第12講站牌五年級寒假長方體與正方體級寒假形初步級秋季級秋季級秋季簡單的燕尾模型；用輔助線構造燕尾.釋義第9級下優秀A版教師版 : : S S S S ll 1 3引入型.我們看下圖，像不像一只在天空飛翔的燕子？目標1.認識燕尾模型，會從不同角度看出燕尾；2.會利用燕尾的特征構造出燕尾；3.能夠將復合的燕尾分拆.精講既然燕尾模型是共邊模型的一種，那么它也符合面積比例模型：S3:S4l1:l22 4 1

S1:S2S3:S4l1:l2后面這個式子，就是我們燕尾模型中的常用公式. S2 l1 S3 S4 l2 在三角形ABC中，有S△ABG:S△AGCS△BGE:S△EGCBE:EC；2第9級下優秀A版教師版第12講S△AGC:S△BCGS△ADG:S△DGBAD:DB.燕尾模型為三角形中的面積與對應底邊之間提供了相互聯系的途徑，可以幫助我們解決很多幾何問題.點回顧1.已知:36,求 510

答案:3, 2.已知:39,求

,93___答案:3

3.已知:

aka

答案:b,b SS 4.在下圖中,利用“高相同時,三角形的面積比等于底的比”,可知:1 31SS

31,利用上 面題的結論可知:

___ S3 l1 l2答案:1 5.在下圖中,利用“高相同時,三角形的面積比等于底的比”,可知:1

3

,所以SS SS

第9級下優秀A版教師版 S3

S4

S2 答案:AO思路1如圖，

S2代表所在小三角形的面積，其他數代表所對應線段的長度，分別求出每個圖中

值.（學案對應：學案1）S1 S2 2 S2 3 10 3 6 S1 想想練練：右圖的大三角形被分成5個小三角形，其中4個的面積已經標在圖中，那么，陰影三角形的面積是 2 13【分析】法1：整個題目讀完，我們沒有發現任何與邊長相關的條件，也沒有任何與高或者垂直有關系的字眼，由此，我們可以推斷，這道題不能依靠三角形面積公式求解現右圖三4第9級下優秀A版教師版SS 13:4第12講角形中存在一個比例關系：2:

，解得 【拓展】如圖，已知ABD的面積是15，ACD的面積是20，BCD的面積是14.求CDE的面積是多少？A15 D14B E 【分析】ACD

CDE

34

SCDE

2

SSAOC

S

__

__

S

__

c

3D B 4 D 3 C 圖（1） 圖（2） 【分析】（1）3（3）

BOC

AOC S

，三式相乘，得 c 1。這也叫塞瓦定 理。想想練練

ABC

BD:DC

2:3

,AE:EC5:3,則

AF:FB

【分析】根據燕尾模型有 ABG

2:310:15第9級下優秀A版教師版 ABG

5:310:6

（都有△AGB的面積要統一，所以找最小公倍數）所以AF:FBSACG:SBCG15:65:2. 【拓展】如圖，已知BD:DC2:3,AE:EC5:3,BDG的面積是12.求ABC的面積.【分析

2:3

BDGCDG

S

5:3

SSBGC

SABG

SBGC3050

2:3

ABGACG

SACG

ABG

SABGSACGSBCG503075155 3在ABC中，BD:DC2:1，AE:EC1:3，則OB:OE____.（學案對應：學案2）A E O B D C B D 【分析】題目求的是邊的比值，一般來說可以通過分別求出每條邊的值再作比值，也可以通過三角形的面積比來做橋梁，但題目沒告訴我們邊的長度，所以應該通過面積比而得到邊長的比．本題的圖形一看就聯想到燕尾模型，但兩個燕尾似乎少了一個，因此應該補全，所以因為BD:DC2:1，根據燕尾模型，SAOB:SAOCBD:BC2:1，即SAOB2SAOC；又AE:EC1:3，所以SAOC4SAOE．則SAOB2SAOC24SAOE8SAOE，所以OB:OESAOB:SAOE8:1．6第9級下優秀A版教師版第12講瓦定理塞瓦（Giovanni，16481734）意大利水利工程師，數學家。4如圖，三角形ABC的面積是1，E是AC的中點，點D在BC上，且BD:DC1:2，AD與BE交于點F．則四邊形DFEC的面積等于 （學案對應：學案3） A

B

FD

E

C根據燕尾模型，△ABF△ACF

1,△BDF

1份，則

S△DCF

份，

S△ABF

份，△AEF

S△EFC，如圖所標5 所以SDCEF12S△ABC12

△ABD

△ABC

S△ADE

S△ADC

1223

S△ABC

，所以 △ABD △ADE

S△DEF

S△DEB

1123

S△BEC

111232

S△ABC

2132

S△ABC

．所以四邊形DFEC的面積等于512．第9級下優秀A版教師版 想想練練：如圖，已知BDDC，EC2AE，三角形ABC的面積是30，求陰影部分面積.A A E E B

FD

C

【分析】題中條件只有三角形面積給出具體數值，其他條件給出的實際上是比例的關系，由此我們可以初步判斷這道題不應該通過面積公式求面積.又因為陰影部分是一個不規則四邊形，所以我們需要對它進行改造，那么我們需要連一條輔助線，法1：連接CF，因為BDDC，EC2AE，三角形ABC的面積是30，

S△ABE

S△ABC

△ABD

△ABC

據燕尾模型，△ABF△CBF

S△ABFS△ACF

1,

S△ABF

△ABC

7.5，

△BFD

所以陰影部分面積是30107.512.5．△ABE

△ABC

S△BDE

S△BEC

1223

S△ABC

，所以 △ABE △

△DEF△DEA

1123

S△ADC

111 232

S△ABC

△CDE

21 32△ABC

．所以陰影部分的面積為12.5．5如右圖，三角形ABC中，AF:FBBD:DCCE:AE3:2，且三角形ABC的面積是1，則三角形（學案對應：學案4）A E F G F H I H B D C B D 【分析】連接AH、BI、CG．由于CE:AE

3:2

，故

SABE

SABC 根據燕尾模型，SACG:SABGCD:BD2:3，SBCG:SABGCE:EA3:2，所以8第9級下優秀A版教師版第12講SACG:SABG:SBCG

4:6:9

SACG SBCG

SAGE

SAGC

2 4 519 SACH ，則EG:EHSACG:SACH

4:9

，EG:EBSACG:SACB

4:19

所以EG:GH:HB4:5:10，同樣分析可得AG:GI:ID10:5:4，

SBIE

SBAE

5 2 105

SGHI

SBIE

5 1 195 想想練練：如圖，ABC中BD2DA，CE2EB，AF2FC，那么ABC的面積是陰影三角形面積的 DG 【分析】如圖，連接AI．根據燕尾模型，

SBCI:SACI

BD:AD

2:1，

S :SBCI

CF:AF

1:2，所以，SACI:SBCI:SABI1:2:4，那么，

SBCI

SABC

SABC

同理可知ACG和ABH的面積也都等于ABC面積的27，所以陰影三角形的面積等于

面積的1

2 3 7 【鞏固】如右圖，三角形ABC中，AF:FBBD:DCCE:AE4:3，且三角形ABC的面積是74，求三角形GHI的面積． 【分析】連接BG，S△AGC12份 △AGC △BGC

AF:FB

4:312:9

△ABG △AGC

4:316:12△BGC

△ABG

△ABC

9121637

△AGC△ABC

同理連接AI、CH得△ABH△

△BIC△ABC

S△ABC

37121212 第9級下優秀A版教師版 74

提高 【分析】由于點D是邊AC的中點，點E、F是邊BC的三等分點，如果能求出BN、NM、MD三連接CM、CN．根據燕尾模型，SABM:SACMBF:CF2:1，而SACM2SADM ，所以SABM

2SACM

，那么

BM4DM，即

BM

SBMF

BM BD

421 532

四邊形CDMF

1 4 215

另解：得出

SABM

SADM

SABD

11 52 四邊形DMF

ACF

SADM

1 1 310

10第9級下優秀A版教師版第12講的面積等于22cm2，則三角形ABC的面積

S△ABFS△ACF

△ABF△CBF

△BDF

份，則△DCF

份，△ABF

份，

S△AFC

份，△AEF

4

1.6份,

△

4

份,如圖所標

SEFDC

22.44.4份,

S△ABC

2349

所以S△ABC224.4945(cm2)2.如圖，長方形ABCD的面積是2平方厘米，EC2DE，F是DG的中點．陰影部分的面積是多少平方厘米?

【分析】設△

型其他面積如圖所示陰影

S△BCD

平方厘米3. ABCD是邊長為12厘米的正方形，E、F分別是AB、BC邊的中點，AF與CE交于G，則四 【分析】連接AC、GB，設△AGC

模型得

S△AGB

1份，

S△BGC

1份，則第9級下優秀A版教師版11 : : S S S S ll 1 3正方形

SADCG

314份，所以

SADCG

12264

96(cm2)4.如右圖，△ABC中，G是AC的中點，D、E、F是BC邊上的四等分點，AD與BG交于M，AF與BG交于N，已知△ABM的面積比四邊形FCGN的面積大7.2平方厘米，則△ABC的面積是多少平方厘米？A N G N B

MDE

C

B

MDE

C【分析】連接CM、CN．根據燕尾模型，

S △ABM △CBM

1:1△ABM△ACM

1:3

，所以S△ABM5S△ABC；燕尾模型，

S△ABN:S△CBN

1:1

，所以

S △ABN △FBN

S△CBN:S△FBN

4:3

所以AN:NF

4:3

，那么

ANG 43

，所以SFCGN1

S△AFC

△ABC

S△ABC

根據題意，有1△ABC

S△ABC

，可得

S△ABC

(點總結燕尾模型： S3 l1 l2S:Sl:l3 4 1 2 4 1

S:SS:Sl:l1 2 3 4 1 塞瓦定理：12第9級下優秀A版教師版第12講

結論： c

作業1.已知三角形ABC中，BD=10，BC=14，則

SSACE

B D 【分析】

SS

10 1410 2.如圖，ABC中，BD:DC3:4,AE:EC5:4,則AF:FB 【分析】由塞瓦定理

BD

3.如圖所示，在△ABC中，BE:EC3:1，D是AE的中點，那么AF:FC 第9級下優秀A版教師版13A D F D B E C B E

S△ABD:S△BED

1:1

S△BED:S△BCD

3:4

，所以

S △ABD △BCD

3:4根據燕尾模型，AF:FC

S :S△ABD △BCD

3:44.如圖，三角形ABC的面積是1，BD2DC，CE2AE，AD與BE相交于點F，請寫出這4部分的面積各是多少?

1E

【分析】連接CF，設S△AEF1份，則其他幾部分面積可以有燕尾模型標出如圖所示，所以△AEF

△ABF

6 21

△BDF

SFDCE

24 21 5.如右圖，三角形ABC中，AF:FBBD:DCCE:AE3:2，且三角形GHI的面積是1，求三角形ABC的面積． 【分析】連接BG，S△AGC6份根據燕尾模型，S△AGC:S△BGCAF:FB3:26:4，S△ABG:S△AGCBD:DC3:29:6△BGC

△ABG

(份)，則△ABC

(份)，因此

S△AGCS△ABC

同理連接AI、CH得△ABH

△ABC

△ABC

19666 6.如圖，在

△ABC

DC EA DB EC ,求14第9級下優秀A版教師版第12講 【分析】連接BG設△BGC

1份，根據燕尾模型S :S△AGC △BGC

AF:FB

3:1

S △ABG △AGC

BD:DC

3:1,得△AGC△ABG

()

S△ABC

△ABH△

△BIC△ABC

S△ABC

版【學案1】如圖，已知ABD的面積是15，若AD:DE3:1.那么BDE的面積是多少？若BE:EC3:4，那么ACD的面積是多少？A15DB E 【分析】

SSBDE

SBDE

SABD

ACD

154320【學案2】