《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程簡(jiǎn)介課程編號(hào)：08024019課程名稱：復(fù)變函數(shù)與積分變換

/ComplexAnalysisandIntegralTransformation學(xué)分:2學(xué)時(shí)：32適用專業(yè)：自動(dòng)化、儀表等本科各專業(yè)建議修讀學(xué)期：3、4開課單位：數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系、信息與計(jì)算科學(xué)系先修課程：《高等數(shù)學(xué)》考核方式：閉卷考試，平時(shí)30%，考試70%。教材與主要參考書目：教材：《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第二版蘇變萍等高等教育出版社2010年參考書目1．《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第三版華中科技大學(xué)高等教育出版社2008年2．《復(fù)變函數(shù)與積分變換》焦紅偉，尹景本主編，北京大學(xué)出版社2007年3．《復(fù)變函數(shù)與積分變換》楊降龍,楊帆編科學(xué)出版社2010年內(nèi)容概述：本課程教學(xué)目的是使學(xué)生系統(tǒng)地獲得復(fù)變函數(shù)與積分變換中必要的基礎(chǔ)理論和常用的運(yùn)算方法，培養(yǎng)學(xué)生比較熟練的運(yùn)算能力，能熟練運(yùn)用積分變換解決一些問題，為后繼課程和進(jìn)一步擴(kuò)大數(shù)學(xué)知識(shí)打下必要的基礎(chǔ)。其任務(wù)是教會(huì)學(xué)生掌握復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)積分、復(fù)級(jí)數(shù)、留數(shù)、共形映射、傅立葉變換和拉普拉斯變換等基本理論和基本運(yùn)算能力。英文：Thepurposeofthiscourseistomakethestudentsgettheessentialbasictheoryandcommonfunctionsofthecomplexanalysisandintegraltransformation.Itwilltrainmoreskilledstudentsoperatingability,canskilleduseofintegraltransformtosolvesomeproblems,asthesuccessorcurriculumandfurtherlaythenecessaryfoundationofmathematicsknowledge.Itsmissionistoteachstudentstomasterthebasictheoryandbasicoperationabilityofthecomplexandcomplexvariablefunction,analyticfunction,complexfunctionintegral,complexseries,residue,conformalmapping,theFouriertransformandtheLaplacetransform.《復(fù)變函數(shù)與積分變換》教學(xué)大綱一課程性質(zhì)、目的與任務(wù)復(fù)變函數(shù)與積分變換是自動(dòng)化、儀表、計(jì)算機(jī)、等機(jī)電類本科各專業(yè)一門重要的基礎(chǔ)課，是理工科學(xué)生繼高等數(shù)學(xué)后的又一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。它是培養(yǎng)學(xué)生用留數(shù)及復(fù)積分的思想認(rèn)識(shí)問題、分析并解決問題的重要課程，也是后繼專業(yè)課程——電學(xué)、理論力學(xué)等的基礎(chǔ)。本課程本課程主要講授復(fù)變函數(shù)與積分變換的基本理論和方法。通過本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅能夠?qū)W到復(fù)變函數(shù)與積分變換的基本理論和數(shù)學(xué)物理及工程技術(shù)中常用的數(shù)學(xué)方法，同時(shí)還可以鞏固和復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)等方面起著特殊重要的作用。本課程的基本內(nèi)容有復(fù)數(shù)理論、解析函數(shù)、級(jí)數(shù)理論、積分變換，32學(xué)時(shí)，2學(xué)分二教學(xué)內(nèi)容、基本要求及學(xué)時(shí)分配教學(xué)內(nèi)容、基本要求：1．熟悉復(fù)數(shù)概念及各種幾何表示，

掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、乘冪方根共軛等運(yùn)算并能簡(jiǎn)單應(yīng)用。了解復(fù)變函數(shù)與實(shí)二元函數(shù)的關(guān)系及復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性，熟悉復(fù)變函數(shù)極限與連續(xù)性的運(yùn)算法則及性質(zhì)，熟悉復(fù)變函數(shù)與實(shí)函數(shù)的極限與連續(xù)性之間的聯(lián)系與區(qū)別。2．理解復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及解析函數(shù)的概念，掌握復(fù)變函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、解析之間的關(guān)系及求導(dǎo)法則；熟練掌握復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)與解析的判別法，掌握并靈活運(yùn)用柯西-黎曼方程，能利用柯西-黎曼方程判定復(fù)變函數(shù)的解析性及證明解析函數(shù)的一些基本性質(zhì)；熟悉基本初等函數(shù)的定義，了解它們的性質(zhì)，尤其是指數(shù)函數(shù)的定義、性質(zhì)及與其它基本初等函數(shù)的關(guān)系；掌握由初等函數(shù)構(gòu)成的方程求根的方法，會(huì)判定初等函數(shù)的奇點(diǎn)及解析性區(qū)域。重點(diǎn)：解析函數(shù)的概念及函數(shù)解析性的判別。難點(diǎn)：解析函數(shù)的概念及初等函數(shù)中多值函數(shù)及其單值解析分支的概念。3．熟悉復(fù)積分的概念及基本性質(zhì)，理解復(fù)積分的曲線積分法，掌握并熟練運(yùn)用復(fù)積分計(jì)算的參數(shù)方程法和積分估值公式；理解柯西-古薩基本定理及推廣復(fù)合閉路定理，了解復(fù)變函數(shù)的原函數(shù)存在定理及牛頓-萊布尼茲公式；熟練掌握柯西積分公式及高階導(dǎo)數(shù)公式，了解解析函數(shù)的平均值定理、無窮可微性等性質(zhì)，掌握并能靈活運(yùn)用柯西積分理論計(jì)算沿閉曲線的復(fù)積分；理解調(diào)和函數(shù)概念，掌握解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系及由已知調(diào)和函數(shù)求以其為實(shí)部或虛部的解析函數(shù)的方法。重點(diǎn)：柯西-古薩基本定理及推廣，柯西積分公式及高階導(dǎo)數(shù)公式。難點(diǎn)：復(fù)合閉路定理與復(fù)積分的計(jì)算4．了解復(fù)數(shù)列極限、復(fù)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散概念，與高等數(shù)學(xué)中相應(yīng)內(nèi)容的關(guān)系；熟悉冪級(jí)數(shù)概念，理解Abel定理，掌握冪級(jí)數(shù)收斂半徑求法、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)；理解泰勒展開定理，熟練掌握、、、、等函數(shù)的泰勒展式，掌握函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)(泰勒級(jí)數(shù))的直接展開法和間接展開法，能比較熟練地將一些解析函數(shù)在指定點(diǎn)展開成冪級(jí)數(shù)(泰勒級(jí)數(shù))，并會(huì)確定收斂半徑；熟悉雙邊冪級(jí)數(shù)概念和性質(zhì)，理解洛朗展開定理，掌握函數(shù)展開成洛朗級(jí)數(shù)的間接展開法，能比較熟練地將一些解析函數(shù)在不同圓環(huán)內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù)。重點(diǎn)：函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)、洛朗級(jí)數(shù)。難點(diǎn)：函數(shù)展開成洛朗級(jí)數(shù)。5．了解孤立奇點(diǎn)的定義、分類及特征，熟悉零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系；理解留數(shù)概念，掌握計(jì)算留數(shù)的一般方法，熟練掌握極點(diǎn)處留數(shù)的求法；掌握利用留數(shù)定理計(jì)算閉路復(fù)積分的方法，了解應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算定積分的圍道積分法，能熟練利用留數(shù)計(jì)算下面三種類型的定積分：、、。重點(diǎn)：留數(shù)的計(jì)算、留數(shù)定理及應(yīng)用。難點(diǎn)：留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用。6．了解周期函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)形式，熟悉Fourier積分定理，了解Fourier積分公式的三角形式，F(xiàn)ourier正弦、余弦積分公式；理解Fourier變換及其逆變換的概念，理解單位脈沖函數(shù)的概念及性質(zhì)，理解付氏變換的概念；了解δ函數(shù)及其性質(zhì)；掌握付氏變換性質(zhì)和卷積定理；理解拉氏變換概念；掌握拉氏變換的性質(zhì)和卷積定理；會(huì)求有理函數(shù)的拉氏逆變換；掌握用拉氏變換解微分方程的方法。學(xué)時(shí)分配課程內(nèi)容教學(xué)要求重點(diǎn)（☆）難點(diǎn)（△）學(xué)時(shí)安排實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)上機(jī)學(xué)時(shí)備注第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)3第一節(jié)復(fù)數(shù)A第二節(jié)復(fù)數(shù)的乘冪與方根B☆第三節(jié)復(fù)變函數(shù)C第四節(jié)初等函數(shù)B☆第二章導(dǎo)數(shù)4第一節(jié)復(fù)變函數(shù)的極限A☆Δ第二節(jié)復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性B第三節(jié)導(dǎo)數(shù)第四節(jié)解析函數(shù)A☆第五節(jié)調(diào)和函數(shù)A第三章積分6第一節(jié)積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算B第二節(jié)柯西定理及其推廣A☆第三節(jié)柯西積分公式A第四節(jié)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)A☆Δ第四章級(jí)數(shù)7第一節(jié)收斂序列與收斂級(jí)數(shù)B第二節(jié)冪級(jí)數(shù)B☆Δ第三節(jié)泰勒級(jí)數(shù)A☆Δ第四節(jié)洛朗級(jí)數(shù)第五章留數(shù)6第一節(jié)解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)A☆Δ第二節(jié)留數(shù)的一般理論BΔ第三節(jié)留數(shù)在計(jì)算定積分和反常積分的應(yīng)用下篇第一章傅立葉變換3第一節(jié)傅里葉積分A☆第二節(jié)傅里葉變換A☆第三節(jié)函數(shù)及其傅里葉變換A下篇第二章拉普拉斯變換3第一節(jié)拉普拉斯變換的概念B第二節(jié)拉普拉斯逆變換A☆第三節(jié)拉普拉斯變換的性質(zhì)B第四節(jié)拉普拉斯變換的應(yīng)用A（教學(xué)要求：A—熟練掌握；B—掌握；C—了解）三、建議實(shí)驗(yàn)（上機(jī)）項(xiàng)目及學(xué)時(shí)分配參見教學(xué)內(nèi)容、基本要求及學(xué)時(shí)分配四教學(xué)方法與教學(xué)手段教學(xué)方法：講授、討論；教學(xué)手段：多媒體、黑板演算等手段。五考核方式閉卷考試，平時(shí)作業(yè)、課堂討論30%，期末考試70%。六教材與主要參考書目教材：《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第二版蘇變萍等高等教育出版社2010年參考書目1．《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第三版華中科技大學(xué)高等教育出版社2008年2．《復(fù)變函數(shù)與積分變換》焦紅偉，尹景本主編，北京大學(xué)出版社2007年3．《復(fù)變函數(shù)與積分變換》楊降龍,楊帆編科學(xué)出版社2010年七大綱編寫依據(jù)與說明復(fù)變函數(shù)與積分變換的教學(xué)大綱是根據(jù)國家工科數(shù)學(xué)課程指導(dǎo)委員會(huì)所制定的“工科高等數(shù)學(xué)的基本要求”，結(jié)合我校工科專