數學高考總復習PAGEPAGE10學好數理化，走遍天下都不怕§9.4雙曲線及其性質探考情悟真題【考情探究】考點內容解讀5年考情預測熱度考題示例考向關聯考點雙曲線的定義及標準方程了解雙曲線的定義、幾何性質和標準方程,知道它的簡單幾何性質2019課標全國Ⅲ,10,5分雙曲線的定義及雙曲線的標準方程—★★★2018課標全國Ⅱ,6,5分雙曲線的漸近線方程—雙曲線的幾何性質2019課標全國Ⅱ,12,5分雙曲線的離心率圓的性質直線與雙曲線的位置關系2019課標全國Ⅰ,10,5分雙曲線的離心率同角三角函數的基本關系式分析解讀從近幾年的高考題來看,雙曲線的定義、標準方程、幾何性質一直是高考命題的重點和熱點,離心率問題是每年高考考查的重點,多在選擇題和填空題中出現,難度不大,屬中檔題目,靈活運用雙曲線的定義和幾何性質是解決雙曲線問題的關鍵.主要考查學生分析問題、解決問題的能力以及對數形結合思想和轉化與化歸思想的應用.破考點練考向【考點集訓】考點一雙曲線的定義及標準方程1.(2019安徽合肥一模,3)設雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的虛軸長為4,一條漸近線為y=12A.x216-y24=1 B.C.x264-y216=1 D.x答案A2.(2019四川成都外國語學校二診,8)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線與直線x=0的夾角為30°,若以雙曲線C的實軸和虛軸為對角線的四邊形的面積為83,A.x24-y212=1 B.C.x212-y24=1 D.答案A3.已知點P在曲線C1:x216-y29=1上,點Q在曲線C2:(x-5)2+y2=1上,點R在曲線C3:(x+5)2+y2=1上,則|PQ|-|PR|A.6 B.8 C.10 D.12答案C考點二雙曲線的幾何性質1.(2019福建泉州五中月考,6)已知雙曲線的方程為x24-y29=1,A.虛軸長為4 B.焦距為25C.離心率為133 D.漸近線方程為答案D2.(2019課標全國Ⅱ,12,5分)設F為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點,O為坐標原點,以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P,Q兩點.若|PQ|=|OF|,A.2 B.3 C.2 D.5答案A3.(2019河南鶴壁高中4月模擬,5)設F1,F2是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,P是雙曲線C右支上一點,若|PF1|+|PF2|=4a,且∠F1PF2=60°,A.3x±y=0 B.2x±7y=0C.3x±2y=0 D.2x±3y=0答案C考點三直線與雙曲線的位置關系1.(2019河北石家莊一模,14)已知雙曲線C:x2-4y2=1,過點P(2,0)的直線l與C有唯一公共點,則直線l的方程為.

答案y=±122.若雙曲線E:x2a2-y2=1(a>0)的離心率為2,直線y=kx-1與雙曲線E的右支交于(1)求k的取值范圍;(2)若|AB|=63,求k的值.答案(1)由ca=故雙曲線方程為x2-y2=1.設A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx-1,x∵直線與雙曲線右支交于A,B兩點,∴1-k2≠(2)由①得x1+x2=2kk2-1,x1∴|AB|=1+k2·(x1+x2整理得28k4-55k2+25=0,∴k2=57或k2=5又1<k<2,∴k=52煉技法提能力【方法集訓】方法1求雙曲線的標準方程的方法1.(2019福建龍海程溪中學期中,5)若雙曲線的中心為原點,F(-2,0)是雙曲線的焦點,過F的直線l與雙曲線交于M,N兩點,且MN的中點為P(1,3),則雙曲線的方程為()A.x23-y2=1 B.y2-C.y23-x2=1 D.x2-答案D2.(2019廣東湛江一模,11)設F為雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a,b>0)的右焦點,過E的右頂點作x軸的垂線與E的漸近線相交于A,B兩點,O為坐標原點,四邊形OAFB為菱形,圓x2+y2=c2(c2=a2+b2)與E在第一象限的交點是P,且|PF|=7-1,A.x26-y22=1 B.C.x23-y2=1 D.x2-答案D3.設動圓C與兩圓C1:(x+5)2+y2=4,C2:(x-5)2+y2=4中的一個內切,另一個外切,則動圓圓心C的軌跡方程為.

答案x24-y方法2求雙曲線的離心率(或其取值范圍)的方法1.(2017課標全國Ⅱ,5,5分)若a>1,則雙曲線x2a2-y2=1的離心率的取值范圍是A.(2,+∞) B.(2,2) C.(1,2) D.(1,2)答案C2.(2019天津,6,5分)已知拋物線y2=4x的焦點為F,準線為l.若l與雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于點A和點B,且|AB|=4|OF|(OA.2 B.3 C.2 D.5答案D3.(2019湖南湖北八市十二校第一次調研,8)設雙曲線x2a2-y2b2=1(0<b<a)的半焦距為c,(a,0),(0,b)為直線l上的兩點,已知原點到直線l的距離為A.233 B.3C.2或233 答案A4.(2019廣西柳州一模,11)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點為F1、F2,雙曲線上的點P滿足4|PF1+PF2|A.1,32 B.32,+∞答案C【五年高考】A組統一命題·課標卷題組考點一雙曲線的定義及標準方程1.(2019課標全國Ⅲ,10,5分)已知F是雙曲線C:x24-y25=1的一個焦點,點P在C上,O為坐標原點.若|OP|=|OF|,則△OPFA.32 B.52 C.72 答案B2.(2015課標Ⅰ,16,5分)已知F是雙曲線C:x2-y28=1的右焦點,P是C的左支上一點,A(0,66).當△APF周長最小時,該三角形的面積為答案1263.(2015課標Ⅱ,15,5分)已知雙曲線過點(4,3),且漸近線方程為y=±12x,則該雙曲線的標準方程為答案x24-y考點二雙曲線的幾何性質1.(2018課標全國Ⅱ,6,5分)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為A.y=±2x B.y=±3x C.y=±22x D.y=±3答案A2.(2018課標全國Ⅲ,10,5分)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,則點(4,0)A.2 B.2 C.322 答案D3.(2017課標全國Ⅰ,5,5分)已知F是雙曲線C:x2-y23=1的右焦點,P是C上一點,且PF與x軸垂直,點A的坐標是(1,3),則△APF的面積為(A.13 B.12 C.23 答案D4.(2019課標全國Ⅰ,10,5分)雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線的傾斜角為130°,A.2sin40° B.2cos40° C.1sin50° 答案D5.(2017課標全國Ⅲ,14,5分)雙曲線x2a2-y29=1(a>0)的一條漸近線方程為y=3答案5B組自主命題·省(區、市)卷題組考點一雙曲線的定義及標準方程1.(2017天津,5,5分)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F,點A在雙曲線的漸近線上,△OAF是邊長為2的等邊三角形(OA.x24-y212=1 B.C.x23-y2=1 D.x2-答案D2.(2016北京,12,5分)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線為2x+y=0,一個焦點為(5,0),答案1;23.(2016浙江,13,4分)設雙曲線x2-y23=1的左、右焦點分別為F1,F2.若點P在雙曲線上,且△F1PF2為銳角三角形,則|PF1|+|PF2|的取值范圍是答案(27,8)考點二雙曲線的幾何性質1.(2019浙江,2,4分)漸近線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是()A.22 B.1 C.2 答案C2.(2019北京,5,5分)已知雙曲線x2a2-y2=1(a>0)的離心率是5,則A.6 B.4 C.2 D.1答案D3.(2018浙江,2,4分)雙曲線x23-y2=1的焦點坐標是(A.(-2,0),(2,0) B.(-2,0),(2,0) C.(0,-2),(0,2) D.(0,-2),(0,2)答案BC組教師專用題組考點一雙曲線的定義及標準方程1.(2016天津,4,5分)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距為25,且雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0A.x24-y2=1 B.x2-y24=1 C.3x220-3答案A2.(2015天津,5,5分)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一個焦點為F(2,0),且雙曲線的漸近線與圓(x-2)2+y2=3A.x29-y213=1 B.x213-y29=1 C.x23答案D3.(2010全國Ⅰ,8,5分)已知F1、F2為雙曲線C:x2-y2=1的左、右焦點,點P在C上,∠F1PF2=60°,則|PF1|·|PF2|=()A.2 B.4 C.6 D.8答案B考點二雙曲線的幾何性質1.(2015四川,7,5分)過雙曲線x2-y23=1的右焦點且與x軸垂直的直線,交該雙曲線的兩條漸近線于A,B兩點,則|AB|=(A.433 B.23 C.6 答案D2.(2015安徽,6,5分)下列雙曲線中,漸近線方程為y=±2x的是()A.x2-y24=1 B.x24-y2=1 C.x2-y22=1 答案A3.(2015重慶,9,5分)設雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點是F,左、右頂點分別是A1,A2,過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B,C兩點.若A1B⊥AA.±12 B.±22 C.±1 答案C4.(2014大綱全國,11,5分)雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,焦點到漸近線的距離為3,A.2 B.22 C.4 D.42答案C5.(2013課標Ⅰ,4,5分)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為52A.y=±14x By=±1C.y=±12x D.y答案C6.(2015湖北,9,5分)將離心率為e1的雙曲線C1的實半軸長a和虛半軸長b(a≠b)同時增加m(m>0)個單位長度,得到離心率為e2的雙曲線C2,則()A.對任意的a,b,e1<e2B.當a>b時,e1<e2;當a<b時,e1>e2C.對任意的a,b,e1>e2D.當a>b時,e1>e2;當a<b時,e1<e2答案B7.(2016山東,14,5分)已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四個頂點在E上,AB,CD的中點為E的兩個焦點,且答案28.(2018北京,12,5分)若雙曲線x2a2-y24=1(a>0)的離心率為5答案49.(2016江蘇,3,5分)在平面直角坐標系xOy中,雙曲線x27-y23答案21010.(2015北京,12,5分)已知(2,0)是雙曲線x2-y2b2=1(b>0)的一個焦點,則答案311.(2015山東,15,5分)過雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點作一條與其漸近線平行的直線,交C于點P.若點P的橫坐標為答案2+312.(2014浙江,17,4分)設直線x-3y+m=0(m≠0)與雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于點A,B,若點答案5考點三直線與雙曲線的位置關系(2014湖北,8,5分)設a,b是關于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的兩個不等實根,則過A(a,a2),B(b,b2)兩點的直線與雙曲線x2cos2θ-yA.0 B.1 C.2 D.3答案A【三年模擬】時間:60分鐘分值:80分一、選擇題(每小題5分,共55分)1.(多選題)(命題標準樣題,9)下面四個命題中,假命題是()A.要唯一確定拋物線,只需給出準線和拋物線上的一點B.要唯一確定以坐標原點為中心的橢圓,只需給出一個焦點和橢圓上的一點C.要唯一確定以坐標原點為中心的雙曲線,只需給出雙曲線上的兩點D.要唯一確定以坐標原點為中心的雙曲線,只需給出一條漸近線方程和離心率答案ACD2.(2020屆河南十所名校第一次聯考,9)已知雙曲線E:x23-y2=1,F為E的左焦點,P,Q為雙曲線E右支上的兩點,若線段PQ經過點(2,0),△PQF的周長為83,則線段PQ的長為(A.2 B.23 C.4 D.43答案B3.(2020屆四川天府名校10月聯考,11)若雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線被曲線x2+y2-4x+2=0截得的弦長為2,A.3 B.233 C.5 答案B4.(2019寧夏石嘴山三中一模,10)已知F1,F2分別為雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦點.過右焦點F2的直線l:x+y=c在第一象限內與雙曲線E的漸近線交于點P,與y軸正半軸交于點Q,且點P為QF2的中點,△QF1F2的面積為4,A.x22-y2=1B.x22-y22=1 C.x24-y答案B5.(2020屆四川南部中學摸底,11)已知直線l1與雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)交于A,B兩點,且AB的中點M的橫坐標為b,過點M且與l1垂直的直線l2過雙曲線CA.5+12 B.5+12 C.3答案A6.(2020屆河南天一第二次大聯考,9)已知點P為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右支上一點,點F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點,點I是△PF1F2的內心,若S△IPF1A.(1,2)B.(1,22) C.(1,22]D.(1,2]答案D7.(2018廣東廣州調研,11)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,左、右頂點分別為A,B,點P是雙曲線上異于A,B的點,直線PA,PB的斜率分別為kPA,kPB,則kPAA.1 B.22 C.36 答案A8.(2019湖北模擬,11)設F1(-c,0),F2(c,0)是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦點,點P是C右支上異于頂點的任意一點,PQ是∠F1PF2的平分線,過點F1作PQ的垂線,垂足為Q,OA.為定值aB.為定值bC.為定值cD.不確定,隨P點位置變化而變化答案A9.(2020屆安徽六校第一次聯考,12)如圖,F1、F2是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,過F2的直線與雙曲線C交于A,B兩點.若|AB|∶|BF1|∶