導數題型歸納及解析請同學們高度重視：首先，關于二次不等式恒成立的主要解法：1、別離變量；

2、變更主元；

3、根分布；

4、判別式法5、二次函數區間最值求法：

〔1〕對稱軸〔重視單調區間〕與定義域的關系

〔2〕端點處和頂點是最值所在其次，分析每種題型的本質，你會發現大局部都在解決“不等式恒成立問題〞以及“充分應用數形結合思想〞，創立不等關系求出取值范圍。最后，同學們在看例題時，請注意尋找關鍵的等價變形和回歸根底〔即教材〕。一、根底題型：

函數的單調區間、極值、最值；不等式恒成立；1、此類問題提倡按以下三個步驟進行解決：第一步：令得到兩個根；第二步：畫兩圖或列表；第三步：由圖表可知；其中不等式恒成立問題的實質是函數的最值問題，2、常見處理方法有三種：第一種：別離變量求最值-

----用別離變量時要特別注意是否需分類討論〔>0,=0,<0〕第二種：變更主元〔即關于某字母的一次函數〕

-----〔誰的范圍就把誰作為主元〕；

〔請同學們參看2021省統測2〕例1：設函數在區間D上的導數為，在區間D上的導數為，假設在區間D上，恒成立，那么稱函數在區間D上為“凸函數〞，實數m是常數，〔1〕假設在區間上為“凸函數〞，求m的取值范圍；〔2〕假設對滿足的任何一個實數，函數在區間上都為“凸函數〞，求的最大值.解:由函數得〔1〕在區間上為“凸函數〞，那么在區間[0,3]上恒成立解法一：從二次函數的區間最值入手：等價于解法二：別離變量法：∵當時,恒成立,當時,恒成立等價于的最大值〔〕恒成立，而〔〕是增函數，那么(2)∵當時在區間上都為“凸函數〞那么等價于當時恒成立變更主元法再等價于在恒成立〔視為關于m的一次函數最值問題〕-22-22例2：設函數〔Ⅰ〕求函數f〔x〕的單調區間和極值；〔Ⅱ〕假設對任意的不等式恒成立，求a的取值范圍.〔二次函數區間最值的例子〕解：〔Ⅰ〕3aa3aaa3aa3a令得的單調遞增區間為〔a,3a〕令得的單調遞減區間為〔－，a〕和〔3a，+〕 ∴當x=a時，極小值=當x=3a時，極大值=b. 〔Ⅱ〕由||≤a，得：對任意的恒成立①那么等價于這個二次函數的對稱軸〔放縮法〕即定義域在對稱軸的右邊，這個二次函數的最值問題：單調增函數的最值問題。上是增函數.〔9分〕∴于是，對任意，不等式①恒成立，等價于又∴點評：重視二次函數區間最值求法：對稱軸〔重視單調區間〕與定義域的關系第三種：構造函數求最值題型特征：恒成立恒成立；從而轉化為第一、二種題型例3；函數圖象上一點處的切線斜率為，〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕當時，求的值域；〔Ⅲ〕當時，不等式恒成立，求實數t的取值范圍。解：〔Ⅰ〕∴，解得〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞減又∴的值域是〔Ⅲ〕令思路1：要使恒成立，只需，即別離變量思路2：二次函數區間最值二、題型一：函數在某個區間上的單調性求參數的范圍解法1：轉化為在給定區間上恒成立，回歸根底題型解法2：利用子區間〔即子集思想〕；首先求出函數的單調增或減區間，然后讓所給區間是求的增或減區間的子集；做題時一定要看清楚“在〔m,n〕上是減函數〞與“函數的單調減區間是〔a,b〕〞，要弄清楚兩句話的區別：前者是后者的子集例4：，函數．〔Ⅰ〕如果函數是偶函數，求的極大值和極小值；〔Ⅱ〕如果函數是上的單調函數，求的取值范圍．解：.〔Ⅰ〕∵是偶函數，∴.此時，，令，解得：.及隨x變化情況的列表如下：(－∞,－2)－2(－2,2)2(2,+∞)+0－0+遞增極大值遞減極小值遞增可知：的極大值為，的極小值為.〔Ⅱ〕∵函數是上的單調函數，∴，在給定區間R上恒成立判別式法那么解得：.綜上，的取值范圍是.例5、函數〔I〕求的單調區間；〔II〕假設在[0，1]上單調遞增，求a的取值范圍。子集思想解析：〔I〕1、當且僅當時取“=〞號，單調遞增。2、a-1-1單調增區間：a-1-1單調增區間：

〔II〕當那么是上述增區間的子集：1、時，單調遞增符合題意2、，綜上，a的取值范圍是[0，1]。三、題型二：根的個數問題題1函數f(x)與g(x)〔或與x軸〕的交點======即方程根的個數問題解題步驟第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖〞〔即解導數不等式〕和“趨勢圖〞即三次函數的大致趨勢“是先增后減再增〞還是“先減后增再減〞；第二步：由趨勢圖結合交點個數或根的個數寫不等式〔組〕；主要看極大值和極小值與0的關系；第三步：解不等式〔組〕即可；例2、函數，，且在區間上為增函數．求實數的取值范圍；假設函數與的圖象有三個不同的交點，求實數的取值范圍．解：〔1〕由題意∵在區間上為增函數，∴在區間上恒成立〔別離變量法〕即恒成立，又，∴，故∴的取值范圍為〔2〕設，令得或由〔1〕知，①當時，，在R上遞增，顯然不合題意…②當時，，隨的變化情況如下表：—↗極大值↘極小值↗由于，欲使與的圖象有三個不同的交點，即方程有三個不同的實根，故需，即∴，解得綜上，所求的取值范圍為根的個數知道，局部根可求或。例3、函數〔1〕假設是的極值點且的圖像過原點，求的極值；〔2〕假設，在〔1〕的條件下，是否存在實數，使得函數的圖像與函數的圖像恒有含的三個不同交點？假設存在，求出實數的取值范圍；否那么說明理由。高1考1資1源2網解：〔1〕∵的圖像過原點，那么，又∵是的極值點，那么-1-1〔2〕設函數的圖像與函數的圖像恒存在含的三個不同交點，等價于有含的三個根，即：整理得：即：恒有含的三個不等實根〔計算難點來了：〕有含的根，那么必可分解為，故用添項配湊法因式分解，十字相乘法分解：恒有含的三個不等實根等價于有兩個不等于-1的不等實根。題2：切線的條數問題====以切點為未知數的方程的根的個數例1、函數在點處取得極小值－4，使其導數的的取值范圍為，求：〔1〕的解析式；〔2〕假設過點可作曲線的三條切線，求實數的取值范圍．〔1〕由題意得：∴在上；在上；在上因此在處取得極小值∴①，②，③由①②③聯立得：，∴ 〔2〕設切點Q，過令，求得：，方程有三個根。需：故：；因此所求實數的范圍為：題3：在給定區間上的極值點個數那么有導函數=0的根的個數解法：根分布或判別式法例1、解：函數的定義域為〔Ⅰ〕當m＝4時，f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(7,2)x2＋10x，＝x2－7x＋10，令，解得或.令，解得可知函數f(x)的單調遞增區間為和〔5，＋∞〕，單調遞減區間為．1〔Ⅱ〕＝x2－(m＋3)x＋m＋6,1要使函數y＝f(x)在〔1，＋∞〕有兩個極值點,＝x2－(m＋3)x＋m＋6=0的根在〔1，＋∞〕根分布問題：那么，解得m＞3例1、函數，〔1〕求的單調區間；〔2〕令＝x4＋f〔x〕〔x∈R〕有且僅有3個極值點，求a的取值范圍．解：〔1〕當時，令解得，令解得，所以的遞增區間為，遞減區間為.當時，同理可得的遞增區間為，遞減區間為.〔2〕有且僅有3個極值點=0有3個根，那么或，方程有兩個非零實根，所以或而當或時可證函數有且僅有3個極值點其它例題：1、〔最值問題與主元變更法的例子〕.定義在上的函數在區間上的最大值是5，最小值是－11.〔Ⅰ〕求函數的解析式；〔Ⅱ〕假設時，恒成立，求實數的取值范圍.解：〔Ⅰ〕令=0,得因為，所以可得下表：0+0-↗極大↘因此必為最大值,∴因此，，即，∴，∴〔Ⅱ〕∵，∴等價于，令，那么問題就是在上恒成立時，求實數的取值范圍，為此只需，即，解得，所以所求實數的取值范圍是[0，1].2、〔根分布與線性規劃例子〕〔1〕函數(Ⅰ)假設函數在時有極值且在函數圖象上的點處的切線與直線平行,求的解析式；(Ⅱ)當在取得極大值且在取得極小值時,設點所在平面區域為S,經過原點的直線L將S分為面積比為1:3的兩局部,求直線L的方程.解：(Ⅰ).由,函數在時有極值,∴∵∴又∵在處的切線與直線平行,∴故∴…….7分(Ⅱ)解法一:由及在取得極大值且在取得極小值,∴即令,那么∴∴故點所在平面區域S為如圖△ABC,易得,,,,,同時DE為△ABC的中位線,∴所求一條直線L的方程為:

另一種情況設不垂直于x軸的直線L也將S分為面積比為1:3的兩局部,設直線L方程為,它與AC,BC分別交于F、G,那么,由得點F的橫坐標為:由得點G的橫坐標為:∴即解得:或(舍去)故這時直線方程為:綜上,所求直線方程為:或.…………….………….12分(Ⅱ)解法二:由及在取得極大值且在取得極小值,∴即令,那么∴∴故點所在平面區域S為如圖△ABC,易得,,,,,同時DE為△ABC的中位線,∴所求一條直線L的方程為:另一種情況由于直線BO方程為:,設直線BO與AC交于H,由得直線L與AC交點為:∵,,∴所求直線方程為:或3、〔根的個數問題〕函數的圖象如下圖。 〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕假設函數的圖象在點處的切線方程為，求函數f(x)的解析式；〔Ⅲ〕假設方程有三個不同的根，求實數a的取值范圍。解：由題知：〔Ⅰ〕由圖可知 函數f(x)的圖像過點(0,3)，且=0 得〔Ⅱ〕依題意 =–3且f(2)=5 解得a=1,b=–6 所以f(x)=x3–6x2+9x+3 〔Ⅲ〕依題意 f(x)=ax3+bx2–(3a+2b)x+3(a＞0) =3ax2+2bx–3a–2b 由=0b=–9a ① 假設方程f(x)=8a有三個不同的根，當且僅當 滿足f(5)＜8a/