離散數學

(DiscreteMathematics)離散數學

(DiscreteMathematics)5-5阿貝爾群循環群置換群阿貝爾群(AbelianGroups)循環群(CyclicGroups)置換群小結5-5阿貝爾群循環群置換群阿貝爾群(AbelianG定義5-5.1

設

是一個群，如果是一個可交換運算，那么群就稱為可交換群(CommutativeGroups)，或稱阿貝爾群(AbelianGroups)，或稱加法群(AdditiveGroups)。否則稱為不可交換群(Non-commutativeGroups)。

一、阿貝爾群(AbelianGroups)例1(a)均為阿貝爾群。(b)設A是任一集合，P表示A上的雙射函數集合，則是一個群，這里“?”表示函數復合，f-1是f的逆函數，通常這個群不是阿貝爾群。5-5阿貝爾群循環群置換群定義5-5.1設是一個群，如果(c)設G={所有n階可逆方陣}，“?”是G上的矩陣乘法運算則是一個群，但它不是阿貝爾群。例2S={a,b,c,d}，f：SS，其中f(a)=b，f(b)=c，f(c)=d，f(d)=a，則f為集合S到S的一個雙射。記f1=f，f2=f?f，f3=f2?f，f4=f3?f，f0=Is，則為阿貝爾群。其運算表為：f0f1f2f3f0f0f1f2f3f1f1f2f3f0f2f2f3f0f1f3f3f0f1f25-5阿貝爾群循環群置換群(c)設G={所有n階可逆方陣}，“?”是G上的矩陣乘法運(c)設G={所有n階可逆方陣}，“?”是G上的矩陣乘法運算則是一個群，但它不是阿貝爾群。例2S={a,b,c,d}，f：SS，其中f(a)=b，f(b)=c，f(c)=d，f(d)=a，則f為集合S到S的一個雙射。記f1=f，f2=f?f，f3=f2?f，f4=f3?f，f0=Is，5-5阿貝爾群循環群置換群(c)設G={所有n階可逆方陣}，“?”是G上的矩陣乘法運(c)設G={所有n階可逆方陣}，“?”是G上的矩陣乘法運算則是一個群，但它不是阿貝爾群。例2S={a,b,c,d}，f：SS，其中f(a)=b，f(b)=c，f(c)=d，f(d)=a，則f為集合S到S的一個雙射。記f1=f，f2=f?f，f3=f2?f，f4=f3?f，f0=Is，則為阿貝爾群。其運算表為：f0f1f2f3f0f0f1f2f3f1f1f2f3f0f2f2f3f0f1f3f3f0f1f25-5阿貝爾群循環群置換群(c)設G={所有n階可逆方陣}，“?”是G上的矩陣乘法運例3

設是一個獨異點，并且對于G中的每一個元素a都有aa=e，則是一個阿貝爾群。證明a∈G，由于aa=e，所以a-1=a，即G中的每一個元素a都有逆元素，故〈G,〉是一個群。又a、b∈G，ab=a-1b-1=(ba)-1=ba，所以〈G,〉是一個阿貝爾群。5-5阿貝爾群循環群置換群例3設是一個獨異點，并且對于例4設G={e,a,b,c}，為G上的二元運算，它由下表給出。是4階循環群。定義5-5.2

設

是群，若G中存在元素a，使得G中每個元素都由a的冪組成，則稱為循環群(CyclicGroups)，元素a稱為該循環群的生成元。二、循環群(CyclicGroups)eabceeabcaabcebbceacceab生成元為a,c。循環群的生成元不是唯一的。5-5阿貝爾群循環群置換群例4設G={e,a,b,c}，為G上的二元運算，它由下表5-5阿貝爾群、循環群和置換群答是循環群，生成元是1和-1。例5是否是循環群？若是，指出其生成元。(3)(an)-1=(a-1)n（記為a-n）（n為整數）5-5阿貝爾群、循環群和置換群答5-5阿貝爾群、循環群和置換群例6

(1)令A={2i|i∈Z}，那么〈A,·〉(·為普通的數乘)是循環群，2是生成元(2-1也是生成元)。(2)〈Z8,+8〉為循環群，(3)Klein四元群不是循環群。1,7是生成元。eabceeabcaaecbbbceaccbae5-5阿貝爾群、循環群和置換群例6(1)令A={2i|i例5設“?”為矩陣乘法。(1)是否為群？(2)是否為循環群？若是，指出其生成元。所以運算?在A上封閉。解

因為m、n∈Z，因為，所以是幺元。5-5阿貝爾群循環群置換群例5設“?”為矩陣乘法。(1)是否為n∈Z，所以是的逆元。矩陣乘法是可結合的。故是群。n∈Z，因為所以是生成元，故是循環群。5-5阿貝爾群循環群置換群n∈Z，所以是定理5-5.2

循環群必定是阿貝爾群。證明設是循環群，a為生成元，對于任意的x、y∈G，必有s、t∈Z，使得x=as，y=at，所以xy=asat=as+t=at+s=atas=yx故為阿貝爾群。5-5阿貝爾群循環群置換群定理5-5.2循環群必定是阿貝爾群。證明設練習：設表示在平面上幾何圖形繞形心順時針旋轉角度的六種可能，設☆是R上的二元運算，a☆b表示平面圖連續旋轉a和b得到的總旋轉角度，并規定旋轉360表示回到原來狀態。列出R上☆的運算表，并證明<R,☆>是循環群。5-5阿貝爾群循環群置換群練習：設表示在平面上幾何圖形繞形心順時針旋轉角度的六種可能，5-5阿貝爾群循環群置換群幺元是0,60和300是其生成元5-5阿貝爾群循環群置換群幺元是0,60和300定理5-5.3

設是由a生成的循環群，若|G|=n，則其中，e是中的幺元，n是使an=e的最小正整數，稱n為元素a的階。（注意：群的階和元素的階）(1)an=e；(2)G={a,a2,a3,…,an-1,an}證明

首先證明m∈Z+，m<n，都有am≠e。假設m∈Z+，m<n，使得am=e。因為G是循環群，所以G中的元素都能寫成ak的形式，k∈Z。而k∈Z，有k=mq+r(0≤r<m)，從而ak=amq+r=amqar=ar.5-5阿貝爾群循環群置換群定理5-5.3設是由a生成的循環群，若這樣G中至多有m個不同的元素，與|G|=n矛盾。所以am≠e(m∈Z+，m<n)。下面證明a、a2、…、an互不相同。若不然，存在i、j∈Z，1≤i<j≤n，使得ai=aj,則有aj-i=e，由于1≤j-i＜n，這是不可能的，所以a、a2、…

、an

互不相同。因此G={a，a2，…，an-1，an}，并且an=e。證畢。該定理表明，對有限循環群，其生成元的階必定等于該群的階,生成元用冪生成群中元素，一個不落下，也不會重復，最后生成幺元。5-5阿貝爾群循環群置換群這樣G中至多有m個不同的元素，與|G|=n矛盾。該定理表明，5-5阿貝爾群循環群置換群0是1階元60是6階元120是3階元180是2階元240是3階元300是6階元生成元是300和605-5阿貝爾群循環群置換群0是1階元5-5阿貝爾群、循環群和置換群例7設〈G，〉為無限循環群且G=〈a〉，則G只有兩個生成元a和a-1。證明

首先證明a-1是其生成元。因為〈a-1〉G，須證G〈a-1〉。設ak∈G，因為ak=(a-1)-k，ak∈〈a-1〉，從而G=〈a-1〉。再證明G只有兩個生成元a和a-1。假設b是G的生成元，則G=〈b〉，由a∈G可知存在整數s，使得a=bs，又由b∈G可知，存在整數t，使得b=at，有a=bs=(at)s=ats，5-5阿貝爾群、循環群和置換群例7設〈G，〉為無限循環5-5阿貝爾群、循環群和置換群由消去律得ats-1=e。因為〈G，〉為無限循環群，所以ts-1=0，從而有t=s=1或t=s=-1。因此b=a或b=a-1。5-5阿貝爾群、循環群和置換群由消去律得at5-5阿貝爾群、循環群和置換群定義5-5.3設

是有限集合，可記為

，則上的一個可逆變換可表示為三、置換群(PermutationGroups)

置換群在群論的理論研究和實際應用中都有很重要的作用，任何一個有限群都可用一個置換群表示。5-5阿貝爾群、循環群和置換群定義5-5.3設是5-5阿貝爾群、循環群和置換群記是上所有置換的集合，是函數的復合運算，則構成一個群，稱為n次對稱群（symmetricgroup）。n次對稱群

的子群稱為n次置換群(permutationgroup)。其中是

的一個全排列，這樣的一個可逆變換稱為一個n元置換(permutation)。5-5阿貝爾群、循環群和置換群記是上所5-5阿貝爾群、循環群和置換群例5.5-9設，則中共有個置換：

任意兩個置換的運算

，即兩個可逆變換的復合，從右往左計算，如：5-5阿貝爾群、循環群和置換群例5.5-9設5-5阿貝爾群、循環群和置換群

我們看到，在中（恒等置換，也稱為幺置換）是幺元，在復合運算下構成置換群。一般地，置換的復合運算不滿足交換律。5-5阿貝爾群、循環群和置換群我們看到，在5-5阿貝爾群、循環群和置換群例5.5-10設，記正方形的四個頂點，如圖5.2所示，則如下的8個置換在復合運算下構成一個置換群。

圖5.2置換5-5阿貝爾群、循環群和置換群例5.5-10設5-5阿貝爾群、循環群和置換群

可以看到，分別對應于正方形圍繞中心點旋轉，以及圍繞四條對稱軸的翻轉。5-5阿貝爾群、循環群和置換群可以5-5阿貝爾群、循環群和置換群三、小結本結介紹了阿貝爾群、循環群和置換群的概念及其性質。重點掌握循環群的性質。

5-5阿貝爾群、循環群和置換群三、小結本結介紹了阿貝爾群、感謝感謝謝謝，精品課件資料搜集謝謝，精品課件資料搜集離散數學

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設

是一個群，如果是一個可交換運算，那么群就稱為可交換群(CommutativeGroups)，或稱阿貝爾群(AbelianGroups)，或稱加法群(AdditiveGroups)。否則稱為不可交換群(Non-commutativeGroups)。

一、阿貝爾群(AbelianGroups)例1(a)均為阿貝爾群。(b)設A是任一集合，P表示A上的雙射函數集合，則是一個群，這里“?”表示函數復合，f-1是f的逆函數，通常這個群不是阿貝爾群。5-5阿貝爾群循環群置換群定義5-5.1設是一個群，如果(c)設G={所有n階可逆方陣}，“?”是G上的矩陣乘法運算則是一個群，但它不是阿貝爾群。例2S={a,b,c,d}，f：SS，其中f(a)=b，f(b)=c，f(c)=d，f(d)=a，則f為集合S到S的一個雙射。記f1=f，f2=f?f，f3=f2?f，f4=f3?f，f0=Is，則為阿貝爾群。其運算表為：f0f1f2f3f0f0f1f2f3f1f1f2f3f0f2f2f3f0f1f3f3f0f1f25-5阿貝爾群循環群置換群(c)設G={所有n階可逆方陣}，“?”是G上的矩陣乘法運(c)設G={所有n階可逆方陣}，“?”是G上的矩陣乘法運算則是一個群，但它不是阿貝爾群。例2S={a,b,c,d}，f：SS，其中f(a)=b，f(b)=c，f(c)=d，f(d)=a，則f為集合S到S的一個雙射。記f1=f，f2=f?f，f3=f2?f，f4=f3?f，f0=Is，5-5阿貝爾群循環群置換群(c)設G={所有n階可逆方陣}，“?”是G上的矩陣乘法運(c)設G={所有n階可逆方陣}，“?”是G上的矩陣乘法運算則是一個群，但它不是阿貝爾群。例2S={a,b,c,d}，f：SS，其中f(a)=b，f(b)=c，f(c)=d，f(d)=a，則f為集合S到S的一個雙射。記f1=f，f2=f?f，f3=f2?f，f4=f3?f，f0=Is，則為阿貝爾群。其運算表為：f0f1f2f3f0f0f1f2f3f1f1f2f3f0f2f2f3f0f1f3f3f0f1f25-5阿貝爾群循環群置換群(c)設G={所有n階可逆方陣}，“?”是G上的矩陣乘法運例3

設是一個獨異點，并且對于G中的每一個元素a都有aa=e，則是一個阿貝爾群。證明a∈G，由于aa=e，所以a-1=a，即G中的每一個元素a都有逆元素，故〈G,〉是一個群。又a、b∈G，ab=a-1b-1=(ba)-1=ba，所以〈G,〉是一個阿貝爾群。5-5阿貝爾群循環群置換群例3設是一個獨異點，并且對于例4設G={e,a,b,c}，為G上的二元運算，它由下表給出。是4階循環群。定義5-5.2

設

是群，若G中存在元素a，使得G中每個元素都由a的冪組成，則稱為循環群(CyclicGroups)，元素a稱為該循環群的生成元。二、循環群(CyclicGroups)eabceeabcaabcebbceacceab生成元為a,c。循環群的生成元不是唯一的。5-5阿貝爾群循環群置換群例4設G={e,a,b,c}，為G上的二元運算，它由下表5-5阿貝爾群、循環群和置換群答是循環群，生成元是1和-1。例5是否是循環群？若是，指出其生成元。(3)(an)-1=(a-1)n（記為a-n）（n為整數）5-5阿貝爾群、循環群和置換群答5-5阿貝爾群、循環群和置換群例6

(1)令A={2i|i∈Z}，那么〈A,·〉(·為普通的數乘)是循環群，2是生成元(2-1也是生成元)。(2)〈Z8,+8〉為循環群，(3)Klein四元群不是循環群。1,7是生成元。eabceeabcaaecbbbceaccbae5-5阿貝爾群、循環群和置換群例6(1)令A={2i|i例5設“?”為矩陣乘法。(1)是否為群？(2)是否為循環群？若是，指出其生成元。所以運算?在A上封閉。解

因為m、n∈Z，因為，所以是幺元。5-5阿貝爾群循環群置換群例5設“?”為矩陣乘法。(1)是否為n∈Z，所以是的逆元。矩陣乘法是可結合的。故是群。n∈Z，因為所以是生成元，故是循環群。5-5阿貝爾群循環群置換群n∈Z，所以是定理5-5.2

循環群必定是阿貝爾群。證明設是循環群，a為生成元，對于任意的x、y∈G，必有s、t∈Z，使得x=as，y=at，所以xy=asat=as+t=at+s=atas=yx故為阿貝爾群。5-5阿貝爾群循環群置換群定理5-5.2循環群必定是阿貝爾群。證明設練習：設表示在平面上幾何圖形繞形心順時針旋轉角度的六種可能，設☆是R上的二元運算，a☆b表示平面圖連續旋轉a和b得到的總旋轉角度，并規定旋轉360表示回到原來狀態。列出R上☆的運算表，并證明<R,☆>是循環群。5-5阿貝爾群循環群置換群練習：設表示在平面上幾何圖形繞形心順時針旋轉角度的六種可能，5-5阿貝爾群循環群置換群幺元是0,60和300是其生成元5-5阿貝爾群循環群置換群幺元是0,60和300定理5-5.3

設是由a生成的循環群，若|G|=n，則其中，e是中的幺元，n是使an=e的最小正整數，稱n為元素a的階。（注意：群的階和元素的階）(1)an=e；(2)G={a,a2,a3,…,an-1,an}證明

首先證明m∈Z+，m<n，都有am≠e。假設m∈Z+，m<n，使得am=e。因為G是循環群，所以G中的元素都能寫成ak的形式，k∈Z。而k∈Z，有k=mq+r(0≤r<m)，從而ak=amq+r=amqar=ar.5-5阿貝爾群循環群置換群定理5-5.3設是由a生成的循環群，若這樣G中至多有m個不同的元素，與|G|=n矛盾。所以am≠e(m∈Z+，m<n)。下面證明a、a2、…、an互不相同。若不然，存在i、j∈Z，1≤i<j≤n，使得ai=aj,則有aj-i=e，由于1≤j-i＜n，這是不可能的，所以a、a2、…

、an

互不相同。因此G={a，a2，…，an-1，an}，并且an=e。證畢。該定理表明，對有限循環群，其生成元的階必定等于該群的階,生成元用冪生成群中元素，一個不落下，也不會重復，最后生成幺元。5-5阿貝爾群循環群置換群這樣G中至多有m個不同的元素，與|G|=n矛盾。該定理表明，5-5阿貝爾群循環群置換群0是1階元60是6階元120是3階元180是2階元240是3階元300是6階元生成元是300和605-5阿貝爾群循環群置換群0是1階元5-5阿貝爾群、循環群和置換群例7設〈G，〉為無限循環群且G=〈a〉，則G只有兩個生成元a和a-1。證明

首先證明a-1是其生成元。因為〈a-1〉G，須證G〈a-1〉。設ak∈G，因為ak=(a-1)-k，ak∈〈a-1〉，從而G=〈a-1〉。再證明G只有兩個生成元a和a-1。假設b是G的生成元，則G=〈b〉，由a∈G可知存在整數s，使得a=bs，又由b∈G可知，存在整數t，使得b=at，有a=bs=(at)s=ats，5-5阿貝爾群、循環群和置換群例7設〈G，〉為無限循環5-5阿貝爾群、循環群和置換群由消去律得ats-1=e。因為〈G，〉為無限循環群，所以ts-1=0，從而有t=s=1或t=s=-1。因此b