課時21探究彈性勢能的表達式

課前導航

男子跳高(如圖21－1甲所示)現在的世界紀錄是2.45m，是由古巴運動員索托馬約爾于1993年7月27日在薩拉曼薩(卡)創造的．我國選手朱建華曾創造了該項目的世界紀錄，朱建華現在還保持著2.39m的亞洲紀錄，這一成績是1984年的世界紀錄．而男子撐竿跳高(如圖21－1乙所示)的世界記錄是6.14m，是烏克蘭運動員布勃卡在1994年7月31日的賽斯特里爾創下的．請從能量的角度解釋：撐竿跳高的記錄能超過6m，比普通跳高的記錄高得多，是“撐竿”給甲乙予了運動員能量嗎？為什么？圖21－1

基礎梳理基本要求1．知道探究彈性勢能表達式的思路．2．理解彈性勢能的概念，會分析影響彈簧彈性勢能大小的相關因素．3．體會探究過程中的猜想、分析和轉化的方法．發展要求領悟求彈力做功時通過細分過程化變力為恒力的思想方法．

知識精析

一、對該探究活動的認識

“探究彈性勢能的表達式”是一個不包含實驗的探究活動．按照課程標準的要求，這一探究活動意在檢驗以下三點．

1．重力勢能的表達式是通過對重力做功的分析得出的，那么能否想到彈性勢能的表達式有可能通過對彈力做功的分析而得出？

2．是否能從前面利用極限思想的實例中受到啟發而產生認知的遷移？在此要說明的是，雖然通過探究找出了彈性勢能的表達式，但并不要求同學們利用這一表達式進行任何計算．

3．關于彈性勢能的相對性．重力勢能Ep＝mgh，其大小是相對于參考平面的，選取的參考平面不同，重力勢能的值也不同，所以重力勢能具有相對性．對于彈簧，我們也可以規定其任意長度時的勢能為零勢能．但為了方便描述和分析，我們總是選取彈簧處于原長時的勢能為零勢能參考點，由于此時彈簧的彈性勢能是最小的，故其他位置的彈性勢能均大于零．

二、探究活動的方法和步驟

1．提出問題 2．猜測與假設

3．設計方案 4．實施方案

5．記錄數據 6．分析歸納圖象

7．得出結論 8．討論交流

三、彈簧彈性勢能的表達式

1．彈性勢能的決定因素

(1)類比：重力勢能與物體所受到的重力有關，與相對高度有關；與之對應的彈性勢能應該與彈力有關，與彈性形變有關；又因為F彈＝kl，故可猜想彈性勢能與k、l有關．重力勢能與相對高度成正比，其中重力是恒力(地表附近)；而彈簧的彈力與彈性形變有關，故彈性勢能應該不與形變成正比．

(2)結論：①彈性勢能與彈簧伸長或縮短的長度有關，但彈性勢能與彈簧伸長或縮短的長度不是正比關系，因為彈力的大小是變化的，可以確定彈性勢能隨伸長或縮短(相對于原長)的距離的增大而增大；②彈性勢能與彈簧的勁度系數有關：用不同勁度系數的彈簧做實驗，彈簧壓縮量相同時，勁度系數大的彈簧將物體彈出的距離遠，說明彈性勢能隨彈簧勁度系數的增大而增大．

2．表達式

(1)彈性勢能是相對的，其大小在選定了零勢能參考點后才有意義．對彈簧，一般選彈簧處于自由長度時為零勢能參考點，因為這樣選取處理問題方便．

(2)根據勢能的定義可知，當彈簧的伸長(或壓縮)量為l時，相對原長狀態所具有的做功本領為彈性勢能的大小，或者說使彈簧伸長(或壓縮)l的過程中克服彈力所做的功等于彈性勢能的增加．

(3)使彈簧產生形變l需克服彈力做的功．計算勻加速直線運動的位移時，可用速度和時間的乘積得到位移，但是速度是在不斷變化的，于是采用微元法，把整個運動過程分成很多小段，每個小段中物體的速度的變化比較小，可以近似地用小段中任一時刻的速度和這一小段時間間隔相乘得到這一小段位移的近似值，然后把各小段位頻慕值相加．當各小段分得非常小的時候，得到的就是勻變速直線運動的位移表達式了．(過程如圖21－2所示)

圖21－2研究克服彈力做功時也可以把變力做功的問題轉化為恒力做功的問題來解決．把拉伸的過程分為很多小段，它們的長度是Δl1、Δl2、Δl3……在各個小段上，拉力可以近似認為是不變的，它們分別是F1、F2、F3……所以在各個小段上，拉力做的功分別是F1Δl1、F2Δl2、F3Δl3……拉力在整個過程中做的功可以用它在各個小段做功之和來表示，即W＝F1Δl1＋F2Δl2＋F3Δl3……如圖21－3所示，F－x圖象所圍的面積表示拉力所做的功．

圖21－3

(4)結論：彈簧伸長或壓縮相同形變所具有的彈性勢能相等，彈性勢能Ep＝，其中k為彈簧的勁度系數，l為彈簧的形變量．

方法探究

一、對彈性勢能的理解

例1

關于彈性勢能，下列說法中正確的是(

)

A．任何發生彈性形變的物體都具有彈性勢能

B．任何具有彈性勢能的物體一定發生了彈性形變

C．只要物體發生了形變，就一定具有彈性勢能

D．彈簧的彈性勢能只跟彈簧被拉伸或壓縮的長度有關

解析

發生彈性形變的物體的各部分之間，由于彈力作用而具有的勢能，叫做彈性勢能．所以，任何發生彈性形變的物體都具有彈性勢能，任何具有彈性勢能的物體一定發生了彈性形變．物體發生了形變，若是非彈性形變，可能無彈力作用，則物體就不具有彈性勢能．彈簧的彈性勢能除了跟彈簧被拉伸或壓縮的長度有關外，還跟彈簧的勁度系數的大小相關．故A、B選項正確．

答案

AB

點評

發生形變的物體不一定具有彈性勢能，只有發生彈性形變的物體才具有彈性勢能．

變式訓練

關于彈簧的彈性勢能，下列說法中正確的是(

)

A．當彈簧變長時，它的彈性勢能一定增大

B．當彈簧變短時，它的彈性勢能一定減小

C．在拉伸長度相同時，k越大的彈簧，它的彈性勢能越大

D．彈簧在拉伸時的彈性勢能一定大于壓縮時的彈性勢能

解析

彈性勢能由在彈性限度內彈簧的形變量和勁度系數決定．如果彈簧的初狀態被壓縮，當它恢復原長時，彈性勢能減小；再伸長時，彈性勢能再由零增大，故A、B、D選項錯誤．

答案

C

二、彈簧的彈力做功

例2

彈簧的原長為l0，勁度系數為k，用力把它拉到伸長量為l，拉力所做的功為W1；繼續拉彈簧，使彈簧在彈性限度內再伸長l，在繼續拉伸的過程中拉力所做的功為W2．試求W1與W2的比值．

分析F－x圖象與橫軸所圍的面積等于彈簧彈力所做的功．

解析

拉力F與彈簧的伸長量x成正比，故在F－x圖象中是一條傾斜的直線(如圖所示)，直線下的相關面積表示功的大小．其中，線段OA下的三角形面積表示第一個過程中拉力所做的功W1，線段AB下的梯形面積表示第二個過程中拉力所做的功W2．顯然，兩塊面積之比為1∶3，即W1∶W2＝1∶3．

答案

1∶3

點評

上述解法采用了教材中“探究彈性勢能表達式”的研究方法，即應用F－x圖象直觀地進行分析．若記得彈性勢能的表達式(不要求學生掌握)，也可由彈性勢能的表達式進行計算．由于拉力做功增加了彈簧的彈性勢能，故有：

W1＝kl2，W2＝k(2l)2－kl2＝kl2所以，W1與W2的比值為：

W1∶W2＝kl2∶

kl2＝1∶3．

三、彈力做功與彈性勢能的關系

例3

如圖21－4所示，一個物體以速度v0沖向豎直墻壁，墻壁和物體間的彈簧被壓縮．在壓縮彈簧的過程中，下列說法正確的是(

)圖21－4

A．物體對彈簧做的功與彈簧的形變量成正比

B．物體向墻壁運動相同的位移，彈力做的功不相等

C．彈簧的彈力做正功，彈簧的彈性勢能減小

D．彈簧的彈力做負功，彈簧的彈性勢能增加

分析

(1)在壓縮過程中，彈簧的彈力是變力．

(2)彈力做正功，彈性勢能減小；彈力做負功，彈性勢能增加．彈力做功W＝－ΔE彈．

解析彈簧的彈力與彈簧的形變量成正比，而彈力做功與形變量并不成正比；物體向墻壁運動的過程中彈力不斷增大，因此運動相同的位移，彈力做的功不相等；在彈簧被壓縮的過程中，彈力做負功，彈簧的彈性勢能增加．

答案BD

點評對Ep＝kl2的理解：l是從自然長度算起的形變量，不能理解成任取的形變量的一段．

互動平臺

育才老師與細心同學關于撐竿跳高的對話

細心：老師，從能量的角度來看撐竿支撐前后并無變化，所以運動員越過橫竿增加的勢能來源于人體自身的能量．為什么撐竿跳高可越過的高度遠遠高于普通跳高？育才：撐竿跳高運動員手里拿著竿，在沖刺起跳時把竿戳在地上，靠身體的動能將竿壓彎，助跑的動能絕大部分轉化為竿的彈性勢能，當他起跳的時候，竿向上彈起變直，彈性勢能轉化為運動員身體的重力勢能．由于運動員可以借助竿將先前跑動中的動能儲存起來，起跳后再轉為升高的能量．而普通跳高，助跑的主要作用在于起跳更好發力以及獲得水平過竿速度．助跑動能幾乎不能轉化為重力勢能．所以撐竿跳高可越過的高度遠遠高于普通跳高．細心：謝謝老師，我明白了！

互動訓練

1．某緩沖裝置可抽象成如圖所示的簡單模型．圖中K1、K2為原長相等、勁度系數不同的輕質彈簧．下列表述正確的是[2009年高考·廣東物理卷](

)

A．緩沖效果與彈簧的勁度系數無關

B．墊片向右移動時，兩彈簧產生的彈力大小相等

C．墊片向右移動時，兩彈簧的長度保持相等

D．墊片向右移動時，兩彈簧的彈性勢能發生改變

解析

不同彈簧的緩沖效果與彈簧的勁度系數有關，A錯誤；在墊片向右運動的過程中，由于兩個彈簧相連，則它們之間的作用力等大，B正確；由于兩彈簧串的勁度系數不同，由胡克定律F＝kΔx可知，兩彈簧的形變量不同，則兩彈簧的長度不相等，C錯誤；在墊片向右運動的過程中，由于克服彈簧的彈力做功，則彈性勢能將發生變化(變大)，D正確．

答案

BD

2．質量均為m的兩物塊A、B用勁度系數為k的彈簧相連，初始處于靜止狀態．現對于A施以