,面點￡為4D的中點，所以4E=EQi,故BiF=ド。，則點ド為ル。的中點:(2)解:以點以為原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，設正方體邊長為2,設點M(m,0,0),且山<0,則C(0,2,-2),E(-2,1,0),F(0,1,0),—? —> —?故ドE=(—2,0,0),FC=(0,1,-2),FM=(m,-1,0),設平面CMド的法向量為茄=(a,b,1),m?5=0,gppa-b=Om-FC=0 10ー/-U所以a=1,b=2,故益=る，2,1),設平面CDEド的法向量為/=(x,y,1),コ.呼=o,コ.呼=o,即-2x=0了一2=0'所以x=0,y=2,故n=(0,2,1),AV5因為二面角M-CF-E的余弦值為多,

—>—>則|cos<m,n>\=吁ゼ=J 旦~/冋川白+4+lx〃+l解得山=±1,又m<0,所以m--1,(2021?甲卷)已知直三棱柱ABC-481cl中,側面ん41818為正方形,AB=BC=2,E,ド分別為AC和CC1的中點，BF±A\B\.(1)求三棱錐ド-E8C的體積;(2)已知。為棱AiBi上的點，證明:BF1DE.【解答】解:（1）在直三棱柱ABC-4B1C1中,BB\A.A\B\,XBFVA\B\,BBiAB尸=B,BB\,8尸u平面BCC1B1,...A181丄平面BCC\B\,'：AB//A\B\,

丄平面BCC\B\,：.AB±BC,又AB=BC,故んc=V22+22=2企,：.CE=y[2=BE,而側面AA\B\B為正方形,ACF=1CC1=^AB=1,：.v=-CF=|xixV2xV2xl=1,即三棱錐F-EBC的體積為テ(2)證明:如圖，取BC中點G,連接EG,B\G,設BiGCBF=H,?.?點E是AC的中點,點G時8c的中點,C.EG//AB,：.EG//AB//B\D,:.E、G、B1、。四點共面，由(1)可得AB丄平面BCCiSi,；.EG丄平面BCCiBi,：.BFLEG,tan^CBF= ,tanz.BB^G= 且這兩個角都是銳角,:.NCBF=NBBiG,：.NBHBi=NBGBi+NCBF=NBGBi+N8BiG=90°,:.BFLB\G,又EGCBiG=G,EG,BiGu平面EG8i￡),丄平面EGB\D,又。Eu平面EGB\D,：.BFA.DE.C7ブ」ーメ8C7ブ」ーメ8(2021?乙卷)如圖,四棱錐P-ABCO的底面是矩形,P￡>丄底面ABC。,PD=DC=\,M為BC中點,且尸8丄AM.(1)求BC；(2)求二面角A-PM-B的正弦值.【解答】解:(1)連結8ル，因為尸。丄底面A8C0,且んWu平面ABCO,則AM丄PQ,又4M丄PB,PBCPD=P,PB,POu平面尸BO,所以AM丄平面PBD,又BOu平面尸BD,則AM丄BD,所以/ABO+/AOB=90°,又/ABD+/MA8=90°,則有/A￡>8=NM4B,所以RtZXDABsRt/^ABM,則一=—,所以-BC?=1,解得BC=V2；ABBM2(2)因為D4,DC,OP兩兩垂直，故以點ハ位坐標原點建立空間直角坐標系如圖所示，則ん(&0,0),B(V2,1,0),M呼,1,0),P(0,0,1),所以”=(ーぜ,0,1),AM=(一號,1,〇),BM=(ー與,0,〇),BP=(-V2,一1,1),設平面AM尸的法向量為n=(オ,y,z),(Zad-c\(-V2x+z=0則有ケ"ー。,即72 ，U=0 (一■2-x+y=0令x=ぐi,則y=l,z=2,故れ=(遮,1,2),設平面BMP的法向量為蔡=(p,q,r),則有何?"公。,即卜齊=° ,^77i-BP=0 (-V2p-q+ア=0

令ク=1,則廠=1,故/=(0,1,1),所以IcosVn,…牆=時=嚕設二面角A-PM-B的平面角為a,則sina=Vl則sina=Vl—cos2a=1—cos2<n,m>=所以二所以二面角A一所8的正弦值為震.(2021?浙江)如圖,在四棱錐尸-A8c。中,底面4BCO是平行四邊形,NABC=120°,AB=1,BC=4,PA=V15,M,N分別為BC,PC的中點，PD±DC,PM丄MD.(I)證明:AB丄アM：(11)求直線AN與平面PCM所成角的正弦值.AB【解答】(I)證明:在平行四邊形A8C￡＞中,由已知可得,CD=AB^1,CM=^BC=2,NOCM=60。,由余弦定理可得，DM2=CD2+CM2-2CDXCA/Xcos60°=1+4—2xlx2xう=3,貝リ 即COLOM,又PD丄DC,PDCDM=D,；.C。丄平面尸DW,而PMu平面尸。M,；.CD丄PM,'.'CD//AB,：.AB±PM；(n)解:由(I)知,Cハ丄平面PDM,又COU平面ABCD,.??平面ABCO丄平面PDM,且平面A8CDC平面PDM=DM,?；PM丄MD,且PMu平面POM,丄平面んBC。，連接AM,則PM丄MA,在△4BM中,AB=l,BM=2,NA8M=120°,可得ん“2=1+4—2xlx2x(—/)=7,又以=同,在Rt△尸腸4中，求得尸M=VPA2一“矛=2亜，取4。中點￡,連接ME,則ME〃C。，可得ME、MD.MP兩兩互相垂直,以M為坐標原點，分別以M。、ME、MP為x、y、z軸建立空間直角坐標系,則A(—V5,2,0),P(0,0,2V2),C(V3,-1,0),又N為PC的中點,.，.N號,V2),局=(夢,一,,V2),平面尸。M的ー個法向量為￡=(0,1,0),

設直線AN與平面PDM所成角為0,TT 5rmi?ハ( 71rT7\AN-n\ 2則sin0=cos<AN，n>= ——-J-=r——I訓?向伊吟+2X1故直線AN與平面PDM所成角的正弦值為了亜.6【解答】（【解答】（1）證明:（2021?甲卷）已知直三棱柱ABC-AiBiCi中,側面んAiBiB為正方形,AB=BC=2,E,ド分別為AC和CC1的中點，ハ為棱481上的點,BFVA\B\.(1)證明:BFLDE；（2）當Bi。為何值時,面8B1GC與面OFE所成的二面角的正弦值最小?連接AF,VE,ド分別為直三棱柱ABC-481cl的棱AC和CC1的中點，且AB=BC=2,/.CF=1,BF=V5,,：BF±A\B\,AB//A\B\,J.BFLAB：.AF=y/AB2+BF2=J22+(V5)2=3,AC=>JAF2-CF2=V32-l2=2夜,：.AC2=AB2+BC1,即BAIBC,故以8為原點，BA,BC,8B1所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(2,0,0),B(0,0,0),C(0,2,0),E(1,1,0),F(0,2,1),設B\D=m,則D(m,0,2),：.BF=(0,2,1),DE=(1-w,1,-2),—?—?：.BF-DE=0.即B/丄ハE.(2)解:???AB丄平面BBiCiC,.,?平面BBiCiC的ー個法向量為卩=(1,0,0),由(1)知,DE=(1-w,1,-2),EF=(-1,1,1),設平面。E萬的法向量為ス=(x,y,z),則“呼=°,即,0二m)：+y、2z=0,ln.FF=0J+y+z/r/