電路分析基礎(chǔ)——第三部分：第13章第13章電路的頻率響應(yīng)1

再論阻抗和導(dǎo)納5RLC電路的頻率響應(yīng)諧振2

正弦穩(wěn)態(tài)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)6波特圖正弦穩(wěn)態(tài)的疊加平均功率的疊加7波特圖（續(xù)）電路分析基礎(chǔ)——第三部分：13-51/2613-5

RLC電路的頻率響應(yīng)

諧振內(nèi)容回顧圖8-3i(t)uC–LC+ uL

－

+–uR++–

uoc(b)RLC串聯(lián)電路對于圖8-3所示電路，根據(jù)KVL，可得Lu +

u +

u =

uR

C

ocd2uCdt2LCduC+

RC

dt+

uC

=

uoc

（8-10）求解該就能得到uC(t)。根據(jù)微分方程理論，此類方程的解答的形式，取決于特征方程根的性質(zhì)。（8-12）式的特征方程為（8-13）s2

+

R

s+

1

=0L

LC該方程有兩個(gè)根，即LC

1

R2L(

)2–s1,

2

= –

R

±2L（8-14）特征根也即電路的固有頻率，它將確定零輸入響應(yīng)的形式。電路分析基礎(chǔ)——第三部分：13-5

2/26(1)

當(dāng)2L由于R、L、C的數(shù)值不同，固有頻率

s1

和s2

可以有三種情況：21

2時(shí)，s

,

s

為不相等的負(fù)實(shí)數(shù)；

R2L(

)(

)2=1

2時(shí)，s

,

s

為相等的負(fù)實(shí)數(shù)；

R

>

1

LC

1

LC

1

LC

R2L(

)2<(2)

當(dāng)(3)

當(dāng)1

2時(shí)，s

,

s

為共軛復(fù)數(shù)，實(shí)部為負(fù)數(shù)。當(dāng)

1

LCR2L(

)2<2時(shí)，亦即R <

4

L時(shí)，固有頻率為共軛C

復(fù)LC數(shù)，可表示為s1,2

=

–(

)R

2

–

1

2L

R2L

±LC1R2L±

j()2–=

–

R2L= –

±

j

d（8-32）電路分析基礎(chǔ)——第三部分：13-5其中=

R2L3/26（8-33）d

=LC1R2L2–

()

0=

2

–2（8-34）0

=

1

LC衰減因子或衰減系數(shù)：=L/2R

稱為衰減因子，

越大，衰減震蕩的振幅衰減的就越快，反之則越慢。震蕩角頻率：d

稱為震蕩角頻率，d

越大，衰減震蕩的震蕩速度就越快，震蕩周期越小，反之則速度越慢、周期越大。包絡(luò)線(envelope)：

圖中按

±Ke

–t

變化的細(xì)虛線，

將震蕩曲線在中間，其衰 度取決于

。等幅震蕩（諧振）：當(dāng)電路中電阻為零時(shí)，=0，包絡(luò)線±Ke

–

t

變成±K

兩條與t

軸平行的直線，震蕩變成幅度恒定的等幅震蕩（諧振）。能量在L、C之間無損失地交換。電路分析基礎(chǔ)——第三部分：13-54/26此時(shí)，以上所推導(dǎo)的參數(shù)變成：LC

1

=

0，d

=

0

=；uC(0)

=

K1，K2

=iL(0)0CuC(t)

和iL(t)

變成：uC(t)

=

uC(0)

cos

0t

+

L

sin

0ti

(0)（8-42）（8-43）0CiL(t)

=

iL(0)

cos

0t

–

uC(0

)

0C

sin

0t此時(shí)，對任意的L、C值，總能量為：22w(t)

=

1

Cu2(t)

+

1

Li2(t)22（8-44）=

1

Cu2(0)

+

1

Li2(0)

=

w(0)諧振角頻率：當(dāng)電路等幅震蕩時(shí)的角頻率0

=1/LC，稱為諧振(resonant)角頻率，是電路的固有頻率（s=j

0）。電路分析基礎(chǔ)——第三部分：13-55/26RLC的頻率響應(yīng)：圖13-26所示電路的電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)為–CR?–?+U2+

LU1U1?2?

=U

Z

2Z1

+

Z2Au=Z1

= jL

–

j

1

，Z2

=R=RC+j(2LC

–

1)R

+jL

–j

CC

R

1

=(1–

2LC)

+

jRCRC(1–2LC)2+2R2C2

jRC

=

RC

90°–arctg

RC

1–2LC2R2C2+(2LC–1)2=

RC

=

RC

arctg

1–2LC2R2C2+(2LC–1)2|Au

|

=

RC

=0或，|Au

|=0；2LC–1=0，|Au

|

=1LC=

0

=

1

諧振頻率點(diǎn)由2LC–1=

0，可得電路分析基礎(chǔ)——第三部分：13-5

6/26半功率頻率點(diǎn)：當(dāng)輸出功率下降為輸入功率的一半時(shí)的頻率點(diǎn)，稱為通帶截止頻率。根據(jù)定義，可得2R2C2+(2LC–1)2u|A |2

=2R2C22=

1即2R2C2

=(2LC–1)22LC–1

=

±RC，RC

–1

=

02LC±2±L

R

–

1

=0LC±

R

=

±

2LLCR2L)2+

1

(|

Au

|1.00.80.60.40.20.707201u|A |

=

RC

O下截止頻率上截止頻率通帶BW=2

–12R2C2+(2LC–1)2諧振頻率中心頻率電路分析基礎(chǔ)——第三部分：13-5

7/26考慮到

必須為正，由此可得上下半功率頻率點(diǎn)為

1 =–

R

+2LR

1

2L

LC2+(2+ =

RR

1

2L

LC

2L)

)2+(通帶帶寬：介于上下半功率頻率點(diǎn)之間、|Au

|

幅度大于0.7071

的范圍稱為通帶，上下半功率頻率差稱為通帶帶寬，簡稱帶寬，英語bandwidth，縮寫B(tài)W。2

1BW

=

–

=

RL即

帶寬BW與電路參數(shù)R、L有關(guān)。準(zhǔn)確地說，與R

成正比，與L

成反比。品質(zhì)因數(shù)：用于衡量幅頻特性的邊沿（上升沿或下降沿）陡峭

程度(sharpness)的參數(shù)，記為Q

。數(shù)值上等于中心頻率除以帶寬2

–

1Q

=

=0LC1即

0

=

0L

=

LBW

R

R=C1R0RC

LC=

1

=

|XL(0)|

=

|XC(0)|R

R電路分析基礎(chǔ)——第三部分：13-58/26諧振的物理意義：對于圖13-25所示的RLC串聯(lián)電路，其輸入阻抗為CZ(j)

=

R

+j(L

–1

)10C0

0Z(j

)

=

R

+j(

L

–)=

R

+j(LC

C–

L

)

=

RUL

=

0LI

=

U1R0L

=QU1C=

QU1U10C

0RCU =

I

=即RLC

串聯(lián)等效為一個(gè)電阻，電容和電感的作用互相抵消，此時(shí)回路電流達(dá)到最大。此時(shí)電路所處的狀態(tài)稱為諧振。電阻電壓等于輸入電壓，而電容、電感上的電壓為一般Q>>1，所以電感和電容上的電壓比電阻上的大得多。器件的品質(zhì)因數(shù)：

在第六章中已經(jīng)知道，實(shí)際電感器和電容器，除了存在電感和電容等物理性質(zhì)外，還有其他成分，如分布電阻等。某個(gè)頻率下，由該器件本身的電抗與電阻之比稱為該器件的品質(zhì)因數(shù)，或該器件的Q

值。U1ULUC???電路分析基礎(chǔ)——第三部分：13-59/26電感器的Q

值：實(shí)際電感器模型如右圖b、c所L

L示。R

、C

代表電感L的分布電阻和分布電容。b

模型的Q值：LRL

RLQ

=

XL()

=圖6-28L(a)(b)電感線圈模型(c)LCLLRLRLL”LRLCLR”Lc

模型的Q值：c

模型的計(jì)算需先計(jì)算等效阻抗，根據(jù)11

章中串/并變換，可得CLL’R’L電路分析基礎(chǔ)——第三部分：13-510/26G’

=R2L

+2L2RLR2L+2L2B’

=

–L

G

=G’

=R2L+

2L2RLR2L+2L2B

=

B’

+

BC

=

CL

–

L

RLR”

R”Q

=

X”()

=

L”

=

CL(R2L+2L2)–

LG2

+

B2G2

+

B2c

模型的Q

值為R”

=

G

=X”

=L”

=

–B

=RL1–2

2LCL+CL(R2L+2L2)CL(R2L+2L2)–

L1–2

2LCL+CL(R2L+2L2)對絕大部分應(yīng)用，b

模型就足夠了，c

模型一般很少使用。因此，一般講的電感Q

值都是指b模型，一般數(shù)值在幾十至幾百之間。電路分析基礎(chǔ)——第三部分：13-511/26圖6-29C電容器的Q

值：實(shí)際電容器模型如右圖b、c所示。GC、LC代表電容C的分布電阻和分布電感。b

模型的Q值：在求取該模型Q

值時(shí)，必須(a)先將該模型轉(zhuǎn)換為串聯(lián)形式。(c)C

CLCG(b)電容器的模型GCCGCCC’R’C=G2C

+

2C2GC

–C

X’

=

G2C+

2C2’RCR’CGCGCQ

=

|X’()|

=

C

=

B()電路分析基礎(chǔ)——第三部分：13-5

12/26c

模型的Q

值：在求取該模型Q

值時(shí)，必須先將該模型轉(zhuǎn)換為串聯(lián)形式。LCC’R’CCLCG

CR’C=G2C+2C2GCX”

=

X’

+

LC

=Q

=R’CGC|X”()|

=

|LC(G2C+2C2)

–

C|=

–C

+LCG2C+2C2同樣道理，對絕大部分應(yīng)用，b模型就足夠了，c模型一般很少使用。因此，一般 講的電容

Q

值都是指

b模型，電容的漏電阻比電感分布電阻大得多，所以，其

Q值也要大得多，一般數(shù)值都在幾千以上。電路分析基礎(chǔ)——第三部分：13-5

13/26arctg

xO°xRC180或

=

arctg

1–2LC

RC

1–2LC

=

90°–arctg=

0，

=

90°；=

，

=

–

90°；2LC–1=

0，

=

0

90

°RLC相位特性：下面 關(guān)注一下RLC有關(guān)諧振情況的相位。按照書上的相位特性公式（下面第一個(gè)結(jié)果），大家容易犯錯(cuò)誤，當(dāng)=，后面arctgx

項(xiàng)中的x=0，大家會(huì)毫不猶豫的認(rèn)為arctg

x=0，所以=90°，實(shí)際上因?yàn)閤<0，所以

arctg

x=180°，即=–90°，如下圖所示；按照下面第二個(gè)結(jié)果，則不會(huì)犯錯(cuò)誤。電路分析基礎(chǔ)——第三部分：13-514/260145°290°60°30°O–45°–30–°

60–°

90°電路分析基礎(chǔ)——第三部分：13-515/26RLC電路相量隨頻率變化過程：IULUC????URU1?IULUC???UR??U1UL?UCUL???UR

I??UCU1?電路分析基礎(chǔ)——第三部分：13-516/26帶寬BW與品質(zhì)因數(shù)Q

的關(guān)系：2

1Q

=

BW

=

–0

0BW=

0QBW

與Q

成反比：Q↑→BW↓，Q↓→

BW↑即Q?BW=0O|

Au

|1.00.80.60.40.20.707201Q小Q大電路分析基礎(chǔ)——第三部分：13-517/26相位曲線線性頻率范圍與品質(zhì)因數(shù)Q

的關(guān)系：根據(jù)RLC

相位特性曲線圖：在±30°范圍內(nèi)，線性度最好，非線性度<0.5%；在±45°范圍內(nèi)，線性度很好，非線性度<1%；在±60°范圍內(nèi)，線性度較好，非線性度<5%?！?/p>

與

Q

成反比：Q↑

→ BW↓→

△↓Q↓

→BW↑→

△↑線性頻率動(dòng)態(tài)范圍：在±30°范圍內(nèi)，動(dòng)態(tài)范圍<BW；在±

45°范圍內(nèi)，動(dòng)態(tài)范圍=BW；在±60°范圍內(nèi)，動(dòng)態(tài)范圍>BW。記為：△=kBW=

k

0Q電路分析基礎(chǔ)——第三部分：13-518/260145°290°60°30°O–°–30–°

60–°

90°Q小45Q大電路分析基礎(chǔ)——第三部分：13-5

19/26品質(zhì)因數(shù)Q的選取原則：用于頻率選擇、固定頻率震蕩或窄帶濾波時(shí)，Q

值應(yīng)大；用于帶通濾波時(shí)，Q

值應(yīng)根據(jù)實(shí)際帶寬等需要選擇；用于寬帶濾波、調(diào)頻解調(diào)、相位解調(diào)時(shí)，Q

值應(yīng)小。例13-14

設(shè)計(jì)一

RLC串聯(lián)電路，要求諧振頻率104Hz，通帶100Hz。串聯(lián)電阻及負(fù)載電阻為10

和15

。R

=

10+15

=

25L

=

Q?R=

f

0f2

–

f1=

100×20

52×1=

3.98×10–2

H=

39.8解：電路總電阻電路Q

值所需電感Q

=BW2

–

1=0

0=

1000RQ2×104×100×=

04=

6.3662×10–295F

=

6.3662×10–3

μF=

6366.2pF所需電容C=

1

1mH電路分析基礎(chǔ)——第三部分：13-5

20/26例13-15

試證

Q

串聯(lián)諧振電路的諧振頻率近似為通頻帶中心頻率。解：中心頻率的定義：通帶中點(diǎn)的頻率稱為中心頻率。即c

=2

+

12=0R02

L)02

+

2=R

1

2L

LC)

(2+(12Q)2+

1(=

0≥0

1當(dāng)Q>>1時(shí)，2Q<<1時(shí)，因此，c

≈0實(shí)際上，c

和0

都稱為中心頻率。而c

稱為代數(shù)中心，0稱為幾何中心，在數(shù)學(xué)上分別定義為c

= +

2

120

=21

≤

c對絕大部分應(yīng)用，Q>>1，因此總有c

≈0，兩者可以說是一會(huì)事。電路分析基礎(chǔ)——第三部分：13-521/26其他形式的RLC電路的特性（一）RLC

串聯(lián)電路從電容輸出的頻率特性。U1?U2?=Z2Z1

+

Z21Z =

R

+jL

，uA

==

C

RC+j(2LC

–

1)CR

+jL

–j

1=(1–

2LC)

+

jRCRC(1–2LC)2+2R2C21–2LC

1

=

1

–arctg

RC

2R2C2+(2LC–1)2–CR?+U1–?+U2LZ2

=

–

j

1

C–j

1

= –j

=

1

arctg

1–2LC

–

90°|Au

|

=

1

令d|Au

|

=

0，得dtm

=1RL2–(

)1LC

2≤02R2C2+(2LC–1)2R2C2

–

LC(1–2LC)

=

0電路分析基礎(chǔ)——第三部分：13-522/26u

m40L1)21–(|A

(j )|

=

1

=

1

4LLR2C

(1

–

R2C)0LR0RC

(1

–

R0RC)Q24Q2

2Q1

)1

(1

–=

1

=

Q

≥QRC

=

arctgRC1–2LC–

90°或

=

–arctg1–2LC

=

0，

=

–

90°；

=

，

=

90°；

2LC–1=

0，

=

0相位特性與從電阻R

輸出時(shí)相反。C–RU1?（二）RLC

串聯(lián)電路從電感輸出的頻率特性。+–?+U2L

1

Z1

=

R

–

j

C

，

Z2

=jL電路分析基礎(chǔ)——第三部分：13-523/26U1?U2?=Z2Z1

+

Z2uA

===R

+jL

–j

1==RC=(1–2LC)2+2R2C2RC1–2LCarctg

1–2LC90°

–arctg

jL

2LCC2LCRC+j(2LC

–

1)j2LC2R2C2+(2LC–1)22LC2R2C2+(2LC–1)2u|A |

=令d|Au

|

=

0，得dtm

=

02Q2≥0(1–

2LC)

+

jRC2LC[R2C2

–

LC(1–2LC)]

–

2[2R2C2+(2LC–1)2]

=

022Q4Q21–

6

3

–

1

±1 +

1≈0

3

±12

2m1

=

0或

m2

= 2

0電路分析基礎(chǔ)——第三部分：13-5

24/26u|A

(jm1L)|

=

1

=QR2Cu

m2LR2C

+11+Q2|A

(j )

|

=

2

=

2Q

≈2arctg

1–2LCRC1–2LC=

90°–arctg

RC

或=

=

0，

=

90°；

=

，

=

–

90°；

2LC–1=

0，

=

0相位特性與從電阻R

輸出時(shí)相位一致。（三）電流源激勵(lì)下RLC

并聯(lián)電路的頻率特性。I1U2?YLG

+jC

–j

1

ZT(j)

=