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文檔簡介
2022-2023學年高三上數學期末模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答,超出答題區域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,已知直線與拋物線相交于A,B兩點,且A、B兩點在拋物線準線上的投影分別是M,N,若,則的值是()A. B. C. D.2.若滿足,且目標函數的最大值為2,則的最小值為()A.8 B.4 C. D.63.設M是邊BC上任意一點,N為AM的中點,若,則的值為()A.1 B. C. D.4.設,分別為雙曲線(a>0,b>0)的左、右焦點,過點作圓的切線與雙曲線的左支交于點P,若,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.5.在中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,D是AB的中點,若,且,則面積的最大值是()A. B. C. D.6.已知正三角形的邊長為2,為邊的中點,、分別為邊、上的動點,并滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.7.我國古代有著輝煌的數學研究成果,其中的《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《緝古算經》,有豐富多彩的內容,是了解我國古代數學的重要文獻.這5部專著中有3部產生于漢、魏、晉、南北朝時期.某中學擬從這5部專著中選擇2部作為“數學文化”校本課程學習內容,則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為()A. B. C. D.8.已知復數是正實數,則實數的值為()A. B. C. D.9.直線x-3y+3=0經過橢圓x2a2+y2bA.3-1 B.3-12 C.10.已知函數,關于x的方程f(x)=a存在四個不同實數根,則實數a的取值范圍是()A.(0,1)∪(1,e) B.C. D.(0,1)11.已知雙曲線:(,)的焦距為.點為雙曲線的右頂點,若點到雙曲線的漸近線的距離為,則雙曲線的離心率是()A. B. C.2 D.312.函數f(x)=的圖象大致為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.直線是圓:與圓:的公切線,并且分別與軸正半軸,軸正半軸相交于,兩點,則的面積為_________14.在一次醫療救助活動中,需要從A醫院某科室的6名男醫生、4名女醫生中分別抽調3名男醫生、2名女醫生,且男醫生中唯一的主任醫師必須參加,則不同的選派案共有________種.(用數字作答)15.已知“在中,”,類比以上正弦定理,“在三棱錐中,側棱與平面所成的角為、與平面所成的角為,則________.16.若,則=____,=___.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)選修4-5:不等式選講設函數.(1)當時,求不等式的解集;(2)若在上恒成立,求實數的取值范圍.18.(12分)等比數列中,.(Ⅰ)求的通項公式;(Ⅱ)記為的前項和.若,求.19.(12分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,.(1)求cosC;(2)若b=7,D是BC邊上的點,且△ACD的面積為,求sin∠ADB.20.(12分)選修4-5:不等式選講已知函數的最大值為3,其中.(1)求的值;(2)若,,,求證:21.(12分)已知.(1)當時,求不等式的解集;(2)若,,證明:.22.(10分)已知函數.(1)若,求不等式的解集;(2)若“,”為假命題,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
直線恒過定點,由此推導出,由此能求出點的坐標,從而能求出的值.【詳解】設拋物線的準線為,直線恒過定點,如圖過A、B分別作于M,于N,由,則,點B為AP的中點、連接OB,則,∴,點B的橫坐標為,∴點B的坐標為,把代入直線,解得,故選:C.【點睛】本題考查直線與圓錐曲線中參數的求法,考查拋物線的性質,是中檔題,解題時要注意等價轉化思想的合理運用,屬于中檔題.2、A【解析】
作出可行域,由,可得.當直線過可行域內的點時,最大,可得.再由基本不等式可求的最小值.【詳解】作出可行域,如圖所示由,可得.平移直線,當直線過可行域內的點時,最大,即最大,最大值為2.解方程組,得..,當且僅當,即時,等號成立.的最小值為8.故選:.【點睛】本題考查簡單的線性規劃,考查基本不等式,屬于中檔題.3、B【解析】
設,通過,再利用向量的加減運算可得,結合條件即可得解.【詳解】設,則有.又,所以,有.故選B.【點睛】本題考查了向量共線及向量運算知識,利用向量共線及向量運算知識,用基底向量向量來表示所求向量,利用平面向量表示法唯一來解決問題.4、C【解析】
設過點作圓的切線的切點為,根據切線的性質可得,且,再由和雙曲線的定義可得,得出為中點,則有,得到,即可求解.【詳解】設過點作圓的切線的切點為,,所以是中點,,,.故選:C.【點睛】本題考查雙曲線的性質、雙曲線定義、圓的切線性質,意在考查直觀想象、邏輯推理和數學計算能力,屬于中檔題.5、A【解析】
根據正弦定理可得,求出,根據平方關系求出.由兩端平方,求的最大值,根據三角形面積公式,求出面積的最大值.【詳解】中,,由正弦定理可得,整理得,由余弦定理,得.D是AB的中點,且,,即,即,,當且僅當時,等號成立.的面積,所以面積的最大值為.故選:.【點睛】本題考查正、余弦定理、不等式、三角形面積公式和向量的數量積運算,屬于中檔題.6、A【解析】
建立平面直角坐標系,求出直線,設出點,通過,找出與的關系.通過數量積的坐標表示,將表示成與的關系式,消元,轉化成或的二次函數,利用二次函數的相關知識,求出其值域,即為的取值范圍.【詳解】以D為原點,BC所在直線為軸,AD所在直線為軸建系,設,則直線,設點,所以由得,即,所以,由及,解得,由二次函數的圖像知,,所以的取值范圍是.故選A.【點睛】本題主要考查解析法在向量中的應用,以及轉化與化歸思想的運用.7、D【解析】
利用列舉法,從這5部專著中選擇2部作為“數學文化”校本課程學習內容,基本事件有10種情況,所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有9種情況,由古典概型概率公式可得結果.【詳解】《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《緝古算經》,這5部專著中有3部產生于漢、魏、晉、南北朝時期.記這5部專著分別為,其中產生于漢、魏、晉、南北朝時期.從這5部專著中選擇2部作為“數學文化”校本課程學習內容,基本事件有共10種情況,所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有,共9種情況,所以所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為.故選D.【點睛】本題主要考查古典概型概率公式的應用,屬于基礎題,利用古典概型概率公式求概率時,找準基本事件個數是解題的關鍵,基本亊件的探求方法有(1)枚舉法:適合給定的基本事件個數較少且易一一列舉出的;(2)樹狀圖法:適合于較為復雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數時,一定要按順序逐個寫出:先,….,再,…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現象的發生.8、C【解析】
將復數化成標準形式,由題意可得實部大于零,虛部等于零,即可得到答案.【詳解】因為為正實數,所以且,解得.故選:C【點睛】本題考查復數的基本定義,屬基礎題.9、A【解析】
由直線x-3y+3=0過橢圓的左焦點F,得到左焦點為再由FC=2CA,求得A3【詳解】由題意,直線x-3y+3=0經過橢圓的左焦點F,令所以c=3,即橢圓的左焦點為F(-3,0)直線交y軸于C(0,1),所以,OF=因為FC=2CA,所以FA=3又由點A在橢圓上,得3a由①②,可得4a2-24所以e2所以橢圓的離心率為e=3故選A.【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質——離心率的求解,其中求橢圓的離心率(或范圍),常見有兩種方法:①求出a,c,代入公式e=ca;②只需要根據一個條件得到關于a,b,c的齊次式,轉化為a,c的齊次式,然后轉化為關于e的方程,即可得10、D【解析】
原問題轉化為有四個不同的實根,換元處理令t,對g(t)進行零點個數討論.【詳解】由題意,a>2,令t,則f(x)=a????.記g(t).當t<2時,g(t)=2ln(﹣t)(t)單調遞減,且g(﹣2)=2,又g(2)=2,∴只需g(t)=2在(2,+∞)上有兩個不等于2的不等根.則?,記h(t)(t>2且t≠2),則h′(t).令φ(t),則φ′(t)2.∵φ(2)=2,∴φ(t)在(2,2)大于2,在(2,+∞)上小于2.∴h′(t)在(2,2)上大于2,在(2,+∞)上小于2,則h(t)在(2,2)上單調遞增,在(2,+∞)上單調遞減.由,可得,即a<2.∴實數a的取值范圍是(2,2).故選:D.【點睛】此題考查方程的根與函數零點問題,關鍵在于等價轉化,將問題轉化為通過導函數討論函數單調性解決問題.11、A【解析】
由點到直線距離公式建立的等式,變形后可求得離心率.【詳解】由題意,一條漸近線方程為,即,∴,,即,,.故選:A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,掌握漸近線方程與點到直線距離公式是解題基礎.12、D【解析】
根據函數為非偶函數可排除兩個選項,再根據特殊值可區分剩余兩個選項.【詳解】因為f(-x)=≠f(x)知f(x)的圖象不關于y軸對稱,排除選項B,C.又f(2)==-<0.排除A,故選D.【點睛】本題主要考查了函數圖象的對稱性及特值法區分函數圖象,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據題意畫出圖形,設,利用三角形相似求得的值,代入三角形的面積公式,即可求解.【詳解】如圖所示,設,由與相似,可得,解得,再由與相似,可得,解得,由三角形的面積公式,可得的面積為.故答案為:.【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系的應用,以及三角形相似的應用,著重考查了數形結合思想,以及推理與運算能力,屬于基礎題.14、【解析】
首先選派男醫生中唯一的主任醫師,由題意利用排列組合公式即可確定不同的選派案方法種數.【詳解】首先選派男醫生中唯一的主任醫師,然后從名男醫生、名女醫生中分別抽調2名男醫生、名女醫生,故選派的方法為:.故答案為.【點睛】解排列組合問題要遵循兩個原則:一是按元素(或位置)的性質進行分類;二是按事情發生的過程進行分步.具體地說,解排列組合問題常以元素(或位置)為主體,即先滿足特殊元素(或位置),再考慮其他元素(或位置).15、【解析】
類比,三角形邊長類比三棱錐各面的面積,三角形內角類比三棱錐中側棱與面所成角.【詳解】,故,【點睛】本題考查類比推理.類比正弦定理可得,類比時有結構類比,方法類比等.16、12821【解析】
令,求得的值.利用展開式的通項公式,求得的值.【詳解】令,得.展開式的通項公式為,當時,為,即.【點睛】本小題主要考查二項式展開式的通項公式,考查賦值法求解二項式系數有關問題,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)當時,將原不等式化簡后兩邊平方,由此解出不等式的解集.(2)對分成三種情況,利用零點分段法去絕對值,將表示為分段函數的形式,根據單調性求得的取值范圍.【詳解】(1)時,可得,即,化簡得:,所以不等式的解集為.(2)①當時,由函數單調性可得,解得;②當時,,所以符合題意;③當時,由函數單調性可得,,解得綜上,實數的取值范圍為【點睛】本小題主要考查含有絕對值不等式的解法,考查不等式恒成立問題的求解,屬于中檔題.18、(Ⅰ)或(Ⅱ)12【解析】
(1)先設數列的公比為,根據題中條件求出公比,即可得出通項公式;(2)根據(1)的結果,由等比數列的求和公式,即可求出結果.【詳解】(1)設數列的公比為,,,或.(2)時,,解得;時,,無正整數解;綜上所述.【點睛】本題主要考查等比數列,熟記等比數列的通項公式與求和公式即可,屬于基礎題型.19、(1);(2).【解析】
(1)根據誘導公式和二倍角公式,將已知等式化為角關系式,求出,再由二倍角余弦公式,即可求解;(2)在中,根據面積公式求出長,根據余弦定理求出,由正弦定理求出,即可求出結論.【詳解】(1),,;(2)在中,由(1)得,,由余弦定理得,,在中,,.【點睛】本題考查三角恒等變換求值、面積公式、余弦定理、正弦定理解三角形,考查計算求解能力,屬于中檔題.20、(1)(2)見解析【解析】
(1)分三種情況去絕對值,求出最大值與已知最大值相等列式可解得;(2)將所證不等式轉化為2ab≥1,再構造函數利用導數判斷單調性求出最小值可證.【詳解】(1)∵,∴.∴當時,取得最大值.∴.(2)由(Ⅰ),得,.
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