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文檔簡介
2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.關于函數(shù),有下列三個結論:①是的一個周期;②在上單調(diào)遞增;③的值域為.則上述結論中,正確的個數(shù)為()A. B. C. D.2.已知復數(shù)滿足,(為虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.33.已知雙曲線:的左、右兩個焦點分別為,,若存在點滿足,則該雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.54.已知函數(shù),存在實數(shù),使得,則的最大值為()A. B. C. D.5.已知等差數(shù)列的前項和為,,,則()A.25 B.32 C.35 D.406.定義在上的偶函數(shù),對,,且,有成立,已知,,,則,,的大小關系為()A. B. C. D.7.已知定義在上的函數(shù)滿足,且在上是增函數(shù),不等式對于恒成立,則的取值范圍是A. B. C. D.8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的值為()A. B. C. D.9.設為定義在上的奇函數(shù),當時,(為常數(shù)),則不等式的解集為()A. B. C. D.10.設,命題“存在,使方程有實根”的否定是()A.任意,使方程無實根B.任意,使方程有實根C.存在,使方程無實根D.存在,使方程有實根11.已知符號函數(shù)sgnxf(x)是定義在R上的減函數(shù),g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),則()A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=﹣sgnxC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D.sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]12.設變量滿足約束條件,則目標函數(shù)的最大值是()A.7 B.5 C.3 D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.下圖是一個算法流程圖,則輸出的的值為__________.14.若點為點在平面上的正投影,則記.如圖,在棱長為1的正方體中,記平面為,平面為,點是線段上一動點,.給出下列四個結論:①為的重心;②;③當時,平面;④當三棱錐的體積最大時,三棱錐外接球的表面積為.其中,所有正確結論的序號是________________.15.高三(1)班共有56人,學號依次為1,2,3,…,56,現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個容量為4的樣本,已知學號為6,34,48的同學在樣本中,那么還有一個同學的學號應為.16.已知多項式的各項系數(shù)之和為32,則展開式中含項的系數(shù)為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)一年之計在于春,一日之計在于晨,春天是播種的季節(jié),是希望的開端.某種植戶對一塊地的個坑進行播種,每個坑播3粒種子,每粒種子發(fā)芽的概率均為,且每粒種子是否發(fā)芽相互獨立.對每一個坑而言,如果至少有兩粒種子發(fā)芽,則不需要進行補播種,否則要補播種.(1)當取何值時,有3個坑要補播種的概率最大?最大概率為多少?(2)當時,用表示要補播種的坑的個數(shù),求的分布列與數(shù)學期望.18.(12分)數(shù)列滿足,,其前n項和為,數(shù)列的前n項積為.(1)求和數(shù)列的通項公式;(2)設,求的前n項和,并證明:對任意的正整數(shù)m、k,均有.19.(12分)已知的面積為,且.(1)求角的大小及長的最小值;(2)設為的中點,且,的平分線交于點,求線段的長.20.(12分)設數(shù)列的前列項和為,已知.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求證:.21.(12分)如圖,D是在△ABC邊AC上的一點,△BCD面積是△ABD面積的2倍,∠CBD=2∠ABD=2θ.(Ⅰ)若θ=,求的值;(Ⅱ)若BC=4,AB=2,求邊AC的長.22.(10分)等差數(shù)列的前項和為,已知,.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式及前項和為;(Ⅱ)設為數(shù)列的前項的和,求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
利用三角函數(shù)的性質,逐個判斷即可求出.【詳解】①因為,所以是的一個周期,①正確;②因為,,所以在上不單調(diào)遞增,②錯誤;③因為,所以是偶函數(shù),又是的一個周期,所以可以只考慮時,的值域.當時,,在上單調(diào)遞增,所以,的值域為,③錯誤;綜上,正確的個數(shù)只有一個,故選B.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質應用.2、A【解析】,故,故選A.3、B【解析】
利用雙曲線的定義和條件中的比例關系可求.【詳解】.選B.【點睛】本題主要考查雙曲線的定義及離心率,離心率求解時,一般是把已知條件,轉化為a,b,c的關系式.4、A【解析】
畫出分段函數(shù)圖像,可得,由于,構造函數(shù),利用導數(shù)研究單調(diào)性,分析最值,即得解.【詳解】由于,,由于,令,,在↗,↘故.故選:A【點睛】本題考查了導數(shù)在函數(shù)性質探究中的應用,考查了學生數(shù)形結合,轉化劃歸,綜合分析,數(shù)學運算的能力,屬于較難題.5、C【解析】
設出等差數(shù)列的首項和公差,即可根據(jù)題意列出兩個方程,求出通項公式,從而求得.【詳解】設等差數(shù)列的首項為,公差為,則,解得,∴,即有.故選:C.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式的求法和應用,涉及等差數(shù)列的前項和公式的應用,屬于容易題.6、A【解析】
根據(jù)偶函數(shù)的性質和單調(diào)性即可判斷.【詳解】解:對,,且,有在上遞增因為定義在上的偶函數(shù)所以在上遞減又因為,,所以故選:A【點睛】考查偶函數(shù)的性質以及單調(diào)性的應用,基礎題.7、A【解析】
根據(jù)奇偶性定義和性質可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)且在上是減函數(shù),由此可將不等式化為;利用分離變量法可得,求得的最大值和的最小值即可得到結果.【詳解】為定義在上的偶函數(shù),圖象關于軸對稱又在上是增函數(shù)在上是減函數(shù),即對于恒成立在上恒成立,即的取值范圍為:本題正確選項:【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問題,涉及到恒成立問題的求解;解題關鍵是能夠利用函數(shù)單調(diào)性將函數(shù)值的大小關系轉化為自變量的大小關系,從而利用分離變量法來處理恒成立問題.8、B【解析】
列出每一次循環(huán),直到計數(shù)變量滿足退出循環(huán).【詳解】第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):,退出循環(huán),輸出的為.故選:B.【點睛】本題考查由程序框圖求輸出的結果,要注意在哪一步退出循環(huán),是一道容易題.9、D【解析】
由可得,所以,由為定義在上的奇函數(shù)結合增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù),可知在上單調(diào)遞增,注意到,再利用函數(shù)單調(diào)性即可解決.【詳解】因為在上是奇函數(shù).所以,解得,所以當時,,且時,單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,因為,故有,解得.故選:D.【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式,考查學生對函數(shù)性質的靈活運用能力,是一道中檔題.10、A【解析】
只需將“存在”改成“任意”,有實根改成無實根即可.【詳解】由特稱命題的否定是全稱命題,知“存在,使方程有實根”的否定是“任意,使方程無實根”.故選:A【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定,此類問題要注意在兩個方面作出變化:1.量詞,2.結論,是一道基礎題.11、A【解析】
根據(jù)符號函數(shù)的解析式,結合f(x)的單調(diào)性分析即可得解.【詳解】根據(jù)題意,g(x)=f(x)﹣f(ax),而f(x)是R上的減函數(shù),當x>0時,x<ax,則有f(x)>f(ax),則g(x)=f(x)﹣f(ax)>0,此時sgn[g(x)]=1,當x=0時,x=ax,則有f(x)=f(ax),則g(x)=f(x)﹣f(ax)=0,此時sgn[g(x)]=0,當x<0時,x>ax,則有f(x)<f(ax),則g(x)=f(x)﹣f(ax)<0,此時sgn[g(x)]=﹣1,綜合有:sgn[g(x)]=sgn(x);故選:A.【點睛】此題考查函數(shù)新定義問題,涉及函數(shù)單調(diào)性辨析,關鍵在于讀懂定義,根據(jù)自變量的取值范圍分類討論.12、B【解析】
由約束條件作出可行域,化目標函數(shù)為直線方程的斜截式,數(shù)形結合得到最優(yōu)解,聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標,把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得結論.【詳解】畫出約束條件,表示的可行域,如圖,由可得,將變形為,平移直線,由圖可知當直經(jīng)過點時,直線在軸上的截距最大,最大值為,故選B.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃中,利用可行域求目標函數(shù)的最值,屬于簡單題.求目標函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是實線還是虛線);(2)找到目標函數(shù)對應的最優(yōu)解對應點(在可行域內(nèi)平移變形后的目標函數(shù),最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解);(3)將最優(yōu)解坐標代入目標函數(shù)求出最值.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、3【解析】
分析程序中各變量、各語句的作用,根據(jù)流程圖所示的順序,即可得出結論.【詳解】解:初始,第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):;經(jīng)判斷,此時跳出循環(huán),輸出.故答案為:【點睛】本題考查了程序框圖的應用問題,解題的關鍵是對算法語句的理解,屬基礎題.14、①②③【解析】
①點在平面內(nèi)的正投影為點,而正方體的體對角線與和它不相交的的面對角線垂直,所以直線垂直于平面,而為正三角形,可得為正三角形的重心,所以①是正確的;②取的中點,連接,則點在平面的正投影在上,記為,而平面平面,所以,所以②正確;③若設,則由可得,然后對應邊成比例,可解,所以③正確;④由于,而的面積是定值,所以當點到平面的距離最大時,三棱錐的體積最大,而當點與點重合時,點到平面的距離最大,此時為棱長為的正四面體,其外接球半徑,則球,所以④錯誤.【詳解】因為,連接,則有平面平面為正三角形,所以為正三角形的中心,也是的重心,所以①正確;由平面,可知平面平面,記,由,可得平面平面,則,所以②正確;若平面,則,設由得,易得,由,則,由得,,解得,所以③正確;當與重合時,最大,為棱長為的正四面體,其外接球半徑,則球,所以④錯誤.故答案為:①②③【點睛】此題考查立體幾何中的垂直、平行關系,求幾何體的體積,考查空間想象能力和推理能力,屬于難題.15、20【解析】
根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義將56人按順序分成4組,每組14人,則1至14號為第一組,15至28號為第二組,29號至42號為第三組,43號至56號為第四組.而學號6,34,48分別是第一、三、四組的學號,所以還有一個同學應該是15+6-1=20號,故答案為20.16、【解析】
令可得各項系數(shù)和為,得出,根據(jù)第一個因式展開式的常數(shù)項與第二個因式的展開式含一次項的積與第一個因式展開式含x的一次項與第二個因式常數(shù)項的積的和即為展開式中含項,可得解.【詳解】令,則得,解得,所以展開式中含項為:,故答案為:【點睛】本題主要考查了二項展開式的系數(shù)和,二項展開式特定項,賦值法,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)當或時,有3個坑要補播種的概率最大,最大概率為;(2)見解析.【解析】
(1)將有3個坑需要補種表示成n的函數(shù),考查函數(shù)隨n的變化情況,即可得到n為何值時有3個坑要補播種的概率最大.(2)n=1時,X的所有可能的取值為0,1,2,3,1.分別計算出每個變量對應的概率,列出分布列,求期望即可.【詳解】(1)對一個坑而言,要補播種的概率,有3個坑要補播種的概率為.欲使最大,只需,解得,因為,所以當時,;當時,;所以當或時,有3個坑要補播種的概率最大,最大概率為.(2)由已知,的可能取值為0,1,2,3,1.,所以的分布列為01231的數(shù)學期望.【點睛】本題考查了古典概型的概率求法,離散型隨機變量的概率分布,二項分布,主要考查簡單的計算,屬于中檔題.18、(1),;(2),證明見解析【解析】
(1)利用已知條件建立等量關系求出數(shù)列的通項公式.(2)利用裂項相消法求出數(shù)列的和,進一步利用放縮法求出結論.【詳解】(1),,得是公比為的等比數(shù)列,,,當時,數(shù)列的前項積為,則,兩式相除得,得,又得,;(2),故.【點睛】本題考查的知識要點:數(shù)列的通項公式的求法及應用,數(shù)列的前項和的應用,裂項相消法在數(shù)列求和中的應用,主要考查學生的運算能力和轉換能力,屬于中檔題.19、(1),;(2).【解析】
(1)根據(jù)面積公式和數(shù)量積性質求角及最大邊;(2)根據(jù)的長度求出,再根據(jù)面積比值求,從而求出.【詳解】(1)在中,由,得,由,得,所以,所以,,因為在中,,所以,因為(當且僅當時取等),所以長的最小值為;(2)在三角形中,因為為中線,所以,,所以,因為,所以,所以,由(1)知,所以,或,,所以,因為為角平分線,,,或2,所以,或,所以.【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質及其運算,余弦定理解三角形及三角形面積公式的應用,屬于中檔題.20、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)由已知可得,構造等比數(shù)列即可求出通項公式;(2)當時,由,可求,時,由,可證,驗證時,不等式也成立,即可得證.【詳解】(1)由可得,,即,所以,解得,(2)當時,,,當時,,綜上,由可得遞增,,時;所以,綜上:故.【點睛】本題主要考查了遞推數(shù)列求通項公式,利用放縮法證明不等式,涉及等比數(shù)列的求和
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