第十三章計數原理與概率第一節分類加法計數原理與分步乘法計數原理第十三章計數原理與概率備考方向明確知識鏈條完善高頻考點突破備考方向明確知識鏈條完善高頻考點突破備考方向明確復習目標學法指導1.理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理.2.能正確區分“類”和“步”,并能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題.運用計數原理解決問題時,要明確完成一件事情可以有不同類的方法還是需要分幾步才能完成,并且要準確確定出每一類或每一步的方法數;對于復雜問題可同時應用兩個原理.備考方向明確復習目標學法指導1.理解分類加法計數原理和分步乘知識鏈條完善網絡構建一、分類加法計數原理完成一件事有n類不同的方案,在第一類方案中有m1種不同的方法,在第二類方案中有m2種不同的方法,……,在第n類方案中有mn種不同的方法,則完成這件事共有N=

種不同的方法.二、分步乘法計數原理完成一件事需要分成n個不同的步驟,完成第一步有m1種不同的方法,完成第二步有m2種不同的方法,……,完成第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=

種不同的方法.m1+m2+…+mnm1×m2×…×mn知識鏈條完善網絡構建一、分類加法計數原理m1+m2+…+mn拓展空間概念的理解(1)分類加法計數原理與分類有關,各種方法相互獨立,用其中的任一種方法都可以完成這件事;分步乘法計數原理與分步有關,各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了,這件事才算完成.(2)有些較復雜的問題往往不是單純的“分類”或“分步”可以解決的,而要將“分類”和“分步”結合起來運用.(3)兩個原理的地位有差別,分類計數更具有一般性,故通常是先“分類”,然后再在每一類中“分步”,分類時標準要明確,做到不重不漏,適當畫出示意圖或樹形圖,使問題的分析更直觀、清楚.拓展空間溫故知新C1.為便民惠民,某通信運營商推出“優惠卡活動”.其內容如下:卡號的前七位是固定的,后四位從“0000”到“9999”共10000個號碼參與該活動,凡卡號后四位帶有“6”或“8”的一律作為“優惠卡”,則“優惠卡”的個數是(

)(A)1980 (B)4096 (C)5904 (D)8020解析:卡號后四位不帶“6”和“8”的個數為84=4096,故帶有“6”或“8”的“優惠卡”有5904個.故選C.溫故知新C1.為便民惠民,某通信運營商推出“優惠卡活動”.其2.將一個四面體ABCD的六條棱上涂上紅、黃、白三種顏色,要求共端點的棱不能涂相同顏色,則不同的涂色方案有(

)(A)1種 (B)3種 (C)6種 (D)9種C2.將一個四面體ABCD的六條棱上涂上紅、黃、白三種顏色,要D3.5位同學報名參加兩個課外活動小組,每位同學限報其中的一個小組,則不同的報名方法共有(

)(A)10種 (B)20種 (C)25種 (D)32種解析:因為規定每個同學必須報名,則每人只有2個選擇.報名方法有2×2×2×2×2=32種.故選D.D3.5位同學報名參加兩個課外活動小組,每位同學限報其中的一4.所有兩位數中,個位數字比十位數字大的兩位數共有(

)(A)45個 (B)36個 (C)30個 (D)50個5.三個人踢毽子,互相傳遞,每人每次只能踢一下.由甲開始踢,經過3次傳遞后,毽子又被踢回給甲.則不同的傳遞方式共有(

)(A)5種 (B)2種 (C)3種 (D)4種BB4.所有兩位數中,個位數字比十位數字大的兩位數共有()解析:根據分步乘法計數原理獲得冠軍的可能性有6×6×6=216種.6.6名同學爭奪3項冠軍,獲得冠軍的可能性有

種.

答案:216解析:根據分步乘法計數原理獲得冠軍的可能性有6×6×6=21解析:第1步,1=1+0,1=0+1,共2種組合方式;第2步,9=0+9,9=1+8,9=2+7,9=3+6,…,9=9+0,共10種組合方式;第3步,4=0+4,4=1+3,4=2+2,4=3+1,4=4+0,共5種組合方式;第4步,2=0+2,2=1+1,2=2+0,共3種組合方式.根據分步乘法計數原理,值為1942的“簡單的”有序對的個數是2×10×5×3=300.7.若m,n均為非負整數,在做m+n的加法時各位均不進位(例如:134+3802=3936),則稱(m,n)為“簡單的”有序對,而m+n稱為有序對(m,n)的值,那么值為1942的“簡單的”有序對的個數是

.

答案:300解析:第1步,1=1+0,1=0+1,共2種組合方式;7.若高頻考點突破考點一分類加法計數原理的應用如圖,一條電路從A處到B處接通時,可有

條不同的線路.

解析:根據圖形可知,電路從A處到B處接通時可以有3+1+2×2=8條不同的線路.答案:8[例1]高頻考點突破考點一分類加法計數原理的應用如圖,反思歸納運用分類加法計數原理的關鍵是分類標準恰當;分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類,且只能屬于某一類(即標準明確,不重不漏).反思歸納運用分類加法計數原理的關鍵是分類標準恰當;分類遷移訓練1.某校高三年級5個班進行拔河比賽,每2個班都要比賽一場.到現在為止,(1)班已經比了4場,(2)班已經比了3場,(3)班已經比了2場,(4)班已經比了1場,則(5)班已經比了(

)(A)1場 (B)2場 (C)3場 (D)4場解析:設①②③④⑤分別代表(1)(2)(3)(4)(5)班,①比了4場,則①和②③④⑤均比了1場;由于④只比了1場,則一定是和①比的;②比了3場,是和①③⑤比的;③比了2場,是和①②比的.所以此時⑤比了2場,是和①②比的.5個班的比賽情況可以用如圖表示.故選B.B遷移訓練1.某校高三年級5個班進行拔河比賽,每2個班都要比賽2.滿足a,b∈{-1,0,1,2},且關于x的方程ax2+2x+b=0有實數解的有序數對(a,b)的個數為(

)(A)14 (B)13 (C)12 (D)10解析:當a=0時,b=-1,0,1,2,有4種可能.當a≠0時,則Δ=4-4ab≥0,ab≤1,(ⅰ)若a=-1時,b=-1,0,1,2有4種可能;(ⅱ)若a=1時,b=-1,0,1有3種可能;(ⅲ)若a=2時,b=-1,0,有2種可能.所以有序數對(a,b)共有4+4+3+2=13個.故選B.B2.滿足a,b∈{-1,0,1,2},且關于x的方程ax2+考點二分步乘法計數原理的應用[例2]

有六名同學報名參加三個智力競賽項目,在下列情況下各有多少種不同的報名方法?(不一定六名同學都能參加)(1)每人恰好參加一項,每項人數不限;解:(1)每人都可以從這三個比賽項目中選報一項,各有3種不同選法,由分步乘法計數原理,知共有報名方法36=729(種).考點二分步乘法計數原理的應用[例2]有六名同學報名參加三(2)每項限報一人,且每人至多參加一項;(3)每項限報一人,但每人參加的項目不限.解:(2)每項限報一人,且每人至多參加一項,因此可由項目選人,第一個項目有6種選法,第二個項目有5種選法,第三個項目只有4種選法,由分步乘法計數原理,得共有報名方法6×5×4=120(種).(3)由于每人參加的項目不限,因此每一個項目都可以從這六人中選出一人參賽,由分步乘法計數原理,得共有不同的報名方法63=216(種).(2)每項限報一人,且每人至多參加一項;解:(2)每項限報一反思歸納利用分步乘法計數原理解決問題(1)要按事件發生的過程合理分步,即分步是有先后順序的;(2)分步要做到“步驟完整”,即只有完成了所有步驟,才完成任務;(3)對完成各步的方法數要準確確定.反思歸納利用分步乘法計數原理解決問題遷移訓練已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)(a,b∈M)表示平面上的點,則:(1)P可表示平面上

個不同的點.

(2)P可表示平面上

個第二象限的點.

解析:(1)因為P(a,b)(a,b∈M),所以a,b都有6種不同的取法,根據分步乘法計數原理得這樣的點有6×6=36種.(2)當a<0,b>0時,點(a,b)就在第二象限,此時a有3種不同取法,b有2種不同的取法,所以共有3×2=6種.答案:36

6遷移訓練已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a考點三兩個計數原理的綜合應用[例3]

用0,1,2,3,4,5,6這7個數字可以組成

個無重復數字的四位偶數.(用數字作答)

思路點撥:按首位數字的奇偶性分類,在每一類中根據特殊位置(末位)優先原則進行分步.解析:當首位數字為奇數時,首位取法有3種,末位取法有4種,百位取法有5種,十位取法有4種,根據分步乘法計數原理,有3×4×5×4=240種取法,當首位數字為偶數時,首位取法有3種,末位取法有3種,百位取法有5種,十位取法有4種,根據分步乘法計數原理,有3×3×5×4=180種取法,根據分類加法計數原理,共可組成240+180=420個無重復數字的四位偶數.答案:420考點三兩個計數原理的綜合應用[例3]用0,1,2,3,4反思歸納

(1)應用兩個計數原理的難點在于明確分類還是分步.(2)分類要做到“不重不漏”,正確把握分類標準是關鍵.(3)分步要做到“步驟完整”,步步相連才能將事件完成.(4)較復雜的問題可借助圖表完成.反思歸納(1)應用兩個計數原理的難點在于明確分類還是分步[例4]

用n種不同顏色為下列兩塊廣告牌著色(如圖(1)、圖(2)),要求在A,B,C,D四個區域中相鄰(有公共邊的)區域不用同一種顏色.[例4]用n種不同顏色為下列兩塊廣告牌著色(如圖(1)、圖(1)若n=6,為圖(1)著色時共有多少種不同的方法?解:(1)為A著色有6種方法,為B著色有5種方法,為C著色有4種方法,為D著色也有4種方法,所以,共有著色方法6×5×4×4=480(種).(1)若n=6,為圖(1)著色時共有多少種不同的方法?解:((2)若為圖(2)著色時共有120種不同的方法,求n.解:(2)圖(2)與圖(1)的區別在于與D相鄰的區域由2塊變成了3塊,同理,不同的著色方法種數是n(n-1)(n-2)(n-3).因為n(n-1)(n-2)(n-3)=120,又120<480,所以可分別將n=4,5代入得n=5時上式成立.所以n=5.(2)若為圖(2)著色時共有120種不同的方法,求n.解:(反思歸納涂色問題的實質是分類與分步的綜合運用,一般是整體分步,分步過程中若出現某一步需要分情況說明時,還要進行分類.反思歸納涂色問題的實質是分類與分步的綜合運用,一般是整體第十三章計數原理與概率第一節分類加法計數原理與分步乘法計數原理第十三章計數原理與概率備考方向明確知識鏈條完善高頻考點突破備考方向明確知識鏈條完善高頻考點突破備考方向明確復習目標學法指導1.理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理.2.能正確區分“類”和“步”,并能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題.運用計數原理解決問題時,要明確完成一件事情可以有不同類的方法還是需要分幾步才能完成,并且要準確確定出每一類或每一步的方法數;對于復雜問題可同時應用兩個原理.備考方向明確復習目標學法指導1.理解分類加法計數原理和分步乘知識鏈條完善網絡構建一、分類加法計數原理完成一件事有n類不同的方案,在第一類方案中有m1種不同的方法,在第二類方案中有m2種不同的方法,……,在第n類方案中有mn種不同的方法,則完成這件事共有N=

種不同的方法.二、分步乘法計數原理完成一件事需要分成n個不同的步驟,完成第一步有m1種不同的方法,完成第二步有m2種不同的方法,……,完成第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=

種不同的方法.m1+m2+…+mnm1×m2×…×mn知識鏈條完善網絡構建一、分類加法計數原理m1+m2+…+mn拓展空間概念的理解(1)分類加法計數原理與分類有關,各種方法相互獨立,用其中的任一種方法都可以完成這件事;分步乘法計數原理與分步有關,各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了,這件事才算完成.(2)有些較復雜的問題往往不是單純的“分類”或“分步”可以解決的,而要將“分類”和“分步”結合起來運用.(3)兩個原理的地位有差別,分類計數更具有一般性,故通常是先“分類”,然后再在每一類中“分步”,分類時標準要明確,做到不重不漏,適當畫出示意圖或樹形圖,使問題的分析更直觀、清楚.拓展空間溫故知新C1.為便民惠民,某通信運營商推出“優惠卡活動”.其內容如下:卡號的前七位是固定的,后四位從“0000”到“9999”共10000個號碼參與該活動,凡卡號后四位帶有“6”或“8”的一律作為“優惠卡”,則“優惠卡”的個數是(

)(A)1980 (B)4096 (C)5904 (D)8020解析:卡號后四位不帶“6”和“8”的個數為84=4096,故帶有“6”或“8”的“優惠卡”有5904個.故選C.溫故知新C1.為便民惠民,某通信運營商推出“優惠卡活動”.其2.將一個四面體ABCD的六條棱上涂上紅、黃、白三種顏色,要求共端點的棱不能涂相同顏色,則不同的涂色方案有(

)(A)1種 (B)3種 (C)6種 (D)9種C2.將一個四面體ABCD的六條棱上涂上紅、黃、白三種顏色,要D3.5位同學報名參加兩個課外活動小組,每位同學限報其中的一個小組,則不同的報名方法共有(

)(A)10種 (B)20種 (C)25種 (D)32種解析:因為規定每個同學必須報名,則每人只有2個選擇.報名方法有2×2×2×2×2=32種.故選D.D3.5位同學報名參加兩個課外活動小組,每位同學限報其中的一4.所有兩位數中,個位數字比十位數字大的兩位數共有(

)(A)45個 (B)36個 (C)30個 (D)50個5.三個人踢毽子,互相傳遞,每人每次只能踢一下.由甲開始踢,經過3次傳遞后,毽子又被踢回給甲.則不同的傳遞方式共有(

)(A)5種 (B)2種 (C)3種 (D)4種BB4.所有兩位數中,個位數字比十位數字大的兩位數共有()解析:根據分步乘法計數原理獲得冠軍的可能性有6×6×6=216種.6.6名同學爭奪3項冠軍,獲得冠軍的可能性有

種.

答案:216解析:根據分步乘法計數原理獲得冠軍的可能性有6×6×6=21解析:第1步,1=1+0,1=0+1,共2種組合方式;第2步,9=0+9,9=1+8,9=2+7,9=3+6,…,9=9+0,共10種組合方式;第3步,4=0+4,4=1+3,4=2+2,4=3+1,4=4+0,共5種組合方式;第4步,2=0+2,2=1+1,2=2+0,共3種組合方式.根據分步乘法計數原理,值為1942的“簡單的”有序對的個數是2×10×5×3=300.7.若m,n均為非負整數,在做m+n的加法時各位均不進位(例如:134+3802=3936),則稱(m,n)為“簡單的”有序對,而m+n稱為有序對(m,n)的值,那么值為1942的“簡單的”有序對的個數是

.

答案:300解析:第1步,1=1+0,1=0+1,共2種組合方式;7.若高頻考點突破考點一分類加法計數原理的應用如圖,一條電路從A處到B處接通時,可有

條不同的線路.

解析:根據圖形可知,電路從A處到B處接通時可以有3+1+2×2=8條不同的線路.答案:8[例1]高頻考點突破考點一分類加法計數原理的應用如圖,反思歸納運用分類加法計數原理的關鍵是分類標準恰當;分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類,且只能屬于某一類(即標準明確,不重不漏).反思歸納運用分類加法計數原理的關鍵是分類標準恰當;分類遷移訓練1.某校高三年級5個班進行拔河比賽,每2個班都要比賽一場.到現在為止,(1)班已經比了4場,(2)班已經比了3場,(3)班已經比了2場,(4)班已經比了1場,則(5)班已經比了(

)(A)1場 (B)2場 (C)3場 (D)4場解析:設①②③④⑤分別代表(1)(2)(3)(4)(5)班,①比了4場,則①和②③④⑤均比了1場;由于④只比了1場,則一定是和①比的;②比了3場,是和①③⑤比的;③比了2場,是和①②比的.所以此時⑤比了2場,是和①②比的.5個班的比賽情況可以用如圖表示.故選B.B遷移訓練1.某校高三年級5個班進行拔河比賽,每2個班都要比賽2.滿足a,b∈{-1,0,1,2},且關于x的方程ax2+2x+b=0有實數解的有序數對(a,b)的個數為(

)(A)14 (B)13 (C)12 (D)10解析:當a=0時,b=-1,0,1,2,有4種可能.當a≠0時,則Δ=4-4ab≥0,ab≤1,(ⅰ)若a=-1時,b=-1,0,1,2有4種可能;(ⅱ)若a=1時,b=-1,0,1有3種可能;(ⅲ)若a=2時,b=-1,0,有2種可能.所以有序數對(a,b)共有4+4+3+2=13個.故選B.B2.滿足a,b∈{-1,0,1,2},且關于x的方程ax2+考點二分步乘法計數原理的應用[例2]

有六名同學報名參加三個智力競賽項目,在下列情況下各有多少種不同的報名方法?(不一定六名同學都能參加)(1)每人恰好參加一項,每項人數不限;解:(1)每人都可以從這三個比賽項目中選報一項,各有3種不同選法,由分步乘法計數原理,知共有報名方法36=729(種).考點二分步乘法計數原理的應用[例2]有六名同學報名參加三(2)每項限報一人,且每人至多參加一項;(3)每項限報一人,但每人參加的項目不限.解:(2)每項限報一人,且每人至多參加一項,因此可由項目選人,第一個項目有6種選法,第二個項目有5種選法,第三個項目只有4種選法,由分步乘法計數原理,得共有報名方法6×5×4=120(種).(3)由于每人參加的項目不限,因此每一個項目都可以從這六人中選出一人參賽,由分步乘法計數原理,得共有不同的報名方法63=216(種).(2)每項限報一人,且每人至多參加一項;解:(2)每項限報一反思歸納利用分步乘法計數原理解決問題(1)要按事件發生的過程合理分步,即分步是有先后順序的;(2)分步要做到“步驟完整”,即只有完成了所有步驟,才完成任務;(3)對完成各步的方法數要準確確定.反思歸納利用分步乘法計數原理解決問題遷移訓練已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)(a,b∈M)表示平面上的點,則:(1)P可表示平面上

個不同的點.

(2)P可表示平面上

個第二象限的點.

解析:(1)因為P(a,b)(a,b∈M),所以a,b都有6種不同的取法,根據分步乘法計數原理得這樣的點有6×6=36種.(2)當a<0,b>0時,點(a,b)就在第二象限,此時a有3種不同取法,b有2種不同的取法,所以共有3×2=6種.答案:36

6遷移訓練已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a考點三兩個計數原理的綜合應用[例3]

用0,1,2,3,4,5,6這7個數字可以組成

個無重復數字的四位偶數.(用數字作答)

思路點撥:按首位數