第十二章全等三角形12．1全等三角形1．了解全等形及全等三角形的概念．2．理解全等三角形的性質(zhì)．重點(diǎn)探究全等三角形的性質(zhì)．難點(diǎn)掌握兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的尋找規(guī)律，能迅速正確地指出兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)元素．一、情境導(dǎo)入一位哲人曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“世界上沒(méi)有完全相同的葉了”，但是在我們的周?chē)鷧s有著好多形狀、大小完全相同的圖案．你能舉出這樣的例子嗎？二、探究新知1．動(dòng)手做(1)和同桌一起將兩本數(shù)學(xué)課本疊放在一起，觀察它們能重合嗎？(2)把手中三角板按在紙上，畫(huà)出三角形，并裁下來(lái)，把三角板和紙三角形放在一起，觀察它們能夠重合嗎？得出全等形的概念，進(jìn)而得出全等三角形的概念．能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形，能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形．2．觀察觀察△ABC與△A′B′C′重合的情況．總結(jié)知識(shí)點(diǎn)：對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊．全等的符號(hào)：“≌”，讀作：“全等于”．如：△ABC≌△A′B′C′.3．探究(1)在全等三角形中，有沒(méi)有相等的角、相等的邊呢？通過(guò)以上探索得出結(jié)論：全等三角形的性質(zhì)．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．(2)把△ABC沿直線(xiàn)BC平移、翻折，繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，觀察圖形的大小形狀是否變化．得出結(jié)論：平移、翻折、旋轉(zhuǎn)只能改變圖形的位置，而不能改變圖形的大小和形狀．把兩個(gè)全等三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫做對(duì)應(yīng)角．如△ABC和△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點(diǎn)A和點(diǎn)D，點(diǎn)B和點(diǎn)E，點(diǎn)C和點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；AB和DE，BC和EF，AC和DF是對(duì)應(yīng)邊；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是對(duì)應(yīng)角．三、應(yīng)用舉例例1如圖，△ADE≌△BCF，AD＝6cm，CD＝5cm，求BD的長(zhǎng)．分析：由全等三角形的性質(zhì)可知，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，找出對(duì)應(yīng)邊即可．解：∵△ADE≌△BCF，∴AD＝BC.∵AD＝6cm，∴BC＝6cm.又∵CD＝5cm，∴BD＝BC－CD＝6－5＝1(cm)．四、鞏固練習(xí)教材練習(xí)第1題．教材習(xí)題12.1第1題．補(bǔ)充題：1．全等三角形是()A．三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形B．周長(zhǎng)相等的三角形C．面積相等的兩個(gè)三角形D．能夠完全重合的三角形2．下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是()①全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；②全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；③全等三角形的周長(zhǎng)相等；④全等三角形的面積相等．A．1B．2C．3D．43．如圖，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EF＝5，求∠DFE的度數(shù)與DE的長(zhǎng)．補(bǔ)充題答案：1．D2．D3．∠DFE＝35°，DE＝8五、小結(jié)與作業(yè)1．全等形及全等三角形的概念．2．全等三角形的性質(zhì)．作業(yè)：教材習(xí)題12.1第2，3，4，5，6題．本節(jié)課通過(guò)學(xué)生在做模型、畫(huà)圖、動(dòng)手操作等活動(dòng)中親身體驗(yàn)，加深對(duì)三角形全等、對(duì)應(yīng)含義的理解，即培養(yǎng)了學(xué)生的畫(huà)圖識(shí)圖能力，又提高了邏輯思維能力．12．2三角形全等的判定(4課時(shí))第1課時(shí)“邊邊邊”判定三角形全等1．掌握“邊邊邊”條件的內(nèi)容．2．能初步應(yīng)用“邊邊邊”條件判定兩個(gè)三角形全等．3．會(huì)作一個(gè)角等于已知角．重點(diǎn)“邊邊邊”條件．難點(diǎn)探索三角形全等的條件．一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入多媒體展示，帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)全等三角形的定義及其性質(zhì)，從而得出結(jié)論：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．反之，這六個(gè)元素分別相等，這樣的兩個(gè)三角形一定全等．思考：三角形的六個(gè)元素分別相等，這樣的兩個(gè)三角形一定全等嗎？二、探究新知根據(jù)上面的結(jié)論，提出問(wèn)題：兩個(gè)三角形全等，是否一定需要六個(gè)條件呢？如果只滿(mǎn)足上述六個(gè)條件中的一部分，是否也能保證兩個(gè)三角形全等呢？出示探究1：先任意畫(huà)出一個(gè)△ABC，再畫(huà)一個(gè)△A′B′C′，使△ABC與△A′B′C′滿(mǎn)足上述六個(gè)條件中的一個(gè)或兩個(gè)．你畫(huà)出的△A′B′C′與△ABC一定全等嗎？(1)三角形的兩個(gè)角分別是30°，50°.(2)三角形的兩條邊分別是4cm，6cm.(3)三角形的一個(gè)角為30°，一條邊為3cm.學(xué)生剪下按不同要求畫(huà)出的三角形，比較三角形能否和原三角形重合．引導(dǎo)學(xué)生按條件畫(huà)三角形，再通過(guò)畫(huà)一畫(huà)，剪一剪，比一比的方式得出結(jié)論：只給出一個(gè)或兩個(gè)條件時(shí)，都不能保證所畫(huà)出的三角形一定全等．出示探究2：先任意畫(huà)出一個(gè)△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA.把畫(huà)好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐幔孔寣W(xué)生充分交流后，教師明確已知三邊畫(huà)三角形的方法，并作出△A′B′C′，通過(guò)比較得出結(jié)論：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等．強(qiáng)調(diào)在應(yīng)用時(shí)的簡(jiǎn)寫(xiě)方法：“邊邊邊”或“SSS”．實(shí)物演示：由三根木條釘成的一個(gè)三角形的框架，它的大小和形狀是固定不變的．明確：三角形的穩(wěn)定性．三、舉例分析例1如右圖，△ABC是一個(gè)鋼架，AB＝AC，AD是連接點(diǎn)A與BC中點(diǎn)D的支架．求證：△ABD≌△ACD.引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用條件分析結(jié)論，尋找兩個(gè)三角形的已有條件，學(xué)會(huì)觀察隱含條件．讓學(xué)生獨(dú)立思考后口頭表達(dá)理由，由教師板演推理過(guò)程．教師引導(dǎo)學(xué)生作圖．已知∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.討論尺規(guī)作圖法，作一個(gè)角等于已知角的理論依據(jù)是什么？教師歸納：(1)什么是尺規(guī)作圖；(2)作一個(gè)角等于已知角的依據(jù)是“邊邊邊”．四、鞏固練習(xí)教材第37頁(yè)練習(xí)第1，2題．學(xué)生板演．教師巡視，給出個(gè)別指導(dǎo)．五、小結(jié)與作業(yè)回顧反思本節(jié)課對(duì)知識(shí)的研究探索過(guò)程，小結(jié)方法及結(jié)論，提煉數(shù)學(xué)思想，掌握數(shù)學(xué)規(guī)律．進(jìn)一步明確：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等．布置作業(yè)：教材習(xí)題12.2第1，9題．本節(jié)課的重點(diǎn)是探索三角形全等的“邊邊邊”的條件；運(yùn)用三角形全等的“邊邊邊”的條件判別兩個(gè)三角形是否全等．在課堂上讓學(xué)生參與到探索的活動(dòng)中，通過(guò)動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)、合作交流等過(guò)程，學(xué)會(huì)分析問(wèn)題的方法．通過(guò)三角形穩(wěn)定性的實(shí)例，讓學(xué)生產(chǎn)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去觀察、分析周?chē)氖挛铮瑸橄乱还?jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)．第2課時(shí)“邊角邊”判定三角形全等1．掌握“邊角邊”條件的內(nèi)容．2．能初步應(yīng)用“邊角邊”條件判定兩個(gè)三角形全等．重點(diǎn)“邊角邊”條件的理解和應(yīng)用．難點(diǎn)指導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題，尋找判定三角形全等的條件．一、復(fù)習(xí)引入1．什么是全等三角形？2．全等三角形有哪些性質(zhì)？3．“SSS”具體內(nèi)容是什么？二、新知探究已知△ABC，畫(huà)一個(gè)三角形△A′B′C′，使AB＝A′B′∠B＝∠B′，BC＝B′C′.教師畫(huà)一個(gè)三角形△ABC.先讓學(xué)生按要求討論畫(huà)法，再給出正確的畫(huà)法．操作：(1)把畫(huà)好的三角形剪下和原三角形重疊，觀察能重合在一起嗎？(2)上面的探究說(shuō)明什么規(guī)律？總結(jié)：判定兩個(gè)三角形全等的方法：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”．三、舉例分析多媒體出示教材例2.例2如圖，有一池塘，要測(cè)池塘兩端A，B的距離，可先在平地上取一個(gè)點(diǎn)C，從點(diǎn)C不經(jīng)過(guò)池塘可以直接到達(dá)點(diǎn)A和B.連接AC并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使CD＝CA.連接BC并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使CE＝CB.連接DE，那么量出DE的長(zhǎng)就是A，B的距離，為什么？分析：如果證明△ABC≌△DEC，就可以得出AB＝DE.證明：在△ABC和△DEC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CA＝CD，,∠1＝∠2，,CB＝CE，))∴△ABC≌△DEC(SAS)．∴AB＝DE.歸納解決實(shí)際問(wèn)題的一般方法是：分析實(shí)際問(wèn)題，按要求畫(huà)出圖形，根據(jù)圖形及已知條件選擇對(duì)應(yīng)的方法．四、課堂練習(xí)如圖，已知AB＝AC，點(diǎn)D，E分別是AB和AC上的點(diǎn)，且DB＝EC.求證：∠B＝∠C.學(xué)生先獨(dú)立思考，然后討論交流，用規(guī)范的書(shū)寫(xiě)完成證明過(guò)程．五、小結(jié)與作業(yè)1．師生小結(jié)：(1)“邊角邊”判定兩個(gè)三角形全等的方法．(2)在判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，要注意使用公共邊和公共角．2．布置作業(yè)：教材習(xí)題12.2第3，4題．本節(jié)課的重點(diǎn)是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)掌握運(yùn)用“邊角邊”判定兩個(gè)三角形全等的方法，讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，合作交流，通過(guò)學(xué)生之間的質(zhì)疑討論，發(fā)現(xiàn)此定理中角必為夾角，從而得出“邊角邊”的判定方法．不僅學(xué)習(xí)了知識(shí)，也訓(xùn)練了思維能力，對(duì)三角形全等的判定(SAS)掌握的也好，但要強(qiáng)調(diào)書(shū)寫(xiě)的格式的規(guī)范，同時(shí)讓學(xué)生感受到在證明分別屬于兩個(gè)三角形的線(xiàn)段或角相等的問(wèn)題時(shí)，通常通過(guò)證明這兩個(gè)三角形全等來(lái)解決．第3課時(shí)“角邊角”和“角角邊”判定三角形全等1．掌握“角邊角”及“角角邊”條件的內(nèi)容．2．能初步應(yīng)用“角邊角”及“角角邊”條件判定兩個(gè)三角形全等．重點(diǎn)“角邊角”條件及“角角邊”條件．難點(diǎn)分析問(wèn)題，尋找判定兩個(gè)三角形全等的條件．一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入1．復(fù)習(xí)舊知：(1)三角形中已知三個(gè)元素，包括哪幾種情況？三個(gè)角、三個(gè)邊、兩邊一角、兩角一邊．(2)到目前為止，可以作為判定兩三角形全等的方法有幾種？各是什么？2．[師]在三角形中，已知三個(gè)元素的四種情況中，我們研究了三種，我們接著探究已知兩角一邊是否可以判定兩三角形全等．二、探究新知1．[師]三角形中已知兩角一邊有幾種可能？[生](1)兩角和它們的夾邊；(2)兩角和其中一角的對(duì)邊．做一做：三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是60°和80°，它們的夾邊為4cm，你能畫(huà)一個(gè)三角形同時(shí)滿(mǎn)足這些條件嗎？將你畫(huà)的三角形剪下，與同伴比較，觀察它們是不是全等，你能得出什么規(guī)律？學(xué)生活動(dòng)：自己動(dòng)手操作，然后與同伴交流，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．教師活動(dòng)：檢查指導(dǎo)，幫助有困難的同學(xué)．活動(dòng)結(jié)果展示：以小組為單位將所得三角形重疊在一起，發(fā)現(xiàn)完全重合，這說(shuō)明這些三角形全等．提煉規(guī)律：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等．(可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”)[師]我們剛才做的三角形是一個(gè)特殊三角形，隨意畫(huà)一個(gè)△ABC，能不能作一個(gè)△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AB＝A′B′呢？[生]能．學(xué)生口述畫(huà)法，教師進(jìn)行多媒體課件演示，使學(xué)生加深對(duì)“ASA”的理解．[生](1)先用量角器量出∠A與∠B的度數(shù)，再用直尺量出AB的邊長(zhǎng)； (2)畫(huà)線(xiàn)段A′B′，使A′B′＝AB；(3)分別以A′，B′為頂點(diǎn)，A′B′為一邊作∠DA′B′，∠EB′A′，使∠DA′B′＝∠CAB，∠EB′A′＝∠CBA；(4)射線(xiàn)A′D與B′E交于一點(diǎn)，記為C′.即可得到△A′B′C′.將△A′B′C′與△ABC重疊，發(fā)現(xiàn)兩三角形全等．[師]于是我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律：兩角和它們的夾邊分別相等的兩三角形全等．(可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”)這又是一個(gè)判定兩個(gè)三角形全等的條件．2．出示探究問(wèn)題：如圖，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，△ABC與△DEF全等嗎？能利用角邊角條件證明你的結(jié)論嗎？證明：∵∠A＋∠B＋∠C＝∠D＋∠E＋∠F＝180°，∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴∠A＋∠B＝∠D＋∠E.∴∠C＝∠F.在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠E，,BC＝EF，,∠C＝∠F，))∴△ABC≌△DEF(ASA)．于是得規(guī)律：兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等．(可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS”)例如下圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求證：AD＝AE.[師生共析]AD和AE分別在△ADC和△AEB中，所以要證AD＝AE，只需證明△ADC≌△AEB即可．學(xué)生寫(xiě)出證明過(guò)程．證明：在△ADC和△AEB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠A，,AC＝AB，,∠C＝∠B，))∴△ADC≌△AEB(ASA)．∴AD＝AE.[師]到此為止，在三角形中已知三個(gè)條件探索兩個(gè)三角形全等問(wèn)題已全部結(jié)束．請(qǐng)同學(xué)們把兩個(gè)三角形全等的判定方法作一個(gè)小結(jié)．學(xué)生活動(dòng)：自我回憶總結(jié)，然后小組討論交流、補(bǔ)充．三、隨堂練習(xí)1．教材第41頁(yè)練習(xí)第1，2題．學(xué)生板演．2．補(bǔ)充練習(xí)圖中的兩個(gè)三角形全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．四、課堂小結(jié)有五種判定兩個(gè)三角形全等的方法：1．全等三角形的定義2．邊邊邊(SSS)3．邊角邊(SAS)4．角邊角(ASA)5．角角邊(AAS)推證兩個(gè)三角形全等，要學(xué)會(huì)聯(lián)系思考其條件，找它們對(duì)應(yīng)相等的元素，這樣有利于獲得解題途徑．五、課后作業(yè)教材習(xí)題12.2第5，6，11題．在前面研究“邊邊邊”和“邊角邊”兩個(gè)判定方法的前提下，本節(jié)研究“角邊角”和“角角邊”對(duì)于學(xué)生并不困難，讓學(xué)生通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)的方式體驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，在這節(jié)課的教學(xué)中，學(xué)生也了解了分類(lèi)思想和類(lèi)比思想．第4課時(shí)“斜邊、直角邊”判定三角形全等1．探索和了解直角三角形全等的條件：“斜邊、直角邊”．2．會(huì)運(yùn)用“斜邊、直角邊”判定兩個(gè)直角三角形全等．重點(diǎn)探究直角三角形全等的條件．難點(diǎn)靈活運(yùn)用直角三角形全等的條件進(jìn)行證明．一、情境引入(顯示圖片)舞臺(tái)背景的形狀是兩個(gè)直角三角形，工作人員想知道這兩個(gè)直角三角形是否全等，但每個(gè)三角形都有一條直角邊被花盆遮住無(wú)法測(cè)量．(1)你能幫他想個(gè)辦法嗎？(2)如果他只帶了一個(gè)卷尺，能完成這個(gè)任務(wù)嗎？方法一：測(cè)量斜邊和一個(gè)對(duì)應(yīng)的銳角(AAS)；方法二：測(cè)量沒(méi)遮住的一條直角邊和一個(gè)對(duì)應(yīng)的銳角(ASA或AAS)．工作人員測(cè)量了每個(gè)三角形沒(méi)有被遮住的直角邊和斜邊，發(fā)現(xiàn)它們分別相等，于是他就肯定“兩個(gè)直角三角形是全等的”．你相信他的結(jié)論嗎？二、探究新知多媒體出示教材探究5.任意畫(huà)出一個(gè)Rt△ABC，使∠C＝90°.再畫(huà)一個(gè)Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.把畫(huà)好的Rt△A′B′C′剪下來(lái)，放到Rt△ABC上，它們?nèi)葐幔慨?huà)一個(gè)Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.想一想，怎么樣畫(huà)呢？按照下面的步驟作一作：(1)作∠MC′N(xiāo)＝90°；(2)在射線(xiàn)C′M上截取線(xiàn)段B′C′＝BC；(3)以B′為圓心，AB為半徑畫(huà)弧，交射線(xiàn)C′N(xiāo)于點(diǎn)A′；(4)連接A′B′.△A′B′C′就是所求作的三角形嗎？學(xué)生把畫(huà)好的△A′B′C′剪下放在△ABC上，觀察這兩個(gè)三角形是否全等．由探究5可以得到判定兩個(gè)直角三角形全等的一個(gè)方法：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等．簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”．多媒體出示教材例5如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為C，D，AC＝BD.求證：BC＝AD.證明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C與∠D都是直角．在Rt△ABC和Rt△BAD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝BA，,AC＝BD，))∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．∴BC＝AD.想一想：你能夠用幾種方法判定兩個(gè)直角三角形全等？直角三角形是特殊的三角形，所以不僅有一般三角形判定全等的方法：SAS，ASA，AAS，SSS，還有直角三角形特殊的判定全等的方法——“HL”．三、鞏固練習(xí)如圖，兩根長(zhǎng)度為12米的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面兩個(gè)木樁上，兩個(gè)木樁離旗桿底部的距離相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．學(xué)生獨(dú)立思考完成．教師點(diǎn)評(píng)．四、小結(jié)與作業(yè)1．判定兩個(gè)直角三角形全等的方法：斜邊、直角邊．2．直角三角形全等的所有判定方法：定義，SSS，SAS，ASA，AAS，HL.思考：兩個(gè)直角三角形只要知道幾個(gè)條件就可以判定其全等？3．作業(yè)：教材習(xí)題12.2第7題．本節(jié)課教學(xué)，主要是讓學(xué)生在回顧全等三角形判定的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)特殊與/r/