七年級上冊（北師大）第三章整式及加減3.5探索與表達規律七年級上冊（北師大）1方法一：第一個正方形用4根，每增加一個正方形增加3根，那么搭x個正方形就需要火柴棒

根。方法二：把每一個正方形都看成是用4根火柴棒搭成的，然后再減多算的根數，得到是

根。還記得用火柴棒搭正方形時，你們是怎么計算火柴棒的根數嗎？復習回顧：[4+3（x-1）]=3x+14x-（x-1）=3x+1方法一：第一個正方形用4根，每增加一個正方形增加3根，那么搭2誰能快速數出跳棋棋盤上一共有多少個棋孔?一圖形中的規律探索情境引入：這個是我們熟悉的跳棋棋盤。分析：六角形棋盤可看作一正一反兩個大等邊三角形重疊而成。誰能快速數出跳棋棋盤上一共有多少個棋孔?一圖形中的規律探索3解：六角形棋盤可看作一正一反兩個大等邊三角形重疊而成，大三角形每邊上有13個棋孔，所以一個大三角形共有棋孔(1+2+3+…+13)=(1+13)×13÷2=91個，剩下三個小三角形（見圖），共有棋孔:(1+2+3+4)×3=10×3=3(個)。所以，跳棋盤上一共有棋孔91+30=121個。解：六角形棋盤可看作一正一反兩個大等邊三角形重疊而成，大三角42（1）按圖（1）方式擺放餐桌和椅子，照這樣的方式繼續排列餐桌，擺4張桌子可坐多少人？擺5張桌子呢？擺n張桌子呢？…圖（1）2（1）按圖（1）方式擺放餐桌和椅子，照這樣的方式繼續排列52按圖（1）方式擺放餐桌和椅子，照這樣的方式繼續排列餐桌，擺4張桌子可坐多少人？擺5張桌子呢？擺n張桌子呢？682n+4141210桌子張數可坐人數12345n……解：（1）2張桌子拼在一起可坐2×2+4=8人，3張桌子拼在一起可坐2×3+4=10人，那么n張桌子拼在一起可坐（4+2n）人；2按圖（1）方式擺放餐桌和椅子，照這樣的方式繼續排列餐桌，62（2）按圖（2）方式擺放餐桌和椅子，照這樣的方式繼續排列餐桌，擺4張桌子可坐多少人？擺5張桌子呢？擺n張桌子呢？圖（2）2（2）按圖（2）方式擺放餐桌和椅子，照這樣的方式繼續排列72（2）按圖（2）方式擺放餐桌和椅子，照這樣的方式繼續排列餐桌，擺4張桌子可坐多少人？擺5張桌子呢？擺n張桌子呢？桌子張數可坐人數12345n…6104n+2221814…解：（1）2張桌子拼在一起可坐4×2+2=8人，3張桌子拼在一起可坐4×3+2=12人，那么n張桌子拼在一起可坐（4+2n）人；2（2）按圖（2）方式擺放餐桌和椅子，照這樣的方式繼續排列8下面是用棋子擺成的“小屋子”。擺第10個這樣的“小屋子”需要多少棋子？擺第個這樣的“小屋子”需要多少棋子？你是如何得到？練一練：下面是用棋子擺成的“小屋子”。擺第10個這樣的“小屋子”需要9該圖的規律可以分兩部分來看：屋頂的點的個數分別是1、1+2、1+2+2、1+2+2+2、…，即第n個小屋子的屋頂點的個數是2n-1；

屋身的點的個數分別是4、8、12、…、即第n個圖形的屋身是4n個所以第n個小屋子共有(2n-1)+4n=6n-1．

故擺n個這樣的“小屋子“需要6n-1枚棋子．圖形的變化，關鍵是通過歸納與總結，得到其中的規律．注意由特殊到一般的分析方法.該圖的規律可以分兩部分來看：屋頂的點的個數分別是1、1+2、10觀察下面的日歷，回答問題。（1）日歷圖的套色方框中的9個數之和與該方框正中間的數有什么關系？9個數的和為中間數的9倍二日歷上規律的探索星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六

12345678910111213141516171819202122232425262728293031

觀察下面的日歷，回答問題。（1）日歷圖的套色方框中的9個數之11（2）這個關系對其他這樣的方框成立嗎？你能用代數式表示這個關系嗎？a+a-1+a+1+a-7+a+7+a-8+a-6+a+6+a+8=9a；解：任意框9個數，設中間的數為a，則左右兩邊數為a-1，a+1，上行鄰數為（a-7），下行鄰數為（a+7），左右上角鄰數為（a-8），（a-6），左右下角鄰數為（a+6），（a+8）之和為:（2）這個關系對其他這樣的方框成立嗎？你能用代數式表示這個關12（3）這個關系對任何一個月的日歷都成立嗎？為什么？這個關系對任何一個月的日歷都成立，理由為任何一個日歷表都具有這種排列規律．（4）你還能發現這樣的方框中9個數之間的其他關系嗎？用代數式表示。解：如圖所示，設方框正中間的數為a，其余各數為a－8，

a－7，

a－6，

a－1，

a＋1，

a＋6，

a＋7，

a＋8．（3）這個關系對任何一個月的日歷都成立嗎？為什么？這個關系對13第二行3個數的和＝(a－1)＋

a＋(a＋1)＝3

a．第二列3個數的和＝(a－7)＋

a＋(a＋7)＝3

a．a角線上3個數的和分別為(a－6)＋

a＋(a＋6)＝3

a，

(a－8)＋

a＋(a＋8)＝3

a由此可以發現：方框“十”字位上的3個數的和，對角線上3個數的和相等，且都等于正中間數的3倍．a-8a-7a-6a-1aa+1a+6a+7a+8第二行3個數的和＝(a－1)＋a＋(a＋1)＝3a14如果將方框改為十字形框，你能發現哪些規律?如果改為“H”形框呢？“十”字形：5個數的和是中間這個數的5倍“H”形：7個數的和是中間這個數的7倍星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六

12345678910111213141516171819202122232425262728293031

如果將方框改為十字形框，你能發現哪些規律?如果改為“H”形框15想一想

2.你還能設計其他形狀的包含數字規律的數框嗎？a-10a-2a+6

aa+8a+2a-4a-10+a-2+a+6+a+a+8+a+2+a-4=7a7個數的和是中間這個數的7倍星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六

12345678910111213141516171819202122232425262728293031

想一想2.你還能設計其他形狀的包含數字規律的數框嗎？a-116星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六

12345678910111213141516171819202122232425262728293031

1日歷上三個數的位置如圖1所示，這三個的和為51，則其中最小的數是

.

2日歷上三個數的位置如圖2所示，這三個的和為42，則最大的數是

.

如圖1如圖2練一練：920星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六123456717星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六

12345678910111213141516171819202122232425262728293031

3日歷上同一行上相鄰三個數之和為48，則其中最大的數是

.4日歷上同一列上相鄰三個數之和為48，則其中最小的數是

.5在日歷上圈出3×3個格子之和為162，最大的數是

,最小的數是

.1792610星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六123456718三數與式中的規律探索1觀察下列等式：2＝2＝1×22＋4＝6＝2×32＋4＋6＝12＝3×42＋4＋6＋8＝20＝4×5……據此寫出結果：2+4+6+…+2n=

.n×(n+1)三數與式中的規律探索1觀察下列等式：n×(n+1)192觀察下列等式，第n個等式是

。（1）13=12（2）13+23=32（3）13+23+33=62（4）13+23+33+43=102…2觀察下列等式，第n個等式是201.基本方法：

2.基本思想：歸納總結：觀察猜想歸納驗證特殊特殊一般1.基本方法：2.基本思想：歸納總結：觀察猜想21課堂練習：1觀察下列一組數：1，4，9，…，則第4個數是________，第n個數是________.．[來源:學§科§網]2如圖是用火柴拼成的圖形，則第n個圖形需________根火柴棒●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●(1)(2)(3)(4)(2n＋1)16n2課堂練習：1觀察下列一組數：1，4，9，…，則第4個數是_223當n等于1，2，3，…時，由白色小正方形和黑色小正方形組成的圖形分別如圖所示．則第n個圖形中白色小正方形和紅色小正方形的個數總和等于____________．(用n表示，n是正整數)…n=1n=1n=3n2＋4n3當n等于1，2，3，…時，由白色小正方形和黑色小正方形組成23課堂小結：這節課我們學習了哪些內容？一圖形中的規律探索二日歷上規律的探索三數與式中的規律探索課堂小結：這節課我們學習了哪些內容？一圖形中的規律探索二24課外作業：第104頁第16、17題。課外作業：25

1、盛年不重來，一日難再晨。及時宜自勉，歲月不待人。。20.7.127.12.202009:0109:01:45Jul-2009:012、千里之行，始于足下。2020年7月12日星期日3、少年易學老難成，一寸光陰不可輕。。09:017.12.202009:017.12.202009:0109:01:457.12.202009:017.12.20204、敏而好學，不恥下問。。7.12.20207.12.202009:0109:0109:01:4509:01:455、海內存知已，天涯若比鄰。Sunday,July12,2020July20Sunday,July12,20207/12/20206莫愁前路無知已，天下誰人不識君。9時1分9時1分12-Jul-207.12.20207、人生貴相知，何用金與錢。20.7.1220.7.1220.7.12。2020年7月12日星期日二〇二〇年七月十二日8、勇氣通往天堂，怯懦通往地獄。09:0109:01:457.12.2020Sunday,July12,2020親愛的讀者：春去春又回，新桃換舊符。在那桃花盛開的地方，在這醉人芬芳的季節，愿你生活像春天一樣陽光，心情像桃花一樣美麗，感謝你的閱讀。1、生活不相信眼淚，眼淚并不代表軟弱。20.7.127.12.202009:0109:01:45Jul-2009:012、世上沒有絕望的處境，只有對處境絕望的人。二〇二〇年七月十二日2020年7月12日星期日3、成功都永遠不會言棄，放棄者永遠不會成功。09:017.12.202009:017.12.202009:0109:01:457.12.202009:017.12.20204、不要為它的結束而哭，應當為它的開始而笑。7.12.20207.12.202009:0109:0109:01:4509:01:455、生命的成長，需要吃飯，還需要吃苦，吃虧。Sunday,July12,2020July20Sunday,July12,20207/12/20206、生命太過短暫，今天放棄了明天不一定能得到。9時1分9時1分12-Jul-207.12.20207、放眼前方，只要我們繼續，收獲的季節就在前方。20.7.1220.7.1220.7.12。2020年7月12日星期日二〇二〇年七月十二日8、擁有夢想只是一種智力，實現夢想才是一種能力。09:0109:01:457.12.2020Sunday,July12,2020親愛的讀者：春去春又回，新桃換舊符。在那桃花盛開的地方，在這醉人芬芳的季節，愿你生活像春天一樣陽光，心情像桃花一樣美麗，感謝你的閱讀。1、盛年不重來，一日難再晨。及時宜自勉，歲月不待人。。20.7.127.12.202009:0109:01:45Jul-2009:012、千里之行，始于足下。2020年7月12日星期日3、少年易學老難成，一寸光陰不可輕。。09:017.12.202009:017.12.202009:0109:01:457.12.202009:017.12.20204、敏而好學，不恥下問。。7.12.20207.12.202009:0109:0109:01:4509:01:455、海內存知已，天涯若比鄰。Sunday,July12,2020July20Sunday,July12,20207/12/20206莫愁前路無知已，天下誰人不識君。9時1分9時1分12-Jul-207.12.20207、人生貴相知，何用金與錢。20.7.1220.7.1220.7.12。2020年7月12日星期日二〇二〇年七月十二日8、勇氣通往天堂，怯懦通往地獄。09:0109:01:457.12.2020Sunday,July12,2020親愛的讀者：春去春又回，新桃換舊符。在那桃花盛開的地方，在這醉人芬芳的季節，愿你生活像春天一樣陽光，心情像桃花一樣美麗，感謝你的閱讀。

1、盛年不重來，一日難再晨。及時宜自勉，歲月不待人。26七年級上冊（北師大）第三章整式及加減3.5探索與表達規律七年級上冊（北師大）27方法一：第一個正方形用4根，每增加一個正方形增加3根，那么搭x個正方形就需要火柴棒

根。方法二：把每一個正方形都看成是用4根火柴棒搭成的，然后再減多算的根數，得到是

根。還記得用火柴棒搭正方形時，你們是怎么計算火柴棒的根數嗎？復習回顧：[4+3（x-1）]=3x+14x-（x-1）=3x+1方法一：第一個正方形用4根，每增加一個正方形增加3根，那么搭28誰能快速數出跳棋棋盤上一共有多少個棋孔?一圖形中的規律探索情境引入：這個是我們熟悉的跳棋棋盤。分析：六角形棋盤可看作一正一反兩個大等邊三角形重疊而成。誰能快速數出跳棋棋盤上一共有多少個棋孔?一圖形中的規律探索29解：六角形棋盤可看作一正一反兩個大等邊三角形重疊而成，大三角形每邊上有13個棋孔，所以一個大三角形共有棋孔(1+2+3+…+13)=(1+13)×13÷2=91個，剩下三個小三角形（見圖），共有棋孔:(1+2+3+4)×3=10×3=3(個)。所以，跳棋盤上一共有棋孔91+30=121個。解：六角形棋盤可看作一正一反兩個大等邊三角形重疊而成，大三角302（1）按圖（1）方式擺放餐桌和椅子，照這樣的方式繼續排列餐桌，擺4張桌子可坐多少人？擺5張桌子呢？擺n張桌子呢？…圖（1）2（1）按圖（1）方式擺放餐桌和椅子，照這樣的方式繼續排列312按圖（1）方式擺放餐桌和椅子，照這樣的方式繼續排列餐桌，擺4張桌子可坐多少人？擺5張桌子呢？擺n張桌子呢？682n+4141210桌子張數可坐人數12345n……解：（1）2張桌子拼在一起可坐2×2+4=8人，3張桌子拼在一起可坐2×3+4=10人，那么n張桌子拼在一起可坐（4+2n）人；2按圖（1）方式擺放餐桌和椅子，照這樣的方式繼續排列餐桌，322（2）按圖（2）方式擺放餐桌和椅子，照這樣的方式繼續排列餐桌，擺4張桌子可坐多少人？擺5張桌子呢？擺n張桌子呢？圖（2）2（2）按圖（2）方式擺放餐桌和椅子，照這樣的方式繼續排列332（2）按圖（2）方式擺放餐桌和椅子，照這樣的方式繼續排列餐桌，擺4張桌子可坐多少人？擺5張桌子呢？擺n張桌子呢？桌子張數可坐人數12345n…6104n+2221814…解：（1）2張桌子拼在一起可坐4×2+2=8人，3張桌子拼在一起可坐4×3+2=12人，那么n張桌子拼在一起可坐（4+2n）人；2（2）按圖（2）方式擺放餐桌和椅子，照這樣的方式繼續排列34下面是用棋子擺成的“小屋子”。擺第10個這樣的“小屋子”需要多少棋子？擺第個這樣的“小屋子”需要多少棋子？你是如何得到？練一練：下面是用棋子擺成的“小屋子”。擺第10個這樣的“小屋子”需要35該圖的規律可以分兩部分來看：屋頂的點的個數分別是1、1+2、1+2+2、1+2+2+2、…，即第n個小屋子的屋頂點的個數是2n-1；

屋身的點的個數分別是4、8、12、…、即第n個圖形的屋身是4n個所以第n個小屋子共有(2n-1)+4n=6n-1．

故擺n個這樣的“小屋子“需要6n-1枚棋子．圖形的變化，關鍵是通過歸納與總結，得到其中的規律．注意由特殊到一般的分析方法.該圖的規律可以分兩部分來看：屋頂的點的個數分別是1、1+2、36觀察下面的日歷，回答問題。（1）日歷圖的套色方框中的9個數之和與該方框正中間的數有什么關系？9個數的和為中間數的9倍二日歷上規律的探索星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六

12345678910111213141516171819202122232425262728293031

觀察下面的日歷，回答問題。（1）日歷圖的套色方框中的9個數之37（2）這個關系對其他這樣的方框成立嗎？你能用代數式表示這個關系嗎？a+a-1+a+1+a-7+a+7+a-8+a-6+a+6+a+8=9a；解：任意框9個數，設中間的數為a，則左右兩邊數為a-1，a+1，上行鄰數為（a-7），下行鄰數為（a+7），左右上角鄰數為（a-8），（a-6），左右下角鄰數為（a+6），（a+8）之和為:（2）這個關系對其他這樣的方框成立嗎？你能用代數式表示這個關38（3）這個關系對任何一個月的日歷都成立嗎？為什么？這個關系對任何一個月的日歷都成立，理由為任何一個日歷表都具有這種排列規律．（4）你還能發現這樣的方框中9個數之間的其他關系嗎？用代數式表示。解：如圖所示，設方框正中間的數為a，其余各數為a－8，

a－7，

a－6，

a－1，

a＋1，

a＋6，

a＋7，

a＋8．（3）這個關系對任何一個月的日歷都成立嗎？為什么？這個關系對39第二行3個數的和＝(a－1)＋

a＋(a＋1)＝3

a．第二列3個數的和＝(a－7)＋

a＋(a＋7)＝3

a．a角線上3個數的和分別為(a－6)＋

a＋(a＋6)＝3

a，

(a－8)＋

a＋(a＋8)＝3

a由此可以發現：方框“十”字位上的3個數的和，對角線上3個數的和相等，且都等于正中間數的3倍．a-8a-7a-6a-1aa+1a+6a+7a+8第二行3個數的和＝(a－1)＋a＋(a＋1)＝3a40如果將方框改為十字形框，你能發現哪些規律?如果改為“H”形框呢？“十”字形：5個數的和是中間這個數的5倍“H”形：7個數的和是中間這個數的7倍星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六

12345678910111213141516171819202122232425262728293031

如果將方框改為十字形框，你能發現哪些規律?如果改為“H”形框41想一想

2.你還能設計其他形狀的包含數字規律的數框嗎？a-10a-2a+6

aa+8a+2a-4a-10+a-2+a+6+a+a+8+a+2+a-4=7a7個數的和是中間這個數的7倍星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六

12345678910111213141516171819202122232425262728293031

想一想2.你還能設計其他形狀的包含數字規律的數框嗎？a-142星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六

12345678910111213141516171819202122232425262728293031

1日歷上三個數的位置如圖1所示，這三個的和為51，則其中最小的數是

.

2日歷上三個數的位置如圖2所示，這三個的和為42，則最大的數是

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如圖1如圖2練一練：920星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六123456743星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六

12345678910111213141516171819202122232425262728293031

3日歷上同一行上相鄰三個數之和為48，則其中最大的數是

.4日歷上同一列上相鄰三個數之和為48，則其中最小的數是

.5在日歷上圈出3×3個格子之和為162，最大的數是

,最小的數是

.1792610星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六123456744三數與式中的規律探索1觀察下列等式：2＝2＝1×22＋4＝6＝2×32＋4＋6＝12＝3×42＋4＋6＋8＝20＝4×5……據此寫出結果：2+4+6+…+2n=

.n×(n+1)三數與式中的規律探索1觀察下列等式：n×(n+1)452觀察下列等式，第n個等式是

。（1）13=12（2）13+23=32（3）13+23+33=62（4）13+23+33+43=102…2觀察下列等式，第n個等式是461.基本方法：

2.基本思想：歸納總結：觀察猜想歸納驗證特殊特殊一般1.基本方法：2.基本思想：歸納總結：觀察猜想47課堂練習：1觀察下列一組數：1，4，9，…，則第4個數是________，第n個數是________.．[來源:學§科§網]2如圖是用火柴拼成的圖形，則第n個圖形需________根火柴棒●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●(1)(2)(3)(4)(2n＋1)16n2課堂練習：1觀察下列一組數：1，4，9，…，則第4個數是_483當n等于1，2，3，…時，由白色小正方形和黑色小正方形組成的圖形分別如圖所示．則第n個圖形中白色小正方形和紅色小正方形的個數總和等于____________．(用n表示，n是正整數)…n=1n=1n=3n2＋4n3當n等于1，2，3，…時，由白色小正方形和黑色小正方形組成49課堂小結：這節課我們學習了哪些內容？一圖形中的規律探索二日歷上規律的探索三數與式中的規律探索課堂小結：這節課我們學習了哪些內容？一圖形中的規律探索二50課外作業：第104頁第16、17題。課外作業：51

1、盛年不重來，一日難再晨。及時宜自勉，歲月不待人。。20.7.127.12.202009:0109:01:45Jul-2009:012、千里之行，始于足下。2020年7月12日星期日3、少年易學老難成，一寸光陰不可輕。。09:017.12.202009:017.12.202009:0109:01:457.12.202009:017.12.20204、敏而好學，不恥下問。。7.12.20207.12.202009:0109:0109:01:4509:01:455、海內存知已，天涯若比鄰。Sunday,July12,2020July20Sunday,July12,20207/12/20206莫愁前路無知已，天下誰人不識君。9時1分9時1分12-Jul-207.12.20207、人生貴相知，何用金與錢。20.7.1220.7.1220.7.12。2020年7月12日星期日二〇二〇年七月十二日8、勇氣通往天堂，怯懦通往地獄。09:0109:01:457.